人教版理科数学课时试题及解析(66)合情推理与演绎推理含答案解析
人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练34合情推理与演绎推理
课时规范练34合情推理与演绎推理基础巩固组1.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数.③y=cos x(x∈R)是周期函数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①2.(2019吉林延吉模拟)大衍数列,来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50.通项公式:an=如果把这个数列{an}排成下面形状,并记A(m,n)表示第m行中从左向右第n个数,则A(10,2)的值为( )248121824324050……A.3 444B.3 612C.3 528D.1 2803.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成种种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数可以表现成三角形,将其称为三角形数,由以上纪律,则这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么a10的值为( )A.45B.55C.65D.664.在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就座,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有配合的体育兴趣爱好,现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是( )A.小方B.小张C.小周D.小马5.(2019广东深圳期末)英国数学家布鲁克·泰勒建立了如下正、余弦公式:sin x=x-x33!+x55!−x77!+…+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!+…,cos x-1=-x22!+x44!−x66!+…+(-1)n x2n(2n)!+….其中x∈R,n∈N*,n!=1×2×3×4×…×n,例如,1!=1,2!=2,3!=6.试用上述公式估计cos 0.2的近似值为(精确到0.01) ()A.0.99B.0.98C.0.97D.0.966.若“*”表现一种运算,满足如下关系:(1)1*1=1;(2)(n+1)*1=3(n*1)(n∈N*),则n*1=( )A.3n-2B.3n+1C.3nD.3n-17.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a>b).若EF∥AB,EF到CD与AB的距离之比为m∶n,则可推算出:EF=.用类比的要领,推想出下面题目的效果.在上面的梯形ABCD中,分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点,设△OAB,△ODC的面积分别为S1,S2,则△OEF的面积S0与S1,S2的关系是( )A.S0=mS1+nS2m+n B.S0=nS1+mS2m+nC.√0=m√S1+n√S2m+n D.√0=n√S1+m√S2m+n8.(2019福建福州检测)中国古代用算筹来举行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表现一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右分列,但各位数码的筹式必要纵横相间,其中个位、百位、万位……用纵式表现,十位、千位、十万位……用横式表现,则56846可用算筹表示为( )9.已知自主招生测验中,甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学,三人分别给出了以下说法:甲说:“我报考了清华大学,乙也报考了清华大学,丙报考了北京大学.”乙说:“我报考了清华大学,甲说得不完全对.”丙说:“我报考了北京大学,乙说得对.”已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不合错误,则报考了北京大学的是.10.(2019江西南昌高安校级期末)如图所示的数阵中,用A(n,k)表示第n行的第k个数,则依此规律A(7,3)为.131 61 61 101121101 151221221151 21137144137121…11.在△ABC中,不等式1A +1B+1C≥9π成立;在凸四边形ABCD中,不等式1A +1B+1C+1D≥162π成立;在凸五边形ABCDE中,不等式1A+1B+1C+1 D +1E≥253π成立…依此类推,在凸n边形A1A2…A n中,不等式1A1+1 A2+…+1A n≥成立.12.(2019北京东城区模拟)某同学解答一道三角函数题:已知函数f(x)=cos2x-sin2x,求:(1)f(π2)的值;(2)函数f(x)在区间上的最大值和最小值.综合提升组13.(2019河北衡水联考)某校高一组织五个班的学生到场学农运动,每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项举行实践,且各班的选择互不雷同.已知1班不选“农耕”“采摘”;2班不选“农耕”“酿酒”;如果1班不选“酿酒”,那么4班不选“农耕”;3班既不选“野炊”,也不选“农耕”;5班选择“采摘”或“酿酒”,则选择“饲养”的班级是( )A.2班B.3班C.4班D.5班14.将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放,从上往下依次为第1层,第2层,第3层,…,则第2 018层正方体的个数共有( )A.2 018B.4 028C.2 037 171D.2 009 01015.如图,我们知道,圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×.所以,圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是.创新应用组16.将给定的一个数列{an}:a1,a2,a3,…按照一定的规则依次序用括号将它分组,则可以得到以组为单元的序列.如在上述数列中,我们将a1作为第一组,将a2,a3作为第二组,将a4,a5,a6作为第三组,…,依次类推,第n组有n个元素(n∈N*),即可得到以组为单元的序列.(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),…,我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第n个括号称为第n群,从而数列{an}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m个群中,且从第m个括号的左端起是第k个,则称这个元素为第m群中的第k个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,…,将数列分群,其中,第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,32),…,以此类推.设该数列前n项和N=a1+a2+…+an,若使得N>14 900成立的最小an位于第m群,则m=( )A.11B.10C.9D.817.(2019福建龙岩期末)已知函数f(x)=a x+a-x2,g(x)=a x-a-x2(其中a>0,且a≠1),(1)若f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=g(k),求实数k的值;(2)能否从(1)的结论中得到开辟,猜想出一个一般性的结论并证明你的料想.参考答案课时规范练34合情推理与演绎推理1.B根据“三段论”:“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知:①y=cos x(x∈R)是三角函数是“小前提”;②三角函数是周期函数是“大前提”;③y=cos x(x∈R)是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.2.A由题意可知前9行共有1+3+5+…+17=18×92=81项.A(10,2)为数列的第83项,所以A(10,2)的值为832-12=3 444.故选A.3.B a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,故a10=1+2+3+4+…+10=55,故选B.4.A 依据题意可得从1~6号依次为小林、小马、小李、小方、小周、小张,则4号位置上坐的是小方,故选A.5.B由题意,只需要精确到0.01即可,∴cos 0.2=1-0.222!=1-0.02=0.98.故选B.6.D由题设:①1*1=1,②(n+1)*1=3(n*1),则n*1=3((n-1)*1)=3×3((n-2)*1)=…=3n-1(1*1)=3n-1.故选D.7.C 在平面几何中类比多少性子时,一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性子,由平面几何中线段的性质类比推理空间多少中面积的性子.故由EF=类比到关于△OEF的面积S0与S1,S2的关系是8.B 凭据题意可得,各个数码的筹式必要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示;十位,千位,十万位用横式表现,所以56846用算筹表示应为纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B.故选B.9.甲、丙若甲说得不合错误,则乙、丙说得对,即乙肯定报考了清华大学,丙肯定报考了北京大学,甲只大概报考了北京大学.若乙、丙说得不合错误,则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对”矛盾,所以报考了北京大学的是甲、丙.所以填甲、丙.10.1139设每一行的第一个数字的分母为a n.从第三行起,除首尾两项外,每一行的第k个数字的分母都等于前一行的第k个数的分母和第k-1个数字的分母之和,分子均为1.所以a6=28,所以37+44=81,37+21=58,所以58+81=139.综上,A(7,3)=1 139.11.n 2(n∈N*,n≥3)∵1+1+1≥9=32,1 A +1B+1C+1D≥162π=422π,1A +1B +1C +1D +1E≥253π=523π,…,∴1A 1+1A 2+…+1A n≥n 2(n -2)π(n ∈N*,n ≥3). 12.解 (1)由题意得f (π2)=cos 2π2-sin 2π2=0-1=-1.(2)由题意得f (x )=cos 2x-sin 2x=cos 2x ,令t=2x , 因为-π6≤x ≤π4, 所以-π3≤2x ≤π2, 即-π3≤t ≤π2.画出函数y=cos t 在区间[-π,π]上的图象.由图象可知,y=cos t 在区间上是增函数,在区间上是减函数,且cos>cos,所以当t=,即x=时,f(x)取得最小值0.当t=0,即x=0时,f (x )取得最大值1.13.B 由题意,1,2,3,5班都不选农耕,则只有4班选农耕,再者,如果1班选酿酒,所以5班只有选采摘,只剩下“野炊”和“饲养”, 因3班不选“野炊”,故选择“饲养”的班级是3班. 故选B .14.C 设第n 层正方体的个数为a n ,则a 1=1,a n -a n-1=n ,所以a n -a 1=2+3+…+n ,即a n =1+2+3+…+n=n (n+1)2,n ≥2,故a 2 018=1 009×2 019=2 037 171,故选C .15.2π2r2d 平面区域M 的面积为πr2,由类比知识可知:平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎,旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底,以圆的周长2πd 为高的圆柱的体积,所以旋转体的体积V=πr2×2πd=2π2r2d.16.B 由题意得到该数列的前r 组共有1+2+3+4…+r=r (1+r )2个元素,其和为S r (r+1)2=1+(1+3)+(1+3+32)+…+(1+3+32+…+3r-1)=3r+1-2r -34,则r=9时,S (45)=310-2×9-34=14757,r=10时,S (55)=44 281>14 900,故使得N>14 900成立的最小值a 位于第10群.故答案为B .17.解 (1)f (1)·g (2)+f (2)·g (1)=a+a -12×a 2-a -22+a 2+a -22×a -a -12=a 3-a -1+a -a -34+a 3-a+a -1-a -34=a 3-a -32=g (3). ∵函数g(x)是单调函数,∴k=3.(2)由g (3)=g (1+2)=f (1)·g (2)+f (2)·g (1), 猜想,g (x+y )=f (x )·g (y )+f (y )·g (x ).证明:f (x )·g (y )+f (y )·g (x )=a x +a -x 2×a y -a -y2+a y +a -y 2×a x -a -x 2=a x+y +a y -x -a x -y -a -(x+y )4+a x+y -a y -x +a x -y -a -(x+y )4=a x+y -a -(x+y )2=g (x+y ),所以g (x+y )=f (x )·g (y )+f (y )·g (x ).。
高考数学(理科)一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案
