中考数学专题第25讲 图形的对称、平移、旋转及位似
例 3 (2017· 东营)如图，把△ABC 沿着 BC 的方向平移到△DEF 的位置， 它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若 BC＝ 3，则△ABC 移动的距 离是(导学号 35694059)( D ) 3 3 A. B. 2 3 6 6 C. D. 3－ 2 2
【分析】移动的距离可以视为 BE 或 CF 的长度，根据题意可知△ABC 与 阴影部分为相似三角形，且面积比为 2∶1，所以 EC∶BC＝1∶ 2，推出 EC 的长，利用线段的差求 BE 的长.
)
4．(2017· 天水)下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是( C 1 ①函数 y＝x；②函数 y＝x2；③函数 y＝x. A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
)
考点2)图形变化及相关计算与证明 5．(2015·兰州)如图，线段CD 两个端点的坐标分别为 C(1 ，2)、D(2 ，0)，以
【方法指导】对称、平移、旋转作图的一般步骤：(1)确定原图形中的关键点 ；(2)按要求作出原图形经过变换后，各关键点的对应点；(3)按原图形的连接
7．(2016·省考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2) ，C(1，4)均在正方形网格的格点上. (1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； (2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2
，C2的坐标.
解：(1)如解图所示：△A1B1C1即为所求；
D．正五边形
考点 2) 图形的平移与旋转 例 2 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点， 将△ABP 逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果 AP＝4，那么 P，P′两点间的 B ) 距离为( A．4 B．4 2 C．4 3 D．8
【分析】根据旋转的性质知，旋转角度是90°，AP＝AP′＝4，即△PAP′是等 腰直角三角形，腰长AP＝4，则可用勾股定理求出斜边PP′的长.
原点为位似中心 ，将线段CD放大得到线段 AB，若点 B坐标为(5，0)，则点A
的坐标为(
B)
A．(2，5) B．(2.5，5)
C．(3，5) D．(3，6)
6．(2017· 兰州)如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心是 3 OE 3 FG 点 O， ＝ ，则 ＝ 5 . OA 5 BC
的坐标分别是 A(4 ， 3) 、 B(4 ， 1) ， 把△ ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°后得到
△A1B1C1. (1)画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标； (2)求在旋转过程中，点B所经过的路径的长度.
解：(1)解图略，点 A1、B1 的坐标分别是(－1，4)，(1，4)； 90π×3 3 (2)点 B 所经过的路径的长度为 180 ＝2π.
(2)如解图所示：△A2B2C2，即为所求， 点A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4).
考点1) 轴对称图形和中心对称图形的识别 例1 下列交通标志“慢行通过，注意危险，行人禁止通过，禁止非机动车同 B)
行”四个交通标志中，不是中心对称图形但是轴对称图形的是(
【方法指导】判断轴对称图形的关键是寻找一条直线(对称轴)，若能使图形沿 该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则为轴对称图形，若找不到 这样的一条线，则不是轴对称图形；判断中心对称图形的关键是寻找一个点(
3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转 得到△A′B′C，使CB′∥AD，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为 9 .
考点 3) 图形的位似 例 4 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(－3，6)、B(－9，－3)，以 1 原点 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是 3 ( D ) A．(－1，2) B．(－9，18) C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
【对应训练】 1．如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝6，将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时 针方向旋转后得到矩形 A′BC′D′.若边 A′B 交线段 CD 于点 H，且 BH＝DH，则 DH 的值是( C ) 7 25 A.4 B．8－2 3 C. 4 D．6 2
．如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移动到△A′B′C′的位置，使 B′与C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为 . 6
数学
第25讲 图形的对称பைடு நூலகம்平移、旋转及位似
考点1)对称图形的识别 1．(2016·省考)下列图形中，是中心对称图形的是( A )
2．(2016·天水)下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(导学
号 35694058)(
C )
3．(2017·省考)下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是( B
对称中心)，若能使图形绕该点旋转180°后与原图形重合，则为中心对称图
形，若找不到这样一个点，则不是中心对称图形.
【对应训练】
1．下面的四幅简笔画是从文化活动中抽象出来的 ，其中是轴对称图形的是( ) C
2．下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( A．平行四边形 B．菱形
B)
C．正三角形
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相 似比为k，那么位似图形对应点有2个.
【对应训练】
1 ． (2017· 阿坝州 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 已知 A(1 ， 0) ， D(3 ， 0) ， △ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB＝1.5，则DE＝ 4.5 .
2．(2017·滨州)在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C(2，3)、D(1，
0)，现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x 轴上，且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为 (4，6)或(－4，－6) .
