【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题13 立体几何中的向量方法课件
类型的棱柱)为主.
考题引路
考例
(2015· 新课标Ⅰ理， 18) 如图，四边形 ABCD 为菱
形，∠ ABC ＝ 120°， E ， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE⊥ 平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
[警示]
求空间角时必须严格按空间角的定义及与相应的
直线的方向向量、平面的法向量之间的关系式来求，二面角的 大小还要结合图形判断．
设 BC1 与平面 ABC 所成的角为 θ， 2 5 → → 则 sinθ＝|cos〈BB1，BC1〉|＝ 5 . → → (2)设 E(1，y,0)，A(0,0，z)，则EB1＝(－1,2－y,0)，EA＝(－1， －y，z)． → → ∵EA⊥EB1，∴EA· EB1＝1－y(2－y)＝0， ∴y＝1，即 E(1,1,0)，即 E 是 CC1 的中点．
→ → → ∵BE＝(1,1,0)，BE· B1E＝1－1＝0， → → ∴BE⊥B1E. 又 BE⊥A1B1，∴BE⊥平面 A1B1E， → ∴平面 A1B1E 的法向量为BE＝(1,1,0)， → n· BE 2 → ∴cos〈n，BE〉＝ ＝2， → |n|· |BE| ∴二面角 A－EB1－A1 的大小为 45° .
[立意与点拨 ]
考查空间垂直的判定与性质；异面直线所
成角的计算；空间想象能力，推理论证能力． 第(1)问欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，即在其中 一个平面内找一条直线与另一个平面垂直，要充分利用所给垂 直条件及菱形的特殊性通过推理或计算证明线线垂直，得到线 面垂直．第 (2) 问利用 (1) 的结论建立空间直角坐标系用向量法 求．
[易错分析]
1.直线 l 与平面 ABC 成的角为 θ，l 的方向向量
|a· n| 为 a，平面 ABC 的法向量为 n，则应有 sinθ＝|a|· |n|，解答中易将 → n· BC1 线面角 θ，代入公式 cosθ＝ 导致错误； → |n|· |BC1| 2．第(2)问的条件中未给出 AB 的长度，这样点 A 的坐标不能 设为(0,0,1)，因为棱柱中有些棱的长度已经给出，因此不能设定 AB＝1，解题中设量要紧扣题目条件；
[解析] (1) 连接 BD，设 BD∩AC＝G，连接 EG，FG，EF， 在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1， 由∠ABC＝120° ，可得 AG＝GC＝ 3. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC 可知， AE＝EC， 又∵AE⊥EC， ∴EG＝ 3，EG⊥AC， 2 在 Rt△EBG 中，可得 BE＝ 2，故 DF＝ 2 .
→ → (3)∵A(0,0， 2)，则AE＝(1,1，－ 2)，B1E＝(1，－1，0)． 设平面 AEB1 的法向量为 n ＝(x1，y1，z1)，
→ n · AE＝0 则 → B1E＝0 n ·
x1＋y1－ 2z1＝0 ，⇔ x1－y1＝0
，
取 n ＝(1,1， 2)．
3 ．本部分一般每年考一道大题，试题一般以多面体为载
体，分步设问，既考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间 有一定梯度，大多模式是：诸小问依次讨论线线垂直与平行，
线面垂直与平行、面面垂直与平行 → 异面直线所成角、线面
角、二面角→体积的计算．强调作图、证明、计算相结合．考 查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、 正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱，或底面为 特殊图形——如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等
6 在 Rt△FDG 中，可得 FG＝ 2 . 2 在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 2 ， 3 2 可得 EF＝ 2 ， ∴EG2＋FG2＝EF2，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG＝G，∴EG⊥平面 AFC， ∵EG⊂平面 AEC， ∴平面 AFC⊥平面 AEC.
→ → (2)如图，以 G 为坐标原点，分别以GB，GC的方向为 x 轴，y → 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G－xyz， 由(1)可得 A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)， 2 F(－1,0， 2 )，C(0， 3，0)， 2 → → ∴AE＝(1， 3， 2)，CF＝(－1，－ 3， 2 )． → → AE· CF 3 → → 故 cos〈AE，CF〉＝ ＝－ 3 . → → |AE|· |CF| 3 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 3 .
