两角和与差的三角函数(复习课教案)
两角和与差的三角函数教案
教与学过程设计第一课时两角和与差的余弦、正弦、正切（一）（一） 引入上次我们曾留了个问题，求75cos =？对于象750（可以看成300+450）这样的半特殊角，虽然能通过查表来求其三角函数值，但太麻烦，能不能不查表求值呢？这就牵涉到两角和的三角函数问题，今天我们就开始学《两角和与差的余弦、正弦》（板书）。
对于任意角βα,，βαβαcos cos )cos(+=+吗？显然：)3045cos(75cos+=≠30cos 45cos +>1，矛盾。
故βαβαcos cos )cos(+≠+。
那)cos(βα+应该等于什么呢？ （二） 新课一、平面内两点的距离公式在学这部分内容之前我们还需先掌握一个有力的工具——平面两点间的距离公式。
实例1：解决x 轴上两点的距离A ：已知点M 1（3，0）和M 2（7，0）。
问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？B ：已知点M 1（3，0）和M 2（-7，0）。
问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？C ：归纳：M 1M 2=|x 2-x 1|D ：学生理解、记忆片刻后问：如果两点在y 轴上呢？情况会如何？（目的：训练学生类比思维）实例2：解决y 轴上两点之间的距离A ：归纳：N 1N 2=|y 2-y 1|B ：已知点N 1（0，3）和N 2（0，-7）。
问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？实例3：解决坐标平面上任意两点之间的距离B ：已知点P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）为坐标平面上任意两点。
问它们之间的距离是多少？如何计算？C ：归纳：P 1P 2=212212)()(y y x x -+-（口诀：平面上两点之间的距离等于它们坐标差的平方和的算术根）D ：求P 1（-3，4）与P 2（2，-6）之间的距离。
（答案：55）二、两角和的余弦公式的推导1．在直角坐标系中，单位圆与x 轴的正半轴交于P 1（1，0）；以Ox 为始边作出角，角α的终边与单位圆交于P 2，其坐标为？（cos α,sin α）2．以OP 2为始边作角β，其终边与单位圆交于P 3，其坐标为？（cos(α+β),sin(α+β)），为什么？3．再作出角-β，其终边与单位圆交于P 4，其坐标为（cos(-β),sin(-β)）； 4.连接P 1P 3，P 2P 4，线段P 1P 3，P 2P 4之间有什么关系？由三角形全等知，P 1P 3=P 2P 4； 5．利用两点间的距离公式，我们可得到：[][][]2222sin )sin(cos )cos()(sin 1)cos(αβαββαβα--+--=++-+整理，得：)sin sin cos (cos 22)cos(22βαβαβα--=+- 所以注意：这个公式对任意的角βα,都成立。
三角恒等变换复习教案(二)(共三个课时)
三角恒等变换复习教案学习目标:(1)了解两角和与差正弦、余弦、正切公式之间的内在联系.培养逻辑推理能力.(2)掌握两角和与差的正弦公式、正切公式,并会运用它们进行有关计算、化简、证明.(3)通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性. 重点:熟练、灵活的应用三角公式.难点:变换中的技巧.复习与巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如:①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角.一、关于和角与差三角公式特别注意公式的结构,用活公式. :sin()sin cos cos sin ;sin()sin cos cos sin ,,:2sin cos sin()sin();2cos sin sin()sin().αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+-=-=++-=+--如在公式中应用方程的思想得 :2cos cos cos()cos();2sin sin cos()cos()C C αβαβαβαβαβαβαβαβ+-=++--=+--同理由公式可得tan tan :tan(),:1tan tan tan tan tan()(1tan tan ),tan tan ,tan tan ,.αβαβαβαβαβαβαβαβ++=-+=+-+又如公式可以变形为特别是公式中有式子因此常又与一元二次方程联系在一起 二、习题复习与巩固231.sin ,,cos ,,tan().34αβαβαβ==-++例已知且是第二象角求的值()()S C αβαβ++()()S C αβαβ--ββ-以代ββ-以代tan(60)tan(30)2..1tan(60)tan(30)αααα+-+++⋅+ 例计算的值 1113.sin ,cos(),,(0,),7142πααβαββ=+=-∈例已知且求的值 31234.,cos(),sin(),sin 2,sin 224135ππβααβαβαβ<<<-=+=-例已知求的值 42sin 3cos (1)55.(1)sin().32cos 3sin (2)547(2)8sin 5cos 6,sin(),808cos 5sin .αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩+=+=+例已知求的值求的值6(1):3cos 3sin ;(2):;(3):sin .1212x x x x ππ-+例化简化简求值7.:tan15tan30tan15tan30++ 例计算():1.[0,];22.;3.;4.