考点4) 网格作图
例5 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B
广东省中考数学专题总复习ppt课件：图形的对称、平移、旋转和位似
第八章 图形的变化
第1讲 图形的对称、平移、 旋转和位似
考点梳理
一、考试要求：
1．图形的轴对称 （1）通过具体实例认识轴对称，理解对应点所连的线 段被对称轴垂直平分的性质． （2）能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴 对称后的图形． （3）能利用轴对称进行图案设计． 2．图形的平移 （1）通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且 相等的性质． （2）能按要求作出简单平面图形平移后的图形． （3）利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实 生活中的应用．
【变式】 (2013· 宜宾) 如图，将面积
为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC长的两倍， 那么图中的四边形ACED的面积为 ___________．
课堂精讲
课堂精讲
考点：平移
例2．(2013· 广安) 将点A (−1，2) 沿x轴向右平移3个单位 长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′的坐标为 ___________ ． （2，−2） 【方法点拨】根据点的平移规律，左右移，横坐标加减， 纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变，即可解 得答案．
课堂精讲
考点：旋转
例1．(2013· 牡丹江) 如图，△ABO中， AB⊥OB，OB= 3 ，AB=1，把△ABO 绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则 点A1的坐标为 ( ) 3) 3 )或(−2，0) A．(−1， B．(−1， C．( 3，−1)或(0，−2) D．( 3 ，−1) 【方法点拨】需要分类讨论:在把△ABO绕点O顺时针旋转 150°和逆时针旋转150°后得到△A1B1O时点A1的坐标 【变式】(2013· 广州) 如图，Rt△ABC 的斜边AB=16，Rt△ABC绕点O顺时 针旋转后得到Rt△A′B′C′，则 Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的 8 长度为____．
2第二节 图形的对称、平移、旋转与位似
第二节图形的对称、平移、旋转与位似图形的轴对称和轴对称图形1．概念(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，能够与另一个图形，这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是．折叠后重合的两点，叫做对应点(也叫对称点)．(2)轴对称图形：把一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够，这个图形叫做轴对称图形，这条直线是对称轴．2．轴对称图形的性质：(1)对称轴是任何一对对应点所连线段的；(2)对应角相等，对应线段．3．轴对称与轴对称图形的区别：轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；对称轴不一定只有一条．轴对称是指两个相同形状图形的位置关系，必须涉及两个图形；只有一条对称轴．4．轴对称与轴对称图形的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．5．折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质，寻找相等的量．图形的中心对称和中心对称图形1．中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转180°能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫．2．中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转，能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称，该点叫做对称中心．3．中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形；(2)对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．4．中心对称与中心对称图形的区别：中心对称图形是具有某种特性的一个图形，中心对称是指两个图形的位置关系．5．中心对称与中心对称图形的联系：在中心对称图形或中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心且被对称中心平分．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等．2．常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等．3．常见的既是轴对称又是中心对称的图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等．图形的平移1．概念：在平面内，将一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的变换叫做平移．2．平移的要素：(1)平移的起点；(2)平移的方向；(3)平移的 ．3．平移的性质：(1)平移不改变图形的形状和大小；(2)经过平移，对应点所连的线段 且相等，对应线段平行且相等，对应角 ．图形的旋转1．概念：将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．2．旋转的要素：(1)旋转中心；(2)旋转方向，主要是指顺时针方向和 方向；(3)旋转角．3．旋转的性质：(1)旋转不改变图形的 和 ；(2)对应线段相等，对应角相等；(3)对应点到旋转中心的距离 ．图形的位似1．概念：如图1，2，两个多边形的顶点A 与A ′，B 与B ′，C 与C ′…所在的直线都经过同一点O ，并且OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC＝…，像这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心．2．位似的性质：两个位似多边形一定相似，并且它们的对应边互相平行(或在同一条直线上)．利用位似可以把一个图形按所给相似比放大或缩小．简单的平移、对称、旋转与位似作图1．平移作图的步骤(1)首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；(2)根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；(3)顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形．2．对称作图的步骤(1)找出原图形的关键点．(2)作出关键点关于对称轴成中心对称的对称点：①若关于x轴对称，设P(a，b)，则对称点P′(a，－b)；②若关于y轴对称，设P(a，b)，则对称点P′(－a，b)；③若关于原点对称，设P(a，b)，则对称点P′(－a，－b)．(3)按照原图形依次连接得到的各关键点的对称点，得到对称后的图形．3．旋转作图的步骤(1)找出旋转中心与旋转角；(2)找出构成图形的关键点；(3)作出这些关键点旋转后的对应点；(4)顺次连接各对应点．4．位似作图的步骤(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即题干中要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点：连接位似中心和原图中的各顶点，再延长(或反向延长)，使之等于位似中心和原图中对应点之间连线的线段长与位似比的乘积；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．利用轴对称的特征解决问题轴对称的特点：(1)轴对称的两个图形全等；(2)对称点连线被对称轴垂直平分．图形的折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形，满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积相等，折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分．(2019·龙岗区期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合．(1)当∠A＝30°时，求证：点D为AB的中点；(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．利用平移、旋转的特征解决问题平移的特点：(1)平移前后两个图形全等；(2)对应点所连的线段平行(或共线)且相等．通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．(2019·高邮期中)如图，已知平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，3)，B(2，1)，C(4，2)．(1)将△ABC以原点O为旋转中心旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(5，－5)，画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出这个点的坐标．位似图形的综合应用解答这类问题要注意如下的问题：(1)认真观察图形，把握图形中的隐含条件．(2)图形的位似就是特殊的相似，位似图形的对应点和位似中心在同一直线上．(3)位似图形有以下性质：①任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比；②当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)．(2019·芜湖三模)在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2∶1放大后的位似图形△A2B2C2；(3)△A2B2C2面积为．(直接写出答案)对轴对称与折叠的关系理解不清及可能出现的多种情况掌握不牢而致错如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意点，则PE＋PF的最小值是．图形的相似与位似位似是特殊的相似，与相似不同的是对应顶点的连线相交于一点，但相似图形未必都位似．1．(2019·玉田县二模)小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，左下角方子的位置用(－2，－1)表示，小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，她放的位置是()A．(－2，0)B．(－1，1) C．(1，－2)D．(－1，－2)2．(2019·庐江县期末)如图，点A1(1，1)，点A1向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A2；点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3；点A3向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点A4，…，按这个规律平移得到点A n，则点A n的横坐标为()A．2n B．2n－1 C．2n－1D．2n＋13．(2019·张家界)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是( )A ．(22，－22)B ．(1，0)C ．(－22，－22) D ．(0，－1)“将军饮马”问题唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再到B 点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．1．(2019·庐阳区校级模拟)已知边长为4的等边△ABC ，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，AC 的中点，P 为线段DE 上一动点，则PF ＋PC 的最小值为( )A ．4B ．32C ．23D ．2＋3费马点“费马点”由费马(被誉为“业余数学家之王”)提出，是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心．若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点．∠CPA＝120°，∠BPA＝120°，∠CPB＝120°，AP＋BP＋CP最短．2．若点P是腰长为2的等腰Rt△DEF内一点．求PD＋PE＋PF的最小值．网格作图（2019年安徽16-8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，(1)将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画线段CD，(2)以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点.（作出一个菱形即可）（2018年安徽17-8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位．点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点)，以及过格点的直线l.(1)将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形；(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形；(3)填空：∠C＋∠E＝________°.（2016年安徽17-8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC.(1)试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；(2)将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.点△ABC(顶点是网格线的交点)．(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C2B2.（2014年安徽17-8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)．(1)将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1.（2013年安徽17-8分）如图，已知A(－3，－3)，B(－2，－1)，C(－1，－2)是直角坐标平面上三点．(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标．若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．（2012年安徽18-8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1.(1)画出一个格点△A1B1C1，使它与△ABC全等且A与A1是对应点；(2)画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的．（2011年安徽17-8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2：(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.（2010年安徽18-8分）在小正方形组成的15×15的网格图中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．(1)现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1；(2)若四边形ABCD平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2.（2009年安徽18-8分）如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到Rt△O′A′B′.(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；(2)设P(x，y)为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．。
2024河南中考数学一轮知识点复习专题 图形的对称、平移与旋转 课件
′′
两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,
那么交点在对称轴上.
