湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020-2021学年高三上学期9月联考数学试题

湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020-2021学年高三上学期9月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}0U x x =>，12log 0M x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则U M =（ ）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,+∞2．己知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A ．ln ln a b < B ．c c a b <C ．a b c c >D ．11c c b a--<3．已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图､洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为（ ）A ．15B ．725C ．825D ．255．设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()(ln f x x =，若正实数a ，b 满足()()410f a f b +-=，则11a b+的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．9D ．137．若函数()f x 对a ∀，R b ∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数.下列函数中是Ω函数的为（ ） ①()sin x x x f -=②()0,01,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩③()xxf x e e -=+④()f x x x = A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a -=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．某地某所高中2021年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2021年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2021年相比，2021年一本达线人数有所增加B ．与2021年相比，2021年二本达线人数增加了0.5倍C ．与2021年相比，2021年艺体达线人数相同D ．与2021年相比，2021年不上线的人数有所增加 10．若()()20212320210123202112x a a x a x a x a x x R -=++++⋅⋅⋅+∈，则（ ）A ．01a =B ．20211352021312a a a a ++++⋅⋅⋅+=C ．20210242020312a a a a -+++⋅⋅⋅+=D ．123202123202112222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 11．已知定义(),-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x =-，若()11f =，则（ ） A ．()31f =B ．4是()f x 的一个周期C ．()()()2018201920201f f f ++=-D ．()f x 的图像关于1x =对称 12．已知正数x ，y ，z 满足3212x y z ==，下列结论正确的有（ ）A ．623z y x >>B ．121x y z+= C ．(3x y z +>+D ．28xy z >三、填空题13．若“[]1,2x ∃∈，0x a +≤”是假命题，则实数a 的取值范围是__________. 14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln x f x x-=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程是_________.15．5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答)四、双空题16．已知函数()()()210210x xx f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，则方程()20212020f x =的实根的个数为_______；若函数()()1y f f x a =--有三个零点，则a 的取值范围是_________.五、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①2a ，3a ，44a -成等差数列.②1S ，22S +，3S 成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答. 在公比为2的等比数列{}n a 中，____________ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21log n n b n a =+，求数列2222n n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．已知定义域为R 的函数()()1xxf x a k a -=--(0a >且1a ≠)是奇函数.（1）求实数k 的值；（2）若()10f <，求不等式()()24f x tx f x ++-<0对x ∈R 恒成立时t 的取值范围.19．为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在[]0,60的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中a ，b ，c 构成以2为公比的等比数列.（1）求a ，b ，c 的值；（2）填写下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关？（3）从获奖的学生中任选2人，求至少有一个文科生的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20．一动圆与圆221(1)1O x y -+=：外切，与圆222(1)9O x y ++=：内切． （1）求动圆圆心M 的轨迹L 的方程．（2）设过圆心1O 的直线:1l x my =+与轨迹L 相交于A B 、两点，2ABO （2O 为圆2O 的圆心）的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程，若不存在，请说明理由．21．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.(1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成，设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望;(3)为提高G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C 可以正常工作，问:p 满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率? 22．已知函数()xf x xe ax =+，a R ∈.