山西省山大附中2015届高三12月月考数学文试题及答案

山西大学附中2014年高三第一学期12月月考数学试题（文科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1.设不等式02≤-x x 的解集为M ，函数()x x f -=1lg )(的定义域为N ，则=⋂N MA.(]0,1-B.[)1,0C.()1,0D.[]1,0 2.若复数z 满足()i z i 21-2+=，则z 的虚部位为A.55 B.i 55C.1D.i 3.命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是A.若b a +不是偶数，则b a ,都不是偶数B.若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数C.若b a ,都不是偶数，则b a +不是偶数D.若b a ,不都是偶数，则ba +不是偶数4.已知等差数列{}n a 且()()48231310753=++++a a a a a ，则数列{}n a 的前13项和为A.24B.39C.52D.104 5.若抛物线2ax y =的焦点坐标是（0,1），则=a A.1 B.21 C.2 D.416.已知函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4π=x 处取得最大值，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 4π是 A.偶函数且它的图像关于点()0，π对称 B.偶函数且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称C.奇函数且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称D.奇函数且它的图像关于点()0，π对称 7.已知A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中30,24,18===AC BC AB ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为 A.π1200 B.π1400 C.π1600 D.π18008.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是9.执行如图所示的程序框图，若13)(2-=x x f ，取101=ε，则输出的值为 A.3219 B.169 C.85 D.4310.已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-10012x y ax y x 表示的平面区域为D ，若区域D内至少有一个点在函数xe y =的图像上，那么实数a 的取值范围为A.[)4,eB.[)+∞,eC.[)3,1D.[)∞+，2 11.已知函数xxx g kx x f ln )(,)(==，若关于x 的方程)()(x g x f =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1内有两个实数解，则实数k 的取值范围是 A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e 21,12 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛e e 1,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210e ， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 12.已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点为21,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛3231，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛121，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛132，D.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1212131，， 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13.已知向量)1,2(),3,4(-==b a，如果向量b a λ+与b 垂直，则b a λ-2的值为14.在三棱锥ABC P -中，侧棱PC PB PA ,,两两垂直，3,2,1===PC PB PA ，则三棱锥的外接球的表面积为15.圆014222=+-++y x y x 关于直线),(022R b a by ax ∈=+-对称，则ab 的取值范围是 16.函数121()4cos 2(35)32x y x x π-=+--≤≤，则此函数的所有零点之和等于三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.） 17.如图，在ABC ∆中，3π=B ，2=BC ，点D 在边AB 上，DC AD =，AC DE ⊥，E 为垂足．(1)若BCD ∆的面积为3，求CD 的长； (2)若EDA 的大小．18.已知函数bx x x f +=2)(为偶函数，数列{}n a 满足1)1(21+-=+n n a f a ，且1,31>=n a a （1）设)1(l og 2-=n n a b ，证明：数列{}1+n b 为等比数列（2）设n n nb c =，求数列{}n c 的前n 项和n S19.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点， （1）求证：平面；（2）过点B 作于点E ，求证：直线平面（3）若四棱锥的体积为3，求的长度20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的两个顶点恰好是双曲线131522=-x y 的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）点)3,2(),3,2(-Q P ，在椭圆上，B A ,是椭圆上位于直线PQ 两恻的动点，①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当B A ,运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.21.已知函数)(x f 的定义域()∞+，0，若xx f y )(=在()∞+，0上为增函数，则称)(x f 为“一BC D C AA B 11-⊥BE AC BE ⊥D //1AB 1 2.A AB ==AC D A B BC ABC ⊥1AA 111C B A ABC -C C 1阶比增函数”；若2)(x x f y =在()∞+，0上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”。