续表
性
质
轴对称图形
∠
∠ = ⑩____,
对应角 ∠ = ⑪_______,
∠
相等
∠
∠ = ⑫_______
轴对称
∠′
∠ = ⑬_____,
∠′
∠ = ⑭_____,
, −
坐标为_________.
图（2）
（6）如图（3），点 为边 上一动点，将 △ 沿直线
翻折，点 的对应点为 5 ，当 5 与坐标轴垂直时，
− 或
的长度为______________.
图（3）
【思路点拨】
（6）应分 5 ⊥ 轴与 5 ⊥ 轴两种情况讨论.
图（1）
（4）将 △ 向右平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度，点 的
对应点 3 落在反比例函数 =
4
的图象上，则点 的对应点 3 的坐标为
, +
___________.
（5）如图（2），作 △ 关于直线 的对称图形 △ 4 ，
再作 △ 4 关于直线 4 的对称图形 △ 4 4 ，则点 4 的
拓展：若点 , 的坐标分别为 1 , 1 , 2 , 2 ,则线段 的中点 的坐标
为
1 +2 1 +2
,
2
2
（中点坐标公式）.
命题角度1 图形变换与坐标
例1 一题多问 如图（1），在平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在
轴的正半轴上， ∠ = ∠ = 30∘ ， = 2 .
中考数学复习拔高之图形的对称、平移、旋转与位似、投影与视图
图形的对称、平移、旋转与位似、投影与视图第１课时图形平移、对称与旋转（含位似）考点１图形的平移１．定义：把图形上所有的点都按移动相同的距离叫做平移，原来的图形叫做原像，在新位置的图形叫做该图形在平移下的像．２．性质：ａ．平移不改变图形的形状和（如长度、角度、面积以及平行关系等）；ｂ．平移还不改变直线的；ｃ．一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且．考点２图形的对称１．轴对称图形与中心对称图形２．常见轴对称图形、中心对称图形（１）常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形等；（２）常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；（３）常见的既是中心对称图形又是轴对称图形：菱形、矩形、正方形、正六边形，圆等.【温馨提示】边数为奇数的正多边形是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，正ｎ边形的对称轴有ｎ条.３．轴对称与中心对称【温馨提示】轴对称变换：把图形(a)沿直线l 翻折，并将图形复印下来得到图形（b）就叫做该图形关于直线l 作了轴对称变换，也叫轴反射，图形（a）叫做原像，图形（b）叫做图形（a）在这个轴反射下的像．轴对称变换不改变图形的形状和大小．考点３图形的旋转１．定义：将一个平面图形F上的每一个点绕这个平面内一个（即把F上每一个点与定点的连线绕定点旋转角α）得到图形F’，图形的这种变换就叫旋转，这个定点叫旋转中心，角叫作旋转角．２．旋转的三大要素：、旋转方向和旋转角．３．旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离；②对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于；③旋转不改变图形的形状和大小．考点４网格中图形变换作图１．平移作图的基本步骤（１）根据题意，确定平移方向和平移距离；（２）找出原图形的关键点；（３）按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（４）按原图形依次连接得到的各关键点的对应点，得到平移后的图形．２．对称作图的基本步骤轴对称（或中心对称）图形的作法：先找出图形的各顶点，作出它们关于对称轴（或原点）的对称点，然后根据原图连接各顶点的对称点即可．３．旋转作图的基本步骤（１）根据题意，确定旋转中心及旋转方向、旋转角（２）找出原图形的关键点（３）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点（４）按原图形依次连接得到的各关键点的对应点，得到旋转后的图形．４．位似作图的基本步骤（１）确定位似中心；（２）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点（３）画出新图形题型一对称图形的识别例１随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）变式题１下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）题型二网格中图形变换作图例２如图，方格纸中的每个小正方形边长都是１个单位长度， Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点Ａ的坐标为（1,1）点Ｂ的坐标为（4,1）.（１）先将Rt△ABC向左平移５个单位长度，再向下平移１个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图中画出Rt △A1B1C1，并写出点A1的坐标；（２）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A1B2C2，试在图中画出Rt△A1B2C2.变式题２如图，在边长为１的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的顶点上．题型三旋转操作的相关证明与计算例３如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，将△ABC绕点Ｂ沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.（１）线段A1C1的长度是10 ，∠CBA1的度数是135°．（２）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．变式题３如图，在△ABC中AB=BC=1,∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1，A1B交AC 于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F.（1）求证：四边形BC1DA是菱形；（2）求ED的长.第２课时投影与视图（含尺规作图）考点１投影１．投影：物体在光线的照射下，把物体映成它的影子叫做投影．２．：由平行光线形成的投影，例：阳光下树影的形成．３．：从一点发出的光线形成的投影，例：灯光下物体影子的形成．【温馨提示】平行投影在同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比考点２视图１．三视图（１）从正面观察物体时，看到的图叫做；（２）从左侧面观察物体时，看到的图叫做；（３）从上面观察物体时，看到的图叫做．【温馨提示】三种视图的画法：一般地，我们先画主视图，然后在它的右边画左视图，在主视图的下方画俯视图，主视图与俯视图在水平方向的长度都相等，画的时候让它们互相对正，这称为“长对正”；主视图与左视图在竖直方向上的高度都相等，画的时候让它们互相对正，这称为“高平齐”；俯视图的宽度与左视图的宽度都相等，这称为“宽相等”，这三条原则称为三视图中的“三等原则”，看得见的棱画为实线，看不见的棱画为虚线．３．小正方块组成几何体的视图判断方法（１）找准所判断视图的观察方向；（２）从视图观察方向看几何体．①判断主视图时，从前往后看，几何体从左往右有几列，每一列最高有几层，对应到主视图中即有几列，每一列即有几个正方形，并注意每列中正方形的摆放位置．②判断左视图时，从左往右看，几何体左往右有几列，每一列最高有几层，对应到左视图中即有几列，每一列即有几个正方形，并注意每列中正方形的摆放位置．③判断俯视图时，从上往下看，几何体从前往后有几行，每一行有几个，对应到俯视图即有几行，每行有几个，注意每行中正方形摆放位置．依据上述步骤，判断如图①所示几何体得到的三种视图如图②．４．