五年高考数学2015-2019全国卷试题LaTeX版
2015(数学)成人高等学校招生全国统一考试5年真题
2014年成人高等学校招生全国统一考试数学答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．。
选择题一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项的字母填涂在答题卡相应的题号的信息点上．．．．．．．．．．．．．。
(1)设集合M=｛x ︱-1≤x ＜2｝，N=｛x ︱x ≤1｝，则集合M ∩N= (A)｛x ︱x ＞-1｝ （B ）｛x ︱x ＞1｝ （C ）｛x ︱-1≤x ≤1｝ （D ）｛x ︱1≤x ≤2｝ (2)函数y=51-x 的定义域为 (A)（-∞，5） （B ）（-∞，+∞） （C ）（5，+∞） （D ）（-∞，5）∪（5，+∞） (3)函数y=2sin6x 的最小正周期为 (A)3π （B ）2π（C ）2π （D ）3π (4)下列函数为奇函数的是(A)y=log 2x （B ）y=sinx （C ）y=x2（D ）y=3x(5)抛物线y 2=3x 的准线方程为(A)x=﹣23 （B ）x=﹣43（C ）x=21 （D ）x=43(6)已知一次函数y=2x+b 的图像经过点（-2,1），则该图像也经过点 (A)（1,-3） （B ）（1，-1,） （C ）（1,7） （D ）（1,5） (7)若a,b,c 为实数，且a ≠0设甲：b 2-4ac ≥0 , 乙：ax 2+bx+c=0有实数根，则 (A)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 （B ）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 （C ）甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 （D ）甲是乙的充分必要条件(8)二次函数y=x 2+x-2的图像与x 轴的交点坐标为(A)（-2,0）和（1,0） （B ）（-2，0）和（-1,0）(9)不等式︱x-3︱＞2的解集是(A)｛x ︱x ＜1｝ （B ）｛x ︱x ＞5｝ （C ）｛x ︱x ＞5或x ︱x ＜1｝ （D ）｛x ︱1＜x ＜5｝(10)已知圆x 2+y 2+4x-8y+11=0，经过点P （1,0）作该圆的切线，切点为Q ，则线段PQ 的长为 (A)4 （B ）8 （C ）10 （D ）16(11)已知平面向量a=（1,1），b=（1，-1），则两向量的夹角为(A)6π （B ）4π（C ）3π （D ）2π(12)若0＜lga ＜lgb ＜2，则(A)0＜a ＜b ＜1 （B ）0＜b ＜a ＜1 （C ）1＜b ＜a ＜100 （D ）1＜a ＜b ＜100 (13)设函数xx x f 1)(+=，则)1(-x f = (A)1+x x （B ）1-x x （C ）11+x （D ）11-x(14)设两个正数a ，b 满足a+b=20，则ab 的最大值为(A)400 （B ）200 （C ）100 （D ）50(15)将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行，则2本数学书恰好在两端的概率为(A) 101 （B ）141 （C ）201 （D ）211(16)在等腰三角形ABC 中，A 是顶角，且cosA=21，则cosB=(A)23 （B ）21（C ）-21（D ）-23 (17)从1,2,3,4,5中任取3个数，组成的没有重复数字的三位数共有 (A)80个 （B ）60个 （C ）40个 （D ）30个非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
【独家整理】近五年(2015-2019)全国各地区高考真题汇总——2019年江苏卷数学试题(精校解析
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：1n2n样本数据 x1, x2 ,⋯, x n的方差s2 1x i x ，其中x n1x i．n i 1 n i1柱体的体积V Sh，其中 S是柱体的底面积，h 是柱体的高．1锥体的体积 V 1 Sh，其中 S是锥体的底面积，h是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1.已知集合A { 1,0,1,6} ，B x x 0, x R ，则A B _________________ .【答案】{1,6} .【解析】【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可 . 【详解】由题知，AI B {1,6} .点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题22.已知复数 (a 2i)(1 i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 _ . 【答案】 2. 【解析】 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 z ，然后根据复数的概念，令实部为 0即得 a 的值 .2【详解】 Q (a 2i)(1 i) a ai 2i 2i 2 a 2 (a 2)i ， 令a 2 0得 a 2.【点睛】 本题主要考查复数的运算法则， 虚部的定义等知识， 意在考查学生的转化能力和计 算求解能力 .3.下图是一个算法流程图，则输出的答案】 5. 解析】 分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可【详解】执行第一次， S S x 2 1,x 1 4 不成立，继续循环， x x 2 执行第二次， S S x 3 ,x 2 4 不成立，继续循环， x x 1 3 ；2 2执行第三次， S S x 3,x 3 4 不成立，继续循环， x x 1 4 ；2执行第四次，S S x 5,x 4 4 成立，输出 S 5.点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：S 的值是 ____(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．4.函数y 7 6x x2的定义域是______________ .【答案】[ 1,7] .【解析】【分析】由题意得到关于 x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得7 6x x2 0 , 即x2 6x 7 0解得1 x 7 ，故函数的定义域为[ 1,7] .【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5.已知一组数据 6，7，8，8， 9，10，则该组数据的方差是.5 【答案】5.3【解析】【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可 .【详解】由题意，该组数据的平均数为6 7 8 8 9 10 8 ，6所以该组数据的方差是1[(6 8)2(7 8)2(8 8) 2 (8 8)2(9 8)2(10 8)2] 5.63【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题 .6.从 3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有1 名女同学的概率是 ___ 【答案】 7 .10【解析】 【分析】先求事件的总数， 再求选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数， 最后根据古典概型的 概率计算公式得出答案 .详解】从 3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿服务，共有 C 52 10种情况 .若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有 C 31C 21 6种情况， 若选出的 2 名学生都是女生，有 C 22 1 种情况，点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典排列”“组合27.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2 b y2 近线方程是 ___ . 【答案】 y 2x .