10-非线性分析解析
非线性分析
非线性分析非线性分析是一种数学方法，用于研究无法通过简单关系描述的现象。
它以非线性方程为基础，通过数值方法和解析方法来研究非线性系统的行为和性质。
非线性分析是在传统的线性分析基础上发展起来的，它对于探索和揭示复杂系统中的混沌现象、奇异现象和稳定性问题具有重要意义。
非线性分析的发展历程可以追溯到20世纪初，当时科学家们开始意识到很多自然现象无法被简单的线性模型描述。
随着计算机技术的发展和数值方法的提出，非线性分析得以快速发展。
它被广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等各个领域。
在非线性分析中，最基本的问题是确定非线性系统的解析解或数值解。
对于一些简单的非线性方程，可以通过代数方法或函数逼近法来找到解析解。
然而，对于更复杂的非线性系统，只能通过数值计算方法来获得近似解。
数值计算方法包括迭代法、有限元法、有限差分法等，它们利用计算机进行大量的数值计算，逼近非线性系统的解。
除了确定解析解或数值解外，非线性分析还包括对非线性系统的性质和行为的研究。
这包括稳定性分析、周期解的存在性和唯一性、混沌行为等。
稳定性分析是非线性分析中非常重要的一个方面，它研究系统在微小扰动下的行为。
周期解的存在性和唯一性研究系统是否存在周期解以及这些解的唯一性。
混沌行为是非线性系统中非常有趣和复杂的现象，它表现为对微小扰动极其敏感的系统行为。
非线性分析的应用非常广泛。
在物理学中，非线性分析常用于研究混沌现象、量子力学和天体物理学等问题。
在工程学中，非线性分析被用于研究结构的破坏、流体的流动和控制系统等。
在经济学和社会科学中，非线性分析常用于研究市场的波动、人口增长和社会网络等问题。
总之，非线性分析是一种研究复杂系统行为和性质的数学方法。
它适用于各种学科和领域，对于揭示系统的混沌现象和稳定性问题具有重要意义。
非线性分析的发展和应用为我们理解自然界和人类社会提供了独特的视角和方法。
非线性分析简介
非线性分析简介非线性分析是数学中一个重要的分支，研究的对象是非线性系统。
在实际生活和科学研究中，许多系统都是非线性的，因此非线性分析具有广泛的应用价值。
本文将简要介绍非线性分析的基本概念、方法和应用。
一、非线性系统的特点在介绍非线性分析之前，首先需要了解非线性系统的特点。
与线性系统相比，非线性系统具有以下几个显著的特点：1. 非线性系统的响应与输入之间不满足叠加原理，即系统的输出不是输入的简单线性组合。
2. 非线性系统的行为复杂多样，可能出现周期性运动、混沌现象等。
3. 非线性系统的稳定性分析更加困难，存在更多的稳定性条件和现象。
二、非线性分析的基本概念1. 非线性方程：非线性系统的数学模型通常由非线性方程描述，如非线性微分方程、非线性差分方程等。
2. 非线性动力学：研究非线性系统随时间演化的规律，包括稳定性、周期性、混沌等性质。
3. 非线性控制：设计能够有效控制非线性系统的控制器，使系统达到期望的状态或性能。
三、非线性分析的方法1. 线性化方法：将非线性系统在某一工作点附近进行泰勒展开，得到近似的线性系统，然后应用线性系统的方法进行分析。
2. 相图分析：通过构建相空间中的相图，观察系统在相空间中的轨迹和稳定性，揭示系统的动力学行为。
3. 数值模拟：利用计算机进行数值模拟，求解非线性系统的数值解，研究系统的演化过程和特性。
4. 非线性优化：通过优化方法寻找非线性系统的最优控制策略或参数配置，使系统达到最佳性能。
四、非线性分析的应用1. 混沌理论：非线性分析在混沌理论中有重要应用，揭示了一些看似混乱的系统背后的规律和特性。
2. 生物系统：生物系统中存在许多非线性现象，如神经元网络、生物钟等，非线性分析有助于理解和模拟这些系统。
3. 控制工程：许多实际控制系统是非线性的，非线性分析为设计高效的控制器提供了理论支持和方法指导。
4. 物理学：非线性分析在物理学中有广泛应用，如流体力学、光学等领域，帮助揭示复杂系统的行为规律。
自动控制原理(黄家英)第二版课后答案-10
1 x 1 的t值，因此上式 1 不存在使x x x 1 ，并当： 0 1，x
0 t 定的也可能是不稳定的； e x 1 0 x 0 即：t ln 时,x 。 平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与 x0 1 7 系统的初始条件有直接的关系。
14
(4) 继电器特性
y (t ) y (t )
x(t)
x(t)
具有滞环的继电器
M x 0: y 0 M M . x 0: y 0 M
.