根据视图还原几何体的方法（１）对于常见的几何体的还原，一般可以通过识记，正确理解正方体、圆柱、圆锥、球体与它们的三视图之间的关系，熟练掌握给出几何体得到三视图或者给出三视图得到几何体两者之间的转化；（２）对于非常见几何体，可以通过俯视图得出几何体底面的基本形状，再由主视图和左视图得出几何体的图形，并对比三视图来判断所得几何体是否正确，注意三视图中的虚、实线及其位置．５．计算组成几何体的小正方块个数的方法根据三视图确定组成几何体的小正方块个数，首先可由俯视图来确定几何体的最底层形状（打基础），再由主视图在俯视图的基础上累加小正方块（疯狂盖），最后由左视图来排除多余的小正方块（拆违章），从而实现几何体个数的确定．６．几何体面积和体积计算由几何体的三视图及其所标尺寸，计算几何体的表面积或体积问题，关键是先还原几何体，得出几何图形，再将三视图中的尺寸对应标注在几何体上，最后利用几何体相关计算公式求解．如：常见几何体的体积或表面积计算公式．考点３立体图形的展开与折叠1.常见几何体的展开与折叠【温馨提示】一个几何体能展开成平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆过程．２．正方体展开图的类型熟练掌握正方体的各种展开图是解决与正方体有关的展开与折叠问题的关键．正方体展开图有下列四种类型：第一类：“141”型；特点：四个连成一排，两侧各有一个正方形．如下图：第二类：“132”型；特点：三个连成一排，两侧分别连着１个和２个正方形．如下面３个图形：第三类：“222”型；特点：两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形．如下面１个图形：第四类：“３３”型；特点：三个正方形连成一排的一侧还有三个连成一排的正方形，如下面１个图形：注意：由上面几个展开图可以看出，不会出现两种形式的图形即“凹”字型和“田”型．如下面２个图形：注：图①与图②两种形式不是正方体的表面展图． 考点４ 尺规作图１．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图． ２．步骤（１）根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； （２）分析作图的方法和过程； （３）用直尺和圆规进行作图； （４）写出作图步骤，即作法． ３．几个基本的尺规作图 （１）作一条线段等于已知线段； （２）作一个角等于已知角； （３）作已知角的平分线； （４）作已知线段的垂直平分线； （５）过直线外一点作已知直线的垂线． 题型一 三视图例１ 将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在桌面上，它的俯视图是（ ）【解析】该卷简纸可以看似一个中空的圆柱，从正上方看卷筒卫生纸，会看到两个同心圆．如图示：变式题１如图几何体的主视图（）题型二还原几何体以及有关计算例2如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图,小立方块的个数是(）个A.3B.4C.5D.6【点评与拓展】在三视图中确定小立方块的个数，解题的关键是通过三视图中小立方块的个数确定出立体图形中小立方块的个数．变式题２如图是一个几何体的三视图，则原几何体是．题型三立体图形的展开图例３如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“２”相对的面上的数字（）1. （2017深圳）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2. （2017山东泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°3. （2017江苏盐城）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点B运动的最短路径长为．4.（2017广西百色）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为．5. （2017浙江义乌）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A． B．C．D．6.（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．7. （2017张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．8.（2017江苏徐州）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．（1）线段DC=；（2）求线段DB的长度．9.（2017宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．图形的对称、平移、旋转与位似、投影与视图第１课时图形平移、对称与旋转（含位似）考点１图形的平移１．定义：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫做平移，原来的图形叫做原像，在新位置的图形叫做该图形在平移下的像．２．性质：ａ．平移不改变图形的形状和大小（如长度、角度、面积以及平行关系等）；ｂ．平移还不改变直线的方向；ｃ．一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．考点２图形的对称１．轴对称图形与中心对称图形２．常见轴对称图形、中心对称图形（１）常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形等；（３）常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；（４）常见的既是中心对称图形又是轴对称图形：菱形、矩形、正方形、正六边形，圆等.【温馨提示】边数为奇数的正多边形是轴对称图形而不是中心对称图形，边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，正ｎ边形的对称轴有ｎ条.３．轴对称与中心对称【温馨提示】轴对称变换：把图形(a)沿直线l 翻折，并将图形复印下来得到图形（b）就叫做该图形关于直线l 作了轴对称变换，也叫轴反射，图形（a）叫做原像，图形（b）叫做图形（a）在这个轴反射下的像．轴对称变换不改变图形的形状和大小．考点３图形的旋转１．定义：将一个平面图形F上的每一个点绕这个平面内一个定点旋转同一个角度（即把F上每一个点与定点的连线绕定点旋转角α）得到图形F’，图形的这种变换就叫旋转，这个定点叫旋转中心，角叫作旋转角．２．旋转的三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角．３．旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角；③旋转不改变图形的形状和大小．考点４网格中图形变换作图１．平移作图的基本步骤（１）根据题意，确定平移方向和平移距离；（２）找出原图形的关键点；（３）按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（４）按原图形依次连接得到的各关键点的对应点，得到平移后的图形．２．对称作图的基本步骤轴对称（或中心对称）图形的作法：先找出图形的各顶点，作出它们关于对称轴（或原点）的对称点，然后根据原图连接各顶点的对称点即可．３．旋转作图的基本步骤（１）根据题意，确定旋转中心及旋转方向、旋转角（２）找出原图形的关键点（３）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点（４）按原图形依次连接得到的各关键点的对应点，得到旋转后的图形．４．位似作图的基本步骤（１）确定位似中心；（２）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点（３）画出新图形题型一对称图形的识别例１随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（A）【解析】在Ａ选项中，图形按其中心旋180°后能与原图重合，是中心对称图形，而其他三项都按其中心旋转180°后不能与原图重合，所以不是中心对称图形．