两角和与差的三角函数

三角函数式的条件求值——给值求值
4 12 cos( ) cos( ) 设已知 5, 13 ,
3 ( , ) , ( ,2 ) ,求 cos 2 , cos 2 的值. 2 2

π 3 变式探究 21：已知 sin( －x)＝ ，则 sin 2x＝________. 4 5
第3节
)
(对应学生用书第 45～46 页)
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)两角和与差的余弦公式：Cα±β：cos(α± β)＝
cosαcosβ∓sinαsinβ
(2)两角和与差的正弦公式：Sα±β：sin(α± β)＝sinαcosβ± cosαsinβ tanα± tanβ (3)两角和与差的正切公式：Tα±β：tan(α± β)＝ 1∓tanα· tanβ 2．二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)二倍角的正弦公式：sin 2α＝2sinαcosα. 2 2 2 (2)二倍角的余弦公式：cos 2α＝cos α－sin α＝2cos α－1 ＝1－2sin2α. 2tan α (3)二倍角的正切公式：tan 2α＝ 2 . 1－tan α
4．asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 a b b cosφ＝ 2 2，sinφ＝ 2 2，tanφ＝a. a ＋b a ＋b φ 的终边所在象限由 a，b 的符号来确定．
1．cos 43° · cos 77° ＋sin 43° · cos 167° 的值为( ) 1 1 1 1 (A) (B)－ (C) (D)－ 2 2 3 3
已知三角函数值求角——给值求角
1 cos 设 7 求 .
11 ( , ) , cos( ) 14 , (0, 2 ) , 2
α 2 4 【例 1】(2010 年高考全国新课标卷 )若 cos α＝－ ， α 是第三象限角， 则 等于( 5 α 1－tan 2 1 1 (A)－ (B) (C)2 (D)－ 2 2 2 α 4 α 解析：法一：∵ cos α＝ 2cos2 － 1，即－ ＝ 2cos2 － 1， 2 5 2 α 10 解得 cos ＝ ± . 2 10 4 2 又∵ α 是第三象限角， cos α＝－ <－ ， 5 2 5 ∴ 2kπ＋π<α< π＋ 2kπ， k∈ Z， 4 π α 5π ∴ kπ＋ < < ＋ kπ， k∈ Z， 2 2 8 α α ∴ tan <0，易得 tan ＝－ 3， 2 2 α 1＋ tan 2 1－ 3 1 则 ＝ ＝－ .选择 A. 2 α 1＋ 3 1－ tan 2 1＋tan
思路点拨：(1)向量垂直则数量积为 0，由此得到 sin θ 与 cos θ 的关系式，再结合平方关 系即可求出 sin θ，cos θ 的值；(2)利用角的变换 φ＝θ－(θ－φ)，结合(1)可求解． 解：(1)∵a⊥b，∴sin θ－2cos θ＝0， π 2 5 5 又∵θ∈(0， )，∴sin θ＝ ，cos θ＝ . 2 5 5 10 3 10 3 10 (2)∵sin(θ－φ)＝ ，∴cos(θ－φ)＝ 或－ . 10 10 10 3 10 5 当 cos(θ －φ)＝ 时，cos φ＝cos[θ －(θ －φ)] ＝cos θ· cos(θ－φ) ＋sin θ· sin(θ－φ)＝ 10 5 3 10 2 5 10 2 × ＋ × ＝ . 10 5 10 2
)
4 法二：∵ cos α＝－ ， α 是第三象限角， 5 3 ∴ sin α＝－ ， 5 α α α 1＋ tan cos ＋ sin 2 2 2 ∴ ＝ α α α 1－ tan cos － sin 2 2 2 α α α α cos2 ＋ 2cos sin ＋ sin2 2 2 2 2 ＝ α α cos2 － sin2 2 2 3 1－ 5 1＋ sin α 1 ＝ ＝ ＝－ ，选择 A. 4 2 cos α － 5
π π 3 3 解析：法一：由已知得 sin cos x－cos sin x＝ ，即 cos x－sin x＝ 2， 4 4 5 5 18 两边平方得 1－sin 2x＝ ， 25 7 ∴sin 2x＝ . 25 π π 法二：sin 2x＝cos( －2x)＝cos[2( －x)] 2 4 π 9 7 ＝1－2sin2( －x)＝1－2× ＝ . 4 25 25 7 答案： 25
【例 2】 (2010 年高考重庆卷 )如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C，各 段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)，且半径相等，设第 i 段弧所对的圆心角为 αi(i α2＋α3 α2＋α3 α1 α1 ＝1,2,3)，则 cos cos －sin sin ＝________. 3 3 3 3 解析：由同弧所对的圆周角是其所对圆心角的一半可知， α1＋ α2＋ α3＝ 4π， α2＋ α3 α2＋ α3 α1＋ α2＋ α3 α1 α1 ∴ cos cos － sin · sin ＝ cos 3 3 3 3 3 4π 1 ＝ cos ＝－ . 3 2 1 答案：－ 2
已知三角函数值求角——给值求角
【例 3】 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β， 它们的终边分别与单位圆相交于 A、 B 2 2 5 两点． 已知 A、 B 的横坐标分别为 ， . 10 5 (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 α＋2β 的值．
思路点拨： 由已知可先求出 cos α， cos β， 进而求 sin α， sin β， 所以 tan α 和 tan β 可求． (1) 利用两角和正切公式即可；(2)可先求出 tan(α＋2β)，然后利用 α＋2β 的范围确定角 α＋2β 的 值．
（3） 8sin