【解析】 【分析】根据条件求 b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案解得 b 2或b 2 ，因为 b 0，所以 b 2 . 因为 a 1 ，所以所求的概率为61 10 710 概型结合考查， 由于古典概型概率的计算比较明确， 所以， 计算正确基本事件总数是解题的 重要一环 .在处理问题的过程中，应注意审清题意， 明确 “分类 ”分“步 ”，根据顺序有无， 明确1（b 0） 经过点（ 3，4），则该双曲线的渐详解】由已知得 3242 b 21，所以双曲线的渐近线方程为y 2x.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题 .双曲线渐近线与双曲线标准方程中的a, b密切相关，事实上，标准方程中化 1为 0，即得渐近线方程 .8.已知数列{a n}（n N *）是等差数列，S n是其前 n项和.若a2a5 a8 0,S9 27，则S8的值是 ____ .【答案】 16.【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8 项和即可 .a2a5 a8 a1 d a1 4d a1 7d 0【详由题意可98S9 9a19 8d227解得：a1 5 871，则S8 8a1 d 40 28 2 16. d2 2【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建a1,d 的方程组 .9. ___ 如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120，E为CC1的中点，则三棱锥 E-BCD的体积是 .答案】 10.【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积 .【详解】因为长方体ABCD A1B1C1D1 的体积为 120，所以AB BC CC1 120 ，因为E 为 CC1 的中点，1所以CE CC1 ，2由长方体的性质知CC1 底面ABCD ，所以CE是三棱锥E BCD 的底面BCD 上的高，11 所以三棱锥E BCD 的体积V AB BC CE321 1 1 1AB BC CC1 120 10 .3 2 2 1 12【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律 .在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题 .410.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线 y x（x 0）上的一个动点，则点 P 到直线x+y=0 x的距离的最小值是____ .【答案】 4.【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线gR2平移到与曲线y x 4 相切位置时，切点 Q 即为点 P到直线gR2的r2x r2 距离最小 .由y 1 421，得x 2（ 2舍），y 3 2 ，即切点Q( 2,3 2) ，x即 y ln x 01，故答案为： 4 ．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题11. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点 （-e ，-1）（e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是 . 【答案】 （e, 1）. 解析】 分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标则切点 Q 到直线 gR2 的距离为r 2232 12 124，渗透了直观想象和数学运算素养 x 00，【详解】设点A x0, y0 ，则y0 ln x0 .又y 1x当x x0 时， 1 y，x01点 A 在曲线ln x 上切线为y y0 1 (x x0) ，x03221 uuur23 uuur 2 uuur得1 AB 3AC ,即 ABuuur AC , 故AB AC一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质， 直线与曲线只有一个公共点， 直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12. 如图，在 V ABC 中， D 是BC 的中点， E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点 O .若解析】分析】 由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值 详解】如图，过点 D 作 DF//CE ，交 AB 于点 F ，由 BE=2EA ， D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD.uu ur uuur uu ur uuu r uuur 3 uuu r uuu r uuur uuur6 AO gEC 3ADg AC AE 2AB AC g AC AE3uuur u uur uuur 1 uuur 3 uu ur uuu r 1uuur uuur 21 uuuruuurAB AC g AC 1 AB ABgAC1 AB AC ABgACuuur uuuruuur uuur 6AO EC ，则 AB 的值是 AC答案】 3.1 21 3 31323 2333 2uuu r uuur 1uuur 2 uuur 2 uuu r uuu r 1 uuur 2 3 uuur 2uuur uuurABgAC AB AC ABgAC AB 3 AC ABgAC 2 332 2121 3 313当 tan1时， 2 上式= 222 10算素养 .采取几何法，利用数形结合和方程思想解题tan2π3 ，则 sin 2的值是 _____ .413.已知 tanπ 4【答案】a A 2v Ar A22v A A 12:4.【解析】 a Cv C2r C v C【分析】由题意首先求得 tan 的值， 然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐 次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可tantantan 1 tan2【详解】tan 1 tan 13tan41 tan得 3tan 2 5tan 2 0，解得 tan2 ，或 tan1点睛】 本题考查在三角形中平面向量的数量积运算， 渗透了直观想象、 逻辑推理和数学运sin 2sin 2 cos4 cos2 sin422sin22 2sin cos cos 2 sin 2 cos2 =22 2sin c s o in s 2 c c o o s s 2 sin=2 2tan 1 tan 2 =22tan 2 1当 tan2时，上式2 2 1 22 22 = ； 22 1103.1213313分别考查函数 x 和函数 g x 图像的性质，考查临界条件确定 k 的取值范围即可 详解】当 x 0,2 时， f(x) 1 x 1 2,即 x 1 2 y 2 1,y 0.又 f(x) 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图，函数 f(x) 与 g(x) 的图象，要使 f (x) g(x) 在(0,9］上有 8个实根，只需二者图象有 8个交点即可 .当 g(x)1时，当 g(x) k(x 2)时， g(x)的图象为恒过点( -2，0)的直线，只需函数 f (x)与 g(x)的图 象有 6个交点.当 f(x)与 g( x)图象相切时， 圆心(1，0)到直线 kx y 2k 0的距离为 1，函数 f(x) 与 g(x) 的图象有 3个交点；当 g(x) k (x 2) 过点解析】分析】综上， sin 2 2.4 10【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养 用分类讨论和转化与化归思想解题 ..采取转化法，利k(x 2),0 x 1是奇函数 .当 x (0,2] 时， f (x) 1 (x 1)2 ， g(x)1 ，其中 k>0. 若 ,1 x2 214.设 f ( x), g ( x)是定义在 R 上的两个周期函数， f (x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f (x)在区间 (0，9］上，关于 x 的方程 f(x) g(x)有 8个不同的实数根，则 k 的取值范围34即1，得k2）因为1（1,1）时，函数 f （x ） 与 g （x ） 的图象有 6个交点，此时 1 3k ，得 k .3综上可知，满足 f （x ） g （x ）在（0,9］上有 8个实根的 k 的取值范围为 1， 2.34【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大 .