【点评与拓展】识别中心对称图形的方法是将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点是对称中心；而识别轴对称图形的方法是把一个图形沿着一条直线翻折过来，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形．变式题１下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）【解析】题型二网格中图形变换作图例２如图，方格纸中的每个小正方形边长都是１个单位长度， Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点Ａ的坐标为（1,1）点Ｂ的坐标为（4,1）.（１）先将Rt△ABC向左平移５个单位长度，再向下平移１个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图中画出Rt △A1B1C1，并写出点A1的坐标；（２）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A1B2C2，试在图中画出Rt△A1B2C2.【思路分析】（１）根据网格结构找出点A、B、C移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标；（２）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A1、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．解：（1）Rt△A1B1C1如图所示；A1(-4，0).（2）Rt△A1B2C2如图所示.变式题２如图，在边长为１的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的顶点上．【点评与拓展】轴对称的基本作图步骤是：（１）先找出已知图形中能够确定形状的关键点，如顶点、端点或中点等；（２）分别过这些关键点向对称轴作垂线，并延长至另一侧，使其两侧的线段相等，得到的点为这些关键点的对称点；（３）顺次连接作出的点，即可得到已知图形的对称图形．当然，作格点图形的对称图形，可以用数格点法显得简单．题型三旋转操作的相关证明与计算例３如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，将△ABC绕点Ｂ沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.（１）线段A1C1的长度是10 ，∠CBA1的度数是135°．（２）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．【思路分析】（１）由于将△ABC绕点Ｂ沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1，根据旋转的性质可以得到A1C1＝AC，∠CBC1＝90°，而△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA1的度数；（２）由∠A1C1B=∠C1BC＝90°可以得到A1C1∥BC，又A1C1＝AC＝BC，利用平行四边形的判定即可明题目的问题．（１）解：∵将△ABC绕点Ｂ沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1，∴A1C1＝10，∠CBC1＝90°，而△ABC是等腰直角三角形，∴∠A1BC1＝45°，∴∠CBA1=135°；（２）证明：∵∠A1C1B=∠C1BC=90°，∴A1C1∥BC.又∵A1C1=AC=BC，∴四边形CBA1C1是平行四边形【难点分析】本题难点在于利用旋转的性质得到相等的边和角，进而利用等腰直角三角形的性质求得角度. 变式题３如图，在△ABC中AB=BC=1,∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1，A1B交AC 于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F.（1）求证：四边形BC1DA是菱形；（2）求ED的长.（1）证明：∵∠ABC=120°，AB=BC，∴∠A=(180°-120°)÷2=30°，由题意可知∠A1=∠A=30°，∵旋转角为30°，∴∠ABA1=30°，∴∠A1=∠ABA1，∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形，∵AB=BC1，∴四边形BC1DA是菱形.第２课时投影与视图（含尺规作图）考点１投影１．投影：物体在光线的照射下，把物体映成它的影子叫做投影．２．平行投影：由平行光线形成的投影，例：阳光下树影的形成．３．中心投影：从一点发出的光线形成的投影，例：灯光下物体影子的形成．【温馨提示】平行投影在同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比考点２视图１．三视图（１）从正面观察物体时，看到的图叫做主视图；（２）从左侧面观察物体时，看到的图叫做左视图；（３）从上面观察物体时，看到的图叫做俯视图．【温馨提示】三种视图的画法：一般地，我们先画主视图，然后在它的右边画左视图，在主视图的下方画俯视图，主视图与俯视图在水平方向的长度都相等，画的时候让它们互相对正，这称为“长对正”；主视图与左视图在竖直方向上的高度都相等，画的时候让它们互相对正，这称为“高平齐”；俯视图的宽度与左视图的宽度都相等，这称为“宽相等”，这三条原则称为三视图中的“三等原则”，看得见的棱画为实线，看不见的棱画为虚线．３．小正方块组成几何体的视图判断方法（１）找准所判断视图的观察方向；（２）从视图观察方向看几何体．①判断主视图时，从前往后看，几何体从左往右有几列，每一列最高有几层，对应到主视图中即有几列，每一列即有几个正方形，并注意每列中正方形的摆放位置．②判断左视图时，从左往右看，几何体左往右有几列，每一列最高有几层，对应到左视图中即有几列，每一列即有几个正方形，并注意每列中正方形的摆放位置．③判断俯视图时，从上往下看，几何体从前往后有几行，每一行有几个，对应到俯视图即有几行，每行有几个，注意每行中正方形摆放位置．依据上述步骤，判断如图①所示几何体得到的三种视图如图②．４．根据视图还原几何体的方法（１）对于常见的几何体的还原，一般可以通过识记，正确理解正方体、圆柱、圆锥、球体与它们的三视图之间的关系，熟练掌握给出几何体得到三视图或者给出三视图得到几何体两者之间的转化；（２）对于非常见几何体，可以通过俯视图得出几何体底面的基本形状，再由主视图和左视图得出几何体的图形，并对比三视图来判断所得几何体是否正确，注意三视图中的虚、实线及其位置．５．计算组成几何体的小正方块个数的方法根据三视图确定组成几何体的小正方块个数，首先可由俯视图来确定几何体的最底层形状（打基础），再由主视图在俯视图的基础上累加小正方块（疯狂盖），最后由左视图来排除多余的小正方块（拆违章），从而实现几何体个数的确定．６．几何体面积和体积计算由几何体的三视图及其所标尺寸，计算几何体的表面积或体积问题，关键是先还原几何体，得出几何图形，再将三视图中的尺寸对应标注在几何体上，最后利用几何体相关计算公式求解．如：常见几何体的体积或表面积计算公式．考点３立体图形的展开与折叠1.常见几何体的展开与折叠【温馨提示】一个几何体能展开成平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆过程．２．正方体展开图的类型熟练掌握正方体的各种展开图是解决与正方体有关的展开与折叠问题的关键．正方体展开图有下列四种类型：第一类：“141”型；特点：四个连成一排，两侧各有一个正方形．如下图：第二类：“132”型；特点：三个连成一排，两侧分别连着１个和２个正方形．如下面３个图形：第三类：“222”型；特点：两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形．