x h2 h2 x h1 x h1 x h1 h1 x h2 x h2
2.等倾线法
（3）α取不同值时，画 出若干不同的等倾线，在 每条等倾线上画出表示斜 率为α的小线段，构成相 轨迹的切线方向场 （4）从相轨迹的初始状 态点按顺序将各小线段连 接起来，就得到了所求的 相轨迹 。
10.1.2非线性控制系统的特点
• (3)可能存在自持振荡（极限环）现象
– 自持振荡：指没有外界周期变化信号的作用时，系统 内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。 – 线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在临界稳 定的情况下才能产生周期运动。而这一周期运动是物 理上不可能实现的 – 非线性系统，在没有外作用时，可能会发生一定频率 和振幅的稳定的周期运动，即自持振荡，这个周期运 动在物理上是可以实现的。 长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多 数情况下不希望系统有自振发生 自持振荡是某些非线性系统的重要特征，也是研究非线性 8 系统的一个重要内容
相轨迹的基本特征： (3)相轨迹的运动方向
0 — 向右移动 上半平面: x 0 — 向左移动 下半平面: x
2014-计算力学-10-非线性结构解析
简介
对增量方程求解的平衡迭代采用修正的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在于迭代过程中系数矩 阵保持不变，因此不需要重新形成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。 但是这样又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了加速收敛和 发散处理的措施。这些措施并不明显地增加求解的时间，但却会对修正的 牛顿迭代法的性能有所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一种。它实际上是完全 的牛顿法与修正的牛顿法之间的一种折中方法。因为它在迭代过程中，并 不重新形成刚度阵，但也不保持不变，而是用某种方法对刚度阵（确切地 说是对它的逆）进行修改，从而求解。它在有限元分析遇到的许多问题中， 具有相当好的收敛性，尤其在复杂材料的非线性分析和动态分析中推荐采 用BFGS法。 程序对几何非线性的考虑可采用完全拉格朗日公式或改进拉格朗日公 式。在非线性动态分析中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间积分通常用来分析结 构的振动问题，显式时间积分主要用来分析波传布现象。
简介
对于结构的几何非线性和材料非线性分析，可以归结为外 力与内力的平衡方程，它是关于节点位移的非线性方程；非线 性的稳态与瞬态温度场计算归结为热流平衡方程，它是关于节 点温度的非线性方程；因此非线性分析的有限元计算最终归结 为非线性方程求解。 非线性分析简而言之就是： 将系统的平衡方程式根据系统的非线性特性不断地进行修正， 然后求平衡方程的增量解。 如果是几何非线性，则在新的一步增量求解之前，坐标系进行 修正，然后去求解方程，并计算几何非线性对刚度阵和载荷阵 的修正。 若为材料非线性，则是将等效刚度阵和载荷阵不断地进行修正， 然后进行求解。
（10-11） （10-12） （10-13） （10-14） （10-15）
非线性分析
非线性分析非线性分析是数学中重要的一个领域，它研究的是非线性方程和不等式的性质及其解的行为。
在非线性分析中，我们关注的是线性方程无法描述的复杂的现象和问题，这些问题可能涉及到多个变量之间的相互作用和非线性变化的规律。
非线性分析的研究对象包括：非线性微分方程、非线性泛函分析、非线性变分理论、复杂动力系统、最优控制等。
非线性分析的起源可以追溯到19世纪末和20世纪初，当时的数学家们开始意识到线性模型无法完全描述现实世界的复杂性。
通过对非线性方程进行研究，数学家们逐渐发现了许多重要的非线性效应，如混沌现象、孤立子等。
这些发现不仅深刻地改变了数学的发展，也对物理学、工程学等其他学科产生了重大影响。
在非线性分析中，一个关键的概念是非线性映射。
简单来说，一个映射是指将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。
而非线性映射则是指不满足线性性质的映射。
非线性映射的特点是它们的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系。
相反，它们可能显示出强烈的非线性行为，如周期性、奇点、分叉等。
非线性分析的一个重要问题是研究非线性方程的解的存在性和唯一性。
对于一般的非线性方程，很难直接找到解析解，因此数学家们开发了各种方法来求解这些方程。
其中最著名的方法之一是古典非线性分析中的不动点定理和奇点理论。
这些理论提供了一种从不动点（或奇点）出发逐步逼近解的方法，通过迭代和逼近的方式来求解非线性方程。
除了解的存在性和唯一性，非线性分析还研究了解的稳定性和性质。