不能正确画出函数图象的交点而致误， 根据函数的周期性平移图象， 找出两个函数图象相切或相交的临界 交点个数，从而确定参数的取值范围 .、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域． 内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．答案】（1） c 3；（2）2 5 .35解析】分析】 （1）由题意结合余弦定理得到关于 c 的方程，解方程可得边长 c 的值； （2）由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得 cosB 的值，然后由诱导公式可得详解】（ 1）因为 a 3c,b 2,cos B 2， 3所以 c 3 . cosB= 2 ，求 c 的值；2）若sinAcosB，求 sin(B2b） 的值．sin(B 2) 的值.由余弦定理 cosB222a cb 2，得2ac(3c)2 c 2 ( 2) 22 3c c，即 c 21）若 a=3c ，3sin A cosB2b 2）因为从而cos2B (2sin B)2，即cos2 B 2 2 44 1 cos B ，故cos2 B .5π因此sin B2【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力 .16.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中， D，E分别为 BC， AC的中点， AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面 DEC 1；（2）BE⊥C1E．【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析 .【解析】【分析】（1）由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；（2）由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可 .【详解】（1）因为 D，E分别为 BC，AC 的中点，由正弦定理asin Ab cos Bsin B，得2bsin B，所以cosB 2sinB .b因为sin B 0 ，所以cosB 2sin B 0，从而cos B255cosB 255所以 ED∥ AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB∥A1B1，所以 A1B1∥ ED .又因为 ED? 平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1，所以 A1B1∥平面 DEC 1.（2）因为 AB=BC，E 为 AC的中点，所以 BE⊥AC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE? 平面 ABC，所以CC1 ⊥BE.因为 C1C? 平面 A1ACC 1， AC? 平面 A1ACC1，C1C∩AC=C，所以 BE⊥平面 A1ACC1.因为 C1E? 平面 A1ACC1，所以 BE⊥ C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力 .22xy1（a b 0）的焦点为 F1（–1、0），17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 2 2 ab2 2 2F2（ 1， 0）．过 F2作 x轴的垂线 l，在 x轴的上方， l与圆 F2:（x 1）2 y2 4a2交于点 A，与椭圆 C交于点 D.连结AF1并延长交圆 F2于点B，连结BF2交椭圆 C于点E，连结 DF1．已5知 DF 1=21）求椭圆 C 的标准方程； 2）求点 E 的坐标．22答案】（1）xy1 ；432）E （ 1, 3） .2解析】 分析】（2）解法一：由题意首先确定直线 AF 1的方程，联立直线方程与圆的方程， 确定点 B 的坐标， 联立直线 BF 2与椭圆的方程即可确定点 E 的坐标； 解法二：由题意利用几何关系确定点 E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点 E 的坐标 . 【详解】（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F 1（－ 1，0），F 2（1，0），所以 F 1F 2=2， c=1.5 2 2 又因为 DF 1= ，AF 2⊥x 轴，所以DF 2= DF 12 F 1F 22 因此 2a=DF 1+DF=4， 从而 a=2由 b 2=a 2-c 2 ，得 b 2=3.2 2因此，椭圆 C 的标准方x y1 .4 3（2）解法一：2 2由（ 1）知，椭圆 xy1，（1）由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；4 3因为 AF2⊥ x轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F 2的方程 (x-1) 2+y 2=16，解得 y=±4.因为 BF 2=2a ， EF 1+EF 2=2a ，所以 EF 1=EB ，因为点 A 在 x 轴上方，所以 y2x 2由22，得 5x 2 6x 11 0 ，x 1y 16解得 x 1或 x115.1112将x代入 y 2x 2 ，得y55 11 12 3 因此 B( 151, 152) .又 F 2(1，0)，所以直线 BF 2：y 43(x 1).y 3(x 1)4由 2 2，得 7x 2 6x 13 0 ，解得 xxy 1或x13743又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x 1.333将x 1代入 y (x 1)，得 y3.因此E( 1, ).422解法二：x 2由( 1)知，椭圆 C ：4 2y 231.如图，连结 EF 1.4).A(1，又 F 1(-1， 0)，所以直线 AF 1：y=2x+2.从而∠ BF1E=∠ B.因为 F2A=F 2B，所以∠ A=∠ B，所以∠ A=∠BF 1E，从而 EF 1∥ F2A.因为AF2⊥x 轴，所以 EF1⊥x 轴.x1 3 因为 F1（-1， 0），由x2y2，得y .12433 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以y 3.23因此E（ 1, ）.2 【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力 .18.如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥 AB （AB是圆 O的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA．规划要求:线段 PB、QA上的所有点到点 O的距离均不．小．于．圆．O的半径．已知点 A、B到直线 l的距离分别为 AC和 BD （C、D为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位 :百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB的长；（2）在规划要求下， P和 Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米） .求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+ 3 21（百米） .【解析】 【分析】 解：解法（1）过 A 作AE BD ，垂足为 E.利用几何关系即可求得道路 PB 的长； （2）分类讨论 P 和Q 中能否有一个点选在 D 处即可 .（3）先讨论点 P 的位置，然后再讨论点 Q 的位置即可确定当 d 最小时， P 、Q 两点间的距 离． 解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点 P 和点 B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得 道路 PB 的长；（2）分类讨论 P 和Q 中能否有一个点选在 D 处即可 .