变化率ppt
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《变化率问题》课件
从以上的例子中，我们可以了解到，平均变化率 是指在某个区间内数值的平均变化量. 如果上述问题中的函数关系用 f ( x) 表示，那么问 f x2 f x1 题中的变化率可用式子： 表示。 x2 x1
函数f ( x)从x1到x2的平均变化率
f x2 f x1 平均变化率： x2 x1
习惯上：用 x表示x2 -x1，即：x x2 x1
注意：x是一个整体符号，而不是与x相乘。
可把x看作是相对于x1的一个增量， 可用x1 x代替x2 ;
“增量”：x
x2 x1
令“增量” x x2 x1
f f x2 f x1
可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的 平均膨胀率逐渐变小。
思 考 ？
当空气பைடு நூலகம்量从V1增加到V2时，气
球的平均膨胀率是多少？
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把
这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均
变化率:
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
3.1.1 变化率问题
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。
发现：
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加 的越来越慢。 从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)之 间的函数关系是：
4 3 3V 3 V (r ) r r (V ) 3 4
f x2 f x1 f x1 x f x1 f x x2 x1 x
f 于是：平均变化率可以表示为： x
平均变化率与瞬时变化率详解课件
瞬时变化率
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
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THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
§4.4 变化率与相关变化率
．
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
人教版数学九年级上册21.3.2 变化率与利润问题课件(共26张PPT)
分析：甲种药品成本的年平均下降额为 (5000−3000)÷2＝1000 (元)， 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000−3600)÷2＝1200 (元). 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，设乙种药品的年平均下降率
为y
一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，
于是有 5000(1-x)2=3000. 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775(舍去).
下降率不可为负，且不 大于1.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
乙种药品的年平均下降率为y， 列方程得6000(1 - y)2 = 3600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775(舍去). 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%.
新知学习 一、平均变化率问题
探究
两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元， 生产 1t 乙种药品的成本是 6000 元. 随着生产技 术的进步，现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 3600 元. 哪种药 品成本的年平均下降率较大？
分别求出甲，乙的平均增长率
解：（1）设该商品价格的平均每月增长率为x，依题意得：25 （1+x）2＝36，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意， 舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）因某些原因商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过
市场调查发现：售价每下降0.5元，每个月多卖出1件，当降价多少
元．
3.（2022湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通 过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该厂3，4月份共 生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量；
变化率问题资料课件
详细描述
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
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瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
变化率问题 课件
解析：(1)∵Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝15， ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度 v 1＝ΔΔst＝5(m/s)． (2)∵Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝7， ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度 v 2＝ΔΔst＝7(m/s)． (3)∵Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝(2t0＋2)·Δt＋(Δt)2， ∴该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度 v ＝ΔΔst ＝2t0＋2＋ Δt.
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
点评：求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s＝t2＋2t(s的单位：m，t的单位： s)．求： (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度； (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度； (3)该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度．
π 2
附近的平均变化率．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fxx0＋ 0＋ΔΔxx－ －fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
变化率问题PPT优秀课件
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
变化率问题 课件
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
5.1.1变化率问题 课件
趋近于
0
时，Δs趋 Δt
近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度．
练习巩固
练习1. 火箭发射t(s)后,其高度(单位: m)为h(t) 0.9t2.求:
(1)在1 t 2这段时间里,火箭爬高的平均速度; (2)发射后第10s时, 火箭爬高的瞬时速度.
练习巩固
解: (1) v h(2) h(1) 2.7
[解] (1)－v ＝st2t2－－ts1t1＝3×2－22－23×0－02＝22＝1. 所以在 t＝0 到 t＝2 时的平均其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2.
(1)求 t＝0 到 t＝2 时的平均速度；
(2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
练习巩固
练习2：求抛物线 f (x) x2 1在点(0,1)处的切线方程 .
解:
则，k0
lim
x0
f
(0 x) f (0) (0 x) 0
lim (x)2 11 lim x
x0
x
x0
0
抛物线f (x) x2 1在点(0,1)处的切线方程为
y 1 0
练习巩固
练习3：求抛物线 f (x) x2 1在点(2,5)处的切线斜率 .
fx－f1
1＋Δx2－1
x－1
1＋Δx－1
Δx＋2
k＝ 01 ____________＝ 02 ____________＝ 03 _________.