如下面１个图形：第四类：“３３”型；特点：三个正方形连成一排的一侧还有三个连成一排的正方形，如下面１个图形：注意：由上面几个展开图可以看出，不会出现两种形式的图形即“凹”字型和“田”型．如下面２个图形：注：图①与图②两种形式不是正方体的表面展图．考点４尺规作图１．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图．２．步骤（１）根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；（２）分析作图的方法和过程；（３）用直尺和圆规进行作图；（４）写出作图步骤，即作法．３．几个基本的尺规作图（１）作一条线段等于已知线段；（２）作一个角等于已知角；（３）作已知角的平分线；（４）作已知线段的垂直平分线；（５）过直线外一点作已知直线的垂线．题型一三视图例１将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在桌面上，它的俯视图是（D）【解析】该卷简纸可以看似一个中空的圆柱，从正上方看卷筒卫生纸，会看到两个同心圆．如图示：变式题１如图几何体的主视图（D）【解析】根据三视图的概念：在正面由前向后观察物体得到的视图叫主视图，从正面看第一列有２个正方体，第二列有１个正方体，第三列有１个正方体．图示展示如下：题型二还原几何体以及有关计算例2如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图,小立方块的个数是(B）个A.3B.4C.5D.6【解析】以俯视图作为研究的基础,通过主视图可以知道,第一列立方块出现最多数量是2,但是不能确定哪个位置是2,第二列立方块出现的最多数量是1,通过左视图,可以知道第一行出现左视最多的是1,第2行最多是2,如图所主视【点评与拓展】在三视图中确定小立方块的个数，解题的关键是通过三视图中小立方块的个数确定出立体图形中小立方块的个数．变式题２如图是一个几何体的三视图，则原几何体是长方体．。
最新对称、平移、旋转知识点
轴对称图形1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线（虚线、尺子、露头）2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。
3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。
4、在方格纸上补全轴对称图形关键：找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。
5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。
平移1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。
注意：平移只是沿水平方向左右移动（×）平移不仅仅局限于左右运动。
2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。
将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。
3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。
4、在方格纸上平移图形的方法：（1）找出图形的关键点；（2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点；（3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。
注意：用箭头标明平移方向（→）旋转1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。
2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向；与时针运动方向相反的是逆时针方向；3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。
4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。
5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等。
6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。
7、简单图形旋转90°的画法：（1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线；（2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点；（3）参照原图形顺次连接所画的对应点。
中考数学一轮复习课件第三节 图形的平移、对称、旋转与位似
第三节 图形的平移、对称、
旋转与位似
（1）图形的平移；
（2）图形的轴对称；
（3）图形的旋转；
（4）图形的位似；
（5）图形的运动与坐标；
（6）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.
从近几年的安徽中考试题可以看出,图形的变换每年都考,考查分两类,一类
是在正方形的网格中进行图形变换作图的形式出现,多数考查图形的两种变换,有
旋转和位似
7.（2018·安徽）如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,
已知点O,A,B均为网格线的交点.
（1）在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段
A1B1（点A,B的对应点分别为A1,B1）,画出线段A1B1；
【解答】（1）如图所示,线段A1B1即为所求；
（1）将△ABC向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的三角
形；
【解答】（1）如图所示△A'B'C'即为所求；
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形；
【解答】（2）△D'E'F'即为所求；
（3）填空：∠C＋∠E＝
45° .
【解答】（3）45°（如图,连接A'F',
∵△ABC≌△A'B'C',△DEF≌△D'E'F',
设AC＝a,则BC＝ 3a,∴△ACA1∽△BCB1,
∴S1∶S2＝AC2∶BC2＝a2∶( 3)2 ＝1∶3；
（3）如图3,设AC中点为E,A1B1中点为P,AC＝a,连接EP,当θ＝
度最大,最大值为
.
2024年中考数学一轮复习课件：图形的平移、旋转与位似
（3） 在（2）中，△ABC旋转过程中所扫过的面积为
π＋
.
考点四位似
典例6 如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则△AOB与
△COD的相似比为
1∶2
.
典例7 （2022·
启东二模）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
点O到DC的距离为 .
OM＝ MN
考点三网格中的图形变换作图题
典例4 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B的坐标分别
为（3，1），（2，－1）.
（1） 画出△OAB绕点O按顺时针方向旋转180°后得到的图形；
解：（1） 如图，△OA'B'即为所求作.
（2） 在y轴的左侧以点O为位似中心作△OAB的位似图形△OCD，
D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. （2023·龙东地区）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2，E
是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到
Rt△AFD（点C，B的对应点分别为D，F），连接CF，EF，CE.在旋转
的过程中，△CEF面积的最大值是
是
6
.