48
cos

48
cos

24
cos

12

解决这类给角求值问题的关键是两种变换：
一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系， 从而选择相应公式进行转化；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号 特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．
三角函数式的条件求值——给值求值 【例 2】已知向量 a＝(sin θ，－2)与 b＝(1，cos θ)互相垂直，其 π 中 θ∈(0， )． 2 (1)求 sin θ 和 cos θ 的值； 10 π (2)若 sin(θ－φ)＝ ，0＜φ＜ ，求 cos φ 的值． 10 2
又 cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝ π 又 α∈( ，π)， 2 3 130 ∴sin α＝ . 130
9 ， 130
(对应学生用书第 258 页)
【选题明细表】
知识点、方法 给角求值 条件求值 给值求角 综合运用
题号 1、2、7 3、4、5、8、10 6 9、11
一、选择题 1．(2010 年高考福建卷)计算 sin 43° cos 13° －cos 43° sin 13° 的结果等于( 1 3 2 3 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 2 解析：sin 43° cos 13° －cos 43° sin 13° ＝sin(43° －13° ) 1 ＝sin 30° ＝ ，故选 A. 2 3－sin 70° 2. 等于( C ) 2－cos2 10° 1 2 3 (A) (B) (C)2 (D) 2 2 2 3－sin 70° 3－cos 20° 3－2cos2 10° －1 解析： ＝ ＝ 2－cos210° 2－cos210° 2－cos2 10° 22－cos210° ＝ ＝2.故选 C. 2－cos210°
2 2 5 解： (1)由已知条件及三角函数的定义可知， cos α＝ ， cos β＝ . 10 5 7 2 2 因 α 为锐角，故 sin α>0，从而 sin α＝ 1－cos α＝ ，同理可得 sin 10 5 1 β＝ .因此 tan α＝7，tan β＝ . 5 2 1 7＋ tan α＋tan β 2 所以 tan(α＋β)＝ ＝ ＝－3. 1 1－tan αtan β 1－7× 2 (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] 1 －3＋ 2 ＝ ＝－1. 1 1－－3× 2 π π 又 0<α< ，0<β< ， 2 2 3π
sin 62 cos 28 cos 118 sin 152 2． =_______
1 3.下列各式的值为 的是( 2
2
)
π (A)sin 15° cos 15° (B)2cos －1 12 tan 22.5° 2π (C)1－2sin (D) 3 1－tan222.5° 1 cos 2θ 4．若 sin θ＋cos θ＝ ，则 的值为( 2 π sinθ－ 4 2 2 1 1 (A) (B)－ (C) (D)－ 2 2 2 2
(1)解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求 “已知角”与“所求角” 之间的关系，用“已知角”表示“所求角”．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般可 表示为两“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”只有一个时，应重点探求“所求角” 与“已知角”的差、和的值，然后借助诱导公式把“所求角”变为“已知角”求解． α (2)角的变换是求值的关键环节，一些常用的角的变换如下：α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝ 2 π π π π π β－(β－α)， ＋α＝ －( －α)，α＝ －( －α)等． 4 2 4 4 4
错源：忽视角的范围 3 12 π π 【例题】 已知 sin(2α－ β)＝ ，sin β＝－ ，且 α∈( ，π)，β∈(－ ，0)，求 sin α 的值． 5 13 2 2 3 4 错解：由 sin(2α－β)＝ ，得 cos(2α－ β)＝± ， 5 5 12 由 sin β＝－ 知， 13 5 cos β＝ ， 13 ∴cos 2α＝ cos[(2α－β)＋ β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β 4 5 3 12 56 16 ＝± × － ×(－ )＝ 或 ， 5 13 5 13 65 65 9 49 又 cos 2α＝1－ 2sin2α，∴ sin2α＝ 或 ， 130 130 π 又 α∈( ，π)， 2 3 130 7 130 ∴sin α＝ 或 sin α＝ . 130 130