高考数学（理科）一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案37 合情推理与演绎推理导学目标：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．自主梳理自我检测．观察′＝2x，′＝4x3，′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f满足f＝f，记g为f的导函数，则g等于A．fB．－fc．gD．－g2．给出下面类比推理命题：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈c，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a ＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈c，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是A．0B．1c．2D．33．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．5．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．探究点一归纳推理例1 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．变式迁移 1 观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．探究点二类比推理例2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有paha＋pbhb＋pchc＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt△ABc中，若∠c＝90°，Ac＝b，Bc ＝a，则△ABc的外接圆半径r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有_______________________________________________．探究点三演绎推理例3 在锐角三角形ABc中，AD⊥Bc，BE⊥Ac，D、E是垂足．求证：AB的中点m到D、E的距离相等．变式迁移3 指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．2．归纳推理与类比推理都属合情推理：归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．一、选择题．定义A*B，B*c，c*D，D*A的运算分别对应下图中的、、、，那么下图中的、所对应的运算结果可能是A．B*D，A*DB．B*D，A*cc．B*c，A*DD．c*D，A*D2．设f＝1＋x1－x，又记f1＝f，fk＋1＝f)，k＝1,2，…，则fXX等于A．－1xB．xc.x－1x＋1D.1＋x1－x3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a•b＝b•a”；②“t＝mt＋nt”类比得到“•c＝a•c＋b•c”；③“t＝m”类比得到“•c＝a•”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a•p＝x•p⇒a＝x”；⑤“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a•b|＝|a|•|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a•cb•c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是A．1B．2c．3D．44．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A．289B．1024c．1225D．13785．已知整数的数对如下：，，，，，，，，，，，，…则第60个数对是A．B．c．D．二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是___________________________________________________ _____________________．7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：8．观察下列等式＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为___________________________________________________ __．三、解答题9．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋1Sn＋1＋2＝0．计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．10．已知函数f＝－aax＋a，证明：函数y＝f的图象关于点12，－12对称；求f＋f＋f＋f＋f＋f的值．1．如图1，若射线om，oN上分别存在点m1，m2与点N1，N2，则＝om1om2•oN1oN2；如图2，若不在同一平面内的射线oP，oQ和oR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．学案37 合情推理与演绎推理自主梳理归纳推理全部对象部分个别类比推理这些特征特殊到特殊①一般原理②特殊情况③特殊情况一般特殊自我检测．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g＝－g．] 2．c [①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．]3．1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.5．一切奇数都不能被2整除大前提2100＋1是奇数小前提所以2100＋1不能被2整除结论课堂活动区例1 解题导引归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．解在{an}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，所以猜想{an}的通项公式为an＝2n＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a1＝1，an＋1＝2an2＋an，所以1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，所以数列1an是以1a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1an＝1＋×12＝12n＋12，所以通项公式an＝2n＋1.变式迁移1 解猜想sin2α＋cos2＋sinαcos＝34.证明如下：左边＝sin2α＋cos[cos＋sinα]＝sin2α＋32cosα－12sinα32cosα＋12sinα＝sin2α＋34cos2α－14sin2α＝34＝右边．例2 解题导引类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．解类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为ha，hb，hc，hd.则有paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1.证明如下：paha＝13S△BcD•pa13S△BcD•ha＝VP—BcDVA—BcD，同理有pbhb＝VP—cDAVB—cDA，pchc＝VP—BDAVc—BDA，pdhd＝VP—ABcVD—ABc，VP—BcD＋VP—cDA＋VP—BDA＋VP—ABc＝VA—BcD，∴paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝VP—BcD＋VP—cDA＋VP—BDA＋VP—ABcVA—BcD＝1.变式迁移2 在三棱锥A—BcD中，若AB、Ac、AD两两互相垂直，且AB＝a，Ac＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径R＝a2＋b2＋c22例3 解题导引在演绎推理中，只有前提和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系．证明因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提在△ABD中，AD⊥Bc，即∠ADB＝90°，——小前提所以△ADB是直角三角形．——结论因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提而m是Rt△ADB斜边AB的中点，Dm是斜边上的中线，——小前提所以Dm＝12AB.——结论同理Em＝12AB，所以Dm＝Em.变式迁移3 解证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定．课后练习区．B [由图得A表示|，B表示□，c表示—，D表示○，故图表示B*D和A*c.]2．A [计算f2＝f1＋x1－x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x ＝－1x，f3＝f－1x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，f4＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5＝f1＝1＋x1－x，归纳得f4k＋i＝fi，k∈N*，i＝1,2,3,4.∴fXX＝f2＝－1x.]3．B [只有①、②对，其余错误，故选B.]4．c [设图中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝nn＋12.而图中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1225满足a49＝49×502＝b35＝352＝1225.]5．D [观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依次类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由nn ＋12＝60⇒n＝120，n∈Z，n＝10时，nn＋12＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是，，，，，∴第60个数对是．]6．空间正四面体的内切球的半径是高的14解析利用体积分割可证明．7．n8．n＋＋…＋＝2解析∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n个等式为n＋＋…＋＝2.9．解当n＝1时，S1＝a1＝－23.当n＝2时，1S2＝－2－S1＝－43，∴S2＝－34.当n＝3时，1S3＝－2－S2＝－54，∴S3＝－45.当n＝4时，1S4＝－2－S3＝－65，∴S4＝－56.猜想：Sn＝－n＋1n＋2．0．证明函数f的定义域为R，任取一点，它关于点12，－12对称的点的坐标为．由已知得y＝－aax＋a，则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a，f＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a＝－a•axa＋a•ax＝－axax＋a，∴－1－y ＝f．即函数y＝f的图象关于点12，－12对称．解由有－1－f＝f，即f＋f＝－1.∴f＋f＝－1，f＋f＝－1，f＋f＝－1，则f＋f＋f＋f＋f＋f＝－3.1．解类似的结论为：Vo—P1Q1R1Vo—P2Q2R2＝oP1oP2•oQ1oQ2•oR1oR2.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2m2⊥平面P2oQ2于m2，连接om2.过R1在平面oR2m2作R1m1∥R2m2交om2于m1，则R1m1⊥平面P2oQ2.由Vo—P1Q1R1＝13S△P1oQ1•R1m1＝13•12oP1•oQ1•sin∠P1oQ1•R1m1＝16oP1•oQ1•R1m1•sin∠P1oQ1，同理，Vo—P2Q2R2＝16oP2•oQ2•R2m2•sin∠P2oQ2.所以＝oP1•oQ1•R1m1oP2•oQ2•R2m2.由平面几何知识可得R1m1R2m2＝oR1oR2.所以＝oP1•oQ1•oR1oP2•oQ2•oR2.所以结论正确．。
智慧测评新高考人教A版理科数学一轮总复习课时训练11.3合情推理与演绎推理(含答案详析)
第十一篇第 3 节一、选择题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是()A．① B ．②C．③D．①和②分析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．应选 B.答案： B2．(2014 河南焦作二模 )给出下边类比推理命题 (此中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集 )：①“若 a， b∈R，则 a－ b＝ 0? a＝ b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－ b＝0? a＝ b”；②“若a，b， c， d∈R，则复数 a＋ bi＝ c＋ di? a＝ c， b＝d”类比推出“若 a， b， c，d∈Q，则a＋b 2＝c＋d 2? a＝c，b＝d”；③若“ a，b∈R，则 a－ b＞ 0? a＞ b”类比推出“若a，b∈C，则 a－ b＞ 0? a＞ b”．其中类比结论正确的个数是 ()A． 0 B ．1C． 2D． 3分析：①②正确，③错误，由于两个复数假如不是实数，不可以比较大小．应选 C.答案： C3．(2014 上海闸北二模 )平面内有 n 条直线，最多可将平面分红f(n)个地区，则 f(n)的表达式为 ()A． n＋ 1 B ．2nC．n2＋ n＋ 2D． n2＋ n＋ 1 2分析： 1 条直线将平面分红1＋ 1 个地区； 2 条直线最多可将平面分红1＋ (1＋ 2)＝ 4 个地区； 3条直线最多可将平面分红1＋ (1＋ 2＋ 3)＝ 7 个地区；；n条直线最多可将平面分红 1＋ (1＋2＋ 3＋＋ n)＝ 1＋n n＋ 1n2＋ n＋ 22＝2个地区，选 C.答案： C4．定义A* B，B*C，C*D ，D *A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4) ，那么如图中(a)，(b)所对应的运算结果可能是()A ． B*D ，A* DB ．B*D ， A*CC ．B*C ，A*DD ．C*D ，A*D分析： 察看图形及对应运算剖析可知，基本元素为 A → |， B →□ ， C → — ，D → ，进而可知图 (a)对应 B* D ，图 (b)对应 A* C.应选 B.答案： B5．已知“整数对”按以下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2) ，(3,1)，(1,4)， (2,3) ，(3,2)， (4,1) ， ，则第60 个数对是 () A ． (7,5) B ．(5,7) C ． (2,10)D ． (10,1)分析： 依题意，由和相同的整数对分为一组不难得悉，第 n 组整数对的和为 n ＋1，且有 n 个整数对．n n ＋ 1这样前 n 组一共有个整数对．210 10＋ 11111＋ 1 注意到 2 <60<2 .所以第 60 个整数对处于第 11 组的第 5 个地点，可得为 (5,7)．应选 B.答案： B1≥21 16．关于 a 、b ∈ (0，＋∞ )，a ＋ b ≥ 2 ab(大前提 )，x ＋ x x ·≥ 2(结x (小前提 )，所以 x ＋ x论 )．以上推理过程中的错误为()A ．小前提B ．大前提C ．结论D ．