（1）设()f x 的导函数为()f x '，求()f x '的最小值；（2）设()()ln ln 1ag x ax x a x a x =++-，当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥恒成立，求a的取值范围.参考答案1．D 【分析】先利用对数不等式的解法化简集合M ，再根据全集求补集. 【详解】由题意{}12log 001M x x x x ⎧⎫⎪⎪=>=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 又{}0U x x =>， ∴{}1UM x x =≥．故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数不等式的解法，属于基础题. 2．C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性和特殊值法，逐一对选项进行判断即可. 【详解】解：对于A 选项：因为函数ln y x =在0,上单调递增，所以0a b >>时，ln ln a b >，故A 选项错误； 对于C 选项：因为()1xy c c =>在R 单调递增函数，所以0a b >>，a b c c >，故C 选项正确；对于B 选项：因为0a b >>，1c >，可取2a =，1b =，2c =，此时，2224,11cca b ====，所以c c a b >，故B 选项错误；对于D 选项：因为0a b >>，1c >，可取2a =，1b =，2c =，此时，12112111,122c c b a ----====，所以11c c b a，故D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题. 3．D【分析】先求得函数()f x 的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项. 【详解】 因为()f x =24>0x x -解得0x <，所以函数()f x 的定义域为()0-∞，，所以函数()11f x x -+需满足10x -<且+10x ≠，解得1x <且1x ≠-，故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题. 4．B 【分析】根据题目意思，先计算从阴数与阳数中各取一个的所有可能情况，再用列举法写出其差的绝对值为3的可能情况，再根据古典概型概率计算方法求解. 【详解】由题意可知阳数有1，3，5，7，9共5个，阴数有2，4，6，8，10共5个， 故从阳数和阴数中各取一数共有25种可能结果，若使阴数与阳数的差的绝对值为1，3，5，3则可能为：()1,4，()3,6，()5,8，()7,10，()5,2 ，()7,4，()9,6，共7种情况；故从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为：725P =. 故选：B. 【点睛】本题考查概率的实际应用，考查利用列举法求解古典概型的概率，较简单. 5．A 【分析】分类讨论求出集合A ，结合充分性、必要性的定义进行求解即可 【详解】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.(){}()(){}21010A x x a x a x x x a =-++≤=--≤，当01a <<时，[,1]A a =； 当1a =时，{}1A =； 当15a <<，[1,]A a =，{}{}2ln 20B x x x x e =<=<<，因为A B ，所以p q 是的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了一元二次方程的解法，考查了对数不等式的解法，考查了数学运算能力. 6．C 【分析】先判断()(ln f x x =+是R 上的奇函数，可得41a b +=，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】因为()())(()22lnln ln 1ln10f x f x x x x x -+=++=+-==，所以()()f x f x -=-，可得：()(ln f x x =+是R 上的奇函数，因为()()410f a f b +-=， 所以41a b +=， 所以()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当414a b b a a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1613a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立， 所以11a b+的最小值为9，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的最小值，涉及奇函数的定义，属于中档题. 7．D 【分析】由题意可得()y f x =满足是R 上的奇函数，且为增函数，称为Ω函数，由函数的奇偶性和单调性与导数之间的关系，分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论． 【详解】由（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=，即为()()f a f a -=-，则()y f x =为R 上的奇函数；由（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，即为a b >-，()()()f a f b f b >-=-， 可得()y f x =为R 上的增函数，则函数()y f x =为R 上的奇函数，且为增函数． 由①()sin x x x f -=，定义域为R ，()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=---=-+=--=-,即()y f x =为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，可得()y f x =为R 上的增函数，故①是Ω函数；②()0,01,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，定义域为R ，0x ≠时，()()11f x f x x x -=-==--， 可得()y f x =为奇函数，又()y f x =在(),0-∞，()0,∞+上单调递增，但在R 上不为增函数， 比如()()11f f ->，故②不是Ω函数； ③()xxf x e e -=+，定义域为R ，()()xx f x ee f x --=+=，可得()y f x =为偶函数，故③不是Ω函数；④()f x x x =，定义域为R ，()()f x x x f x -=--=-，可得()y f x =为奇函数，又()22,0=,0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩在R 上单调递增，故④是Ω函数.故选：D 【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理与运算求解能力. 8．A 【详解】()()322612,355f x x x f x x x =-∴=-'，∵函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，∴区间[]0,t 上存在12120x x x x t ，（＜＜＜）， 满足()()21206()()5f t f f x f x t t t''--＝＝＝， ∴方程22126355x x t t -=-在区间[]0,t 有两个不相等的解， 令221263055g x x x t t x t =--+≤（），（＜），则()()222212612()05520560056205t t tg t t g t t t ⎧⎛⎫∆---+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩＝＞＝＞＝＞，解得6355t ＜＜，∴实数t 的取值范围是36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:A ． 