对于非线性方程的解来说，存在许多不同的稳定性概念，如局部稳定、全局稳定和渐近稳定。
这些概念用于描述解在微小扰动下的行为以及长时间演化的趋势。
稳定性理论对于理解和预测自然界中的复杂现象具有重要意义。
非线性分析的研究方法不仅限于数学理论，还涉及到了计算机模拟和实验观测。
计算机模拟通过数值方法来求解非线性方程，并研究其解的行为和性质。
实验观测则通过实验手段来验证非线性方程的解是否与真实情况相符。
机械振动第10章-非线性振动初步
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x3三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d2x dt2
dx dt
x
x3
F
cos t
实验中系数 由磁铁的吸力调整。
弱磁吸力时 ，
强磁吸力时 。 0 0
例：弱非线性单摆属Duffing方程：
d2x 取： dt2
dx dt
02 sin x 得：
2.平衡点[ ]为 单0 摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线；
3.从[ ]到 0[
]或 相 反 0的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
2. ，0原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. ，0原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整个相平面被分
隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2
dt2
2
d
dt
02
0
阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
非线性分析
非线性分析非线性分析是一种重要的数学方法，用于研究非线性系统的行为和性质。
它可以应用于各个领域，如物理学、化学、生物学和工程学等，以帮助我们理解和解释实际问题的动态。
本文将介绍非线性分析的基本概念、方法和应用，并探讨其在科学研究和实际应用中的重要性。
首先，让我们了解一下什么是非线性系统。
在物理学中，线性系统的行为可以用线性方程和线性代数的方法进行描述和分析。
而非线性系统的行为则无法简单地通过线性方法理解和解释。
非线性系统的行为具有复杂性和多样性，可能出现混沌、周期性运动以及其它非线性特征。
非线性分析的核心概念是映射和轨道。
映射描述了系统在不同时刻的状态之间的转换关系，而轨道则描述了系统在时间上的变化。
通过对映射和轨道进行分析，我们可以揭示系统的动力学行为和特征。
非线性分析有许多重要的方法和工具，其中一种基本方法是相空间重构。
相空间重构可以将非线性系统的时间序列数据转换为相空间中的轨道，并通过轨道分析方法来了解系统的动态性质。
相空间重构的关键是确定延迟时间和嵌入维度，这决定了轨道在相空间中的分布和形状。
另一个重要的非线性分析方法是Lyapunov指数。
Lyapunov指数可以用来衡量系统的稳定性和混沌性。
正的Lyapunov指数表明系统是不稳定的，而负的Lyapunov指数表明系统是稳定的。
当Lyapunov指数为零时，系统可能存在周期性运动。
在实际应用中，非线性分析具有广泛的应用价值。
例如，在天气预测中，非线性分析方法可以帮助我们理解和预测大气系统的复杂动态。
在生物学中，非线性分析方法可以用来研究生物体的生长过程和种群演化。
在工程学中，非线性分析方法可以用来优化系统的控制和设计。
总之，非线性分析是一种重要的数学方法，用于研究非线性系统的行为和性质。
它通过映射和轨道的分析揭示了系统的动力学行为和特征。
非线性分析具有许多重要的方法和工具，如相空间重构和Lyapunov指数。
在科学研究和实际应用中，非线性分析具有广泛的应用价值，可以帮助我们理解和解释复杂的现象和问题。
10-3 非线性电路
可见，非线性电路的范围非常广！例如电力电子电路全部为非线性电路。
（2）与电机相关的电路。
（3）变压器铁心饱和时所在的电路。
以上非线性电路都是电路在工程实际应用中自然出现的电路。有些非线性电路是人为
构造的，例如图 1 所示的著名的蔡氏电路。图 1 中最右侧的元件为非线性电阻，称为蔡氏电
阻。蔡氏电阻的电压电流关系为分段线性曲线，如图 2 所示。
6
−U0
−
U
2 0
=−0.1 +
(1 +
2U0
)Um
cos(100t)
（6）
显然，要保证式（6）对任意时间都成立，必须满足
6
−U0
−
U
2 0
= 0
−0.1 + (1 + 2U0 )Um =0
（7）
由式（7）可以解得 = U0 2= V, Um 0.02 V
将式（8）代入式（3）可得
（8）
u= 2 + 0.02 cos(100t) V
问：本门 MOOC 为什么没有包含“拉普拉斯变换法分析电路”、“分布参数电路”和“电 路方程的矩阵形式”这三部分内容？