我们发现，当Δx 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从
大于 1 的一边无限趋近于 1 时，割线 P0P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
2 1
解: (2)
v h(10 t) h(10) 0.9 (10 t)2 0.9102
CPI的变化率.ppt
GDP的增长率 CPI的变化率 将两者进行比较
收集1980-2012年中国财政预算相关数据并绘 制成图。
收集1950-2012美国财政预算相关数据并绘制 成图。
拉氏指数laspeyrespriceindex帕氏指数passchepriceindex新产品问题101112中国和美国cpi的权重比较类别美国2007类别中2006居住类4269居住类132交通运输1725交通通讯104食品与饮料1499食品332医疗628医疗保健个人用品10
基本概念之三：价格指数
6.03% 娱乐教育文%
3.73%
衣着
9.1%
3.48%
烟酒类
3.9%
中国和美国CPI的权重比较
14
价格水平变动的衡量：通货膨胀率
通货膨胀率：是价格指数变动的衡量
CPIt CPIt1 100% CPI t1
CPI的变化率
选定基年计算出CPI：相对基年的物价水平 CPI的变动
2005年按照购买力平价折算，日本的人均国民收入 为31 410美元，排名19位。
按照名义汇率计算，日本人均收入是中国的22倍， 按照购买力平价计算，日本是中国的4.8倍。
中国目前已成为 世界奢侈品第三 大消费国，这与 国外商业集团按 购买力评价中国 的人均收入不无关系…
消费价格指数计算的方法
价格指数：是用来衡量一个经济体物价总体水 平的方法
价格指数有助于帮助人们进行历史数据的比较， 也可以进行横向不同经济体的比较。
价格指数是一种加权平均数
GDP缩减指数：GDP deflator 消费者价格指数：CPI 生产者价格指数：PPI
CPI：生活费用的衡量
消费者价格指数是普通消费者所购买的物品与 服务的总费用的衡量标准，通常是当年的生活 费用与基年生活费用的比值。
收集1980-2012年中国财政预算相关数据并绘 制成图。
收集1950-2012美国财政预算相关数据并绘制 成图。
拉氏指数laspeyrespriceindex帕氏指数passchepriceindex新产品问题101112中国和美国cpi的权重比较类别美国2007类别中2006居住类4269居住类132交通运输1725交通通讯104食品与饮料1499食品332医疗628医疗保健个人用品10
基本概念之三：价格指数
6.03% 娱乐教育文%
3.73%
衣着
9.1%
3.48%
烟酒类
3.9%
中国和美国CPI的权重比较
14
价格水平变动的衡量：通货膨胀率
通货膨胀率：是价格指数变动的衡量
CPIt CPIt1 100% CPI t1
CPI的变化率
选定基年计算出CPI：相对基年的物价水平 CPI的变动
2005年按照购买力平价折算，日本的人均国民收入 为31 410美元，排名19位。
按照名义汇率计算，日本人均收入是中国的22倍， 按照购买力平价计算，日本是中国的4.8倍。
中国目前已成为 世界奢侈品第三 大消费国，这与 国外商业集团按 购买力评价中国 的人均收入不无关系…
消费价格指数计算的方法
价格指数：是用来衡量一个经济体物价总体水 平的方法
价格指数有助于帮助人们进行历史数据的比较， 也可以进行横向不同经济体的比较。
价格指数是一种加权平均数
GDP缩减指数：GDP deflator 消费者价格指数：CPI 生产者价格指数：PPI
CPI：生活费用的衡量
消费者价格指数是普通消费者所购买的物品与 服务的总费用的衡量标准，通常是当年的生活 费用与基年生活费用的比值。
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类似地，y f（x2） f (x1)
于是,平均变化率可表示为 y . x
注：
1)x是一个整体符号 ,而不是与x相乘; 2)x可看作是相对于x1的一个“增量”, 即，x2 x x1
那么，函数的平均变化率还可以表示为：
f (x Δx) f (x ) x
二、函数的平均变化率的几何意义
y
fx2 fx1
我们知道,气球的体积V 单位 : L与半径r(单
位:
dm)之间的函数关系是V
r
4 3
r3,
如果把半径r表示为体积V的函数,那么
rV
3
3V
4
.
当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了
r1 r0 0.62cm,
气球的平均膨胀率为
r1
1
r0
0
0.62dm
/
L.
类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径
思考：
如果上述两个问题中的 函数关系用 f x表示,
那么问题中变化率该如 何表示？
f x2 f x1 ,
x2 x1
新授：
一、函数的平均变化率
若有
f x2 f x1 ,
x2 x1
我们把这个式子称为函数 f x从 x1到 x2的
平均变化率
习惯上用 x表示 x2 x1,即x Байду номын сангаасx2 x1,
增加了r2 r1 0.16dm,
气球的平均膨胀率为
r2
2
r1
1
0.16dm
/
L.
可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨
胀率逐渐变小了.
思考 : 当空气的容量从V1增加到V2时,气球的平
均膨胀率是多少? r r V2 r V1
V
V2 V1
问题2 高台跳水
人们发现, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
A . 3 B . 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx
2.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A)
A. 6+t B. 6+t+ 9 C.3+t t
3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
D.9+t
小结
•
1.函数的平均变化率
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率： y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
y 4 2 x 2
(2)解： △y=f (x+△x)- f (x)
=2△x ·x+(△x )2
y 2x x (x)2
x
x
2x x
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临 近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )D
3.1 变化率与导数
3.1 .1变化率问题
教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处 附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．
问题导入
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
面的高度 h 单位: m与起跳后的时间t单位: s
存在函数关系ht 4.9t2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里,
v
h0.5
0.5
h0
0
4.05
m
/
s
;
在1 t 2这段时间里,
v
h2
2
h1
1
8.2
m
/
s.
播放
暂停
停止
y fx
B
A
x2 x1
fx2 fx1
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
变化率
y f x2 f x1
x
x2 x1
图1.1 1
表示什么?
直线AB的斜率
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。