9．AD 【分析】根据柱状图给定的信息，作差比较，即可求解. 【详解】依题意，设2021年高考考生人数为x ，则2021年高考考生人数为1.5x ， 由24%1.528%8%0x x x ⋅-⋅=⋅>，所以A 项正确； 由7(40%1.532%)32%8x x x ⋅-⋅÷⋅=，所以B 项不正确； 由8%1.58%4%0x x x ⋅-⋅=⋅>，所以C 项不正确； 由28%1.532%10%0x x x ⋅-⋅=⋅>，所以D 项正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了统计图表的识别和应用，其中解答中熟记柱状图表表示的含义是解答的关键，属于基础题. 10．ACD 【分析】利用赋值法解决，对于A ：通过给x 赋值0即可作出判断；对于B 和C ：通过给x 赋值1和1-，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D ：2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过给x 赋值12得到结果即可作出判断. 【详解】由题意，当0x =时，2021011a ==， 当1x =时，()20210123202111a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-=-，当1x =-时，2021012320213a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=，所以20211352021312a a a a ++++⋅⋅⋅+=-，20210242020312a a a a -+++⋅⋅⋅+=，2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2202101220211110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2202112202101111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：ACD . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 11．BCD 【分析】对于A ，f （3）1=-，故A 错误；对于B ， (4)()f x f x +=，即4是()f x 的一个周期，故B 正确；对于C ， (2018)(2019)(2020)1f f f ++=-，故C 正确；对于D ， ()f x 的图象关于1x =对称，故D 正确. 【详解】对于A ，f （3）(1)f f =-=-（1）1=-，故A 错误； 对于B ，(4)[2(4)](2)(2)f x f x f x f x +=-+=--=-+，而(2)[2(2)]()()f x f x f x f x +=-+=-=-，(4)()f x f x ∴+=，即4是()f x 的一个周期，故B 正确；对于C ，()f x 是奇函数，(0)0f ∴=，又()f x 的一个周期为4，(2018)f f ∴=（2）(0)0f ==，(2019)f f =（3）1=-，(2020)(0)0f f ==， (2018)(2019)(2020)1f f f ∴++=-，故C 正确；对于D ，()(2)f x f x =-，(1)[2(1)](1)f x f x f x ∴+=-+=-，()f x ∴的图象关于1x =对称，故D 正确；故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性、函数周期性和对称性判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 12．BCD 【分析】设3212x y z ==m =1>，求得3log x m =，2log y m =，12log z m =，然后根据对数的运算法则和基本不等式判断各选项． 【详解】设3212x y z ==m =1>，则3log x m =，2log y m =，12log z m =，226622log log 23log 2log 8m m m y m ====，336633log log 32log 3log 9m m m x m ====， 又0log 8log 9m m <<，所以23y x >，12666log log 12m z m ==，而log 12log 8m m >，所以62z y <，A 错；则3212121log 32log 2log 12log log m m m x y m m z+=+=+==，B 正确； 23232312log log (log log )log 12(log log )(2log 2log 3)log m m m m m x y m m m m z m ++==+=++322323322log log 21(log log )()3log log log log m m m m m m m m=++=++33≥+=+32322log log log log m m m m =，即23log m m =，这个等式不可能成立，因此等号不能取到，3x yz+>+，即(3x y z +>+，C 正确；因为(222(log 12)(2log 2log 3)8log 2log 3m m m m m =+≥=，所以21118z x y ⎛⎫≥⨯⨯ ⎪⎝⎭，即28xy z >，D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，解题关键是由题设指数式改写为对数式，实质就是表示出变量,,x y z ，然后证明各个不等式．13．()1，-+∞ 【分析】由题转化为命题“[]1,2x ∀∈，0x a +>”为真命题，即a x >-恒成立，故可求解实数a 的取值范围. 【详解】由题转化为命题“[]1,2x ∀∈，0x a +>”为真命题，即a x >-恒成立， 又y x =-在[]1,2上单调递减，所以max 1y =-，故1a >-.故答案为：()1，-+∞ 【点睛】本题考查特称命题的否定与不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想. 14．10x y +-= 【分析】由已知求得函数()f x 在(0,)+∞上的解析式，求其导函数，得到f '（1），再由直线方程点斜式得答案． 【详解】()f x 为偶函数，且当0x <时，()()ln x f x x-=， ∴当0x >时，0x -<，则()()lnx f x f x x =-=-，21()lnxf x x -+'=， ()11f ∴'=-∴曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程是01(1)y x -=-⨯-，即10x y +-=． 故答案为：10x y +-=． 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，属于基础题．15．310【分析】利用捆绑法求出甲乙两人之间恰好有一人的排法，再求出5人并排站成一行的排法，利用古典概率公式计算即可. 【详解】甲乙两人之间恰好有一人的排法共有21323336A C A =种，5人并排站成一行的排法共有55120A =种，所以甲乙两人之间恰好有一人的概率是36312010P == 故答案为：310【点睛】本题主要考查了排列组合知识，考查了捆绑法，涉及古典概率公式，属于中档题. 