无错误1 1分析： 大前提是 a ， b ∈(0，＋ ∞ )， a ＋ b ≥ 2 ab ，要求 a 、b 都是正数； x ＋ ≥ 2x ·是xx小前提，没写出x 的取值范围，所以此题中的小前提有错误．应选A.答案： A二、填空题7． (2014 山东实验中学一模 )以下是对命题“若两个正实数a 1， a 2 知足 a 12＋ a 22＝ 1，则a 1＋ a 2≤ 2”的证明过程：证明：结构函数 f(x)＝ (x－ a1)2＋ ( x－a2)2＝ 2x2－ 2(a1＋ a2)x＋ 1，由于对一确实数x，恒有f(x)≥ 0，所以Δ≤ 0，进而得 4(a1＋ a2)2－ 8≤ 0，所以 a1＋ a2≤ 2.依据上述证明方法，若n 个正实数知足a12＋ a 22＋＋ a n2＝ 1 时，你能获得的结论为________ ．(不用证明 )分析：由题意可结构函数12＋ (x－ a22＋＋ (x－ an2f(x)＝( x－ a )))＝nx2－ 2(a1＋ a2＋＋ a n)x＋ 1，因对一确实数 x，恒有 f(x)≥ 0，所以＝ 4(a1＋a2＋＋ a n2－ 4n≤ 0，)即 a1＋ a2＋＋ a n≤ n.答案： a1＋ a2＋＋ a n≤ n8．(2014 山东莱芜模拟)简单计算 2×5＝ 10,22× 55 ＝ 1210,222× 555＝123210,2222× 5555＝ 12343210.依据此规律猜想22 22 × 55 5 5 所得结果由左向右的第八9位9位位至第十位的三个数字挨次为________．分析：由 2× 5,22× 55,222× 555 的结果可知22 22×55 55的结果共18 位，个位为9位9位0，其余数位从左向右为连续的自然数且左右对称，即 22 22×55 55＝9位9位，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字挨次为898.答案： 8989． (2014 江西师大附中模拟)若数轴上不一样的两点A， B 分别与实数 x1， x2对应，则线段 AB 的中点 M 与实数x1＋ x2对应，由此结论类比到平面得，若平面上不共线的三点A， B，2C分别与二元实数对 (x1， y1)，( x2， y2)， (x3， y3 )对应，则△ ABC 的重心 G 与________对应．分析：由类比推理得，若平面上不共线的三点A，B，C 分别与二元实数对(x1，y1)，(x2，x1＋ x2＋ x3，y1＋ y2＋ y3对应．y2)， (x3， y3)对应，则△ ABC 的重心 G 与331＋x2 ＋x3，1 ＋y2 ＋y3答案：x y3310．察看以下几个三角恒等式①tan 10 °tan 20 ＋° tan 20 °tan 60 ＋° tan 60 °tan 10 °＝1；② tan 5 tan° 100 °＋ tan 100 °tan(－15°)＋tan(－ 15°)tan 5 ＝°1；③tan 13 °tan 35 ＋° tan 35 °tan 42 ＋° tan 42 °tan 13 °＝1.一般地，若tan α， tan β，tan γ都存心义，你从这三个恒等式中猜想获得的一个结论为________________________________________________________________________ ．分析：所给三角恒等式都为tan αtan β＋ tan βtanγ＋ tan γtan α＝ 1的结构形式，且α、β、γ之间知足α＋β＋γ＝90°，所以可猜想当α＋β＋γ＝90°时，tan αtanβ＋ tan βtan γ＋ tan γtan α＝ 1.答案：当α＋β＋γ＝ 90°时， tan αtan β＋ tan βtan γ＋tan γtan α＝ 1三、解答题11．在锐角三角形ABC 中，求证： sin A＋ sin B＋ sin C>cos A＋ cos B＋ cos C.证明：∵△ABC 为锐角三角形，π∴A＋ B>2，π∴A> － B，2π∵y＝ sin x 在 0，2上是增函数，π∴sin A>sin 2－ B ＝ cos B，同理可得 sin B>cos C， sin C>cos A，∴sin A＋ sin B＋ sin C>cos A＋ cos B＋ cos C.12．某少量民族的刺绣有着悠长的历史，如图 (1)、(2) 、(3) 、(4) 为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形组成，小正方形数越多刺绣越美丽．现按相同的规律刺绣( 小正方形的摆放规律相同 )，设第 n 个图形包括 f(n)个小正方形．(1)求出 f(5) 的值；(2)利用合情推理的“概括推理思想”，概括出 f(n＋ 1)与 f(n)之间的关系式，并依据你获得的关系式求出 f(n)的表达式；1 ＋1＋1＋＋1的值．(3)求f 1 f 2 － 1 f 3 － 1 f n － 1解： (1)f(5) ＝41.(2)由于 f(2) －f(1)＝ 4＝ 4× 1，f(3) －f(2)＝ 8＝ 4× 2，f(4) －f(3)＝ 12＝4× 3，f(5) －f(4)＝ 16＝4× 4，由上式规律，得出f( n＋ 1)－ f(n)＝ 4n.由于 f(n＋ 1)－ f(n)＝ 4n，所以 f(n)＝ f(1) ＋4(n－ 1)＋ 4(n－ 2)＋ 4(n－3)＋＋4＝2n2－2n＋1(n≥ 2)，又 n＝1 知足上式，所以 f(n)＝ 2n2－ 2n＋ 1.(3)当 n≥ 2 时，1111－1＝＝2n－ 1n，f n －12n n－ 1∴ 1＋1＋1＋＋1f 1 f 2 － 1 f 3 － 1 f n － 1＝ 1＋11－11111112＋2－3＋3－4＋＋－n 2n－ 11 1 3 1＝1＋2 1－n＝2－2n.。
高三数学合情推理与演绎推理试题
高三数学合情推理与演绎推理试题1.（已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则.【答案】【解析】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.【考点】推理与证明.2.观察分析下表中的数据：面数（）顶点数（)棱数（)5 6 9猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】①三棱锥：,得；②五棱锥：,得；③立方体：,得；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：，故答案为【考点】归纳推理.3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出，“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”，类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比正确的为()A．①②B．①④C．①②③D．②③④【答案】A【解析】对于③，“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”是错误的，如a＝2＋i，b＝1＋i，则a－b＝1>0，但2＋i>1＋i不正确；对于④，“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”是错误的，如y＝＋i，|y|＝<1，但－1<＋i<1是不成立的．故选A.4. 1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为 .【答案】6174【解析】把5 298代入计算，用5 298的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9852．则9852-2589=7263，用7263的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7632．则7632-2367=5265，用5265的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6552．则6552-2556=3996，用3996的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9963．则9963-3699=6264，用6264的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6642．则6642-2466=4176，用4176的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174，用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．同样地，把4 852代入计算，可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．故答案为：7，6174【考点】合情推理.5.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为．【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比6.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比7.有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是().A．26B．31C．32D．36【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表:由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B．8.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75的末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011的与73对应，其末两位数字43；故选B．9.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理10.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）【答案】【解析】等式规律为：项数为所以【考点】数列归纳11.将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【答案】二；【解析】由题意，不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第二张卡片上，因为，故只能写在第三张卡片上；不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上；不能写在第二张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第一张卡片上；剩余只能放到第二，三张卡片上，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上，剩余只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【考点】逻辑推理．12.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).【答案】(1)3,1,6(2)79【解析】(1)四边形DEFG可看作由3个边长为1的正方形构成,故S=3,内部有一个格点,N=1,边界上有6个格点,即L=6.(2)取题图中的三角形ABC,四边形DEFG,再取一个边长为2的格点正方形,可得解得当N=71,L=18时,S=71+×18-1=79.13.已知=2,=3,=4,…,若=7,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a、t的值,a+t=.【答案】55【解析】类比所给等式可知a=7,且7t+a=72·a,即7t+7=73,∴t=48.∴a+t=55.14.如图，三角形数阵满足：（1)第n行首尾两数均为n;（2）表中的递推关系类似杨辉三角4则第n行（n≥2)第2个数是＿＿＿＿．【答案】【解析】因为由三角形数阵知，第三行的第二个数可以表示为；第四行的第二个数可表示为；第五行的第二个数可表示为.….由此可合情推理，根据图形第n行的第二个数为.故填.【考点】1.合情推理的思想.2.关键是找到规律.15.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为()A．f(x)=B．f(x)=C．f(x)=D．f(x)=【答案】B【解析】∵f(1)=1,∴f(2)==,f(3)===,f(4)==,…,由此可猜想f(x)=.16.推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是() A．①B．②C．③D．以上均错【答案】B【解析】①是大前提,③是结论,②是小前提.17.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故fn(x)=.【答案】【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.18.已知P(x0,y)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为.【答案】2x-y-=0【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,∴y'===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.19.设等差数列{an }的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn }的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.【答案】【解析】根据等比数列的性质知,b1·b2·b3·b4,b5·b6·b7·b8,b9·b10·b11·b12,b13·b14·b15·b16成等比数列,∴T4,,,成等比数列.20.已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式________________________________________.【答案】【解析】．【考点】归纳推理．21.已知，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有．（填上所有错误步骤的序号）【答案】③【解析】，在不等式的两边同时乘以，不等号方向发生变化，即，则有.【考点】不等式的性质、演绎推理22.（文科）给出下列等式：，，，……请从中归纳出第个等式：．【答案】；【解析】根据，，，易得第个等式：【考点】本题考查了归纳推理的运用点评：熟练运用归纳推理观察式子特点是解决此类问题的关键，属基础题23.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz中，经过点A(1,2,3)且法向量为＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________ ．（化简后用关于x，y，z的一般式方程表示）【答案】x＋2y－z－2＝0【解析】根据法向量的定义，若为平面α的法向量，则⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥，∵=（1-x，2-y，3-z），=(-1，-2，1)，∴（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0，即x+2y-z-2=0，故答案为x+2y-z-2=0。
