高中数学必修点线面的位置关系知识点习题答案
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案）一、选择题1．下列说法正确的个数是()①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.A．3B．2C．1 D．0【解析】①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．【答案】C2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b ＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b⊂α成立．()A．①②③B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．【答案】D3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()【解析】易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．【答案】C4．如图2119所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图2119A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】B5．如图2120，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()图2120A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E 是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．【答案】C二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2224，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．图2224【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN＝C1M＝21A1C1＝21AC，所以N为AC的中点．9．如图2225，平面EFGH分别平行于CD，AB，E，F，G，H 分别在BD，BC，AC，AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形．(2)设DE＝m，EB＝n，求矩形EFGH的面积．图2225【解】(1)证明：因为CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH是平行四边形．由CD∥EF，HE∥AB，所以∠HEF为CD和AB所成的角．又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF.所以四边形EFGH是矩形．(2)由(1)可知在△BCD中，EF∥CD，DE＝m，EB＝n，所以CD EF ＝DB BE .又CD ＝a ，所以EF ＝m ＋n n a . 由HE ∥AB ，所以AB HE ＝DB DE .又因为AB ＝b ，所以HE ＝m ＋n mb .又因为四边形EFGH 为矩形，所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝m ＋n m b ·m ＋n n a ＝(m ＋n2mn ab .10．对于直线m 、n 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n【解析】 对于A ，如图(1)所示，此时n 与α相交，故A 不正确；对于B ，如图(2)所示，此时m ，n 是异面直线，而n 与α平行，故B 不正确；对于D ，如图(3)所示，m 与n 相交，故D 不正确．故选C.图(1) 图(2) 图(3)【答案】 C11．如图2226，三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF .图2226【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析
【知识梳理】（1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质 1.内容归纳总结 ,//b P a βα=⇒//,a bαββ⊂=,//a b a bγγ==⇒直线、平面平垂直的判定及其性质 1.内容归纳总结 （一）基本概念1.直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。
高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系知识点与常考题(附解析)
必修二第二章点直线平面之间的位置关系知识点与常考题(附解析)知识点：1、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。
符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。
数学必修二点线面之间的位置关系习题打印版(含答案)z
点、直线、平面之间的位置关系1.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.2.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.4．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．5．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.答案1.证明：(1)∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.2. (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.3. 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.4. 因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ， 因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 5. (1)转化为证明GF 平行于平面ABC 内的直线AC ；(2)转化为证明AC 垂直于平面EBC 内的两条相交直线BC 和BE ；(3)几何体ADEBC 是四棱锥C －ABED .[解] (1)证明：连接AE ，如下图所示． ∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC . 又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴G H ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案解析)
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案解析）一、选择题一、选择题1．与同一平面平行的两条直线()A．平行B．相交C．异面 D．平行或相交或异面【解析】如图：故选D.【答案】D2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作()A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个【解析】若两点所在直线与平面相交，则为0个，若平行则可作1个．【答案】C3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．AB⊂α【解析】结合图形可知选项C正确．【答案】C4．以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是()A．①② B．②③C．③④ D．①③【解析】对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③.【答案】D5．如果点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面()A．只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个【解析】当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.【答案】C二、填空题6．如图2121所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：图2121①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．【解析】由异面直线的定义知③④正确．【答案】③④7．如图2122，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．图2122【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.【答案】60°三、解答题8．如图219所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.图219【证明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．10．下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【解析】经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A ＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.【答案】D11．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图2110.(1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．图2110【解】(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β.同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。
高中数学：点线面关系知识总结和练习(附答案)
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂ 2.性质定理：//a abαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b② 判定定理:a b a cb c A bc αα⊥⊥⋂=⊂⊂a α⊥③ 推论://a a bα⊥b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥αβ⊥ ②lP P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为A l ∈ ④lP PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
(完整word)高中数学必修二2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案
2.1 空间点、直线、平面之间的地点关系2.1.1 平面知识梳理1平面含义：平面是无穷延展的2三个公义：（1）公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈lB∈l=>lA∈B∈【公义 1 作用】判断直线能否在平面内.（2）公义 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为： A、 B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、 B∈α、 C∈α。
