高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质课件新人教A版选修4_5

=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)
n 2 3 2 m n [(m ) n ], 2 4
2
又m≠n,所以(m-n)2>0, 因为 [(m n )2 3 n 2 ] 0, 2 4 所以x-y>0,故x>y.
【方法技巧】作差比较法的四个步骤
故B,C,D都正确,A错误.
2.下列不等式: (1)x2+3>2x(x∈R).
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )
【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+2>0, 所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号.
(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数
的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
【变式训练】1.下列命题中正确的是_________
.
①若a>b>0,c>d>0,那么 a b ; d c ②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a-b).
(3)由 a b ,所以 a b >0, ＞ c d c d ad bc＞0， ad bc＜0， 0.
即ad>bc且cd>0或ad<bc且cd<0,
故不正确.
(4)因为a- 1 <b- 1 ,且a>0,b>0, b a 所以a2b-b<ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<0,
正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一
作差法比较大小
【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么?
提示:常用作差比较法.
【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)
=(m-n)m3-n3(m-n)
把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质(3)是可
逆的,即a>b⇔a+c>b+c.
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆
的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然
成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的
> (6)开方:如果a>b>0,那么 n a __
n
b (n∈N,n≥2).
【即时小测】 1.若a<b<0,则下列结论不正确的是 ( )
A.a2<b2
B.ab<a2
b a C. 2 D.| a | | b || a b | a b 【解析】选A.因为a<b<0,所以0<-b<-a,
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
因为x>0,y>0, 所以(x-y)2(x+y)≥0,
所以x3+y3≥x2y+xy2.
类型二
不等式性质的简单应用
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由. 1 1 (1)a>b>0,则 . a b (2)c>a>b>0,则 a b . ca cb a b (3)若 ＞ ,则ad>bc. c d 1 1 (4)设a,b为正实数,若a- <b- ,则a<b. a b
第一讲
不等式和绝对值不等式
一
不
等 式
1.不等式的基本性质
【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系
a-b>0 a-b=0 a-b<0
2.不等式的基本性质
b<a (1)对称性:a>b⇔____.
a>c (2)传递性:a>b,b>c⇒____.
a>b ⇔a+c>b+c. (3)可加性:____
ac>bc (4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______; ac<bc 如果a>b,c<0,那么______. > n(n∈N,n≥2). (5)乘方:如果a>b>0,那么an__b
⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a<b,正确.
【方法技巧】
1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.
(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中
条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题 时用处很大.
【变式训练】 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大
小关系是_________.
【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,
所以f(x)>g(x).
答案:f(x)>g(x)
2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2
=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,
所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0. 所以(3)正确.
【知识探究】 探究点 不等式的基本性质
1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗?
提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可 减性. 如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.
2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.
【归纳总结】 1.符号“⇒”和“⇔”的含义
“⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不
可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不 同性质的条件.
2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以
【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以 1 ab 1 1 1 1 得 a ＞b ，得 > ,故正确. ab ab b a (2)因为c-a>0,c-b>0,且c-a<c-b 1 1 ＞ 所以 >0, ca cb b ,正确. 又a>b>0,所以 a ＞ ca cb