走向高考 ·数学
高考二轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一部分
微专题强化练
第一部分 一 13 考点强化练
立体几何中的向量方法(理)
1
考 向 分 析
3
强 化 训 练
2
考 题 引 路
4
易 错 防 范
考向分析
1.一般不单独命制考查空间向量的概念与运算的题目． 2．若在客观题中考查，通常是在几何体中求空间角．
易错防范
案例
混淆空间角与两向量夹角致误
(2014· 乌鲁木齐市诊断)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已 知 BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝90° ，AB⊥侧面 BB1C1C. (1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值； (2)在棱 CC1(不包含端点 C，C1)上确定一点 E 的位置，使得 EA⊥EB1(要求说明理由)； (3)在(2)的条件下， 若 AB＝ 2， 求二面角 A－EB1－A1 的大小．
3．设 n1，n2 为平面 AB1E 与 A1B1E 的法向量，则平面 AB1E |n1· n2| 与平面 A1B1E 成的二面角的大小 θ 满足 cosθ＝ ， 但 θ 为锐角 |n1||n2| 还是钝角，需根据实际情况确定，不能认定有两个值．
[解答] ∵AB⊥平面 BB1C1C， ∴AB⊥BC， AB⊥BB1， 又∠BCC1 ＝90° ，∴BC⊥CC1， ∵BB1∥CC1，∴BB1⊥BC，即 AB、BC、BB1 两两垂直． 如图，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0) ， C1(1,2,0)，B1(0,2,0)． → (1) 直三棱柱 ABC － A1B1C1 中，平面 ABC 的法向量 BB1 ＝ → (0,2,0)，BC1＝(1,2,0)，
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强专题14 直线与圆一、选择题1．(文)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A.2B.823833C.3 [答案] BD.[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a≠18，求得a＝－1，2∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝2231＋－1 82＝.故选B.3(理)已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 [答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y＋3＝0. [方法点拨] 1.两直线的位置关系B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝02222|6－312.与直线y＝kx＋b平行的直线设为y＝kx＋b1，垂直的直线设为y＝－＋m(k≠0)；k与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线设为Ax＋By＋C1＝0，垂直的直线设为Bx－Ay＋C1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2022年安徽文，8)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 C．－2或－12 [答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|＝1 b＝2或12，故选D. 3＋4B．2或－12 D．2或1222(理)(2022年辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)＋(y－1)＝2 B．(x－1)＋(y＋1)＝2 C．(x－1)＋(y－1)＝2 D．(x＋1)＋(y＋1)＝2 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直|2a||2a－4|线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得22得a＝1，∴r＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：dr 点在圆外，d＝r 点在圆上；dr 点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r(或0)作比较，大于r(或0)时，点在圆外；等于r(或0)时，点在圆上；小于r(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)与圆：(x－a)＋(y－b)＝r(r0)的位置关系如下表.2222222222222222关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2022年安徽文，6)过点P(3，－1)的直线l与圆x＋y ＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )πA. (0，]6πC. [0，]6[答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，ππ在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝，∠OPA66πB．(0，]3πD．[0，]322∴∠MPA＝，∵直线l倾斜角的范围是[0．33[方法点拨] 本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ0求出k的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2022年山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )53A3532B．－或－232254C45[答案] DD．－或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，∵光线与圆(x＋|－3k－2－2k－3|42223)＋(y－2)＝1相切，∴1，∴12k＋25k＋12＝0，解得kk＝3k2＋13－故选D. 44．(文)(2022年湖南文，6)若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y －6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 C．9 [答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C1：x＋y＝1，C2：(x－3)＋(y－4)＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，2222222B．19 D．－11r1＝1，r225－m，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系2(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝x上，且恒与定直线l相切，则直线l的4方程为( )A．x＝1 1C．y＝－32[答案] D[解析] ∵A(0,1)是抛物线x＝4y的焦点，又抛物线的准线为y ＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C21B．x＝32D．y＝－1与定直线l：y＝－1总相切．5．(文)(2022年哈三中一模)直线x＋y2＝0截圆x＋y＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.C.π 62π3B.D.π35π622[答案] D|2|[解析] 弦心距d＝1，半径r＝2，22π∴劣弧所对的圆心角为3(理)(2022年福建理，6)直线l：y＝kx＋1与圆O：x＋y＝1相交于A，B两点，则“k1＝1”是“△OAB的面积为”的( )2A．充分而不必要条件C．充分必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝＝2|k|1＋k，11＋k222B．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件弦长为|AB|＝1－d21|k|1∴S△OAB＝|AB|d＝2，∴k＝±1，2k＋121因此当“k＝1”时，“S△OAB”，故充分性成立．21“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，2∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d＝r，而不使用Δ＝0.6．(2022年太原市一模)已知在圆x＋y－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5 C．15 [答案] DB．65 D．21522[解析] 圆的方程为(x－2)＋(y＋1)＝5，圆的最长弦AC为直径25；设圆心M(2，－1)，圆的最短弦BD⊥ME，∵ME＝2－1 ＋－1－0 ＝2，∴BD＝R－ME＝3，11故S四边形ABCD＝ACBD＝53＝215.227．(2022年重庆理，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 C．6 [答案] C[解析] 易知圆的标准方程C：(x－2)＋(y－1)＝4，圆心O(2,1)，又因为直线l：x＋ay－1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a＝－1，A(－4，－1)，又因为直线AB与圆相切，则△OAB为直角三角形，|OA|＝2＋4 ＋1＋1 ＝210，|OB|＝2，|AB|＝OA－OB＝6.8．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( ) A．1条C．3条[答案] D[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2022年江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )4A.π 5C．(6－25)π [答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB＝90°，∴原点O在⊙C 上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝4242R＝S＝πR＝π.选A.5553B. 45D. 4B．2条D．4条222222222222B．