π请同学们把下列内容记一记或默一默间的特殊角的三角函数值同角三角函数基本关系式九组诱导公式两角和与差的三角函数公式三、综合训练题 28.0(0)tan ,tan ,tan().ax bx c a a c αβαβ++=≠≠+例已知一元二次方程且的两个根为求的值tan tan :tan()1tan tan αβαβαβ++=-分析tan tan .tan tan b a ca αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而代入即可 21.670tan ,tan ,:sin()cos()x x αβαβαβ++=+=+变式题已知一元二次方程的两个根为求证22.,(tan ,0),(tan ,0)()(23)20(0),tan().m A B f x mx m x m m y αβαβ=+-+-=≠=+变式题设为实数是二次函数图象上的两点求的最小值min 923:00,(,0)(0,],tan tan ,4233tan tan tan(),.24m m m m m y m y m αβαβαβ-∆≥≠∈-∞+=--=∴=+==-∴=- 分析且得 9.:tan tan tan tan tan tan ABC A B C A B C ∆++=⋅⋅例在中,求证:tan()tan .A B C +=-分析利用10.,(0,),:(1tan )(1tan )2:.24A B A B A B ππ∈++=+=例已知求证的充要条件是 :tan tan tan()(1tan tan )2T αβπαβαβαβ++=+-分析利用的变式.:(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)++++ 变式题化简11.:[2sin50sin10(1)]+ 例求值:50,10,80,60,90,.分析都不特殊角但其和却是特殊角故可考虑逆用两角和公式求其三角函数值:cos10(2sin 50sin10)80cos102cos(6010)(2sin 50sin10)cos1050cos10cos50sin10)60=+-=++==思路一原式:[2sin 50sin10(1tan 60tan10)]80tan 60tan10)[2sin 50sin10]tan(6010)2cos50(2sin 50sin10)cos10=++-=+-=+==思路二原式2222sin()sin()tan 12.:1.sin cos tan αβαββαβα+-=-例求证 :,,.分析观察左右两边的差异从左向右证明要解决角的差异如果从右向左证明解决名称的差异32sin 13.:tan tan .22cos cos 2x x x x x -=+例求证:,,.,,.分析此题各式间的差异较大不仅角之间的差异而且函数名称及结构之间也存在较大差异为此要重点抓住某一特征差异进行分析以求突破 3sin tantan ;322cos cos 222sin sin .333cos()cos()cos cos 222222x x x x x x x x x x x x x =-=⋅==-++⋅左边右边 114.,0,cos(),22292sin(),tan .232ππβαπβαααββ<<<<-=-+-=例已知求的值 :()(),,22242,,,4222αββαπβαβαππαπαββ+=---<-<+<-<分析而再求出的正弦余弦则问题可解22sin ;cos tan 227227235αβαβαβ+++==∴= 33:,0,cos(),4444535sin(),sin().413ππππαβαπβαβ<<<<-=-=+变式题已知求的值15.,,,,tan tan tan .2222ABC A B C A C A C ∆++例在已知成等差数列求的值:,,223tan()22,tan tan tan 2222A C A C A C A C π+=∴+=++=分析由题意得由公式变形得 2cos10sin 2016.cos 20-例求的值:103020=- 分析17.sin(2)2sin 0,:tan 3tan().αββααβ++==+例已知求证 :2();()αβαβαβαβα+=++=+-分析518.sin(),0,:4134cos 2.cos()4x x x x πππ-=<<+例已知求的值 :2()();().44424cos 22413cos()4x x x x x x x ππππππ=+--+=--==+ 分析 2219.(1)tan 5,sin 5(1tan 5tan 2.5).3tan 15(2).13tan 15a =+--例已知求的值求的值:(1),;(2),分析切化弦再逆用公式因式分解后引入辅助角再逆用公式20.,,,lgsin lgsin lgsin lg 2..A B C ABC A B C ∆--=例已知是的三个内角且试判断此三角形的形状特征 :,:sin sin()A B C =+分析利用在三角形中有。
高三数学第一轮复习教案第26课时—两角和与差的三角函数
一．课题：两角和与差的三角函数二．教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题．三．教学重点：公式的灵活运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．两角和与差的三角函数公式；二倍角公式； 2．降次公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（二）主要方法：1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面； 3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等．（三）例题分析：例1．已知1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈求β的值． 解：∵1cos 7α=，(0,)2πα∈，∴sin 7α=，又∵11cos()14αβ+=-，(,)2παβπ+∈，∴sin 14α=，∵1cos cos[()]cos()cos sin()sin 2βαβααβααβα=+-=+++=，又∵(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈，(0,)βπ∈， ∴3πβ=．例2．已知A 为一三角形的內角，求222cos cos ()3y A A π=++的取值范围． 解：2221cos 2()21cos 23cos cos ()322A A A A ππ+++++=+ 441cos 2cos cos 2sin sin 233A A A ππ=++-11cos 2sin 21cos(2)223A A A π=++=+-．∵A 为一三角形內角，1cos(2)123A π-<-≤，∴222cos cos ()3y A A π=++的取值范围是1(,1]2．例3．解：原式2sin 8012sin 50(cos10)++=o o o o o2sin 802sin 50cos(6010)+-=o oo o o2(50cos50)22cos5+=o o o2cos(5045)2cos5-==o o o ．例4．是否存在两个锐角,αβ满足（1）223παβ+=；（2）tan tan 22αβ⋅=存在，求出,αβ的值；若不存在，说明理由．