把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为1A ，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为2A （1）已知函数hx hx x x f --=232)(，若1)(A x f ∈且2)(A x f ∈/，求实数h 的取值范围 （2）已知2)(A x f ∈，且存在常数k ，使得对任意的()∞+∈，0x ，都有k x f <)(，求k 的最小值请考生在22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分.（10分）22.己知抛物线2y x m =+的顶点M到直线:1x tl y =⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)的距离为1（1）求m ；（2）若直线l 与抛物线相交于B A ,两点，与y 轴交于N 点，求MAN MBN S S ∆∆-的值23.设x a x x f 2)(+-=，其中0>a（1）当2=a 时，求不等式3)(+<x x f 的解集（2）若),2(+∞-∈x 时，恒有0)(>x f ，求a 的取值范围BABCD BADAB AD13.已知向量)1,2(),3,4(-==b a，如果向量b a λ+与b 垂直，则b a λ-2的值为 5514.（理科）有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1，2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有 1020 种.（文科）在三棱锥ABC P -中，侧棱PC PB PA ,,两两垂直，3,2,1===PC PB PA ，则三棱锥的外接球的表面积为 π1415.圆014222=+-++y x y x 关于直线),(022R b a by ax ∈=+-对称，则ab 的取值范围是 ]41,(-∞ 16.函数121()4cos 2(35)32x y x x π-=+--≤≤，则此函数的所有零点之和等于 817.如图，在ABC ∆中，3π=B ，2=BC ，点D 在边AB 上，DC AD =，AC DE ⊥，E 为垂足．(1)若BCD ∆，求CD 的长；(2)若ED ＝2，求角A 的大小．【解析】(1)由已知得S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B ＝3，又BC ＝2，sin B BD ＝23，cos B ＝12.在△BCD 中，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝22＋23⎛⎫⎪⎝⎭2－2×2×23×12＝289. ∴CD .∵CD ＝AD ＝sin 2sin DE A A=，在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CDBDC B =∠，又∠BDCC＝2A ，得2sin 22sin sin A A B =，解得cos A ＝2，所以A ＝4π 18.已知函数bx x x f +=2)(为偶函数，数列{}n a 满足1)1(21+-=+n n a f a ，且1,31>=n a a （1）设)1(l og 2-=n n a b ，证明：数列{}1+n b 为等比数列（2）设n n nb c =，求数列{}n c 的前n 项和n S19.（理科）如图，在三棱锥（1（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C BM的最小值.（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC分（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.A由已知得分PBC分∴∴直线PA 与平面PBC 分（3）由题意平面PAC 的法向， 设平面PAM 的法向量为∵又因为∴分∴B 点到AM（文科）如图，在三棱柱中，侧棱底面，， 为的中点，（1）求证：平面；（2）过点作于点，求证：直线平面C C 1⊥BE E BD BC //1AB 1 2.A AB ==AC D A B BC ABC ⊥1AA 111C B A ABC -AC BE ⊥（3）若四棱锥的体积为3，求的长度【解析】(1) 连接设,连接OD,证明即可.（2）解本题的关键是证明和即可.(3)设,然后把高BE 用x 表示出来,再根据,利用体积公式建立关于x 的方程即可解出x 的值 (1)证明:连接设,连接 1分 是平行四边形,点O 是的中点,是AC 的中点,是的中位线,2分又AB 1//平面BC 1D 4分 (2)6分,又 7分 直线BE平面8分(2)的解法2:5分直线BE平面8分(3)由(2)知BE 的长度是四棱锥B —AA 1C 1D 的体高设9分10分11分11AA C D V 3=BC x =B E AC ⊥,C D C AA 11-()AC,232AC 2321A A AD C A 21111D C AA 11=⋅=⋅+⋅=∴3BC 3,x =∴3,AC 2x AC 2331BE S 31D C AA 11=⋅⋅=⋅=∴D C A A 11V AC2x BE BC,AB BE AC ,,0=∴⋅=∆>=中ABC Rt x BC 1 2.A AB ==ABC,BE AC,BE AC,ABC C C AA 11平面平面又平面⊂⊥=⋂ABC C C AA C,C AA A A 11111平面平面平面⊥∴⊂C C AA 11⊥A A A AC AC,BE 1=⋂⊥BE,A ⊥ABC,BE ABC,1平面平面⊂⊥A D BC D,BC 111平面平面⊂⊄OD AB OD //C AB 1∆O D D C ∴11BCC B 四边形O BC =⋂1,OD20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程； （2）点P(2，3)， Q （2，-3）在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两恻的动点，①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足于∠APQ=∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.试题解析：解：(1）设椭圆C 的方程为，则b =.由2221,2c a c b a ==+，得4a =∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）①解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=， 得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x . 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=∴当0=t，max S =分 ②解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=- 由223(2)(1)1(2)1612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ （1）代入（2）整理得222(34)8(32)4(32)4k x k k x k ++-+--= 2143)32(82kk k x +-=+ 同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得22243)32(843)32(82k k k k k k x ++=+---=+ ∴2121222161248,3434k k x x x x k k --+=-=++214)(3)2(3)2(212121212121=--+=---++-=--=x x k x x k x x x k x k x x y y k AB 所以AB 的斜率为定值21. …………12分. 22.已知函数)(x f 的定义域()∞+，0，若x x f y )(=在()∞+，0上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”；若2)(x x f y =在()∞+，0上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”。