42 D．210(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a＋1＝0和圆：x＋y＋2x－4＝0相切，则222a的取值范围是( )A．a7或a－3 B．a6或a－6C．－3≤a66≤a≤7 D．a≥7或a椋3 [答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|525得－6a6，两条直线都和圆相离时，|2 －1 ＋a|5 5由|2 －1 ＋a＋1|52得a－3，或a7，所以两条直线和圆“相切”时a5的取值范围－3≤a≤－6或6≤a≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有：1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d＋r，最小值d－r(d是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d＋r，最小值r－d.3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d，直线与圆相离，则最大值d＋r，最小值d－r；直线与圆相交，则最大值d＋r，最小值0.4．P(x，y)为⊙O上一动点，求x、y的表达式(如x＋2y，x ＋y等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦长为3，则m＝________.[答案] 02222[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d|m ＋1|m＋1＝1，解得m＝0.1222(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA ＋sinB＝sinC，则直线2ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．[答案] 271222[解析] 由正弦定理得a＋b＝c，2∴圆心到直线距离d＝|c|a＋b22＝c2，12c2∴弦长l＝r－d＝29－2＝7.11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x＋y＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．222即|c|12＋522，解|c|13，∴－13c13.12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x＋y＋2ax＋ay＋2a＋a－1＝0相切，则实数a＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a＋a－1＝0，∴a＝－1或－2. 当a＝－1时，x＋y－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x＋y－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.三、解答题13．(2022年福建文，19)已知点F为抛物线E：y＝2px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. 22222222(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.2因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y＝4x.2(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由2p2y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0，211解得x＝2或x＝，从而B(2)．22又G(－1,0)，2－022－2－022所以kGA＝kGB＝＝－，2－－1 313－－1 2所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由y＝22 x－1 ，y2＝4x，得2x－5x＋2＝0.21 1 解得x＝2或x＝，从而B2 . 2 2又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋22＝0，|22＋22|42从而r＝ .8＋917又直线GB的方程为2x＋3y＋22＝0，2＋2|2所以点F到直线GB的距离d＝＝r.8＋917这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．14．(文)已知圆C：x＋y＝r(r0)经过点(13)．(1)求圆C的方程；→(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系OM1→3→＝＋(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存22在，请说明理由．[解析] (1)由圆C：x＋y＝r，再由点(13)在圆C上，得r＝1＋(3)＝4，所以圆C的方程为x＋y＝4.(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，y＝k x＋1 ＋1，联立22x＋y－4＝0.22222222222222消去y得，(1＋k)x＋2k(k＋1)x＋k＋2k－3＝0，2k k＋1 2－2k由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋221＋k1＋kk2＋2k－32k－4x1x2＝＝1＋221＋k1＋ky1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，因此，得x1＋y1＝4，x2＋y2＝4，3x1＋3x2y1＋3y2→1由OM＝＋得，x0＝，y0＝，222222222k＋42－3，1＋k由于点M也在圆C上，则(整理得2x21＋y1x1＋3x222y1＋3y22＝4，242x22＋y2433x1x2y1y2＝4，222k－42k＋4即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋(3)＝0，1＋k1＋k从而得，k－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为2y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.②若直线l的斜率不存在，－1－33－3则A(－1，3)，B(－1，－3)，M()－1323－32)＋)＝4－3≠4，22故点M不在圆上与题设矛盾，综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.(理)已知圆O：x＋y＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为2222椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a2，e＝2c＝1，2则b＝1，即椭圆C＋y＝1.21(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以kPF＝2∴kOQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x. 又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．x22∴kPQ＝－1，kOP＝1，∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，则y0＝2－x0，kPF＝22x0＋1kOQ＝－，x0＋1y0x0＋1x，y0y0∴直线OQ的方程为y＝－2x0＋2∴点Q(－2)，y0y0－∴kPQ＝22x0＋2y0x0＋2y20－2x0＋2x0＋2 y0－x0－2x0x0y0＝，又kOP＝x0＋2 y0y0x0∴kOPkPQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ 始终与圆O相切．15．(文)(2022年石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C 的切线，切点分别为P、Q，求△APQ面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得x2＋y－2 2＝y2＋4，化简得x＝4y.(2)解法一：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，y＝kx＋b22消去y得x－4kx－4b＝0.2x1＋x2＝4k设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＝－4b，且Δ＝16k＋16b211以点P为切点的切线的斜率为y′11，其切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，__即y＝1x－x1.24112同理过点Q的切线的方程为y＝x2x2.24两条切线的交点A(xA，yB)在直线x－y－2＝0上，x＋xx＝2k 2解得__12A12A2，即A(2k，－b)．则：2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k＋16b＝16k＋32－32k＝16(k－1)＋160，|PQ|1＋k|x1－x2|＝1＋k2222k2＋b，2|2k＋2b|A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝k2＋1S△APQ＝PD|d＝4|k2＋b|k2＋b＝4(k2＋b)3322＝4(k－2k＋2)＝4[(k－1)＋1].当k＝1时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．解法二：设A(x0，y0)在直线x－y－2＝0上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x＝4y11上，则以点P为切点的切线的斜率为y11，其切线方程为y －y1＝x1(x－x1)，221即y＝1x－y1，21同理以点Q为切点的方程为y＝x2x－y2.21y＝__－y，2设两条切线均过点A(x，y)，则1y＝2__－y.1012021232点P，Q的坐标均满足方程y0＝__0－y，即直线PQ的方程为：y＝0x－y0，代入抛物线方程x＝4y消去y可得：21212x2－2x0x＋4y0＝0|PQ|＝1210|x1－x2| 41221＋x04x0－16y0 412|x0－2y0|2A(x0，y0)到直线PQ的距离为d＝12x0＋14S△APQ＝PQ|d＝x20－4y0x0－4y01212312＝(x0－4y0) 2 2331212＝(x0－4x0＋8) 2 ＝[(x0－2)＋4] 2 22当x0＝2时，S△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．