解：由（1）得23απβ+=tan tan 2tan()21tan tan 2αβαβαβ+=+=-，∴tan tan 22tan tan 32αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴tan 22tan 1αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩或tan 2tan 12βα⎧=⎪⎨=⎪⎩（∵024απ<<，∴tan 12α≠，舍去）， ∴64παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求满足条件的两个锐角．（四）巩固练习：1．化简1tan151tan15+-oo等于（ A ）()A ()B()C 3()D 12．已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos2αα+=75-． 3．在ABC ∆中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则2log sin C =12-．五．课后作业：《高考A 计划》考点26，智能训练4，5，6，10，11，12，13，14．。
人教A版高中数学必修四学教案集三角函数复习两角和与差的三角函数,
第三十八教时教材：复习两角和与差的三角函数（用《导学 创新》）目的：通过复习让学生进一步熟悉有关内容，并正确运用有关技巧解决具体问题。
过程：复习：有关公式二、强调有关解题技巧：化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换 三、例题：1． 在△ABC 中，已知cosA =135，sinB =53，则cosC 的值为…………（A ）A. 6516B.6556C. 65566516或D. 6516-解：∵C = π - (A + B) ∴cosC = - cos(A + B)又∵A ∈(0, π) ∴sinA = 1312 而sinB =53显然sinA > sinB∴A > B 即B 必为锐角 ∴ cosB = 54∴cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =651654135531312=⨯-⨯2． 在△ABC 中，∠C>90︒，则tanAtanB 与1的关系适合………………（B ） 3． A. tanAtanB>1 B. tanAtanB>1 C. tanAtanB =1 D.不确定解：在△ABC 中 ∵∠C>90︒ ∴A, B 为锐角 即tanA>0, tanB>0又：tanC<0 于是： tanC = -tan(A+B) = BA BA tan tan 1tan tan -+-<0∴1 - tanAtanB>0 即：tanAtanB<1又解：在△ABC 中 ∵∠C>90︒ ∴C 必在以AB 为直径的⊙O 内（如图） 过C 作CD ⊥AB 于D ，DC 交⊙O 于C’， 设CD = h ，C’D = h’，AD = p ，BD = q ，则tanAtanB 1'22=<=⋅=pqh pq h q h p h 已知434π<α<π，40π<β<，53)4cos(-=α+π，135)43sin(=β+π， 求sin(α + β)的值解：∵434π<α<π ∴π<α+π<π42又53)4cos(-=α+π ∴54)4sin(=α+π∵40π<β< ∴π<β+π<π4343又135)43sin(=β+π ∴1312)43cos(-=β+π∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] = )]43()4sin[(β+π+α+π-BC’ AC Dh h' pq)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-=4． 已知sin α + sin β =22，求cos α + cos β的范围 解：设cos α + cos β = t ，则(sin α + sin β)2 + (cos α + cos β)2 =21+ t 2 ∴2 + 2cos(α - β) =21+ t 2即cos(α - β) = 21t 2 -43又∵-1≤cos(α - β)≤1 ∴-1≤21t 2 -43≤1∴214-≤t ≤2145． 设α，β∈(2π-,2π)，tan α、tan β是一元二次方程04332=++x x 的两个根，求 α + β解：由韦达定理：⎩⎨⎧=⋅-=+4tan βtan α33tan βtan α∴34133)tan(1tan tan )tan(=--=β+α-β+α=β+α又由α，β∈(2π-,2π)且tan α，tan β < 0 (∵tan α+tan β<0, tan αtan β >0) 得α + β∈ (-π, 0) ∴α + β = 32π-6． 已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值解：由题设：⎪⎩⎪⎨⎧=βα=βα⇒⎪⎩⎪⎨⎧=βα-βα=βα+βα51sin cos 103cos sin 101sin cos cos sin 21sin cos cos sin 从而：235103sin cos cos sin tan tan =⨯=βαβα=βα 或设：x =βαtan tan ∵5)sin()sin(=β-αβ+α∴5111tan tan 1tan tan tan tan tan tan cos cos )sin(cos cos )sin(=-+=-βα+βα=β-αβ+α=βαβ-αβαβ+αx x ∴x =23即βαtan tan =23 四、作业：《课课练》P63—64 第34课课外作业：课本P88 复习参考题 14—180。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-简单的三角恒等变换