高考数学 试题汇编 第二节 合情推理与演绎推理 理(含解析)
高考数学试题汇编第二节合情推理与演绎推理理（含解析）合情推理考向聚焦由已知条件归纳出一个结论或运用类比的形式给出某个问题的结论,是高考对合情推理的常规考法,从题型上看,以选择题、填空题为主,所占分值4~5分,属中低档题备考指津合情推理(归纳推理和类比推理)是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想.归纳推理时要做到归纳到位、准确;类比推理时,要从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑1.(2012年江西卷,理6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b 2=3,a 3+b3=4,a 4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )(A)28 (B)76 (C)123 (D)199解析:本题考查递推数列知识以及归纳推理的思想方法.记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123,即a10+b10=123.故选C.答案:C.涉及递推数列的某一项或通项的问题(尤其是小题)常常可借助归纳推理加以解决.2.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )(A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125解析:∵55=3125,56=15625,57=78125,58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现,∴52011=54×501+7末四位数字为8125.答案:D.3.(2012年陕西卷,理11,5分)观察下列不等式1+<,1++<,1+++<,……照此规律,第五个不等式为.解析:不完全归纳:第一个:1+<,第二个:1++<,第三个:1+++<,…归纳猜想:第n个:1+++…+<,故n=5时,1+++…+<.答案:1+++++<4.(2012年湖北卷,理13,5分)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则(1)4位回文数有个;(2)2n+1(n∈N+)位回文数有个.解析:已知1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有1001,1111,…,1991,2002,…,9999,共90个,以此类推,猜想2n+1位回文数与2(n+1)位回文数个数相等,均为9×10n个.答案:(1)90 (2)9×10n5.(2011年陕西卷,理13)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律,第n个等式为.解析:照等式规律,第n行的首位数字为n且有2n-1个相邻正整数相加∴n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2答案:n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)26.(2011年山东卷,理15)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))= .解析:观察分母的x的系数数列:1,3,7,15,…,a n,…而分母的常数项数列:2,4,8,16,…,b n,…∴b n=2n,a n=2n-1,∴当n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=答案:7.(2010年陕西卷,理12)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为.解析:观察已知等式13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,归纳可得,13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212,故应填13+23+33+43+53+63=212.答案:13+23+33+43+53+63=2128.(2010年浙江卷,理14)设n≥2,n∈N,(2x+)n-(3x+)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,将|a k|(0≤k ≤n)的最小值记为T n,则T2=0,T3=-,T4=0,T5=-,…,T n,…其中T n= .解析:由归纳推理得T n=.答案:此类题目要对所给的已知等式进行观察,分析其结构特征,再进行比较和联想,发现规律,归纳得出结论.演绎推理考向聚焦演绎推理也是高考重点考查的内容,渗透于各种题型的各个问题中,主要以综合题的形式考查演绎推理的基本步骤与严谨性,有时也会出现高难度题,12~14分备考指津在数学研究中,合情推理获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,它只能帮助我们猜想和发现结论,由已知条件归纳或类比出的结论,需要再运用演绎推理进行证明.也就是说,合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.在前提和推理形式都正确的情况下,利用演绎推理证明所得结论是正确的9.(2011年浙江卷,理20)如图,在三棱锥P ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A MC B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.(1)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC.又PO⊥平面ABC,所以PO⊥BC.因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA.(2)解:存在.如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连接CM,PD.由(1)知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.又AP⊂平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=(AO+OD)2+(BC)2=41,得AB=.在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+DB2=36,得PB=6.在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.又cos∠BPA==,从而PM=PB·cos∠BPA=2,所以AM=PA-PM=3.综上所述,存在点M符合题意,AM=3.演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理,在应用三段论来求解问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只有前提和推理形式是正确的,结论才是正确的.。
高考数学理科一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案
合用精选文件资料分享高考数学（理科）一复合情推理与演推理教课方案附答案教课方案 37 合情推理与演推理学目： 1. 认识合情推理的含，能利用和比等行的推理，认识合情推理在数学中的作用.2. 认识演推理的重要性，掌握演推理的基本模式，并能运用它行一些推理.3.认识合情推理和演推理之的系和差异．自主梳理自我1．(2010?山 ) 察 (x2) ′＝ 2x，(x4) ′＝ 4x3，(cos x) ′＝－ sin x，由推理可得：若定在 R上的函数 f(x)足 f( －x) ＝f(x) ，g(x) f(x)的函数， g( －x) 等于() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－ g(x) 2．(2010?珠海 ) 出下边比推理命 ( 此中 Q有理数集， R数集， C复数集 ) ：①“若 a，b∈R， a－b＝0? a ＝b” 比推出“若 a，b∈C， a－b＝0? a＝b”；②“若 a，b，c，d∈R，复数 a＋bi ＝c＋di ? a＝ c，b＝d” 比推出“若 a，b，c，d∈Q， a＋b2＝c＋d2? a＝c，b＝d”；③“若 a，b∈R， a－ b>0? a>b” 比推出“若 a，b∈C， a－b>0? a>b”．此中比正确的个数是 () A ．0 B．1 C．2 D．3 3 ．(2009?江 ) 在平面上，若两个正三角形的比 1∶2，它的面比 1∶4，似地，在空中，若两个正四周体的棱比 1∶2，它的体比 ________． 4 ．(2010?西) 察以低等式： 13＋23＝32,13 ＋23＋33＝62,13 ＋23＋33＋43＝102，⋯，依据上述律，第五个等式． 5 ．(2011?州月考 ) 全部奇数都不可以被 2 整除， 2100＋1 是奇数，所以 2100＋1 不可以被 2 整除，其演推理的“三段”的形式．研究点一推理例 1 在数列 {an} 中，a1＝ 1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想个数列的通公式，个猜想正确？明理由．式迁徙 1察：① sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin26 °＋ cos236°＋ sin 6 °cos 36 °＝ 34. 由上边两的构律，你能否提出一个猜想？并明你的猜想．研究点二比推理例 2 (2011?川月考 ) 在平面内，可以用面法明下边的：从三角形内部任意一点，向各引垂，其长度分别为 pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有 paha＋pbhb＋pchc＝1. 请你运用类比的方法将此结论推行到四周体中并证明你的结论．变式迁徙 2 在 Rt△ABC中，若∠ C＝90°， AC＝b，BC＝a，则△ ABC的外接圆半径 r ＝a2＋b22，将此结论类比到空间有．研究点三演绎推理例3在锐角三角形ABC中， AD⊥BC，BE⊥AC，D、E 是垂足．求证： AB的中点 M到 D、E的距离相等．变式迁徙 3指出对结论“已知 2 和 3 是无理数，证明2＋3 是无理数”的下述证明能否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而 2 与 3 都是无理数，∴ 2＋ 3 也是无理数． 1 ．合情推理是指“符合情理”的推理，数学研究中，获取一个新结论以前，合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论以前，合情推理常常能为我们供给证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从详尽问题出发? D→观察、解析、比较、联想? D→概括、类比 ? D→提出猜想 . 一般来说，由合情推理所获取的结论，但是是一种猜想，其靠谱性还需进一步证明． 2 ．概括推理与类比推理都属合情推理：(1) 概括推理：由某类事物的部分对象拥有某些特色，推出该类事物的全部对象都拥有这些特色的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为概括推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象拥有某些近似特色和此中一类对象的某些已知特色，推出另一类对象也拥有这些特色的推理称为类比推理，它是一种由特别到特其余推理． 3 ．从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，把这类推理称为演绎推理，也就是由一般到特其余推理，三段论是演绎推理的一般模式，包含大前提，小前提，结论． ( 满分： 75 分)一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分) 1 ．(2011?福建厦门华侨中学模拟) 定义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应以以下图中的 (1) 、(2) 、(3) 、(4) ，那么以以下图中的 (A) 、(B) 所对应的运算结果可能是() A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 2．(2011?厦门模拟 )设 f(x) ＝1＋x1－x，又记 f1(x) ＝f(x) ，fk ＋1(x) ＝f(fk(x)) ，k＝1,2 ，⋯， f2 010(x)等于() A ．－ 1x B ．x C.x －1x＋＋x1－x 3．由代数式的乘法法比推向量的数目的运算法：①“ mn＝nm” 比获取“ a?b＝b?a”；②“ (m＋n)t ＝mt＋nt ” 比获取“ (a ＋b)?c ＝a?c＋b?c”；③“ (m?n)t＝m(n?t)” 比获取“(a?b)?c ＝a?(b?c) ”；④“ t ≠0，mt＝xt ? m＝x” 比获取“ p≠0，a?p＝x?p? a＝x”；⑤“ |m?n|＝|m|?|n|” 比获取“ |a?b|＝|a|?|b|”；⑥“ acbc＝ab” 比获取“ a?cb?c＝ab”．以上的式子中，比获取的正确的个数是() A ．1 B．2 C．3 D．4 4．(2009?湖北 ) 古希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数，比方：他研究 (1) 中的 1,3,6,10 ，⋯，因为些数能表示成三角形，将其称三角形数；似的，称 (2) 中的 1,4,9,16 ，⋯的数正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是() A．289 B．1 024 C ．1 225 D ．1 378 5 ．已知整数的数如下： (1,1)，(1,2) ，(2,1) ，(1,3) ，(2,2) ，(3,1) ，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1) ，(1,5) ，(2,4) ，⋯第 60 个数是 ()A．