3(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为－，记点P的轨迹为曲4线C.(1)求曲线C的方程；→→→→(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|OM－ON|＝|OM＋ON|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x，y)，3则由直线PA与直线PB斜率之积为－得，4y3x≠±2)，x＋2x－24整理得曲线C＋＝1(x≠±2)．43→→→→→→(2)若|OM－ON|＝|OM＋ON|，则OM⊥ON. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN斜率不存在，则y2＝－y1，N(x1，－y1)．yx2y2x1y1→→y1－y1由OM⊥ON得＝－1，又＋1.x1x143解得直线MN方程为x＝±12.原点O到直线MN的距离d＝712. 722若直线MN斜率存在，设方程为y＝kx＋m.y＝kx＋m 22由xy＋＝1 43得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0.222－8km4m－12∴x1＋x2＝2，x1x2＝2(*)4k＋34k＋3→→y1y222由OM⊥ON得＝－1，整理得(k＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝0.2x1x2代入(*)式解得7m＝12(k＋1)．此时(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0中Δ0. 此时原点O到直线MN的距离22222。
(完整版)2016版《步步高》高考数学大二轮总复习
【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练(含解析)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练（含解析）一、选择题1．(文)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 6C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a2a )，若△FAB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以1－a2a＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6，选B ．(理)(2014·中原名校联考)已知双曲线x 2a 2＋y 2b2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为12的两部分，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．233C ． 5D ．52[答案] B[解析] 由条件知∠OAB ＝120°，从而∠BOA ＝30°，∴b a ＝33，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e 2＝43，∵e>1，∴e ＝233.[方法点拨] 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．直接法解答选择题是最基本的方法，用直接法解题的关键是掌握相关知识，熟练应用有关数学方法与技巧，准确把握题目的特点．平时应对基础知识、基本技能与方法强化记忆灵活应用．请练习下题：(2015·某某省高考适应性测试)已知椭圆C 1：x 217＋y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )A ．4B ．41313C ． 2D ．1＋52[答案] C[解析] 双曲线的一条渐近线方程为：y ＝b ax ，设它与椭圆C 1的交点为CD ，易得|CD |＝13|AB |＝2173， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 217＋y 2＝1.得：x 217＋b 2a2x 2＝1，x ＝±17a2a 2＋17b 2， ∴|CD |＝21＋b 2a2·17a2a 2＋17b 2＝217a 2＋b 2a 2＋17b 2＝2173， 整理得：a 2＝b 2，∴e ＝ 2.2．(2015·新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18[答案] C[解析] 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12，选C ．3．(文)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3 1B ．2 1C ．4 1D ．31[答案] B[解析] 将P ，Q 置于特殊位置：使P 与A 1重合，Q 与B 重合，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2 1.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．35B ．45 C ．34 D ．43 [答案] B[解析] 解法一：取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝45， 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.故选B ．[方法点拨] 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数、特殊图形．其解题原理是某个结论若对某X 围内的一切情形都成立，则对该X 围内的某个特殊情形一定成立．请练习下题：已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0[答案] D[解析] A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C 选项中，k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等，故选D ．[点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断，方便的获解，如果盲目从直线与椭圆相交求弦长，则费神耗力无收获．4．(文)A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，且A <B <C (C ≠π2)，则下列结论中一定正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cot A <cotC C ．tan A <tan CD ．cos A <cos C[答案] A[解析] 利用特殊情形，因为A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角，此时结论仍然正确．而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数，因此B 、C 、D 均可排除，故选A ．(理)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．1或－3[答案] D[解析] 令x ＝0，∴a 0＝1；令x ＝1，故(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 6，且因a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或－3.5．已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析]∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，排除B 、D ．又f ′(π6)＝12×π6－sin π6＝12×(π6－1)<0，排除C ，选A ．[方法点拨] 筛选法筛选法也叫排除法(淘汰法)，它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．6．(文)(2015·某某市一模)给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32 ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．(理)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤[答案] D[解析] 对于⑤，由于众数为1，所以1在数据中，又极差≤1，∴最大数≤2，符合要求⑤正确；对于④，由于x ≤3，∴必有数据x 0≤3，又极差小于或等于2，∴最大数不超过5，④正确；当数据为0,3,3,3,6,3,3时，x ＝3，S 2＝187，满足x ≤3且S ≤2，但不合要求，③错，∴选D ．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1)C ．(－14，0)D ．(－14，0][答案] C[解析] 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图只需－14<m <0.[方法点拨] 数形结合法将所研究的问题转化为函数的图象或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合几何图形的直观特征得到正确选项的一种解题方法，其实质就是数形结合思想的运用．1．运用图解法解选择题是依靠图形的直观性进行分析的，因此要对有关的函数图象或几何图形较熟悉，作图尽可能准确才能作出正确的选择．2．讨论方程根的个数、函数的零点个数、函数图象交点个数，直线与圆锥曲线或圆锥曲线之间位置关系的题目，三角形解的讨论，立体几何中线面位置关系的判断，线性规划等等问题常借助图形处理．请练习下题：(2014·某某市三调)已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x <2x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值X 围是( )A ．[53，5]B ．[0,5]C ． [0,5)D ． [53，5)[答案] C[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B (13，23)时，可知－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)，故选C ．8．