第2课时简单的三角恒等变换【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tan1-tan2.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=2sin22,1+cosα=2cos22.(升幂公式) (2)1±sinα=(sin2±cos2)2.(升幂公式) (3)sin2α=1-cos22,cos2α=1+cos22,tan2α=1-cos21+cos2.(降幂公式)3.半角公式sin2=±cos2=±tan2=±=sin 1+cos=1-cos sin.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A .半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B .存在实数α,使tan 2α=2tan αC .cos 22=1-cos2D .tan 2=sin 1+cos =1-cos sin【解析】选ABD .由半角公式、二倍角公式可知,选项A 正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B 正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos 22-1,所以cos 22=1+cos2,因此选项C 错误;因为tan2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=sin 1+cos ,tan 2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=1-cossin ,所以选项D 正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos 2π12-cos 25π12=()A .12B .33C .22D .32【解析】选D .因为cos5π12=sin(π2-5π12)=sin π12,所以cos 2π12-cos 25π12=cos 2π12-sin 2π12=cos(2×π12)=cos π6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin2=()A .3-58B .-1+58C .3-54D .-1+54【解析】选D .cos α=1+54,则cos α=1-2sin 22,故2sin 22=1-cos α=3-54,即sin 22=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin2>0,所以sin 2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan2=()A .2B .12C .2或不存在D .12或不存在【解析】选D .当α=2k π+π(k ∈Z )时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 2不存在;当α≠2k π+π(k ∈Z )时,tan2=sin1+cos =12.【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12可以化简为()A .f (x )=sin(2x -π3)B .f (x )=sin(2x -π6)C .f (x )=sin(2x +π3)D .f (x )=sin(2x +π6)【解析】选B .f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12=1-cos22+32sin 2x -12=32sin 2x -12cos 2x =sin(2x -π6).(2)已知0<θ<π,(1+sinrcos )(sin 2-cos 2)________.【解析】由θ∈(0,π)得0<2<π2,所以cos2>0,所以2+2cos =2.又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2)=(2sin 2cos2+2cos 22)(sin 2-cos2)=2cos2(sin 22-cos 22)=-2cos2cos θ.故原式=-2cos2cos 2cos2=-cos θ.答案:-cos θ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos 4-2cos 2r122tan(π4-psin 2(π4+p =__________.【解析】原式=12(4cos 4-4cos 2r1)2×sin(π4-pcos(π4-p ·cos 2(π4-p =(2cos 2-1)24sin(π4-pcos(π4-p =cos 222sin(π2-2p =cos 222cos2=12cos 2x.答案:12cos 2x2.化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=________.【解析】原式=1-cos22·1-cos22+1+cos22·1+cos22-12cos 2αcos 2β=1-cos2-cos2rcos2vos24+1+cos2rcos2rcos2vos24-12cos 2α·cos 2β=12+12cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=12.答案:12【加练备选】化简:2sin (π-)+sin2cos 22=________.【解析】2sin (π-)+sin2cos 22=2sinr2sinvos 12(1+cos )=2sin (1+cos )12(1+cos )=4sin α.答案:4sin α考点二三角函数式的求值角度1给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cos αsin β=16,则cos(2α+2β)=()A .79B .19C .-19D .-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟______.【解析】=14sin48°2sin48°=18.答案:18【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3给值求角[例4]若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α,π,β∈π则α+β的值是() A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【解析】选A.因为α4π,所以2α2π,因为sin2α=55,所以2α,π.所以αcos2α=-255,又因为sin(β-α)=1010,β∈π,所以β-α(β-α)=-31010,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=---1010×55=22,又α+β2π,所以α+β=7π4.【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θ-π4)=223,则sin2θ的值为()A.79B.-79C.29D.-29【解析】选B.由sin(θ-π4)=223,得sin(θ-π4)=sinθcosπ4-cosθsinπ4=22(sinθ-cosθ)=223,即sinθ-cosθ=43,等式两边同时平方,得1-sin2θ=169,所以sin2θ=-79.2.