（3）先讨论点 P 的位置，然后再讨论点 Q 的位置即可确定当 d 最小时， P 、Q 两点间的距 离． 【详解】解法一：（1）过 A 作AE BD ，垂足为 E.因为 PB ⊥ AB ，②若 Q 在 D 处，连结 AD ，由（ 1）知 AD AE 2 ED 2 10 ，由已知条件得，四边形ACDE 为矩形， DE BE AC 6, AE CD 8.所以 PBD sin ABE8 1015.BD 12cos PBD 4所以 cos PB4 5 5因此道路 PB 的长为 15（百米）E ）到点 O 的距离均小于圆 O 的半径，所以 P 选在 D 处不满足规划要求所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径 . 因此， Q 选在 D 处也不满足规划要求 . 综上， P 和 Q 均不能选在 D 处. （3）先讨论点 P 的位置 .当∠ OBP<90°时，线段 PB 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径，点 P 不符合规划要求；CQ QA 2 AC 2 152 62 3 21 .此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径 .综上，当 PB ⊥AB ，点 Q 位于点 C 右侧，且 CQ=3 21时， d 最小，此时 P ，Q 两点间的距 离 PQ=PD+CD+CQ=17+ 3 21.因此， d 最小时， P ，Q 两点间的距离为 17+3 21（百米） 解法二：（1）如图，过 O 作 OH ⊥l ，垂足为 H.以 O 为坐标原点，直线 OH 为 y 轴，建立平面直角坐标系从而cos BADAD 2 AB 2 BD 22 AD AB7 250，所以∠ BAD 为锐角 . 当∠ OBP ≥90时°，对线段 PB 上任意一点 F ， 不小于圆 O 的半径，点 P 符合规划要求 .设 a x y M N 为 l 上一点，且 P 1B AB ， 此时P 1D P 1B sin P 1BD P 1B cos EBA 当∠OBP>90°时，在 △PP 1B 中， PB P 1B 由上可知， d≥ 15. 再讨论点 Q 的位置 . OF ≥OB ，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均由（ 1）知， P 1B 15 ，3 15 9 ；515.因为 BD=12，AC=6，所以 OH=9，直线 l 的方程为 y=9，点 A ，B 的纵坐标分别为 3，-3. 因为 AB 为圆 O 的直径， AB=10，所以圆 O 的方程为 x 2+y 2=25. 从而 A （4，3），B （-4，-3），直线 AB 的斜率为 3.44 因为 PB ⊥ AB ，所以直线 PB 的斜率为 ， 34 25 直线 PB 的方程为 y x . 33所以 P （-13 ，9）， PB （ 13 4）2 （9 3）2 15 . 因此道路 PB 的长为 15（百米） .因此 Q 选在 D 处也不满足规划要求 . 综上， P 和 Q 均不能选在 D 处. （3）先讨论点 P 的位置 .当∠ OBP<90°时，线段 PB 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径，点 P 不符合规划要求； 当∠ OBP ≥90°时，对线段 PB 上任意一点 F ， OF ≥OB ，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均 不小于圆 O 的半径，点 P 符合规划要求 设 a x y M N 为 l 上一点，且 P 1B AB ，由（ 1）知， P 1B 15 ，此时 P 1 13,9 ； 当∠ OBP>90°时，在 △PP 1B 中， PB P 1B 15.由上可知， d ≥15. 再讨论点 Q 的位置 .由（ 2）知，要使得 QA ≥15，点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求 .2）①若 P 在 D 处，取线段 BD 上一点 E （-4 ， 0），则 EO=4<5 ，所以 P 选在 D 处不满足 规划要求 .②若 Q 在 D 处，连结 AD ，由（ 1）知 D （-4 ， 9），又 A （4， 3）， 所以线段 AD ： y6（ 4剟x 4） .在线段 AD 上取点 M3， 145），因为 OM 32145 5，所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径 .当 QA=15时，设 Q（a，9），由AQ （a 4）2（9 3）2 15（a 4），得 a= 4 3 21，所以 Q（4 3 21，9），此时，线段 QA上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径 .综上，当 P（-13，9），Q（4 3 21，9）时， d最小，此时 P， Q两点间的距离PQ 4 3 21 （ 13） 17 3 21 .因此， d 最小时， P，Q 两点间的距离为17 3 21 （百米） . 【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力 .19.设函数f（x）（x a）（x b）（x c）,a,b,c R，f '（x）为f（ x）的导函数．（1）若 a= b= c， f（ 4） =8，求 a 的值；（2）若 a≠b，b=c，且 f（x）和f '（x）的零点均在集合{ 3,1,3} 中，求 f（x）的极小值；4（3）若a 0,0 b, 1,c 1 ，且 f（x）的极大值为 M，求证 :M≤ ．27【答案】（1）a 2；（2）见解析；（ 3）见解析 .【解析】【分析】（1）由题意得到关于 a 的方程，解方程即可确定 a 的值；（2）由题意首先确定 a,b,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值 .（3）由题意首先确定函数的极大值 M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为 0 b 1，所以x1 (0,1) ．当x (0,1)时，f (x) x(x b)( x 1) x(x 1)2．21令g(x) x(x 1)2,x (0,1) ，则g'(x) 3 x 3 (x 1)．31令g' (x) 0，得x ．列表如下：1 1 4所以当x 时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g( x)max g 3 273 3 2744 所以当x (0,1)时，f (x) g (x) 4，因此M 4．27 27【详解】(1) 因为a b c，所以f (x) ( x a)(x b)(x c) (x a)因为 f (4) 8 ，所以(43a)38 ，解得a 2 ．(2)因为b c，所以f ( x) (x a)( x b) 2 x3 (a 2b) x2b(2a b)x ab2从而f'(x) 3(x b) x 2a b．令 f '(x) 0，得x b 或x 2a b332 a b因为a,b,2a b，都在集合{ 3,1,3}中，且 a b，32 a b 所以1,a 3,b3 ．3令 f'(x) 0，得x 3或x 1 ．列表如下：此时f (x) (x 3)(x 3)2，f '(x) 3(x 3)(x 1)．33M f x 1x 13 (b 1)x 12 bx 123x 12 2(b 1)x 1 bx 1 3 b192 b 2 b 91 x 1b(b 1) 922 b 2 b 1 (b 1) b(b 1)2727x( , 3)3( 3,1)1 (1, )+0 –+f ( x)Z 极大值]极小值Z所以 f (x)的极小值为 f (1) (1 3)(1 3)2 32 ．(3)因为 a 0,c 1，所以 f (x) x(x b)( x 1) x 3 (b 1)x 2 bx ， 2 f' (x) 3x 2 2(b 1)x b ． 因为 0 b 1，所以 4(b 1)2 12b (2b 1)2 3 0 ，则有 2 个不同的零点，设为 x 1, x 2 x 1 x 2 ．由 f'(x) 0，得 x1 b 1 b2 b 1,x2 b 1 b2 b 1．1323x( , x 1)x 1x 1, x 2x 2(x 2,)+0 –0 +f ( x)Z 极大值]极小值Z所以 f (x) 的极大值 M f x 1 解法b1b(b 1) 2(b 1)2(b 1) 2227( b(b1) 1)3 2727b(b 1) 24．因此 M 4 ．27 2727．27解法二：因为 0 b 1 ，所以 x 1(0,1)．