(2015·某某某某市一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 作出可行域如图平移直线2x ＋y ＝0知，当z ＝2x ＋y 经过点A (－1，－1)时取得最小值，经过点B (2，－1)时取得最大值，∴m ＝2×2－1＝3，n ＝2×(－1)－1＝－3， ∴m －n ＝3－(－3)＝6.9．(2015·某某文，10)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0 [答案] A[解析] 令x ＝0⇒d >0，又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数f (x )的图象可知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，由图可知x 1>0，x 2>0，x 1<x 2，f ′(x )＝3a (x －x 1)(x －x 2)＝3ax 2－3a (x 1＋x 2)x ＋3ax 1x 2，当x ∈(－∞，x 1)时，f (x )单调递增，f ′(x )>0，∴a >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b <0，c >0.故A 正确．10．(文)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2＝( ) A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．－15D ．5[答案] D[解析] 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，因此tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1，因此排除A 、B 、C ，选D ．(理)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[答案] B[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．[方法点拨] 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解答比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值X 围、函数图象的变化，几何体的表面积、体积等问题，常用此种方法确定选项．11．(文)(2014·某某市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )A ．a ，aB ．a ，a 2＋b 2C ．a 2，3a 2D ． a2，a[答案] A[解析] 如图，由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝|PC |＋|CF 1|，|PF 2|＝|PD |＋|DF 2|，又|CF 1|＝|F 1A |，|DF 2|＝|F 2A |，∴|PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2A |＝|OF 1|＋|OA |－(|OF 2|－|OA |)＝2|OA |＝2a ，∴|OA |＝a ，同理可求得|OB |＝a .(理)若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在[0，π2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值X 围是( )A ．0≤a <1B ．－3≤a <1C ．a <1D ．0<a <1[答案] A[解析] cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＝a ＋1，可设f (x )＝2sin(2x ＋π6)，g (x )＝a＋1，利用数形结合，如图所示，有1≤a ＋1<2，即0≤a <1，即可得出正确答案．故选A ．12．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A ．169πB ．83πC ．4πD ．649π[答案] D[解析]∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.13．(文)各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足：a n ＋2＝2a n ＋1＋a n ，b n ＋2＝b n ＋1＋2b n (n ∈N *)，那么( )A ．∀n ∈N *，a n >b n ⇒a n ＋1>b n ＋1 B ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n >b n C ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n ＝b n D ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n <b n [答案] B[解析] 特值排除法：取a 1＝1，a 2＝2；b 1＝12，b 2＝3，显然a 1>b 1但a 2<b 2，排除A ；当a 1＝1，a 2＝2，b 1＝1，b 2＝2时，a 3＝5，b 3＝4，a 4＝12，b 4＝8，排除C 、D ，故选B ．(理)已知0<a <b <c 且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log 是( )A ．成等比数列B ．成等差数列C ．即是等差数列又是等比数列D ．即不是等差数列又不是等比数列 [答案] D[解析] 方法1：可用特殊值法．令a ＝2，b ＝4，c ＝8，n ＝2，即可得出答案D 正确． 方法2：∵a 、b 、c 成等比数列， ∴可设b ＝aq ，c ＝aq 2.(q >1，a >0)则：log b n ＝log (aq )n ＝log a n 1＋log a q ，log ＝log (aq 2)n ＝log a n1＋2log a q，可验证，log a n ，log b n ，log 既不是等差数列又不是等比数列．故选D ．14．(文)某兴趣小组野外露营，计划搭建一简易帐篷，关于帐篷的形状，有三人提出了三种方案，甲建议搭建如图①所示的帐篷；乙建议搭建如②所示的帐篷；丙建议搭建如③所示的帐篷．设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是α，则用料最省的一种建法是( )(四根立柱围成的面积相同)A ．①B ．②C ．③D ．都一样[答案] D[解析] 由于帐篷顶与水平面所成的角都是α，则不论哪种建法，顶部在地面的射影面积都相等，由S ＝S 射cos α得，不论哪种建法，所用料的面积都相等．(理)若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝(S M)nD ．P 2>(S M)n[答案] C[解析] 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M和P 2>(S M)n不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝(S M )n ，且P ≠SM，所以选项A 不正确．15．(文)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x <π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，f ′(0)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D ．(理)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[答案] D[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B ；当x ＝π时，y ＝－π，排除A ；当x ＝π2时，y ＝1，排除C ．16．(文)(2014·某某理，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )[答案] D[解析] 本题考查幂函数和对数函数图象．选项A 没有幂函数图象．选项B 中y ＝x a(a ≥0)中a >1.y ＝log a x (x >0)中0<a <1.不符合．选项C 中y ＝x a(x ≥0)中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中a >1.不符合．选项D 中y ＝x a (x ≥a )中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中0<a <1，符合，选D ．(理)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] 由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负，由此可排除B 、C 、D ．[方法点拨] 解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧，以节省解题时间．解答选择题的总体策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．17．(2015·某某文，5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x[答案] B[解析] A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y ＝2sin (2x ＋π4)是非奇非偶函数．故正确答案为B ．。
【走向高考】2016届高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)12-2坐标系与参数方程课件 新人教A版
(2)双曲线的参数方程 x2 y2 中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线a2－b2＝1(a>0，
x＝asecθ b>0)的参数方程为 y＝btanθ
(θ 为参数)．
(3)抛物线
2 x ＝ 2 pt y2＝2px(p>0)的参数方程 y＝2pt
(t 为参数)．
[答案]
一、2.(1)≥ R 同一个 (2)ρcosθ ρsinθ (3)ρ ρcosθ＝a ρsinθ＝a (t 为参数) |MN|
疑难误区 点拨警示 1．在极坐标系中，如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R；点的 极坐标不惟一．给定点的极坐标时，在平面上就唯一确定了 一个点；但是给定平面上的一个点，它可以有无穷多个极坐 标，一般地(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z 与(ρ，θ)代表同一个点，有时 为了使极坐标与平面上的点(除极点外)建立一一对应关系， 规 定 ρ≥0,0≤θ<2π.