【公义 2 作】确立一个平面的依照。
Aα ·LA Bα ·C··（3）公义 3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为： P∈α∩β => α∩β =L，且 P∈L【公义 3 作用】判断两个平面能否订交的依照.知能训练一．选择题1．已知 m， n 分别是两条不重合的直线，①若m⊥ α，n∥b ，且α⊥β，则 m ∥n ；③若m∥ α，n∥b ，且α∥β，则 m ⊥n ；此中真命题的序号是（）a， b 分别垂直于两不重合平面②若 m∥ a， n∥ b，且α⊥ β，则 m⊥ n；④若m ⊥α， n⊥b ，且α⊥ β，则 m∥ n．A．①②B．③④C．①④D．②③2．在以下命题中，不是公义的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同向来线上的三个点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上全部点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3． l1，l2， l3是空间三条不一样的直线，则以下命题正确的选项是（）A． l 1⊥ l 2， l 2⊥ l 3 ? l 1∥ l 3B． l 1⊥ l 2， l 2∥ l 3 ? l 1⊥ l 3C． l 1∥ l 2∥ l 3 ? l 1， l 2， l 3共面βαP Lα，β，有以下四个命题：D． l 1， l 2， l 3共点 ? l 1， l 2， l 3共面4．下边四个说法中，正确的个数为（）（1 ）假如两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线能够确立一个平面（3）若 M∈α， M∈ β，α∩β，=l则 M∈l（4）空间中，订交于同一点的三直线在同一平面内．A． 1B． 2C． 3D． 45．已知空间三条直线l、 m、n ．若 l 与 m 异面，且l 与 n 异面，则（）D． m与 n 异面、订交、平行均有可能6．若 m、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则以下命题中的真命题是（）A．若m、 n 都平行于平面α，则m、 n 必定不是订交直线B．若m、 n 都垂直于平面α，则m、 n 必定是平行直线C．已知α、β相互垂直，m、 n 相互垂直，若m⊥α， n ⊥βD． m、 n 在平面α内的射影相互垂直，则m、 n 相互垂直7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下边四个命题，此中正确的命题是（）A．若l ? α， m∩α =A，则 l与m必为异面直线B．若l ∥α， l ∥ m，则m∥ αC．若l ? α， m? β， l ∥ β， m∥α，则α∥βD．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l ， l ⊥ m，则l ⊥α8．已知α，β为互不重合的平面，m， n 为互不重合的直线，给出以下四个命题：①若 m⊥ α，n⊥α，则 m ∥n ；②若 m? α， n? α，m ∥β， n∥β，，则α∥ β；③若α⊥β，α∩β =m，n? α，n⊥m ，则 n ⊥β；④若 m⊥ α，α⊥β， m∥n，则 n∥β．此中全部正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．③④二．填空题9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0， x+1=0 ， x+ky=0 ，假如这三条直线将平面区分为六部分，则实数k 的全部取值为．（将你以为全部正确的序号都填上）①0②1/2③1④2⑤3．10 ．空间中有 7 个点，此中有 3 个点在同向来线上，别的再无任何三点共线，由这7个点最多可确立个平面．三．解答题1．如图，在四边形 ABCD中，已知AB ∥ CD ，直线 AB ， BC ， AD ， DC 分别与平面α相交于点 E，G，H，F．求证：E，F，G，H 四点必然共线．2．四周体 ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2 ： 3． DH ： HA=2 ： 3．（1）证明：点 G、E、F、H 四点共面；（2）证明：EF、GH、BD 交于一点．2.1.2 空间中直线与直线之间的地点关系1空间的两条直线有以下三种关系：订交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不一样在任何一个平面内，没有公共点。
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D C BAα 第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD等。
3三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。
推论2：两条平行直线确定一个平面。
推论3：两条相交直线确定一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：A· αC ·B · A ·α P· α Lβc a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ααα////b b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4异面直线：①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，]；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表a αa ∩α=Aa ∥α】2.2.1直线与平面平行的判定1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：线线平行线面平行共面直2π2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a I线面平行 面面平行2、判断定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另个平面内的两条相交直线互相平行，那么这两个平面平行。
符号表示：βαβα////,//,,.,⇒⎪⎭⎪⎬⎫==⊂⊂d b c a B d c A b a d c b a I I3、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3直线与平面平行的性质1、线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβαI作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2.2.4平面与平面平行的性质2、性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行1、定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
符号表示：αα⊂∀⊥⇔⊥m m l l ,2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
一相交，两垂直αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⊥⊥a c b P c a c a b a ,,I βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥a a βα--AB ααβαβ//,a a a ⇒⎭⎬⎫⊄⊥⊥符号表示：注意点：定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形2、二面角的记法：二面角或3、面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：2.3.3直线与平面垂直的性质1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：b a b a //,⇒⊥⊥αα2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：βαβα⊥⇒⊂⊥a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：ββααβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊂⊥a l l a a I ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，成的角。
我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ 二、直线与平面所成的角1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。
三、两个半平面所成的角即二面角：1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
2、二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θA βαl棱B两个平面垂直：直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。
2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。
3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
第二章点、直线、平面之间的位置关系1、如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .2.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值3．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为θ，猜想θ为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)4、如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21．(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．(提示：延长BA ，CD 相交于点E ，则直线SE 是所求二面角的棱.)5．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA 1上取一点P ，过P 作棱柱的截面，使AA 1垂直于这个截面.)第二章点、直线平面之间的位置关系参考答案三、解答题(第3题)(第4(第5_ C _1_ B_1_ A_1_ A_ B_ C(第3题)17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ．解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝?，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ，∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin?＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当?＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．(2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， 即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．。