当 x (0,1) 时， f ( x) x(x b)( x 1)x(x 1)2 ．令 g( x) x(x 1)2, x (0,1)，则 g' (x) 13 x ( x 1) 3令 g' (x)0，得 1 x．列表如下：1所以当 x 时， g （x ） 取得极大值，且是最大值，故344 所以当 x (0,1)时， f (x) g (x) 4 ，因此 M 4 ．27 27题以及逻辑推理能力．20.定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“ M －数列” .（1）已知等比数列 {a n } 满足：a 2a 4 a 5,a 3 4a 2 4a 1 0 ，求证:数列{ a n }为“ M －数列”；122（2）已知数列 {b n }满足:b 1 1, ，其中 S n 为数列 {b n }的前 n 项和．S n b n b n 1 ①求数列 {b n } 的通项公式；1g( x)max g 334 27点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问②设 m为正整数，若存在“ M－数列” { c n} ，对任意正整数 k，当k≤ m时，都有c k剟b kc k 1成立，求 m 的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）① b n =n n N * ；② 5. 【解析】 【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列 {b n } 是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定 b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可 求得 m 的最大值．详解】（1）设等比数列 {a n } 的公比为 q ，所以所以数列 {b n } 是首项和公差均为 1 的等差数列 . 因此，数列 { b n }的通项公式为 b n =n n N . ②由①知， b k =k ， k N * .因为数列 {c n }为“M –数列 ”，设公比为 q ，所以 c 1=1， 因 c k ≤b k ≤c k+1，所以 q k 1 k q k ，其中 k=1，2，a 1≠0，q ≠ 0.a2a 4 a 5a 3 4a 2 4a 1 0，得 24a 1q 2a q4 a 1q4a 1q4a 111 解得1 q2a 1 因此数列 {a n } 为 M — 数列 ”2） ①因为1S n2b nb n2，所以b n 0由b 1 1 b 1得12 b2，则 b 2 2.1由S n2b n2b n 1，得 S nb n b n 1，2(b n 1 b n ) ，当n 2 时， 由b n S n S n 1 ，得 bn b n b n1 2 b n 1 b nbn 1b n ，2 b n b n 1 ，整理得 b n 1b n 12b n ．q>0. 3，⋯，m.当 k=1 时，有 q ≥1；设 f(x)= lnx(x 1)，则 f '(x)1 l2n xxx令 f '(x) 0 ，得 x=e.列表如下：3 ln k3 3，当 k=1，2，3，4，5时， lnk k经检验知 q k 1 k 也成立． 因此所求 m 的最大值不小于 5．若 m ≥6，分别取 k=3， 6，得 3≤q 3，且 q 5≤6，从而 q 15≥ 243，且 q 15≤ 216， 所以 q 不存在 .因此所求 m 的最大值小于 6. 综上，所求 m 的最大值为 5．点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、 通项公式、 性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ （附加题）【选做题】本题包括 21、22、23 三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题． 区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．21.已知矩阵 A当 k=2， 3，m时，有ln kk lnq lnkk1 因为ln2 ln8 ln92ln3，所以3f(k)maxf (3) ln33lnq ，即 k q k ，取q31 221）求 A 2；2）求矩阵 A 的特征值 . 11 5 答案】（ 1） ；10 62 ） 1 1, 2 4 . 解析】分析】 （1）利用矩阵的乘法运算法则计算 A 2 的值即可；（2）首先求得矩阵的特征多项式， 然后利用特征多项式求解特征值即可点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．22.在极坐标系中，已知两点 A 3, ,B 2, ，直线 l 的方程为 42 （1）求 A ，B 两点间的距离； （2）求点 B 到直线 l 距离 . 【答案】（1） 5 ； （2）2. 【解析】 分析】【详解】 （ 1）因为A22 231 3 1 所A 2222 23 3 1 2 3 1 12 =2 3 2221 22 （2） 矩阵 A 的特征多项式为 31 2f( )2231令 f （ ） 0 ，解得A 11 510 65 4.1 1,2 4 . sin 34(1)由题意，在 △OAB 中，利用余弦定理求解 AB 的长度即可； (2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点 得点 B 到直线 l 的距离.详解】(1)设极点为 O.在△ OAB 中， A(3， )，B( 2 ， )， 422)因为直线 l 方程为 sin( ) 3 ，41 综上，原不等式的解集为 {x|x或x 1} . 3点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．必做题】第 24题、第 25 题，每题 10分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．由余弦定理，得( 2) 25.B 的坐标结合几何性质可则直线 l 过点 (3 2,2)，倾斜角为又 B( 2, ) ，所以点 B 到直线 l 的距离为 (3 2 2)点睛】 23.设 x 答案】 解析】 分析】本题主要考查曲线的极坐标方 R ，解不等式 |x|+ 1{x|x 13或x由题意结合不等式的性质零点详解】当 x<0 时，原不等 基础知识，考查运 解能力．1 当 0≤x ≤时，原不等式可化为21当 x> 时，原不等式可化为 x+2x –1>2，解得 1|>2.2x 2 ，解得x+1–2x>2 ，即 x<–1，无解；化为 x 2) 2.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．n 2 n * 224.设 （1 x ） a 0 a 1x a 2x L a n x , n⋯4, n N .已知 a 3 2a 2a 4. （1）求 n 的值； （2）设（1 3）n a b 3，其中 a,b N *，求 a 2 3b 2的值. 【答案】（1） n 5； （2）-32. 【解析】 【分析】（1）首先由二项式展开式的通项公式确定 a 2,a 3,a 4 的值，然后求解关于 n 的方程可得 n 的值；（2）解法一：利用 （1）中求得的 n 的值确定有理项和无理项从而可得 a,b 的值，然后计算 a 2 3b 2 的值即可；解得 n 5 ．2）由（ 1）知， n 5 ．C 50 C 15 3 C 52 ( 3)2 C 53( 3)3 C 54( 3)4 C 55( 3)5解法2 4 13 5因为a,b N ，所以 a C 5 3C 5 9C 5 76,b C 5 3C 5 9C 5 44 ，解法二：利用 （1）中求得的 n 的值，由题意得到 1 3 的展开式，最后结合平方差公式即【详解】（ 1)因为 (1 x)nC 0n C 1n x C 2n x 2 L C n n x n ，n 4所以 a2 C n 2 n(n 1),a3 C 3n n(n 1)(n 2)，n 236a 4C 4n n(n 1)(n 2)(n 3)24因为2 a3 2a 2a 4，所以 [n(n 1)(n 2) 6]224可确定 a 2 3b 2的值 . 2n(n 1) n(n 1)(n 2)(n 3)从而 a 2 3b 2 762 3 442 32 ．解法二：(1 3) 5 C 05 C 15( 3) C 52( 3)2 C 35( 3)3 C 54( 3)4 C 55( 3)5C 05 C 15 3 C 52( 3)2 C 35( 3)3 C 45( 3)4 C 55( 3)5 ．