答： “拉普拉斯变换法（即运算法）分析电路”是《信号与系统》课程的重要内容，为了避 免重复讲解，所以本门课程未包含这一部分内容。“分布参数电路”是《电磁场与波》课程 的重要内容，所以本课程未包含这一部分内容。“电路方程的矩阵形式”这一部分内容在实 际电路分析中用处不大，所以本门课程没有涉及。 问：本门 MOOC 课程“通过实验学电路”至此完全结束了，那么，这是否意味着已经 完全掌握了电路知识呢？ 答： 学完“通过实验学电路”MOOC，就掌握了电路的基本概念和基本分析方法，相当于电 路入了门。这离完全掌握电路知识还有很长一段距离，毕竟电路知识浩如烟海，深不可测。 “通过实验学电路”相当于为你打造了一艘轮船，并教会了你驾船的技术，让你驶入大 海。如果你想继续探索广阔的电路海洋，以后就需要自己驾船前行。祝你乘风破浪会有时， 直挂云帆济沧海！
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– 弹性响应中，如果产生的应力低于材料的屈服点，卸载时材料可完全 恢复到原来的形状。 – 从金属的观点看，这种行为是因为延伸但没有破坏原子间化学键。因 为弹性是由于原子键的延伸，所以是完全可恢复的。而且这些弹性应 变往往是小的。 – 金属的弹性行为最常用虎克定律的应力应变关系描述:
E
3、材料非线性-弹塑性
塑性回顾: 延性金属中也会遇到非弹性或塑性响应。
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超过屈服应力是塑性区域，塑性区域中卸载后残留一部分永久变形。
如果考虑在分子层次上发生了什么，塑性变形是由于剪切应力(偏差应力) 引起的原子平面间的滑移引起的。位错运动的实质是晶体结构中的原子 重新排列得到新的相邻元素, 从而导致不可恢复塑性应变。 值得注意的是, 与弹性不同, 滑移不会引起任何体积应变 (不可压缩条件) 。
2、几何非线性
1-几何非线性 典型的应用包括大变形和屈曲分析； 通过将求解设置细节面板中的大变形设置为 On，则表明打开了大变形，其中包括大转动 ，小应变，大应变，小转动，旋转软化。
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3、材料非线性-弹塑性
• 弹性回顾: • 讨论塑性之前，先回顾一下金属的弹性。
eng
发生颈缩以前:
eng
ln1 eng
eng 1 eng
超过颈缩: 在颈缩处没有工程和真实应力-应变转换公式。必须测量瞬时的横截面。
PA
i
A ln oA i
注意，仅对应力转换，有以下假设: 材料是不可压缩的 (大应变可接受的近似值) 假设试样横截面的应力均匀分布。
最初的屈服面
2
1
因此屈服准则可写为:
3 T 2 F s M s k 0 2
1
式中 {s} 是偏差应力， k 是当前屈服应力。 等向强化适用于大应变、比例加载情况。 不适与循环加载。
3、材料非线性-弹塑性
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3 T e s M s 2
1 2
式中 {s} 是偏差应力， m 是静水应力
1 0 0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2
3、材料非线性-弹塑性
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3、材料非线性-弹塑性
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屈服准则: 屈服准则用于把多轴应力状态和单轴情况联系起来。 -试样的拉伸实验提供单轴数据，可以绘制成一维应力-应变 曲线，已在前面介绍过。 -实际结构一般是多轴应力状态。屈服准则提供材料应力状 态的标量不变量，可以和单轴情况对比。
若在 3D 主应力空间中画出, von Mises 屈服面是一个圆柱体。
2
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圆柱体以1=2=3 为轴排列。 注意如果应力状态在圆柱体内， 不发生屈服。这意味着如果材料 在静水压力下 (1=2=3), 再大 的静水压力也不会引起屈服。 从另一个角度看，偏离 (1=2=3) 轴的应力参与计算 von Mises 应力 {s}。
工程和真实应力应变: -工程应力-应变用于小应变分析，但对于塑性必须用真实应力-应变，因 为它们是材料状态更具代表性的度量。
3、材料非线性-弹塑性
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工程和真实应力应变 (续): 如果引入工程应力-应变数据，则可以用下面的公式把这些值转换为真实应 力-应变: 达到屈服应变的两倍以前:
非线性分析
1、概述
1-几何非线性 典型的应用包括大变形和屈曲分析； 2-材料非线性 弹塑性分析（Plasticity） 超弹分析（Hyperelastic）
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蠕变分析（Creep）