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),则tan2=()A.-12或2B.2C.-13或3D.3【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),所以sinα=45,cosα=-35,所以tan2=sin1+cos=451-35=2.3.已知sin(α-2)=55,sin(β-2)=1010,且α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),则r2=__________.【解析】因为α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),所以0<r2<π,cos(α-2)=255,cos(β-2)=31010.因为cos r2=cos[(α-2)+(β-2)]=cos(α-2)cos(β-2)-sin(α-2)sin(β-2)=255×31010-55×1010=22,所以r2=π4.答案:π44.化简求值:3-4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°.【解析】原式=3-4sin20°(1-2sin 220°)2sin20°sin480°=3-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (20°+40°)-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (40°-20°)2sin20°sin480°=1sin480°=1sin120°=233.【加练备选】若tan 2α=-34,则sin2rcos 21+2sin 2=()A .-14或14B .34或14C .34D .14【解析】选D .由tan 2α=2tan1-tan 2=-34,可得tan α=3或tan α=-13.故sin2rcos 21+2sin 2=2sinvosrcos 23sin 2rcos 2=2tanr13tan 2r1,当tan α=3时,2×3+13×32+1=728=14;当tan α=-13时,2×(-13)+13×(-13)2+1=1343=14.考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ 中,半径OP =1,圆心角∠POQ =π3,C 是扇形弧上的动点,矩形ABCD 内接于扇形.记∠POC =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.【解题导思】看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP =1,圆心角∠POQ =3,矩形ABCD 内接于扇形,∠POC =α定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD 的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,D D=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OB-OA=cosα-33sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36(32sin2α+12cos2α)-36=α+π6)-36.由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大-36=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧P 上),则矩形ABCD面积的最大值为__________.【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OC sinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα,则OF=32AD=23sinα,OE=OC cosα=2cosα,则AB=2cosα-23sinα,所以矩形ABCD的面积S=BC·AB=4sinα(2cosα-23sinα)=4sin2α+43cos2α-43=8sin(2α+π3)-43,当2α+π3=π2,即α=π12时,S取得最大值8-43,所以矩形ABCD面积的最大值为8-43.答案:8-43[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交AD,BC于点F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.。
人教高中数学必修一A版《三角恒等变换》三角函数说课教学课件复习(第2课时两角和与差的正弦、余弦公式)
的值为(
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)
60°＝12.]
A．0
B．12
C．
3 2
D．cos 54°
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2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin
B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)
35°的值是( )
2 2 sin
α－
2 2 cos
α
＝ 22×－45－ 22×－35＝－ 102.]
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合
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作
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提素养
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给角求值问题
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【例 1】 (1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( 课件
课件 课件
5×3课件
课件
课件
10－2
5×
5 10 5
1100＝ 102.
②cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝ 55×31010＋255× 1100＝ 22， 又因为β∈0，π2，所以β＝π4.
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给值求值问题的解题策略 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
两角和与差的三角函数(高三复习教案)
人教A 版数学高三一轮复习讲义课题： 两角和与差的三角函数教案滕州二中新校：陈 博**************一、教学内容分析本节是在学习了角的概念与推广及任意角的三角函数和同角三角函数关系之后，旨在通过cos()αβ±、sin()αβ±和tan()αβ±公式的推导，使学生明白公式之间的内在联系；三角函数是高中数学的重点内容，而两角和与差的三角函数和二倍角公式，又是高考命题中的热点，作为三角函数计算必备的能力. 在2012年高考数学命题中，本节集中体现在三角函数的计算基础，二、 考纲要求① 会用向量的数量积公式推导出两角差的余弦公式.② 能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，了解它们内在的练习③ 能利用两角和的公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.④ 能熟练应用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等表换的余弦公式.三、教学重点、难点会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式是重点。
难点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。
四、教学流程设计知识点梳理−−→教材改编题−−→⎧⎪⎨⎪⎩给值求值给值求角−−→高考真题−−→小结五、教学过程设计 一、要点梳理1、 理解两角和与差的正弦、余弦和正切公式之间的内在联系2、 两角和与差的公式sin()____________αβ±=cos()____________αβ±=tan()____________αβ±=3、 将sin cos a x b x +转化为一个角的三角函数的形式，得sin cos _______a x b x +=二、基础自测【教材改编题】必修四教材137P（必修四137P ）1、已知,αβ都是锐角，111cos(),cos(),714αβαβ+=-=-求cos β的值. （必修四146P ）2、化简：tan 70cos10(3tan 201)-；3、已知,αβ都是锐角，110tan ,sin 7αβ==求tan(2)αβ+的值 【设计意图】 通过前面两角和与差的正弦、余弦和正切公式的复习和内在之间联系的梳理，让学生明白公式的来龙去脉，更好的掌握和使用，然后让学生巩固训练必修四课本的典型习题，其习题难度不大，从而引出下面在高考中对于两角和与差知识点的考查.三、典型例题【典型例题】高考总复习49P例1.(1)已知12cos(),sin(),2923βααβ-=--=且,0,22ππαπβ<<<<求cos()2αβ+的值. (2) 已知35cos(),sin ,513αββ-==-且(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，求sin α的值.【学生活动】观察上述例题，从角，函数名，式子的结构和特征去找到解决它们的方法?【师生活动】解：（1） 因为22cos ()sin ()122ββαα-+-=， 所以，2280sin ()1cos ()2281ββαα-=--= 又因为,0,22ππαπβ<<<<所以：(0,)2βαπ-∈， ∴sin()29βα-=同理：cos()2αβ-=312cos()cos[()()]()222399327αββααβ+=---=-+=【小结】：常见角的变换()()222βααβαβ+---=，()()2αβαβα++-=,()()2αβαββ+--=,2()αβαβα+=++等等【学生活动】仿照例1的第一问的解决过程，能否给出第二问的思路和解题过程？学生练习教师提示：()ααββ=-+解：（2） (0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-(0,)αβπ∴-∈即4sin()5αβ-== 同理：12cos 13β= 481533sin sin[()]656565ααββ=-+=-= 四、变式训练【高考真题】1、（2012江苏）设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2427217==225225250-2、（2011浙江理)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9-【答案】 C【解析】：()()2442βππβαα+=+--cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα+++ 133=+==故选C例3、（1）已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 【学生活动】观察上述例题，从角，函数名，式子的结构和特征去找到解决它们的方法?如果要求角2αβ-，必须先求出关于2αβ-的某一个三角函数值，确定好其路线图.【师生活动】解：11()127tan tan[()]1131()27ααββ+-=-+==-⨯- 即 1123tan(2)tan[()]111123αβαβα+-=-+==-⨯ ,(0,)αβπ∈ 2(,2)αβππ∴-∈-24παβ∴-=或54π或34π- （学生思考，错在哪里?） 【质疑析错】从上解中：可知1tan 33α=<，实际上角α的范围可以缩小为(0,)6π，1tan 7β=-，角β的范围可以缩小为5(,)6ππ，2(,)2παβπ∴-∈--，故324παβ∴-=- 【小结】：已知三角函数值求角，一般问题的步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围； ③根据角的范围写出所求的角．若涉及多解问题，一般要从题目中某些特殊函数值，求缩小其范围.一般来说：已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0,)2π，选正、余弦皆可；若角的范围是(0,)π，选余弦较好；若角的范围为(,)22ππ-，选正弦较好．