因为 a,b N *，所以 (1 3)5 a b 3 ．因此 a 2 3b 2 (a b 3)(a b 3) (1 3)5 (1 3)5 ( 2)5 32 ．【点睛】 本题主要考查二项式定理、 组合数等基础知识， 考查分析问题能力与运算求解能力25.在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)} ，B n (0,1),(n,1)},C n {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,( n,2)}, n N .令M n A n UB n UC n .从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量 X 表示它们之间的距离 .(1)当 n=1 时，求 X 的概率分布；(2)对给定的正整数 n(n ≥3)，求概率 P(X ≤n)(用 n 表示) . 【答案】(1)见解析； ( 2)见解析 . 【解析】 【分析】(1) 由题意首先确定 X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定 分布列； (2)将原问题转化为对立事件的问题求解 P X n 的值，据此分类讨论① .b d ，② .b 0,d 1，③.b 0,d 2，④.b 1,d 2四种情况确定 X 满足 X n 的所有可能的取 值，然后求解相应的概率值即可确定 P X ≤ n 的值 .【详解】(1)当 n 1时， X 的所有可能取值是 1， 2，2， 5．7 7 4 4X 的概率分布为 P(X 1) 2 ,P(X 2) 2 ， C 2 15C 2 152)设 A(a ，b)和B(c ，d)是从 M n 中取出的两个点．因为 P(X n) 1 P(X n) ，所以仅需考虑 X n 的情况． ①若 b d ，则 AB n ，不存在 X n 的取法；②若 b 0，d 1，则 AB (a c)2 1 n 2 1，所以 X n 当且仅当 AB n 21，此时 a 0，c n 或a n ，c 0，有 2种取法； ③若 b 0，d2，则 AB (a c)24 n 2 4，因为当 n 3时， (n 1)2 4 n ，所以 X n 当且仅当 AB n 24 ，此时 a 0，c n或 a n ，c 0，有 2种取法；④若 b1，d 2，则 AB(a c)2 1 n 2 1，所以 X n 当且仅当 AB n 21，此时 a 0，c n 或a n ，c 0，有 2种取法．综上，当 X n 时， X 的所有可能取值是 n 2+1和 n 2 4 ，且思维能力和推理论证能力．22P(X 2) C 226 125,P(X222C 26 15P(Xn 2 1) C 24 , P(XC 2n 4n 2 4)2 C 2n 4因此， P( X n) 1 P( Xn 2 1) P( Xn 2 4)6 C 22n 4点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、 随机变量及其概率分布等基础知识， 考查逻辑。
2019年-2015年五年全国高考解答题专题立体几何-学生用卷
2019年-2015年年年年年年年年年年年年年年年年知识点总结：考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理(1)应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线a不在平面内，直线b在平面内，且a∥b，否则会出现错误．(2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a∥α，则要用判定定理，在α内找与a平行的直线；如果条件中有a∥α，则要用性质定理，找(或作)过a且与α相交的平面．应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件．(4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.3．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线❶都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理：4．平面与平面垂直的判定定理和性质定理定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直．如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直．5．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |❶， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 6．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |❷.7．二面角(1)若AB ，CD 分别是二面角αl β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→的夹角，如图(1)．(2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|❸，如图(2)(3)．两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 直线与平面所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．历年真题：1. （2019年全国I 卷第18题）如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN//平面C 1DE ；(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值．2.（2019年全国II卷第17题）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE=A1E，求二面角B−EC−C1的正弦值．3.（2019年全国III卷第19题）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小．4.（2018年全国I卷第18题）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．5.（2018年全国II卷第20题）如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．6.（2018年全国III卷第19题）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直，M是CD⏜上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．7.（2017年全国I卷第18题）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A−PB−C的余弦值．8.（2017年全国II卷第19题）如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=1AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．2(1)证明：直线CE//平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M−AB−D的余弦值．9.（2017年全国III卷第19题）四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D−AE−C的平面角的余弦值．10.（2016年全国I卷第18题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D−AF−E与二面角C−BE−F都是60°．(Ⅰ)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)求二面角E−BC−A的余弦值．11.（2016年全国II卷第19题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=5，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=√10．4(Ⅰ)证明：D′H⊥平面ABCD；(Ⅱ)求二面角B−D′A−C的正弦值．12.（2016年全国III卷第19题）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN//平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．13.（2015年全国I卷第18题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．14.（2015年全国II卷第19题）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．。