衬垫材料（Gasket） 粘弹性分析（Viscoelastic） 形状记忆合金材料（Shape Memory Alloy） 3-状态非线性 典型的应用为接触分析，单元生死
双线性等向强化模型
3、材料非线性-弹塑性
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多线性等向强化模型
3、材料非线性-弹塑性
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多线性等向强化模型
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q
塑性流动方向和屈服面法线不 同
p
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强化准则: -强化准则描述屈服面如何随塑性变形的结果而变化 (大小、 中 心、 形状)。 -强化准则决定如果继续加载或卸载, 材料将何时再次屈服。 这与呈现无硬化– 即屈服面保持固定的弹性-理想塑性材料完 全不同。
2 a C pl 3
因为包括包辛格效应，所以可用于循环加载 (弹性区等于两倍的初始屈服应 力。然而，应变水平相对小时(小于5-10 % 真实应变)推荐采用线性随动强化。 因为仅有一个斜率 (剪切模量), 所以由于强化是常量而不能代表真实金属。 因此，对大应变应用不现实。
3、材料非线性-弹塑性
3、材料非线性-弹塑性
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常用的屈服准则是von Mises 屈服准则 (也称为八面体剪切应力或变形能 准则)。von Mises 等效应力定义为:
e
写成矩阵形式
1 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2
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混合强化适用于大应变和循环加载。 混合强化模型可用于循环加载问题来模拟棘轮、调整、循 环强化/软化
3、材料非线性-弹塑性
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缺省时，所有的率无关塑性模型采用 von Mises 屈服准则，除非另外说明
对 线性随动强化, 屈服面在塑性流动过程中进行刚体平移。 屈服后最初的各向同性塑性行为不再各向同性 (随动强化是 各向异性强化的一种形式) 弹性区等于 2 倍的初始屈服应力，这称为包辛格效应。
3
后来的屈服面
' y
2y
最初的屈服面
a
2
1
3、材料非线性-弹塑性
因此屈服准则可被表述为:
3 F s a T M s a y 0 2
1 2
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式中 {s} 为偏差应力, y 是单轴屈服应力，{a}是后应力(屈服面中心位置)。 注意前面图中屈服面中心平移了{a}， 因此基于位置 {a}, 反向的屈服仍 是 2y。 后应力通过下式与塑性应变线性 相关:
i a a
i n
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2 n 1 dCi pl ia i ˆ pl Ci a i 3 i Ci d
3、材料非线性-蠕变分析
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晶体材料中, 如金属, 蠕变机理与空隙的扩散流动和位错运 动有关。 空隙是点缺陷, 倾向于形成与所施加应力方向垂直(而不 是平行)的晶界。空隙由高集中区向低集中区运动。 在低应力 状态下发生扩散流动，但通常需要高温条件。 晶粒的位错是线缺陷. 位错运动(攀升、滑动、偏移)在高 应力状态下被激活, 尽管在中温时也可能发生位错运动。 有时晶界滑移被认为是一种独立的导致蠕变变形的机理。
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双线性随动强化模型
3、材料非线性-弹塑性
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3、材料非线性-弹塑性
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多线性随动强化模型
3、材料非线性-弹塑性
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塑性回顾 (续): -因为塑性处理由于位移引起的能量损失，所以它是非保守( 路径相关) 过程。 -延性金属支持比弹性应变大得多的塑性应变。 -弹性变形实质上独立于塑性变形，因此产生的超过屈服点 的应力仍产生弹性和塑性应变。因为假设塑性应变不可压缩 ，所以材料响应随着应变增加变为 几乎不可压缩 。
s m
m
m m 0 0 0
1 x y z 3
应力状态可分解为静水压力(膨胀)和偏差(变形)分量。静水压应力和体积改变能有关，而 偏差应力和形状改变有关。von Mises 屈服准则说明只有偏差分量 {s} 引起屈服。