[答案]
[解析]
3
π 将方程 ρ＝2 2与 ρcos(θ＋4)＝ 2化为直角坐标
方程得 x2＋y2＝8 与 x－y－2＝0，因此 C1 为圆心在坐标原点， 半径为 2 2的圆，C2 为直线，因圆心到直线 x－y－2＝0 的距 离为 2，故满足条件的点的个数为 3.
4．(2013· 重庆理，15)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为 ρcosθ＝4
x2 y2 将椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 变换为圆 x2 ＋ y2 ＝ 2 的伸缩变换是 ________．
x′＝ [答案] y′＝ 2 x， 2 6 3 y.
极坐标与直角坐标的互化
在极坐标系中，圆 C1 的方程为 ρ＝4 2cos(θ－ π 4)，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐 标系，圆
【走向高考】2016届高三数学人教B版一轮复习：阶段性测试题12
阶段性测试题十二(综合素质能力测试) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖南长沙长郡中学月考)全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则綂(M∪N)等于()UA．{1,3,5} B.{1,5}C．{1,6} D.{2,4,6}[答案] C[解析]∵M∪N＝{2,3,4,5}，∴綂U(M∪N)＝{1,6}，故选C.2．(2015·广州执信中学期中)下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“∃x0＜0，x20＋x0－1＜0”C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题[答案] D[解析]“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；否命题既否定条件，又否定结论；而命题的否定只否定命题的结论．“∀x≥0，x2＋x－1<0”的否定是“∃x0≥0，使x20＋x0－1≥0”，故B错；命题“若A，则B”的逆否命题是“若綈B，则綈A”，因此“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为“若sin x≠sin y，则x≠y”，这是一个真命题；“p∨q”为真命题时，p与q中至少有一个为真命题，故选D.3．(文)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋2n(n≥2)，则a7＝()A．53B．54C．55D．109[答案] C[解析]∵a1＝1，a n＝a n－1＋2n，∴a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2×7＋2×6＋…＋2×2＋1＝55.(理)(2015·山西大学附中月考)数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2013等于( )A.20122013B.40262014 C.40242014 D.20132014[答案] B[解析] 由条件得，a n ＋1－a n ＝1＋n ，∴a 2－a 1＝1＋1＝2，a 3－a 2＝1＋2＝3，a 4－a 3＝1＋3＝4，…，a n －a n －1＝1＋(n －1)＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2013＝2(1－12)＋2(12－13)＋…＋2(12013－12014)＝2(1－12014)＝40262014，故选B.4．(文)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A ．2 3 B.3 C ．4 D.2[答案] A[解析] 由正视图和俯视图可知，其侧视图矩形的长和宽分别为3和2，∴其面积为S ＝2 3.(理)(2015·四川巴中市诊断)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )[答案] D[解析] 当几何体上、下两部分都是圆柱时，俯视图为A ；当上部为正四棱柱，下部为圆柱时，俯视图为B ；当几何体的上部为直三棱柱，其底面为直角三角形，下部为正四棱柱时，俯视图为C ；无论何种情形，俯视图不可能为D .5．(文)(2015·长春市十一高中阶段考试)设a ＝(1,2)，b ＝(2，k )，若(2a ＋b )⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2 B.－4 C ．－6 D.－8[答案] C[解析] 2a ＋b ＝2×(1,2)＋(2，k )＝(4,4＋k )．∵(2a ＋b )⊥a ，∴(2a ＋b )·a ＝(4,4＋k )·(1,2)＝4＋2×(4＋k )＝0，∴k ＝－6.(理)(2015·河南八校第一次联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinC 2＝63，a ＝b ＝3，点P 是边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝( ) A ．0 B.6 C ．9 D.12 [答案] B[解析] ∵sin C 2＝63，∴cos C ＝1－2sin 2C 2＝1－2×(63)2＝－13，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋9－2×9×(－13)＝24，∴c ＝26，设AB 的中点为M ，则CM ＝CB 2－BM 2＝32－(6)2＝ 3.∴CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →) ＝(CM →＋MP →)·2CM →＝2|CM →|2＝6.6．(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于1的概率为( )A.49B.13 C.12 D.25[答案] A[解析] 在矩形内取一点Q ，由点Q 分别向AD 、AB 作垂线，垂足依次为E 、F ，由S △ABQ ＝S △ADQ ＝1知，QF ＝1，QE ＝23，设直线EQ 、FQ 分别交BC 、CD 于M 、N ，则当点P 落在矩形QMCN 内时，满足要求，∴所求概率P ＝S 矩形QMCN S 矩形ABCD＝(3－1)×(2－23)3×2＝49.7．(文)(2015·江西赣州博雅文化学校月考)运行如图的程序框图，则输出s 的结果是( )A.16 B.2524 C.34 D.1112[答案] B[解析] 程序运行过程为：开始→s ＝0，n ＝2，n <10成立→s ＝0＋12＝12，n ＝2＋2＝4，n <10成立→s ＝12＋14，n ＝4＋2＝6，n <10成立→s ＝12＋14＋16，n ＝6＋2＝8，n <10成立→s ＝12＋14＋16＋18，n ＝8＋2＝10，n <10不成立，输出s 的值后结束，∴s ＝12＋14＋16＋18＝2524. (理)(2014·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图，则输出的k 的值是( )A ．3 B.4 C ．5 D.6[答案] C[解析] 解法1：k ＝1时，k 2－5k ＋4＝0，不满足条件；k ＝2时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝3时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝4时，k 2－5k ＋4＝0不满足条件；k ＝5时，k 2－5k ＋4＝0>0满足条件，此时输出k 的值为5.解法2：由k 2－5k ＋4>0得k <1或k >4，∵初值k ＝1，由“k ＝k ＋1”知步长为1，∴k ∈N ，∴满足k 2－5k ＋4>0的最小k 值为5，故当k ＝5时，满足程序条件，输出k 的值．8．(2015·开封市二十二校联考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的取值范围是( )A ．[22，1] B.[12，1] C ．[22，2] D.