2022年高考数学一轮复习专题 专题36 立体几何中的向量方法复习课件
2020年高三数学一轮复习 7.7.2立体几何中的向量方法(2)导学案 理.doc
2020年高三数学一轮复习 7.7.2立体几何中的向量方法(2)导学案 理
【学习目标】
1. 掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法。
2．会利用向量方法对距离进行转化。
【重点难点】
重点 ：空间角的定义、范围，求空间角的向量方法。
难点 ：求空间角的向量方法。
【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成
预习案
一、知识梳理
1． 空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足
sin θ＝|cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小
1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．
2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
2. 点面距的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.
二、基础自测
1．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为___________．
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．
3．从空间一点P向二面角α—l—β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角α—l—β的大小为60°，则∠EPF的大小为__________．
4．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．
高考数学复习 专题03 立体几何 立体几何中的向量方法(
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点
主标题：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点
副标题：从考点分析立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：向量证平行，向量证垂直，向量求角，易错点
难度：2
重要程度：4
【易错点】
1．平行关系
(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)
(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(√)
2．垂直关系
(3)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13，－23，23.(√)
(4)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√)
剖析：
1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨．
2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.
高考数学一轮复习第7讲 立体几何中的向量方法
第7讲 立体几何中的向量方法
1．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量
直线l上的向量e或与e01共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有02无数个．
(2)平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在直线03垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．
显然一个平面的法向量也有04无数个，且它们是05共线向量．
(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
l∥m⇔06a∥b⇔07a＝kb，k∈R；
l⊥m⇔08a⊥b⇔09a·b＝0；
l∥α⇔10a⊥u⇔11a·u＝0；
l⊥α⇔12a∥u⇔13a＝ku，k∈R；
α∥β⇔14u∥v⇔15u＝kv，k∈R；
α⊥β⇔16u⊥v⇔17u·v＝0.
2．空间向量与空间角的关系
(1)两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝18|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是(0°，90°])． (2)直线与平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝19|e·n||e||n|，φ的取值范围是[0°，90°]．
(3)求二面角的大小
如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝20〈AB→，CD→〉.
如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0°，180°]．
确定平面法向量的方法
(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．
(2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由 n·a＝0，n·b＝0，解方程组求得．
高考数学(文)一轮复习专题训练：立体几何(含答案)
高三数学文一轮复习专题突破训练
立体几何
一、选择、填空题
1、（2016年全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283，则它的表面积是
（A）17 （B）18
（C）20 （D）28
2、（2016年全国II卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A）12 （B）323
（C） （D）
3、（2016年全国I卷）平面过正方体1111ABCDABCD的顶点A，//平面11CBD，平面ABCDm，平面11ABBAn，则m，n所成角的正弦值为
（A）32 （B）22
（C）33 （D）13
4、（2016年全国II卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
5、（2016年全国III卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 αAA1BB1DCC1D1
（A）18365 （B）54185 （C）90 （D）81
6、（2016年全国III卷）在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是
（A）4π （B）92 （C）6π （D）323
7、（2015年全国I卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
2013年高考数学复习专题系列-----立体几何
2013年高考数学复习专题系列-----《立体几何》部分
第 1 页 共 25 页 第六部分 立体几何
一，常见结论
1、简单旋转体的结构特征对比：
结构特征 球 圆柱 圆锥 圆台
母线 无 母线都平行且相等 所有的母线都相等且交于顶点 所有的母线都相等延长交于一点
底面 无 两底面平行相等圆 一个底面圆 两底面平行不等圆
平行于底截面 球的任何截面都是圆 与底面相等的圆 与底面不等的圆 与底面不等的圆
轴截面 大圆 矩形 等腰三角形 等腰梯形
侧面展开图
不可展开 矩形 扇形 扇环
2、简单多面体的结构特征对比：
结构特征 棱柱 棱锥 棱台
底面 平行且全等多边形 多边形 平行相似多边形
侧面 平行四边形 三角形 梯形
侧棱 平行且相等 相交于一点 延长线交于一点
平行于底的截面 与底面全等的多边形 与底面相似多边形 与底面相似多边形
过不相邻侧棱的截面
平行四边形 三角形 梯形
3、简单几何体的表面积和体积
（1）圆柱、圆锥、圆台、球的表面积(c是底面周长，l为母线长)
圆柱的侧面积: 2Sclrl，表面积)(2222lrrrlrS；
圆锥的侧面积12Sclrl，表面积)(2lrrrlrS；
圆台的侧面积12121()()2Sccllrr，表面积)(222121rrlrlrS；
球的表面积24RS
（2）简单几何体的体积
棱柱和圆柱的体积hSV；棱锥和圆锥的体积hSV31；
棱台和圆台的体积hSSSSV）下下上上(31；球的体积334RV。
4、三视图的投影规律：
主、俯视图——长对正；主、左视图——高平齐；俯、左视图——宽相等
5、空间图形的公理
公理1：文字语言： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在平面内）。 2013年高考数学复习专题系列-----《立体几何》部分
高考数学一轮总复习第6章立体几何第6节立体几何中的向量方法__证明平行与垂直教师用书
第六节 立体几何中的向量方法——证明平行与垂直
考试要求：1．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、
面面的平行和垂直关系．2．能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理．
一、教材概念·结论·性质重现1．直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行 ( 或重合 ) 的非零向量，一
条直线的方向向量有无数个
平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量 a ，我们称向量a为平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向