(3,8) B．(4,7)C．(4,8) D．(5,7) 二、填空 ( 每小 4 分，共 12分) 6．已知正三角形内切的半径是高的 13，把个推行到空正四周体，似的是___________________________________________________________ _____________． 7 ．(2011?广深圳高中学模) 定一种运算“* ”：于自然数 n 足以下运算性： 8 ．(2011?西) 察以低等式 1 ＝1 2 ＋3＋4＝9 3 ＋4＋5＋6＋7＝25 4 ＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ⋯照此律，第n 个等式．三、解答 ( 共 38 分) 9 ．（12 分）已知数列 {an} 的前 n 和 Sn，a1＝－23，且 Sn＋1Sn＋1＋2＝0(n ≥2) ．算 S1，S2，S3，S4，并猜想Sn 的表达式．10．(12 分)(2011? 杭州研 ) 已知函数 f(x) ＝－ aax＋a (a>0 且 a≠1) ，(1)明：函数 y＝f(x) 的象关于点 12，－12 称； (2) 求 f( －2)＋f( －1) ＋f(0) ＋f(1) ＋f(2) ＋f(3) 的． 11 ．(14 分) 如 1，若射 OM，ON上分存在点 M1，M2与点 N1，N2，＝OM1OM2?ON1ON2；如2，若不在同一平面内的射 OP，OQ和 OR上分存在点 P1，P2，点 Q1，Q2和点 R1，R2，似的是什么？个正确？明原由．教课方案37合情推理与演推理自主梳理推理全部象部分个比推理些特色特别到特别①一般原理②特别状况③特别状况一般特别自我 1 ．D[ 由所函数及其数知，偶函数的函数奇函数．所以当f(x)是偶函数，其函数奇函数，故 g( －x) ＝－ g(x) ．] 2．C[ ①②正确，③ ．因两个复数假如不全部是数，不可以比大小．] 3．1∶8 解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它的面之比是相似比的平方．同理，两个正四周体是两个相似几何体，体之比相似比的立方，所以它的体比 1∶8. 4 ．13＋23＋ 33＋43＋53＋63＝212 解析由前三个式子可以得出以下律：每个式子等号的左是从 1 开始的正整数的立方和，且个数挨次多 1，等号的右是一个正整数的平方，后一个正整数挨次比前一个大 3,4 ，⋯，所以，第五个等式13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 5．全部奇数都不可以被 2 整除大前提2100 ＋1 是奇数小前提所以 2100＋1 不可以被 2 整除堂活区例 1 解引分完满和不完满，由推理所得的然未必是靠谱的，但它由特别到一般、由详尽到抽象的功能，科学的是十分合用的，察、，有限的料作整理，提出律性的法是科学研究的最基本的方法之一．解在{an} 中， a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23， a3 ＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，⋯，所以猜想 {an} 的通公式 an＝2n＋1. 个猜想是正确的，明以下：因 a1＝1，an＋1＝2an2＋a n，所以 1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即 1an＋1－1an＝12，所以数列 1an 是以 1a1＝1 首， 12 公差的等差数列，所以 1an＝1＋(n －1) ×12＝ 12n＋12，所以通公式 an＝2n＋1. 式迁徙 1解猜想 sin2 α＋cos2( α＋30°) ＋ sin αcos( α＋30°) ＝ 34. 明以下：左＝ sin2 α＋cos( α＋30°)[cos( α＋30°) ＋ sin α] ＝sin2 α＋32cos α －12sin α32cos α＋12sin α＝sin2 α＋34cos2α－14sin2 α＝34＝右侧．例 2 解题导引类比推理是依据两个对象有一部分属性近似，推出这两个对象的其余属性亦近似的一种推理方法，比方我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必然清楚类比其实不是论证，它可以帮助我们发现真谛．类比推理应从详尽问题出发，经过观察、解析、联想进行比较、概括、提出猜想．解类比：从四周体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为 pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为 ha，hb，hc，hd. 则有 paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1. 证明以下：paha＝13S△BCD?pa13S△BCD?ha＝VP―BCDVA―BCD，同理有 pbhb＝VP―CDAVB―CDA， pchc＝VP―BDAVC―BDA， pdhd＝VP―ABCVD―ABC，VP―BCD＋VP―CDA＋VP―BDA＋VP―ABC＝VA―BCD，∴paha＋ pbhb＋pchc＋pdhd ＝VP―BCD＋VP―CDA＋VP―BDA＋VP―ABCVA―BCD＝ 1.变式迁徙 2 在三棱锥 A―BCD中，若 AB、AC、AD两两相互垂直，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径 R＝a2＋b2＋c22 例3解题导引在演绎推理中，只有前提( 大前提、小前提) 和推理形式都是正确的，结论才是正确的，不然所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前说起两者之间的逻辑关系．证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，――大前提在△ ABD 中，AD⊥BC，即∠ ADB＝90°，――小前提所以△ ADB是直角三角形．――结论 (2) 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，――大前提而 M是 Rt△ADB斜边 AB的中点， DM是斜边上的中线，――小前提所以 DM＝12AB.――结论同理 EM＝12AB，所以 DM＝E M. 变式迁徙 3 解证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不用然是无理数，所以原理的真实性仍没法判断．课后练习区1．B[ 由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□， C表示―， D表示○，故图 (A)(B) 表示 B*D 和 A*C.] 2．A [ 计算 f2(x) ＝f1 ＋x1－x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－ 1x， f3(x) ＝f－1x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1， f4(x) ＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5(x) ＝f1(x) ＝1＋x1－x，概括得 f4k ＋i(x) ＝fi(x) ，k∈N*， i ＝1,2,3,4. ∴f2 010(x) ＝ f2(x) ＝－ 1x.] 3 ．B [ 只有①、②对，其余，故 B.] 4 ．C [ (1) 中数列 1,3,6,10 ，⋯的通公式 an， a2 －a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，⋯， an－an－1＝n. 故 an－a1＝2＋3＋4＋⋯＋ n，∴an＝＋而 (2) 中数列的通公式 bn ＝n2，所以所的中只有 1 225 足 a49＝49×502＝ b35＝352＝1 225.] 5．D [ 察可知横坐和坐之和2 的数有 1 个，和3 的数有 2 个，和4 的数有 3 个，和5 的数有 4个，挨次推和 n＋1 的数有 n 个，多个数的排序是依据横坐挨次增大的序来排的，由＋＝60? n(n ＋1) ＝120，n∈Z， n＝10 ，＋＝55 个数，差 5 个数，且 5 个数的横、坐之和 12，它挨次是 (1,11) ，(2,10)，(3,9)，(4,8) ，(5,7) ，∴第 60 个数是 (5,7) ．] 6 ．空正四周体的内切球的半径是高的 14 解析利用体切割可明． 7 ．n 8．n ＋(n ＋1) ＋⋯＋ (3n －2) ＝(2n －1)2解析∵1＝12,2 ＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第 n 个等式 n＋(n ＋1) ＋⋯＋ (3n－2)＝(2n －1)2. 9．解当 n＝1 ，S1＝a1＝－ 23.(2 分) 当 n＝2， 1S2＝－ 2－S1＝－ 43，∴S2＝－ 34.(4 分)当n＝3，1S3＝－2－S2＝－ 54，∴S3＝－ 45.(6 分) 当 n＝4 ， 1S4＝－ 2－S3＝－65，∴S4＝－ 56.(8 分) 猜想：Sn＝－ n＋1n＋2 (n ∈N*) ．(12 分) 10．(1) 明函数f(x)的定域R，任取一点(x，y)，它关于点12，－ 12 称的点的坐 (1 －x，－ 1－y) ．(2 分) 由已知得 y＝－a ax＋a，－ 1－y＝－ 1＋aax＋a＝－ axax＋a，(4 分) f(1 －x)＝－ aa1－x＋a＝－ aaax＋a ＝－ a?axa＋a?ax＝－ axax＋a，∴－ 1－y＝f(1 －x) ．即函数 y＝f(x) 的象关于点 12，－12 称．(6 分)(2) 解由(1) 有－ 1－f(x) ＝f(1 －x) ，即 f(x) ＋f(1 －x) ＝－ 1.(9分) ∴f( － 2) ＋f(3) ＝－ 1，f( －1) ＋f(2) ＝－ 1， f(0)＋f(1)＝－1，f( －2) ＋f( －1) ＋f(0) ＋f(1) ＋f(2) ＋f(3) ＝－ 3. (12 分) 11．解似的： VO―P1Q1R1VO―P2Q2R2＝OP1OP2?OQ1OQ2?OR1OR2(4.分) 个是正确的，明以下：如， R2 作 R2M2⊥平面 P2OQ2于 M2，接 OM2. R1在平面 OR2M2作 R1M1∥R2M2交 OM2于 M1，R1M1⊥平面 P2OQ2. 由 VO―P1Q1R1＝13S△P1OQ1?R1M1＝13?12OP1?OQ1?sin∠P1OQ1?R1M1＝16OP1?OQ1?R1M1?sin∠P1OQ1，(8分) 同理， VO―P2Q2R2＝16OP2?OQ2?R2M2?sin∠P2OQ2. 所以＝OP1?OQ1?R1M1OP2?OQ2?R2M2分.(10)由平面几何知识可得R1M1R2M2＝O R1OR2.(12分) 所以＝OP1?OQ1?OR1OP2?OQ2?OR2所以.结论正确． (14 分)。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
人教A版理科数学课时试题及解析(66)合情推理与演绎推理
课时作业(六十六)[第66讲合情推理与演绎推理][时间：45分钟分值：100分]根底热身1．在等差数列{a n}中,假设a n>0 ,公差d>0 ,那么有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,假设b n>0 ,公比q>1 ,那么b4 ,b5 ,b7 ,b8的一个不等关系是() A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让机器狗以 "前进3步,然后再退2步〞的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点,面向正方向,以1步的距离为1个单位长度移动,令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标,且P(0)＝0 ,那么以下结论中错误的选项是()A．P(2 007)＝403B．P(2 008)＝404C．P(2 009)＝403D．P(2 010)＝4043．命题：假设数列{a n}为等差数列,且a m＝a,a n＝b(m≠n,m、n∈N*) ,那么a m＋n＝bn－amn－m；现等比数列{b n}(b n>0 ,n∈N*) ,b m＝a ,b n＝b(m≠n ,m、n∈N*) ,假设类比上述结论,那么可得到b m＋n＝()A.m－n b ma n B.n－m b na mC.n－mb n a m D.n－mb m a n4．有以下推理：①A ,B为定点,动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB| ,那么P的轨迹为椭圆；②由a1＝1 ,a n＝3n－1 ,求出S1 ,S2 ,S3 ,猜测出数列的前n项和S n的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2 ,猜测出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f0(x)＝sin x,f1(x)＝f0′(x) ,f2(x)＝f1′(x) ,…,f n(x)＝f n－1′(x) ,n∈N,那么f2 013(x)＝()A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行,同旁内角互补,由此假设∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,那么∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班人数超过50人C．由平面正三角形的性质,推测空间四面体的性质D．在数列{a n}中,a1＝1 ,a n＝12⎝⎛⎭⎫a n－1＋1a n－1(n≥2) ,由此归纳出{a n}的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量 ,在平面直角坐标系中 ,利用求动点轨迹方程的方法 ,可以求出过点A (－3,4) ,且法向量为n ＝(1 ,－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0 ,化简得x －2y ＋11＝ ,在空间直角坐标系中 ,经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1 ,－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08． "因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提) ,而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提) ,所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)〞 ,上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规那么排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ,j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数 ,如a 42＝a ij ＝2 009 ,那么i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ．105B ．106C ．107D ．108 10．对于命题：假设O 是线段AB 上一点 ,那么有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：假设O 是△ABC 内一点 ,那么有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点 ,那么有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2 ,周长C (r )＝2πr ,假设将r 看做(0 ,＋∞)上的变量 ,那么(πr 2)′＝2πr ① ,①式可以用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球 ,假设将R 看做(0 ,＋∞)上的变量 ,请你写出类似于①的式子：________________② ,②式可以用语言表达为：________________.12． 在计算 "11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)〞时 ,某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1,由此得11×2＝11－12 ,12×3＝12－13 ,… ,1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ,相加 ,得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.类比上述方法 ,请你计算 "11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)〞 ,其结果为________．13．如图K66－1 ,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分 ,以中间一段为边向形外作正三角形 ,并擦去中间一段 ,得图(2) ,如此继续下去 ,得图(3)……试用n表示出第n个图形的边数a n＝________.14．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最|杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图K66－2为一组蜂巢的截面图．其中第|一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4) ,f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f(1)＋1f(2)＋1f(3)＋…＋1f(n)<43.图K66－215．(13分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图K66－3为她们刺绣最|简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的 "归纳推理思想〞,归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f(1)＋1f(2)－1＋1f(3)－1＋…＋1f(n)－1的值．图 3难点突破16．(12分)规定C m x＝x·(x－1)·…·(x－m＋1)m !,其中x∈R ,m是正整数,且Cx＝1 ,这是组合数C m n(m ,n是正整数,且m≤n的一种推广)．(1)求C5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n＝C n－mn .②C m n＋C m－1n＝C m n＋1.是否都能推广到C m x(x∈R,m是正整然)的情形?假设能推广,请写出推广的形式,并给出证明；假设不能,那么说明理由．(3)组合数C m n是正整数,证明：当x∈Z ,m是正整数时,C m x∈Z.课时作业(六十六)【根底热身】 1．A [解析] 在等差数列{a n }中 ,由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7 ,所以在等比数列{b n }中 ,由于4＋8＝5＋7 ,所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3 ,b 5＝b 1q 4 ,b 7＝b 1q 6 ,b 8＝b 1q 7∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6) ＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1) ＝b 1q 3(q 3－1)(q －1)．∵q >1 ,b n >0 ,∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.应选A. 2．D [解析] 显然每5秒前进一个单位 ,且P (1)＝1 ,P (2)＝2 ,P (3)＝3 ,P (4)＝2 ,P (5)＝1 , ∴P (2 007)＝P (5×401＋2)＝401＋2＝403 ,P (2 008)＝404 ,P (2 009)＝403 ,P (2 010)＝402 ,应选D. 3．B [解析] 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ,等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b na m ,等差数列中的bn －am n －m 可以类比等比数列中的n －mb n a m .故b m ＋n ＝n －m b na m.4．①③④ [解析] ①为演绎推理 ,②为归纳推理 ,③④为类比推理． 【能力提升】5．C [解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x , f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x , f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x , f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x , f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x ) , f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x ) , f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x ) ,故可猜测f n (x )以4为周期 ,有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ,f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x , f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ,f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x , 所以f 2 013(x )＝f 503×4＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ,应选C.6．A [解析] 两条直线平行 ,同旁内角互补 - -大前提 ,∠A ,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角 - -小前提 , ∠A ＋∠B ＝180° - -结论．故A 是演绎推理 ,而B 、D 是归纳推理 ,C 是类比推理．应选A.7．A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0即x ＋2y －z －2＝0.8．A [解析] y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的 ,从而导致结论错．9．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列 ,偶数行为偶数列 ,2 009＝2×1005－1 ,所以2 009为第1 005个奇数 ,又前31个奇数行内数的个数的和为961 ,前32个奇数行内数的个数的和为1 024 ,故2 009在第32个奇数行内 ,所以i ＝63 ,因为第63行的第|一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1923＋2(m －1) ,所以m ＝44 ,即j ＝44 ,所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积 ,类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的外表积函数 12.n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2) [解析] ∵1k (k ＋1)(k ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1k (k ＋1)－1(k ＋1)(k ＋2) ,依次裂项 ,求和得n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2).13．3×4n －1 [解析] a 1＝3 ,a 2＝12 ,a 3＝48 ,可知a n ＝3×4n －1. 14．[解答] (1)f (4)＝37 ,f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6 ,f (3)－f (2)＝19－7＝2×6 ,f (4)－f (3)＝37－19＝3×6 ,f (5)－f (4)＝61－37＝4×6 ,…因此 ,当n ≥2时 ,有f (n )－f (n －1)＝6(n －1) ,所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1 ,所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时 ,1f (k )＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 15．[解答] (1)f (5)＝41.(2)由题图可得f (2)－f (1)＝4＝4×1 , f (3)－f (2)＝8＝4×2 , f (4)－f (3)＝12＝4×3 , f (5)－f (4)＝16＝4×4.由上式规律 ,可得f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ,所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n , 所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) …＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时 , 1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1 ＝11＋12×22－2×2＋1－1＋12×32－2×3＋1－1＋…＋12n 2－2n ＋1－1 ＝11＋12×2×(2－1)＋12×3×(3－1)＋…＋12n (n －1)＝11＋12×⎣⎡⎦⎤12×1＋13×2＋…＋1n (n －1) ＝1＋12×⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.【难点突破】16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C 5－15＝(－15)(－16)(－17)(－18)(－19)5 !＝－11 628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝ 2 ,m ＝1时 ,C 12有意义 ,但C 2－12无意义．性质②能推广 ,且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C mx ＋1(x ∈R ,m 是正整数)．证明如下：C m x ＋C m －1x＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)m !＋x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)(m －1) !＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)m !·(x ＋1)＝1m !·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1. (3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证． 当x ≥m 时 ,x ,m 都是正整数 ,C m n 就是组合数 ,结论显然成立；当0≤x <m 时 ,C m x ＝x (x －1)(x －2)…0…(x －m ＋1)m !＝0∈Z ,结论也成立； 当x <0时 ,C m x ＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)m !＝(－1)m 1m !(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m －x ＋m －1 ∵－x ＋m －1>0 ,∴C m－x ＋m －1是正整数 ,故C m x ＝(－1)m C m－x ＋m －1∈Z .综上所述 ,当x ∈Z ,m 是正整数时 ,C m x ∈Z .。
归纳与技巧：合情推理与演绎推理(含解析)