[1,2] [答案] A[解析] 过P 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，则|PF |＝|PB |， ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，点A (－1,0)， ∴|PF ||P A |＝sin ∠BAP ， 设过A 的抛物线的切线方程为y ＝k (x ＋1)，代入抛物线方程可得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， ∴Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， ∴k ＝±1， sin ∠BAP ∈[22，1]．9．(2015·江西省南昌二中月考)在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点(包括端点)，则AD →·BC →的取值范围是( )A ．[1,2] B.[0,1] C ．[0,2] D.[－5,2][答案] D[解析] ∵D 是边BC 上的一点(包括端点)，∴可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →(0≤λ≤1)．∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，∴AB →·AC →＝2×1×cos120°＝－1. ∴AD →·BC →＝[λAB →＋(1－λ)AC →]·(AC →－AB →) ＝(2λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋(1－λ)AC →2 ＝－(2λ－1)－4λ＋1－λ＝－7λ＋2， ∵0≤λ≤1，∴(－7λ＋2)∈[－5,2]，∴AD →·BC →的取值范围是[－5,2]．故选D.10．(文)(2015·湖北四校联考)以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．③④ B.①② C ．②③ D.②④[答案] A[解析] ①该三次函数的导函数的图象为开口向下的抛物线，该抛物线在x 轴下方的区间对应原函数的递减区间，该抛物线在x 轴上方的区间对应原函数的递增区间，符合要求，正确；②同理分析可知②正确；③从其导函数图象来看，原函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，a )上单调递减(a 为图中虚线处的横坐标)，图与题意不符，故③错误；④同理分析可知④错误；故选A .(理)(2015·山东莱芜期中)在下面四个图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13B.－13C.73D.－13或53[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，其图象开口向上，故图形不是(2)，(3)；由于a ≠0，故图形不是(1)，∴f ′(x )的图象为(4)，∴f ′(0)＝0，∴a ＝1或－1，由图知a ≠1，∴a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，∴f (－1)＝－13，故选B.11．(2015·福建清流一中期中)下列命题中，真命题是( )A ．函数f (x )＝tan(π4－2x )的单调递增区间为(－π8＋k π2，3π8＋k π2)，k ∈ZB ．命题“∀x ∈R ，x 2－2x >3”的否定是“∃x ∈R ，x 2－2x <3”C ．已知z 1，z 2∈C ，若z 1，z 2为共轭复数，则z 1＋z 2为实数D ．x ＝π4是函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴[答案] C[解析] f (x )＝tan(π4－2x )＝－tan(2x －π4)在其每一个单调区间内都是减函数，故A 为假命题；全称命题的否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故B 为假命题；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，∴z 1＋z 2＝2a ∈R ，故C 为真命题；f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴方程为x －π4＝k π＋π2，即x ＝k π＋3π4(k ∈Z )，∴D 为假命题．12．(2015·湖北教学合作联考)已知由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y－kx≤2，y－x－4≤0.确定的平面区域Ω的面积为7，定点M的坐标为(1，－2)，若N∈Ω，O为坐标原点，则OM→·ON→的最小值是() A．－8 B.－7C．－6 D.－4[答案] B[解析]依题意，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y－x－4≤0.所表示的平面区域(如图所示)可知其围成的区域是等腰直角三角形，面积为8，由直线y＝kx＋2恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k<0.由⎩⎪⎨⎪⎧y－kx＝2，y－x－4＝0，可得D(2k－1，4k－2k－1)，依题意应有12×2×|2k－1|＝1，因此k＝－1(k ＝3舍去)，故有D(－1,3)，设N(x，y)，故由z＝OM→·ON→＝x－2y，可化为y＝12x－12z，∵12<1，∴当直线y＝12x－12z过点D时，截距－12z最大，即z取得最小值－7，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2014·抚顺二中期中)已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α－π4)＝________.[答案]－7[解析] ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan α·tan π4＝－34－11＋(－34)×1＝－7.14．(2015·江西南昌二中月考)若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．[答案] 15[解析] 根据T 10＝T 20得，a 11·a 12·a 13·…·a 20＝1，∵a 11·a 20＝a 12·a 19＝…＝a 15·a 16＝1，a 15<a 16，所以a 15<1，a 16>1，所以T 15最小，所以n 的值为15.15．(文)(2014·吉林市摸底)边长是22的正△ABC 内接于体积是43π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．[答案]433[解析] 因为球O 的体积为43π，即4π3r 3＝43π，所以r ＝3，设正△ABC 的中心为D ，连接OD ，AD ，OA ，则OD ⊥平面ABC ，且OA ＝3，AD ＝263，所以OD ＝(3)2－(263)2＝33，所以球面上的点到平面ABC 的最大距离为33＋r ＝433. (理)(2015·豫南九校联考)若(x ＋a )6的展开式中x 3的系数为160，则⎠⎛1a x a d x 的值为________．[答案] 73[解析] 由条件知C 36a 3＝160，∴a ＝2，∴⎠⎛1a x a d x ＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3|21＝73. 16．(文)给出下列命题(1)对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； (2)m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； (3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08；(4) 若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，则f (2016)＝0. 其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上) [答案] (3)(4)[解析] (1)“<”的否定应为“≥”，∴(1)错误；(2)两直线互相垂直时，m (m ＋3)－6m ＝0，∴m ＝0或m ＝3，因此m ＝3是此二直线垂直的充分不必要条件，故(2)错误；由回归直线过样本点的中心知(3)为真命题；(4)∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的周期函数，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (2016)＝f (4×504)＝f (0)＝0，∴(4)为真命题．