16．3 (]111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【分析】用导数求出()f x 在0x ≥的时单调性，极值，确定函数的变化趋势，得出函数的单调区间，作出函数图象，方程的()f x m =的解的个数转化为()y f x =的图象与直线y m =的交点个数，由此分析可得． 【详解】 由()1x x f x e=+得1()xx f x e -'=，01x ≤<时，()0f x '>，()f x 递增，1x >时，()0f x '<，()f x 递减，1x =时，()f x 取得极大值1(1)1f e=+，0x <时，2()(1)f x x =+，所以()f x 的增区间是[1,1]-，减区间是(,1)-∞-，(1,)+∞，且x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，作出函数()y f x =的图象，如图，作直线y m =，由图可知：直线y m =与函数()y f x =的图象，在0m <时无交点，0m =或11m e >+时有一个交点，01m <≤或11m e=+时有两个交点，111m e<<+时，有三个交点．因为20211112020e<<+， 所以直线20212020y =与()y f x =的图象有三个交点，方程()20212020f x =有三个实根，易知()1f x =有两个解10x =，22x =-，由()0f x a -=得()f x a =，由()2f x a -=-得()2f x a =-， 当1a ≤时，函数()()1y ff x a =--至多有两个零点，不合题意111a e<<+时20a -<，函数()()1y f f x a =--有三个零点，11a e=+，函数()()1y f f x a =--有两个零点，不合题意，11a e>+时，()f x a =有一个解，由题意()2f x a =-要有两解，所以021a <-≤或121a e-=+，所以113a e +<≤或13a e =+，综上，函数()()1y ff x a =--有三个零点，则a 取值范围是(]111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．【点睛】本题考查方程解的个数，函数零点个数问题，解题方法是数形结合思想，问题转化为直线与函数图象交点个数，作出函数图象与直线，由它们交点个数得出结论．17．条件选择见解析（1）2nn a =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）若选①，根据三个数成等差数列，建立等量关系，求得12a =，进而求得通项公式；若选②，根据1S ，22S +，3S 成等差数列，建立等量关系，求得12a =，进而求得通项公式；（2）将2nn a =代入，求得()1n b n n =+，22221121n n n b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项之后求和得结果. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32442a a a =+-，所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2nn a =.选②：因为1S ，22S +，3S 成等差数列，所以()21322S S S +=+，即234a a +=，所以11244a a +=，解得12a =，所以2nn a =；（2）因为2nn a =，所以()()()221log 1log 21nn n b n a n n n =+=+=+，所以，()2222211211n n n b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111122121223111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有三数成等差数列的条件，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，考查学生的运算求解能力. 18．（1）2k =；（2）35t -<<. 【分析】（1）由(0)0f =求出k 值，代入检验()f x 是奇函数即可；（2）由(1)0f <得01a <<，确定函数()f x 是R 上的减函数，利用奇函数与减函数的性质可把不等式变形为24x tx x +>-，然后根据一元二次不等式恒成立得结论． 【详解】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()()()001110f a k a k =--=--=，∴2k =.经检验：2k =时，()xxf x a a -=-(0a >且1a ≠)是奇函数.故2k =；（2）()xxf x a a -=-(0a >且1a ≠)∵()10f <，∴10a a-<，又0a >，且1a ≠，∴01a << 而xy a =在R 上单调递减，xy a =在R 上单调递增， 故判断()xxf x a a -=-在R 上单调递减，不等式化为()()24f x tx f x +<-，∴24x tx x +>-，∴()2140x t x +-+>恒成立，∴()21160t ∆=--<，解得35t -<<. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题，解题关键是由奇偶性与单调性把问题转化为一元二次不等式恒成立，利用判别式即可得解．19．（1）0.005a =，0.01b =，0.02c =；（2）列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关；（3）99190. 【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为1列出关于a ，b ，c 的方程，然后再根据a ，b ，c 成公比为2的等比数列，得到关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b ，c 即可；（2）先根据频率分布直方图计算出获奖的人数，根据样本中文科生与理科生的比例为1:4得出文理科的人数，补全22⨯列联表，计算2K 的值，然后判断能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关;（3）计算出从获奖的学生中任选2人的基本事件总数，再计算至少有一个文科生所包含的基本事件数，利用古典概率模型概率的计算公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，()()101100.0180.0220.0250.35a b c ⨯++=-⨯++=， 因为a ，b ，c 构成以2为公比的等比数列，所以240.035a a a ++=，解得0.005a =， 所以20.01b a ==，40.02c a ==.故0.005a =，0.01b =，0.02c =.（2）获奖的人数为0.0051040020⨯⨯=人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1∶4， 所以400人中文科生的数量为1400805⨯=，理科生的数量为40080320-=. 由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20614-=人，不获奖的文科生有80674-=人.于是可以得到22⨯列联表如下：()224006306147425 1.316 6.635203808032019K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关. （3）获奖的学生一共20人，其中女生6人，男生14人，从中任选2人，至少1名女生的概率为112614622099190C C C P C +==. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查计算2K 进行独立性检验，考查古典概型概率的计算，难度一般.20．（1）22143x y += （2）max916S π= 【分析】（1）利用动圆与圆()221:11O x y -+=外切，与圆()222:19O x y ++=内切，可得121,3,MO R MO R ∴=+=-124MO MO ∴+=，由椭圆定义知M 是以12,O O 为焦点的椭圆，从而可得动圆圆心M 的轨迹L 的方程；（2）当2ABO S △最大时，r 也最大，2ABO △内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，可求得最值. 【详解】试题解析：（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ，即可求得结论.由题意，动圆与圆()221:11O x y -+=外切，与圆()222:19O x y ++=内切，12121,3,4MO R MO R MO MO ∴=+=-∴+=，由椭圆定义知M 在12,O O 为焦点的椭圆上，且2,1a c ==，222413b a c ∴=-=-=，∴动圆圆心M 的轨迹L 的方程为22143x y +=.（2）如图，设2ABO △内切圆N 的半径为r ，与直线l 的切点为C ，则三角形2ABO △的面积()22212ABO SAB AO BO r =++()()12121242AO AO BO BO r ar r ⎡⎤=+++==⎣⎦，当2ABO S △最大时，r 也最大，2ABO △内切圆的面积也最大，设()()()112212,,,0,0A x y B x y y y ><，则2121122121122ABO S O O y O O y y y =⋅+⋅=-△，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=，解得122233,3434m m y y m m -+--==++，2234ABO Sm ∴=+，令t =，则1t ≥，且221m t =-，有()2221212121313143ABO t t St t t t===+-++，令()13f t t t=+，则()21'3f t t =-，当1t ≥时，()()'0,f t f t >在[)1,+∞上单调递增，有()()14f t f ≥=，21234ABO S ≤=△，即当1,0t m ==时，4r 有最大值3，得max 34r =，这时所求内切圆的面积为9,16π∴存在直线:1l x =，2ABO △的内切圆M 的面积最大值为916π. 21．(1)12；(2)见解析；(3) 当112p <<时，可以提高整个G 系统的正常工作概率. 【分析】（1）由条件，利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；（2）设X 为维修维修的系统的个数，根据题意可得13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到500X ξ=，利用公式写出分布列，并求得期望；（3）根据题意，当系统G 有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果. 【详解】（1）系统不需要维修的概率为23233311112222C C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设X 为维修维修的系统的个数，则13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，且500X ξ=， 所以()()3311500,0,1,2,322kkk P k P X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为()150037502E ξ=⨯⨯=. （3）当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为21223113228C p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；若前3个电子元件中有两个正常工作， 同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为()()2221222323111131222228C C p p C p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，则概率为3331128C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭. 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848p p p p +-+=+， 于是由()3113214828p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时，可以提高整个G 系统的正常工作概率. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目. 22．（1）21a e-；（2）(],e -∞. 【分析】（1）求出导函数()()1xf x x e a '=++，再对导函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）将不等式转化为()ln ln ln xxxe x a x ea x α+≥+对()1,x ∈+∞恒成立，构造不等式()()ln f x f a x >，讨论a 的取值，令()ln m x x a x =-，利用导数判断()m x 的单调性，求出()m x 的最小值大于0即可求解. 【详解】（1）∵()()1xf x x e a '=++，()()2xf x x e ''=+所以()f x '在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增 所以()f x '的最小值为()212a f e ='--（2）当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥成立， 即ln ln x a xe x ax x a x +≥+对()1,x ∈+∞恒成立， 亦即()ln ln ln xxxe x a x ea x α+≥+对()1,x ∈+∞恒成立.即()()ln f x f a x >，由（1）知1a =时()f x '的最小值为2110e->，所以()f x 在R 上单调递增. ∴ln x x x ≥在()1,+∞上恒成立. 令()ln m x x a x =-，则()1a x am x x x-'=-=. ①1a ≤时，()0m x '>在()1,+∞上恒成立，∴()()110m x m >=>，此时满足已知条件， ②当1a >时，由()0m x '=，解得x a =.当()1,x a ∈时，()0m x '<，此时()m x 在()1,a 上单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0m x '>，此时()m x 在(),a +∞上单调递增.∴()m x 的最小值()ln 0m a a a a =-≥，解得1a e <≤. 综上，a 的取值范围是(],e -∞. 【点睛】本题考查了利用求函数的最值，利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与化归的思想，属于难题.。