2015-2019全国卷高考数学分类汇编-数列
2014年1卷17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.2014年2卷17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.2015年1卷(17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设，求数列}的前n 项和2015年2卷（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（16）设S n 是数列{a n }的前项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =___________________．2016年1卷 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 。
2016-217.（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（I ）求111101b b b ，，；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.2016-3（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个（17）（本小题满分12分） 已知数列的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ0. （I ）证明是等比数列，并求其通项公式 （II ）若53132S = ，求λ2017-14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．812．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1102017-23.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk k S ==∑ ．2017-39．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．814．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．2018-14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5aA ．12-B ．10-C ．10D ．1214．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．2018-217．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．2018-317．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．2019-19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．2019-219．（12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.2019-35．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ． 16B ． 8C ．4D ． 214．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.。
2015-2019全国卷高考数学分类汇编——三视图
2014年1卷12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A. B.C .6 D .42014 26.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 132015年1卷11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )82015年2卷（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）512016年1卷（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）2016-2（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π2016-3(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为（）（A）18+（B）54+（C）90（D）812017-17．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．162017-24.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π2018-17．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．22018-33．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是。
2015-2019年高考文数全国1卷试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数 一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合AB 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）22、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i + 4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B）13 (2,2),44 k kk Zππ-+∈（C）13(,),44k k k Z-+∈（D）13(2,2),44k k k Z-+∈9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）7 （D）810、已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a=-，则(6)f a-=（A）74-（B）54-（C）34-（D）14-11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r=( ) （A）1（B）2（C ）4（D ）812、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6，求该三棱锥的侧面积.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是O 切线； （II ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、 选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、 填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16）三、 解答题17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac +-=14……6分 （II ）由（I ）知2b =2ac.因为B=o 90，由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +，的.所以△ABC 的面积为1. ……12分18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o 120 ，可得x ，GB=GD=2x .因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·BE=3243x =. 