7. （2023·
金华）在平面直角坐标系中，将点（4，5）绕原点O按逆时针
（－5，4）
方向旋转90°，得到的点的坐标为
1
2
3
4
5
6
初中数学旋转、平移、对称知识点总结
2021年初中数学旋转、平移、对称知识点总结1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
〔旋转角小于0°，大于360°〕。
2.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。
旋转中心可在图形上，也可以在图形外部或内部，始终保持不动的那个点就是旋转中心，旋转中心就是两组对应点连线的垂直平分线的交点。
3.旋转中心确实定方法：〔1〕首先找出旋转前后两个图形上的两组对应点；〔2〕然后分别连接这两组对应点得到两条线段；〔3〕分别作这两条线段的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为旋转中心。
4.旋转的性质〔1〕对应点到旋转中心的距离相等。
〔2〕对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
即图形上每一点都绕转中心按相同的方向和角度旋转。
〔3〕旋转前后的图形全等:对应边相等、对应角相等、图形的形状大小不改变。
如下列图所示：5.旋转作图的具体步骤：找转截连写〔1〕找：找准图形中的关键点，并将每个关键点与旋转中心连结；〔2〕转：把连线围绕定点转过一定角度〔画旋转角的另一边〕〔3〕截：在旋转角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各关键点的对应点；〔4〕连：连结所得到的各对应点；〔5〕写：写出结论，说明作出的图形；即先找出关键点，然后连接关键点与旋转中心，将这些线段按同一方向旋转同一角度，标出对应点，连接对应点。
6.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。
7.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。
8. 平移的性质〔1〕对应点的连线平行(或共线)且相等〔2〕对应线段平行(或共线)且相等；〔3〕对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
9.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法〔1〕找关键点；〔2〕过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点〔3〕连接对应点。
初中数学九年级下册平移、对称、旋转与位似知识点讲解
第七单元图形与变换第24讲平移、对称、旋转与位似一、知识清单梳理知识点一：图形变换（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分1.图形能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.的轴对称（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．2.图形（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；的平移③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．（1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．3.图形（2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方的旋转向转动了相同角度；②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等；③对应点到旋转中心的距离相等．（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．4.图形的中心（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的对称两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．5.图形的位似（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．知识点二：网格作图图形的在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上平移变(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)换平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．图形关在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个于坐标图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；2.坐标轴成对在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个与图形的称变换图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．位置及运图形关在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么动于原点这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反成中心数．对称图形关在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比于原点为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．成位似变换关键点拨与对应举例常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．在平面直角坐标系中或网格中作已知图形的变换是近几年安徽必考题型，注意根据图形变化的性质先确定图形变换后的对应点，然后顺次连接对应点即可.例：平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.。
“图形的轴对称、平移和旋转”中考专题复习教学设计
收稿日期：2021-01-16作者简介：曹自由（1979—），男，高级教师，主要从事中学数学教育研究.“图形的轴对称、平移和旋转”中考专题复习教学设计曹自由摘要：图形的变化是发展空间观念的内容抓手，也是研究图形的基本方法，是发现和构造不变量和不变关系的重要途径.学生在新授课阶段分别学习了轴对称、平移和旋转，在中考第二轮复习中需要建立它们之间的关联，进行整体复习.通过四个课时的复习教学，分别引导学生感受运动变化、理解运动变化、运用运动变化、整合运动变化，有效发展学生的空间观念、几何直观和推理能力.文章将第1课时设计整理成文，以供研讨.关键词：图形的变化；中考复习；教学设计一、内容和内容解析1.内容图形的变化（轴对称、平移、旋转）．2.内容解析初中阶段学习的几何图形的变化包括轴对称、平移、旋转和相似（位似）的概念、性质和应用.本节课复习的内容是图形的全等变换——轴对称、平移和旋转.图形的全等变换可以看作是图形的刚体运动，用全等变换的思想研究图形的性质和关系是“图形与几何”领域重要的学习内容.在义务教育阶段，图形之间最重要的关系就是全等，全等可以用图形重合的方式直观获得，而“图形重合”需要通过图形的运动来实现，这种运动就是图形的轴对称、平移和旋转.图形的变化是理解图形空间结构的基本方法，也是空间观念的核心要素.抽象轴对称、平移和旋转的基本性质，用逻辑的方法理解图形的全等变换是从定性到定量研究图形的变化的桥梁.从小学直观认识图形的轴对称、平移和旋转到初中的逻辑研究、坐标表示再到后续的矩阵表示，是图形的全等变换的定性到定量发展的三个重要阶段.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：建立三种图形的变化相关知识的逻辑体系，并用图形变化的观点认识几何图形.二、目标和目标解析1.目标（1）理解轴对称、平移、旋转之间的联系，加深对运动变化的认识，落实画图和识图的能力，渗透几何直观能力.（2）在问题探究的过程中，逐步形成用图形的变化思考、解决问题的意识，渗透图形变化思想.2.目标解析达成目标（1）的标志：能够从运动变化的角度描述两个已知图形之间的关系，能够根据图形变化（轴对称、平移、旋转）的概念和性质画出运动变化后的图形，通过梳理建立三种变化相关知识的逻辑体系.达成目标（2）的标志：能够以运动的视角观察图形，用变化的思想分析图形特征．三、教学问题诊断分析近几年北京中考试卷中的几何综合题都考查了图形的变化的相关内容，并且不是单一的，而是从一种变化到另一种变化的综合考查.