归纳与技巧：合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：基础题必做1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8 5． 观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.[自主解答]依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(x＞0)．[答案]x(2n－1)x＋2n(x＞0)解题方法归纳1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1． 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.类 比 推 理典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解题方法归纳1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1演 绎 推 理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3． 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4． 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6． 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7． 设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋228 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29． 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.1． 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03． 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1． 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.2． 已知如下等式：3－4＝17(32－42)， 32－3×4＋42＝17(33＋43)， 33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)， 34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)， 则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)． 解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(66)合情推理与演绎推理
作 (六十六 ) [第 66 合情推理与演 推理 ][ ： 45 分 分 ： 100 分 ]基 身1． 在等差数列 { a n } 中，若 a n >0，公差 d>0， 有 a 4·a 6>a 3·a 7， 比上述性 ，在等比数列 { b n } 中，若 b n >0 ，公比 q>1， b 4 ，b 5， b 7， b 8 的一个不等关系是 ( )A ． b 4＋ b 8>b 5＋ b 7B ．b 4＋ b 8<b 5＋ b 7C ．b 4＋ b 7>b 5＋ b 8D ． b 4＋ b 7<b 5＋ b 82． 定一机器狗每秒 只好前 或退后一步，程序 机器狗以“前3 步， 而后再退 2 步”的 律移 ． 假如将此机器狗放在数 原点， 面向正方向， 以 1 步的距离1 个 位 度移 ，令 P(n)表示第 n 秒 机器狗所在的地点坐 ，且P(0) ＝0， 以下中 的是 ()A ． P(2 007) ＝ 403B ．P(2 008) ＝ 404C ．P(2 009) ＝ 403D ． P(2 010) ＝ 404a m ＝ a ，a n ＝ b(m ≠ n ， m 、 n ∈ N * )， a m ＋ n 3． 已知命 ：若数列 { a n } 等差数列，且＝ bn － am ； 已知等比数列 { b n }( b n >0， n ∈ N * ) ， b m ＝ a ， b n ＝ b(m ≠ n ， m 、 n ∈ N * )，若 比n－ m上述 ， 可获得 b m ＋ n ＝ ( )A.m － n b mn － m b nnB.maaC. n － m b n a mD. n － m b m a n4．有以下推理： ① A ， B 定点， 点 P 足 |PA|＋ |PB|＝ 2a>|AB|， P 的 迹 ；②由 a 1＝1， a n ＝ 3n － 1，求出 S 1，S 2 ，S 3，猜想出数列的前 n 和 S n 的表达式；2 22 2x 2 y 2 ③由 x ＋y ＝ r 的面 S ＝ πr ，猜想出a 2＋ b 2＝ 1 的面 S ＝ πab ；④科学家利用 的沉浮原理制造潜艇． 以上推理不是 推理的序是________．(把全部你 正确的序都填上 ) 能力提高5． f 0(x)＝ sinx ， f 1 (x)＝ f 0 ′(x)，f 2(x)＝ f 1′ (x)，⋯， f n (x)＝ f n － 1′ (x)， n ∈N ， f 2 013(x)＝( )A ． sinxB ．－ sinxC ．cosxD ．－ cosx6．下边几种推理 程是演 推理的是()A ．两条直 平行，同旁内角互 ，由此若∠A ，∠B 是两条平行直 被第三条直 所截得的同旁内角， ∠A ＋∠B ＝ 180°B ．某校高三 (1)班有 55 人，高三 (2)班有 54 人，高三 (3)班有 52 人，由此得出高三全部班人数超 50 人C ．由平面正三角形的性 ，推 空 四周体的性D ．在数列 { a } 中， a＝ 1， a ＝ 1 a n－1＋1(n ≥ 2)，由此 出 { a } 的通 公式n1 nn7．我 把平面内与直 垂直的非零向量称 直 的法向量，在平面直角坐 系中，利用求 点 迹方程的方法， 能够求出 点 A(－ 3,4)，且法向量 n ＝ (1，－ 2)的直 (点法式 ) 方程 ： 1× (x ＋ 3)＋ (－ 2)× (y － 4)＝ 0，化 得 x － 2y ＋ 11＝ 0. 比以上方法，在空 直角坐 系中， 点 A(1,2,3) 且法向量 n ＝ (－ 1，－ 2,1)的平面的方程 ( )A ． x ＋ 2y － z －2＝ 0B ． x － 2y － z －2＝ 0C ．x ＋ 2y ＋ z － 2＝ 0D ． x ＋ 2y ＋ z ＋2＝ 018．“因 指数函数x是增函数 (大前提 )，而 y ＝ x是指数函数 (小前提 )，所以 y ＝y ＝ a3 1x是增函数 ()”，上边推理的 是 () 3A ．大前提 致B ．小前提 致C ．推理形式 致D ．大前提和小前提 都 致a ij (i ，j ∈N * )是位于 个三 9．把正整数按必定的 排成了以下所示的三角形数表．角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第j 个数，如 a 42＝ 8.若 a ij ＝ 2 009， i 与 j 的和 ()12 43 5 76 8 10 12 9 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ． 105B ． 106C ． 107 10． 于命 ：若 O 是 段 AB 上一点， 有将它 比到平面的情况是：D ． 108→ → → →|OB| ·OA ＋|OA| ·OB ＝ 0.若 O 是△ ABC 内一点， 有 → → →S △OBC ·OA ＋ S △ OCA ·OB ＋ S △ OAB ·OC ＝ 0. 将它 比到空 的情况 是：若 O 是四周体 ABCD 内一点， 有 ________．11．半径r 的 的面 S(r )＝ πr 2，周 C(r)＝ 2πr ，若将 r 看做 (0，＋∞ )上的 量，2(πr)′＝ 2πr ①，①式能够用 言表达 ： 的面 函数的 数等于 的周 函数．于半径R 的球，若将R 看做 (0，＋∞ )上的 量， 你写出 似于①的式子：________________ ②，②式能够用 言表达 ：________________.12．1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1*)” ，某同学学到了以下一种方法：在 算“ 1×2 2× 3n n ＋1 (n ∈ N先改写第 k ： 1 ＝1－ 1，k k ＋ 1 k k ＋ 1由此得1 ＝ 1－ 1， 1 ＝1－1，⋯， 1 ＝ 1－ 1，1× 2 1 2 2× 3 2 3n n ＋ 1 n n ＋ 1相加，得1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 ＝ 1－ 1 ＝ n1× 2 2×3 n n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1.比上述方法， 你 算“ 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 *1× 2×3n ＋ 2 (n ∈ N )”，其 果2× 3×4 n n ＋ 1 ________．13．如 K66 －1，将一个 1 的正三角形的每条 三平分，以中 一段 向形外作正三角形，并擦去中 一段，得 (2)，这样 下去，得 (3) ⋯⋯K66－1用 n 表示出第 n 个 形的 数 a n ＝ ________.14．(10 分 )蜜蜂被 是自然界中最优秀的建筑 ， 个蜂巢能够近似地看作是一个正六 形，如 K66 － 2 一 蜂巢的截面 ．此中第一个 有 1 个蜂巢，第二个 有 7 个蜂 巢，第三个 有 19 个蜂巢，按此 律，以 f(n)表示第 n 个 的蜂巢 数．(1) 出 f(4) ， f(5)的 ，并求 f(n)的表达式 ( 不要求 明 )；(2) 1＋1＋1＋⋯＋14明： f 1f 2 f 3f n <3.K66－215． (13 分 ) 某少量民族的刺 有着悠长的 史，如 K66 － 3她 刺 最 的四个 案， 些 案都是由小正方形组成， 小正方形数越多刺 越美丽． 按同 的 律刺(小正方形的 放 律同样 )， 第 n 个 形包括 f(n)个小正方形．(1) 求出 f(5) 的 ；(2) 利用合情推理的“ 推理思想”， 出f(n ＋ 1)与 f(n)之 的关系式，并依据你 获得的关系式求出 f(n)的表达式；(3)1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 的 ．求f 1f 2 － 1 f 3 －1f n － 1K66－3点打破16．(12 分) 定 C x m ＝ x ·x － 1 ·⋯·x － m ＋ 1，此中 x ∈ R ，m 是正整数，且C x 0＝ 1， 是合数 C n m (m ，n 是正整数，且m ！m ≤ n 的一种推行 )．5(1)求 C － 15的 ； m n － m mm － 1m m (2) 合数的两个性 ：①C n ＝ C n .② C n ＋ C n ＝ C n ＋1.能否都能推行到 C x ( x ∈ R ，m 是正整然 )的情况？若能推行， 写出推行的形式，并 出 明；若不可以， 明原因．(3)已知 合数 C n m 是正整数， 明：当 x ∈ Z ， m 是正整数 ， C x m ∈ Z .作 (六十六 )【基 身】1． A [ 分析 ] 在等差数列 { a n } 中，因为 4＋ 6＝3＋ 7 有 a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{ b n } 中，因为 4＋ 8＝ 5＋ 7，所以 有 b 4＋ b 8>b 5＋ b 7 或 b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵ b 4＝ b 1q 3， b 5＝ b 1q 4， b 7＝ b 1q 6， b 8＝b 1q 7∴ (b 4＋ b 8)－ (b 5＋ b 7) ＝ (b 1q 3＋ b 1q 7)－ (b 1q 4＋ b 1q 6) ＝ b 1q 6·(q －1)－ b 1q 3( q －1)＝ (b 1q 6 －b 1 q 3 )(q － 1) ＝ b 1q 3(q 3－1)( q － 1)．∵ q>1 ，b n >0，∴ b 4＋ b 8>b 5 ＋ b 7.故 A.2．D [分析 ] 然每 5 秒前 一个 位， 且 P(1) ＝ 1，P(2)＝ 2，P(3)＝ 3，P(4)＝ 2，P(5)＝ 1，∴ P(2 007)＝ P(5× 401＋ 2)＝ 401＋ 2＝ 403，P(2 008) ＝404， P(2 009) ＝ 403，P(2 010) ＝ 402，故 D.b n 和 a m ，等差数列中的3． B [ 分析 ] 等差数列中的 bn 和 am 能够 比等比数列中的bnbn －am n － m b nbn － am 能够 比等比数列中的m能够 比等比数列中的ma ，等差数列中的n － ma.n － m b n故 b m ＋n ＝am.4．①③④ [分析 ] ① 演 推理，② 推理，③④ 比推理．【能力提高】5． C [ 分析 ] f 1(x)＝ (sinx)′＝ cosx ， f 2(x)＝ (cosx)′＝－ sinx ，f 3(x)＝ (－ sinx) ′＝－ cosx ， f 4(x)＝ (－ cosx)′＝ sinx ，f 5(x)＝ (sinx)′＝ cosx ＝ f 1 (x)， f 6(x)＝ (cosx)′＝－ sinx ＝ f 2(x)， f n ＋ 4(x) ＝⋯＝⋯＝ f n (x)，故可猜 f n (x)以 4 周期，有f 4n ＋1(x)＝ f 1(x)＝cosx ，f 4n ＋ 2(x)＝ f 2(x)＝－ sinx ， f 4n ＋3(x)＝ f 3(x)＝－ cosx ， f 4n ＋4(x)＝ f 4(x)＝ sinx ， 所以 f 2 013(x)＝ f 503× 4＋ 1(x)＝ f 1(x)＝ cosx ，故 C.6． A [ 分析 ] 两条直 平行，同旁内角互 —— 大前提，∠ A ，∠ B 是两条平行直 被第三条直 所截得的同旁内角—— 小前提，∠ A ＋∠ B ＝ 180°—— ．故 A 是演 推理，而B 、 D 是 推理，C 是 比推理．故 A.7． A [ 分析 ] 比直 方程求法得平面方程( － 1)×(x － 1)＋ (－ 2)× (y － 2)＋ 1×(z －3)＝ 0 即 x ＋ 2y － z － 2＝ 0.8． A[ 分析 ] y ＝ a x 是增函数 个大前提是 的，进而 致 ．9． C [ 分析 ] 由三角形数表能够看出其奇数行 奇数列，偶数行 偶数列， 2 009 ＝2× 1005－ 1，所以 2 009 第 1 005 个奇数， 又前 31 个奇数行内数的个数的和 961，前 32个奇数行内数的个数的和1 024，故2 009 在第 32 个奇数行内，所以 i ＝ 63，因 第 63 行 的第一个数 2× 962－ 1＝ 1 923,2 009＝ 1923＋2(m － 1)，所以 m ＝ 44，即 j ＝44，所以 i ＋ j＝107.→ → →→[ 分析 ] 平面上的 段 度10． V O － BCD ·OA ＋ V O －ACD ·OB ＋ V O －ABD ·OC ＋ V O －ABC ·OD ＝ 0 比到平面上就是 形的面 ， 比到空 就是几何体的体 ．