故x =2 ……9分从而可得.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD故三棱锥E-ACD 的侧面积为……12分19、解：（I ）由散点图可以判断，y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（II）令w =y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()i ii ii w w y y w w ==--==-∑∑, 56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +,因此y 关于x 的回归方程为y 100.6=+（Ⅲ）（i ）由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.6=+，年利润z 的预报值z=576.60.24966.32⨯-= ……9分（ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值=-20.12x x +.13.6=6.82=，即x=46.24时，z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分20、解：（I）由题设，可知直线l的方程为1y kx=+.因为l与C1.解得k所以k的取值范围为44(33+. ……5分（II）设()1122,,(,)M x y N x y.将1y kx=+代入方程22(2)(3)1x y-+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x+-++=.所以1212224(1)7,11kx x x xk k++==++.1212OM ON c x y y⋅=+()()2121211k x x k x x=++++()24181k kk+=++.由题设可得()24181k kk+=++=12，解得k=1，所以l的方程是y=x+1.故圆心C在l上，所以2MN=. ……12分21、解：（I）()f x的定义域为()()20,,2(0)xaf x e xx'+∞=-〉.当a≤0时，()()f x f x''〉，没有零点；当0a〉时，因为2xe单调递增，ax-单调递减，所以()f x'在()0,+∞单调递增，又()0f a'〉，当b 满足0＜b ＜4a 且b＜14时，()0f b '〈，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点. ……6分（II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0； 当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0.故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x . 由于02020x a ex -=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+. 故当0a 〉时，()221f x a a n a≥+. ……12分 22、解：（I ）连接AE ，由已知得，AE ⊥BC,AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ，则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o 90，所以∠DEC+∠OEB=o 90，故∠OED=o 90，DE 是O 的切线.……5分（II ）设CE=1，AE=x ，由已知得AB=23212x -由射影定理可得，2AE CE BE =⋅， 所以2212x x =-，即42120x x +-=.可得3x =ACB=60o .……10分 23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分 24、解：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞. 当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213x ＜＜； 当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜. ……5分 （II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +.由题设得()2213a +＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为()2+∞，. ……10分2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．复数512ii=-A ．2i -B ．12i -C ． 2i -+D ．12i -+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C ．3D ．2 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ． 720 C ． 1440 D ． 50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．458．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ． 36D ． 4810．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 19．（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]频数8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]频数4 12 42 32 10 （I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）31三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n (18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。
五年高考数学全国卷试题LaTeX版
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题
贵州省六盘水市第一实验中学试题（全国卷 I）理科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
全国二卷文科数学2015-2019年五年高考考试试题分析(共23张PPT)
二是随机事件的基本研究过程:随机事件一事件概率→基本概型。
随机事件
事件概率
基本概型
两种常见事件:随机事件，基本事件 三种常见求法 :用频率估计概率 两种概率模型古典概型 ，几
，利用基本概型
何概型
3、教学策略（包括教学内容处理、教学方法和考题导向等）
重点突出——立足数学核心
本模块考点多，但也并非杂乱无章，大题多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频
文科数学五年高考试题分析
综述
总体来说近几年全国II卷文科数学试题进一步以“立德树人、服务选才、引导教学”作 为高考的核心功能，加强“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四个层次的考 查，体现“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的要求。试卷以知识为载体， 以思维为核心，考查学生的数学核心素养，充分体现了数学学科特点。试题坚持新题不 难、难题不怪的命题方向，并注重知识的生成，遵循考纲又体现新课改精神，考查基础 又适当增加创新、灵活成分，强调重点、兼顾全面，体现出侧重能力的考查。
1中 18
古典概型，题不好理解（保费 表，）
2 中 古典概型，题不好理解
17
3 中 加权平均值
1易
通过频率分布直方图求相应组的 概率
19 2 中
独立性检验（新旧网箱水产养殖 问题）
17
3中
作频率分布直方图，并求加权平 均值，判断两组数据的优劣
1 易 利用已知回归方程求预测值
18 2易
判定回归模型的可靠性（环境基 础设施投资图）
求前n项和公式，并用二次函 数求最值
由基本公式建立简单的方程组 求a1,和q再求通项（等比，）
对数运算，再等差求和
总分 年限
10