高中数学第二章平面解析几何初步242空间两点的距离公式学案人教

2．4.2 空间两点的距离公式
学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．
知识点空间两点的距离
思考如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？
梳理空间两点的距离公式
(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点A(x，y，z)到原点间O的距离公式为d(O，A)＝|OA|＝x2＋y2＋z2.
(2)空间中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式是d(A，B)＝|AB|
＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
类型一求空间两点间的距离
例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求MN 的长．
反思与感悟在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．
跟踪训练1
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
类型二空间两点的距离公式的应用
命题角度1 求空间点的坐标
引申探究
1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？
2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？
例2 已知点A(4,5,6)，B(－5，0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
反思与感悟(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．
跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．
命题角度2 空间中距离的最值
例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜2)．
(1)求|MN|的长；
(2)当a为何值时，|MN|最小．
反思与感悟距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．
跟踪训练3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
1．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )
A.6
B. 5 C．2 D. 3
2．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为( )
A ．25
B ．5 2
C ．32
D ．2 3
3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )
A.2a
B.
22
a C ．a D.12
a
4．若A (4，－7,1)，B (6,2，z )，|AB |＝11，则z ＝________.
5．求证：以A (10，－1,6)，B (4,1,9)，C (2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．
答案精析
问题导学 知识点 思考
a 2＋
b 2＋
c 2.
题型探究
例1 解 建立如图所示空间直角坐标系，
过点M 作MF 垂直BC 于F ，连接NF ， 显然MF 垂直平面ABCO ， 所以MF 垂直NF ， 因为|BM |＝2|MC ′|. 所以|BF |＝2|FC |. 又|AN |＝2|CN |， 所以NF ∥AB ，
所以|NF |＝|FC |＝13|AB |＝a
3.
同理|MF |＝23|CC ′|＝2a
3
，
因此，得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，2a 3，0，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a
3，a ，2a 3，
于是|MN |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫0－2a 32＝53
a .
跟踪训练1 解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，
∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得
D (1,1,0)，
E (0,1,2)，
F (1,0,0)，
∴|DE |＝
1－02
＋1－1
2
＋0－2
2
＝5，
|EF |＝
0－12
＋1－02
＋2－02
＝ 6.
例2 (0,0,6)
解析 设P (0,0，z )，由|PA |＝|PB |，得
4－02
＋5－0
2
＋6－z
2
＝
－5－02
＋0－02
＋10－z 2
，
解得z ＝6.
∴点P 的坐标为(0,0,6)． 引申探究
1．解 与例2的结论一样，P (0,0,6)． 2．解 设P (0，y,0)，由|PA |＝|PB |，得
4－02
＋5－y
2
＋6－0
2
＝
－5－02
＋0－y 2
＋10－02
，
解得y ＝－24
5
.
∴点P 的坐标为(0，－24
5
，0)．
跟踪训练2 解 因为点P 在x 轴上，所以设点P 坐标为(x,0,0)． 因为|PP 1|＝2|PP 2|， 所以x －02
＋0－2
2
＋0－3
2
＝2
x －0
2
＋0－12
＋0＋12
，
所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 例3 解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．
过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ， ∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝
22
a ， ∴以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，
则M ⎝
⎛⎭⎪⎫2
2
a ，0，1－22a ，
N ⎝
⎛⎭
⎪⎫22a ，22a ，0.
(1)|MN |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2
a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02
＝a 2
－2a ＋1＝ ⎝
⎛
⎭⎪⎫a －222＋12.
(2)由(1)得，当a ＝
22时，|MN |最短，最短为2
2
，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 跟踪训练3 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (12，12，1
2)．
∵点Q 在CD 上，
∴设Q (0,1，z )，z ∈[0,1]， ∴|PQ | ＝ 12
－02
＋
12－12
＋
12
－z 2
，
＝
12＋12
－z 2
，
∴当z ＝12时，|PQ |min ＝2
2.
当堂训练 1．A 2.A 3.B 4．－5或7
解析 ∵|AB |＝11，∴(6－4)2
＋(2＋7)2
＋(z －1)2
＝112
，化简得(z －1)2
＝36，即|z －1|＝6， ∴z ＝－5或z ＝7.
5．证明 根据空间两点间距离公式， 得|AB |＝10－42
＋－1－12
＋6－9
2
＝7，
|BC |＝4－22
＋
1－4
2
＋9－3
2
＝7，
|AC |＝
10－2
2
＋－1－4
2
＋6－32
＝98.
因为|AB |2
＋|BC |2＝|AC |2
， 且|AB |＝|BC |，
所以△ABC 是等腰直角三角形．。