量
方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
2．空间位置关系的向量表示
位置关系向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2n1⊥n2⇔n1· n 2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，mα ∥ β n∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n · m ＝ 0
二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ )
(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ )
(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．( × )
1(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( × )2．若直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有()A．l∥α B．l⊥α
C．l与α斜交 D．l⊂α或l∥α
B 解析：由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α．故选B．
3．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不对
【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第八章 8.7立体几何中向量方法-(学生版+教师版)
立体几何中向量方法
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面的单位法向量是唯一确定的．( )
(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )
(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )
(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
(5)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π2]，二面角的范围是[0，π]．( )
(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( )
2、已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)
C．(－33，－33，－33) D．(33，33，－33)
3、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )
A.55 B.53
C.56 D.54
4、设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
5、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
题型一 利用空间向量证明平行问题 例1如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
引申探究
本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.
【同步练习】
1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
2014高考数学第一轮复习-向量法解立体几何二
立体几何中的向量方法(二）
【2014年高考会这样考】
考查用向量方法求异面直线所成的角,直线与平面所成的角、二面角的大小．
【复习指导】
复习中要掌握空间角的类型及各自的范围,掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系．
基础梳理
1．空间的角
（1)异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b.则把a′与b′所成的锐角（或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角;②直线和平面平行，或在平面内,则它们所成的角是0°的角．
（3）二面角的平面角
如图在二面角α。l。β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则∠AOB叫做二面角的平面角． 2．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝｜cos〈m1，m2〉｜。
（2）设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝｜cos
（3）求二面角的大小
（ⅰ）如图①，AB、CD是二面角α。l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈错误!，错误!〉．
(ⅱ)如图②③,n1，n2分别是二面角α.l.β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1,n2〉或－cos〈n1，n2〉．
三种成角
(1）异面直线所成的角的范围是错误!；
(2）直线与平面所成角的范围是错误!；
（3）二面角的范围是[0，π]．
易误警示
利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α、β的法向量n1,n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补,这是利用向量求二面角的难点、易错点．
高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：专题8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直(测)(原卷版)
2019年高考数学讲练测【浙江版】【测】
第八章 立体几何
第07节 立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1.平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )．
A.12，－1，－1 B．(6，－2，－2)
C．(4,2,2) D．(－1,1,4)
2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )．
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
3. 已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A.337，－157，4 B.407，－157，4
C.407，－2,4 D．4，407，－15
4. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为 ( )
A．(1，1，1) B.23，23，1
C.22，22，1 D.24，24，1
5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为
( )
A．平行 B．异面
C．垂直 D．以上都不对
6. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13AC，则( )
立体几何中的向量方法——求空间角与距离-2023届高考数学一轮复习(新高考)
考点专练38：立体几何中的向量方法
一、选择题
1.在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2．若〈n1，n2〉＝π3，则二面角A-BD-C的大小为( )
A．π3 B．2π3 C．π3或2π3 D．π6或π3
2.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，OC→＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2, 1, 2)，设二面角C-AB-O的大小为θ，则cos θ等于( )
A．43 B．53 C．23 D．－23
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝13AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为( )
A．33535 B． 277 C．33 D．24
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(
)
A．12 B．23 C．33 D．22
5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，二面角B-AA1-C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为3，点C到平面ABB1A1的距离为23，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为(
)
A．7 B．6
C．5 D．2
6.(多选)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则α，β，γ大小关系正确的是( )
A．α＞β B．α＝β C．γ＞β D．γ≥β
二、填空题
7．如图，在正方形ABCD中，EF∥AB．若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶2，则AF与CE所成角的余弦值为________