练习：（2）已知02παβπ<<<<，1tan 22α=，cos()10βα-=，①求sin α的值；②求β的值 【分析】由题意可知22αα=⋅，()ββαα=-+【高考真题】5（2012广东文）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R ,且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求A 的值; (Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.解析:(Ⅰ)1cos cos 34364f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2A =. (Ⅱ)4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以15sin 17α=.212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4cos 5β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以8cos 17α=,3sin 5β, 所以()8415313cos cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 五、小结与提高【方法与技巧】1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan tan tan()(1tan tan )x y x y x y ±=±⋅；2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．3．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化！4．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．【失误与防范】1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0,)π范围内，sin()2αβ+=所对应的角αβ+不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．六、作业布置5051:2,6,P P 随堂练习高考真题七、教后小记本节课的教学内容围绕着枣庄教研室出版的“高考总复习“，由两角差的余弦公式入手，推出其它的三角函数的公式，并以结构图呈现了他们之间的内在联系，直观简明. 通过必修四教材上了的几道课后习题并针对改变，得出三角函数在高考中的常考题型，并按题型分为：1、已知三角函数值求值；2、已知三角函数值求角. 在典型例题的教学中渗透角的变换，隐含条件的挖掘，化简中目标意识的培养，强化三角函数中“三看”的习惯. 并且通过错误的解法，让学生反思解题问题中陷阱，然后针对具体题型在高考习题中挑选出有代表性的习题变式巩固训练..最后，根据本节课的情况从方法与技巧和失误与防范两角度进行总结.本节课的不足之处对于sin cos a x b x +形式的习题涉及比较少，应在下节课中，强化化一公式的应用.。
202新数学复习第三章三角函数解三角形3.3.两角和与差的三角公式学案含解析
第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。
利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。
S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。
T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。
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两角和与差的三角函数
【知识梳理】 主要公式：
两角和与差的三角函数公式： sin()αβ+＝ sin()αβ-＝
cos cos sin sin αβαβ- = cos cos sin sin αβαβ+=
tan()αβ±=
题型一：给角求值 1.求下列各式的值
（1）tan 20tan 403tan 20tan 40++ （2）sin10sin 20cos30
cos10sin 20sin 30
+-
类题演练：求下列三角函数式的值 (1)0
tan 204sin 20+
(2)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+-
题型二：给值求角 1.已知1cos 7α=,13cos()14αβ-=,且02
πβα<<<，求β的值.
2.已知1tan 7α=,1
tan 3
β=,若αβ，均为锐角，求2αβ+的值.
3.已知,,(0,)2
π
αβγ∈，sin sin sin αγβ+=,cos cos cos γβα+=,求-βα的值.
4.已知11
tan(),tan 27
αββ-==-,且,(0,)αβπ∈,求2αβ-的值.
题型三：给值求值
1.已知αβ，均为锐角，且cos sin tan cos sin αα
βαα
-=+,则tan()αβ+=
2.已知4cos()5αβ+=,4
cos()5
αβ-=-，求cos cos αβ=
3.已知22
sin sin ,cos cos 33
x y x y -=--=,且,x y 为锐角，则tan()x y -=
4.已知1sin(),63π
α+=则2cos(2)3
π
α-=
5.若3177
cos(),45124
x x π
ππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值.
题组四：综合提升 1.求下列各值 （1
）sin 12
12
π
π
=
(2)(tan103)sin 40-=
(3)若tan 20,tan 60,tan100a b c ===则
111
ab bc ca
++= (4)
222
31
64sin 20sin 20cos 20
-+=
2.已知3,(,)4παβπ∈,312sin(),sin(),5413παββ+=--=则cos()4
π
α+= 3.若353sin(),cos(),41345ππαβ+=-=且30,44
ππαβ<<<<求cos()αβ+的值.。