但是学生学习时，知识是零散的、分割开的，先学习了平移，然后是轴对称和旋转，没有形成三种变化相关知识的逻辑体系.同时，图形的变化是一种观察图形的视角，培养这种“视角”与培养“知识与技能”同样重要.基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：三种图形的变化之间的转化．四、教学过程设计1.课前学习题目如图1，在平面直角坐标系xOy中，△AOB 可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB 的过程：．图1思考问题：什么是轴对称、平移、旋转？它们各有什么性质？它们之间有什么联系？【设计意图】此题为2017年中考北京卷第15题，学生在课前复习轴对称、平移、旋转的相关知识，关注知识的形成过程及知识之间的内在联系，在应用中不断深化认识.通过解决中考试题回顾思考涉及的知识和思想方法，进一步提升能力.2.交流梳理环节1：交流课前学习成果.（1）平移：如图2，平移前后的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；对应线段平行且相等，两对应点连线互相平行（共线）且相等（从图形位置变化来看）.图2CC′BAA′B′（2）轴对称：如图3，关于某直线对称的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；对应线段相等，两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线（从图形位置变化来看）.图3B′A′ABCNMC′（3）旋转：如图4，旋转前后的两个图形全等（从图形形状、大小关系来看）；每两对对应点连线所形成的角都等于旋转角（从图形位置变化来看）；对应点到旋转中心的距离相等（从图形位置变化来看）.BCAA′C′（1）OB′ABCC′A′（2）图4（4）轴对称、平移、旋转三者的关系：如图5，两条对称轴平行的轴对称复合⇔一次平移；两条对称轴相交的轴对称复合⇔一次旋转.2（3）2（1）2（2）图5轴对称在三种变化中起到桥梁作用，轴对称与另外两种全等变换在地位上是有区别的，它是更加基础的一种变化，所有平移、旋转都可以用轴对称变化来解释.【设计意图】学生先回答思考问题，借此梳理三种变化的性质，明确各自的画图方法及依据，明确三种变化之间的关系.环节2：问题引导深入思考.思考：只用一种变化可不可以操作？如何操作？用两种变化如何操作？哪种方法容易快速想到？为什么？【设计意图】课上让学生先交流自己的结果.而学生在交流结果时一定是无序的，这时教师可以引导学生进行有序思考.问题1：对于题目，只用两种变化有哪些方法？学生活动：交流使用两种变化的情况.（1）旋转+平移.思路1：将△COD绕点C顺时针旋转90°后，再向左平移两个单位得到△AOB.思路2：将△COD绕点O顺时针旋转90°后，再向上平移两个单位得到△AOB.思路3：将△COD向左平移两个单位后，再绕点C 顺时针旋转90°得到△AOB.思路4：将△COD向上平移两个单位后，再绕点A 顺时针旋转90°得到△AOB.（2）旋转+轴对称.思路5：将△COD先关于x轴对称，再以点C为旋转中心顺时针旋转90°，再作关于直线x=1的对称得到△AOB.追问：采用“平移+轴对称”的方式可以吗？归纳：对应顶点排列的顺序一致——旋转；与目标图形的方向一致——平移.问题2：用一种变化有哪些方法？追问：两个全等的三角形通过某种运动方式一定能重合吗？若能重合，如何运动？归纳：对应顶点排列顺序一致，经过一次旋转能重合．学生活动：对于题目，展示只通过旋转或只通过轴对称完成任务的方法，并说明自己的画图方法和画图依据.方法1：（旋转）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向和旋转角.思路6：将△COD绕点()1，1顺时针旋转90°得到△AOB.思路7：将△COD先绕点()1，-1逆时针旋转90°后，再绕点O旋转180°得到△AOB.方法2：（轴对称）两条对称轴相交的轴对称复合⇔一次旋转.思路8：先将△COD沿直线x=1对称后，再沿直线y=x对称得到△AOB.思路9：先将△COD沿直线y=1对称后，再沿直线y=-x+2对称得到△AOB.【设计意图】题目难度不大，且学生具备直接识别运动变化的能力，但是学生自己描述运动变化的经验还是比较少的，而且运动的方式是不唯一的，给出运动前后的图形，描述运动变化要素，这对学生的要求实际上是提高了很多的.因此，要关注这三种运动变化之间的联系，通过这个过程深化学生对于运动变化的认识.3.变式练习变式1：如图6，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，试类比上一个问题的探究过程，说出△ABE经过怎样的图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△BCF？图6B E CFDA图7B E CDA变式2：如图7，在等边三角形ABC中，AD=BE，试类比上一个问题的探究过程，说出△ABE经过怎样的图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到△CAD？学生活动：展示所画图形的变化过程，并用语言描述这个过程.学生可能想到如下情况.（1）旋转+平移（如图8和图9）.D图8图9（2）两次轴对称（如图10）.图10（3）一次旋转（如图11）.图11【设计意图】将任务探究的思维过程结构化，形成解决问题的方法思路.同时渗透用运动变化的眼光观察图形的思想方法.满足特定条件下的图形的变化可能有多种情况，培养思维的有序性、多样性.4.归纳与提升总结、归纳本节课的教学流程如图12所示.运动的眼光，变换的思想ìíîïï图形的平移图形的轴对称图形的旋转图12【设计意图】归纳方法、提升能力，形成用运动的眼光、变换的思想看待两个图形之间的关系的能力，渗透运动变换思想.5.布置作业（1）如图13，在平面直角坐标系xOy中，△O′A′B′可以看作是△OAB经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△OAB得到△O′A′B′的过程：.图13（2）如图14，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A()-4，1，B()-1，3，经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A″，B″的坐标分别为A″()1，0，B″()3，-3，则由线段AB得到线段A′B′的过程是：，由线段A′B′得到线段A″B″的过程是：．图14（3）如图15，在正方形网格中，线段A′B′可以看作是线段AB经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由线段AB得到线段A′B′的过程：．图16图15ABA′B′（4）如图16，在平面直角坐标系xOy中，△ABC可以看作△DEF是经过若干次图形的变化（轴对称、平移、旋转）得到的，写出一种由△DEF得到△ABC的过程：．五、教学反思本节课是“图形的轴对称、平移和旋转”中考第二轮专题复习课，内容属于“图形的变化”.希望通过一系列数学活动，帮助学生在已有知识基础上对图形变换思想进行相应的概括和应用.同时，在落实“四基”、培养“四能”的过程中，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.1.感受运动变化，建立逻辑体系学生通过亲身经历课前的数学操作活动后，体验的水平停留在“感觉”阶段，还没有对活动过程进行深入的思考，没有深刻认识到三种全等变换之间内在的逻辑关系.在此基础上，学生在课堂上通过交流及反思性观察将获得的体验进行抽象，梳理三种全等变换各自的性质及它们之间的联系，形成解决该类问题的一般思维模式.图形的变化是一种观察图形的视角，培养这种“视角”与培养“知识与技能”同样重要.在关注联系的基础上，通过问题引导，使学生能够进行知识的归纳梳理，并能够主动利用经验的迁移去研究其他问题.通过本节课的教学，进一步帮助学生感受运动变化，学会以运动变化的视角分析图形，也为后续进一步主动运用图形变化视角认识几何图形，运用图形变换思想解决综合性问题奠定基础. 2.培养思维的有序性、多样性满足特定条件下的图形的变化可能有多种情况，开放性问题有助于学生体验解决问题方法的多样性.与此同时，通过增加限定条件，从两种图形变化的组合，到只用一种图形变化，将任务探究的思维过程结构化，形成解决问题的方法思路.同时，渗透用运动变化的眼光观察图形的思想方法.本节课的教学目标定位在落实画图和识图能力，渗透几何直观能力，理解轴对称、平移、旋转之间的联系，加深对运动变化的认识；在问题探究的过程中，逐步形成用图形的变化视角思考解决问题的意识，渗透图形变化思想.在实际授课过程中，知识与技能落实得比较到位，而思想性体现不够充分，还需要深入研究，在思想性上多做文章.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.［4］任华中，傅海伦，邵亚娜.初中数学基本活动经验的教学目标层次划分［J］.中国数学教育（初中版），2018（6）：30-32.。