4 3 2 11. 3πR ′＝ 4πR 球的体 函数的 数等于球的表面 函数2＋ 3n＝11 1n [分析] ∵1－ ，挨次裂 ，乞降12.4 n ＋ 1 n ＋2k k ＋ 1 k ＋22 k k ＋ 1k ＋ 1 k ＋ 2n 2＋ 3n得4 n ＋1 n ＋2 .13． 3× n －1[分析 ] a 1＝ 3， a 2＝ 12， a 3＝48，可知 a n ＝ 3× 4 n －14. 14． [解答 ] (1) f(4) ＝ 37， f(5) ＝61.因为 f(2)－ f(1)＝ 7－1＝ 6， f(3) － f(2) ＝ 19－ 7＝ 2×6， f(4) － f(3) ＝ 37－ 19＝ 3× 6，f(5) －f(4)＝ 61－ 37＝ 4× 6，⋯所以，当 n ≥ 2 ，有 f(n)－ f(n － 1)＝6(n － 1)，所以 f(n)＝ [f(n)－ f( n － 1)]＋ [f(n － 1)－ f(n － 2)] ＋⋯＋ [ f(2)－ f(1)] ＋ f(1)＝ 6[(n － 1)＋ (n － 2)＋⋯＋ 2＋ 1]＋ 1＝ 3n 2－ 3n ＋ 1.又 f(1) ＝1＝ 3× 12－ 3× 1＋ 1，所以 f(n) ＝3n 2－ 3n ＋ 1.1 1 1 1 1 － 1 (2) 明：当 k ≥ 2， f k ＝ 3k 2－ 3k ＋1<3k 2－ 3k＝3k.k － 1 所以 1 ＋ 1＋ f 1 ＋⋯＋11 1－ 1＋ 1－ 1 ＋⋯＋ 1 － 1f 1 f 2 3 f n<1＋3 2 2 3 n － 1 n＝ 1＋1 1－ 1 <1＋ 1＝ 4.3n3 315． [解答 ] (1) f(5) ＝ 41. (2)由 可得 f(2) － f(1)＝ 4＝ 4×1， f(3) － f(2)＝ 8＝ 4×2， f(4) － f(3)＝ 12＝ 4× 3， f(5) － f(4)＝ 16＝ 4× 4. 由上式 律，可得 f(n ＋1)－ f(n)＝ 4n.因 f(n ＋ 1)－ f(n)＝ 4n ，所以 f(n ＋1)＝ f(n)＋ 4n ， 所以 f(n)＝ f(n － 1)＋ 4(n － 1)＝ f(n － 2)＋ 4(n － 1)＋ 4(n －2)＝ f(n － 3)＋ 4(n － 1)＋ 4(n －2)＋ 4(n － 3) ⋯＝ f(1) ＋ 4(n － 1)＋ 4(n － 2)＋ 4(n －3) ＋⋯＋ 4＝ 2n 2－ 2n ＋ 1.(3)当 n ≥ 2 ，1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1 f 1 f2 － 1 f3 － 1 f n － 11 1 11＝ 1＋ 2× 22－ 2× 2＋1－ 1＋2× 32－ 2× 3＋1－ 1＋⋯＋2n 2－ 2n ＋1－ 111 11 ＝ 1＋2×2× 2－1 ＋ 2×3× 3－ 1 ＋⋯＋ 2n n － 11 1 1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1＝ 1＋2× 2× 1 n n － 13×21 1 ＋ 1 1 1 － 1＝ 1＋2× 1－ 2－ ＋⋯＋n2 3n － 1＝ 1＋1 1－1 ＝3－ 1.2n 2 2n【 点打破】16． [解答 ] (1) 依据新 定直接 行演算即可5－ 15 －16 － 17 －18 － 19C－15＝5！＝－11 628.2， m ＝ 1 ， C122－ 1无心 ．性(2)性 ①不可以推行．反例：当 x ＝2存心 ，但 C②能推行，且推行形式不 ：mm －1mC x ＋ C x ＝ C x ＋ 1(x ∈ R ，m 是正整数 )．明以下： C x m ＋ C xm － 1＝x x －1x － 2 ⋯ x － m ＋ 1＋ x x － 1 x － 2 ⋯ x － m ＋ 2m ！m － 1 ！＝ x x － 1 x － 2 ⋯ x － m ＋ 2 ·(x ＋1) ＝m ！1mm ！ ·(x ＋ 1)[( x ＋ 1)－ 1][( x ＋ 1)－ 2]⋯ [(x ＋ 1)－ m ＋ 1]＝ C x ＋1 .(3)需要就 x 与 m 的大小做出 区分并 行 密的 ．当 x ≥ m ， x ， m 都是正整数， C n m 就是 合数， 然建立；当 0≤x<m ， C x m ＝x x －1 x －2 ⋯0⋯x －m ＋ 1＝ 0∈ Z ， 也建立；m ！当 x<0 ， C x m＝x x －1x － 2 ⋯ x － m ＋ 1m ！＝(－1) m 1(－ x ＋m － 1)(－ x ＋m － 2)⋯ (－ x ＋1)( －x) ＝ (－1) m mm ！ C －x ＋m－1m∵－ x ＋ m － 1>0，∴ C － x ＋ m － 1是正整数，mm m故 C x ＝ (－ 1) C － x ＋ m － 1∈ Z .上所述，当 x ∈ Z ，m 是正整数 ， C m x ∈ Z .。
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课时作业(六十六)[第66讲合情推理与演绎推理][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是()A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P (n )表示第n 秒时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中错误的是()A ．P (2007)＝403B ．P (2008)＝404C ．P (2009)＝403D ．P (2010)＝4043．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n －m；现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝()A.m －n b m a nB.n －m b n a mC.n －m b n a mD.n －m b m a n 4．有下列推理：①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 的轨迹为椭圆；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )＝()A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 6．下面几种推理过程是演绎推理的是()A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人CD ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n n －1n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为()A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y 是指数函数(小前提)，所以y ＝是增函数(结论)”，上面推理的错误是()A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为()124357681012911131517141618202224A ．105B ．106C ．107D ．10810．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)”，其结果为________．13．如图K66－1，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……图K66－1试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.14．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K66－2为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．(1)试给出f (4)，f (5)的值，并求f (n )的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<43.图K66－215．(13分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图K66－3为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．图K66－3难点突破16．(12分)规定C m x ＝x ·(x －1)·…·(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (m ，n 是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n .②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C m x (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z .课时作业(六十六)【基础热身】1．A[解析]在等差数列{a n}中，由于4＋6＝3＋7时有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7.∵b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7∴(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q>1，b n>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.2．D[解析]显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B[解析]等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的b na m，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－m b na m.故b m＋n ＝n－m b na m.4[解析]①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C[解析]f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x＝f1(x)，f6(x)＝(cos x)′＝－sin x＝f2(x)，f n＋4(x)＝…＝…＝f n(x)，故可猜测f n(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cos x，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sin x，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cos x，故选C.6．A[解析]两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A[解析]类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A[解析]y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C[解析]由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j ＝107.10．V O－BCD·OA→＋V O－ACD·OB→＋V O－ABD·OC→＋V O－ABC·OD→＝0[解析]平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数12.n2＋3n4(n＋1)(n＋2)[解析]∵1k(k＋1)(k＋2)＝121k(k＋1)－1(k＋1)(k＋2)，依次裂项，求和得n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2).13．3×4n －1[解析]a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，可知a n ＝3×4n －1.14．[解答](1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f (k )＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k所以1＋1＋1f (3)＋…＋1f (n )<1＝1＋13＝43.15．[解答](1)f (5)＝41.(2)由题图可得f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4.由上式规律，可得f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝11＋12×22－2×2＋1－1＋12×32－2×3＋1－1＋…＋12n 2－2n ＋1－1＝11＋12×2×(2－1)＋12×3×(3－1)＋…＋12n (n －1)＝11＋12×12×1＋13×2＋…＋1n (n －1)＝1＋1×－12＋12－13＋…＋1n －1－＝1＝32－12n.【难点突破】16．[解答](1)根据新规定直接进行演算即可C 5－15＝(－15)(－16)(－17)(－18)(－19)5！＝－11628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C 2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：C m x ＋C m －1x ＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)m ！＋x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1.(3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证．当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C m n 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C m x ＝x (x －1)(x －2)…0…(x －m ＋1)m ！＝0∈Z ，结论也成立；当x <0时，C m x ＝x (x －1)(x －2)…(x －m ＋1)m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m －x ＋m －1∵－x ＋m －1>0，∴C m －x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m －x ＋m －1∈Z .综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z .。