(理)(2015·长春外国语学校期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，若P (ξ>4)＝a ，则P (－2≤ξ≤4)＝________.[答案] 1－2a[解析] ∵ξ～N (1,4)，∴μ＝1，若P (ξ>4)＝a ，则P (－2≤ξ≤4)＝1－2a .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·西安市长安中学期中)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin φ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x 的图象过点(π6，1)． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )， ∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)， 即f (x )＝cos(2x －φ)， ∴f (π6)＝cos(π3－φ)＝1， 而0<φ<π，∴φ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos(2x －π3)，于是g (x )＝cos[2(12x )－π3]，即g (x )＝cos(x －π3)．当x ∈[0，π2]时，－π3≤x －π3≤π6，所以12≤cos(x －π3)≤1，即当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)等差数列{a n }中，a 3＝3，前7项和S 7＝28.(1)求数列{a n }的公差d ；(2)等比数列{b n }中，b 1＝a 2，b 2＝a 4，求数列{b n }的前n 项和T n (n ∈N *)． [解析] (1)S 7＝(a 1＋a 7)×72＝7a 4＝28，∴a 4＝4，又∵a 3＝3，∴d ＝a 4－a 3＝1.(2)由(1)知数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ， ∴b 1＝2，b 2＝4，∴数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，∴T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.(理)(2014·开滦二中期中)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn ，(c 是不为0的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －cn ·c n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ，则(2＋c )2＝2(2＋3c )，∴c ＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2n ， n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n －1)＝n 2－n ＋2， n ＝1时，a 1＝2也适合上式，因此a n ＝n 2－n ＋2.(2)b n ＝a n －2n ·2n ＝n －12n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝02＋122＋223＋…＋n －22n －1＋n －12n ，12T n ＝022＋123＋224＋…＋n －22n ＋n －12n ＋1，用错位相减法可求得T n ＝1－n ＋12n . 19．(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝ 3.(1)求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ； (2)求三棱锥A 1－AB 1C 的体积．[解析] (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥AC ， 又由于AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝3，∴AB ＝2， 则由AC 2＋BC 2＝AB 2可知，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1CB ， ∴平面AB 1C ⊥平面B 1CB .(2)∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴B 到平面ACC 1A 1的距离d ＝1，∵BB 1∥平面ACC 1A 1，∴B 1到平面A 1AC 的距离为1，∴三棱锥A 1－AB 1C 的体积VA 1－AB 1C ＝VB 1－A 1AC ＝13×(12×1×1)×1＝16.(理)(2014·天津河北区三模)如图，四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，EA ∥PD ，AD ＝PD ＝2EA ＝2，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．(1)求证：FH∥平面PED；(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；(3)在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线P A所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：因为F，H分别为PB，PC的中点，所以FH∥BC，又BC∥AD，所以FH∥AD.又FH⊄平面PED，AD⊂平面PED，所以FH∥平面PED.(2)因为EA⊥平面ABCD，EA∥PD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD.又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD.如图，建立空间直角坐标系，因为AD＝PD＝2EA＝2，所以D (0,0,0)，P (0,0,2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (2,0,1)． 因为F ，G ，H 分别为PB 、EB ，PC 的中点， 所以F (1,1,1)，G (2,1，12)，H (0,1,1)．所以GF →＝(－1,0，12)，GH →＝(－2,0，12)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面FGH 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·GF →＝0n 1·GH →＝0即⎩⎨⎧－x 1＋12z 1＝0－2x 1＋12z 1＝0，再令y 1＝1，得n 1＝(0,1,0)，PB →＝(2,2，－2)，PC →＝(0,2，－2)， 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面PBC 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PB →＝0n 2·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2－2z 2＝02y 2－2z 2＝0，令z 2＝1，得n 2＝(0,1,1)． 所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝22. 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4.(3)假设在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线P A 所成角为60°，依题意可设PM →＝λPC →，其中0≤λ≤1.由PC →＝(0,2，－2)，则PM →＝(0,2λ，－2λ)．又因为FM →＝FP →＋PM →，FP →＝(－1，－1,1)， 所以FM →＝(－1,2λ－1,1－2λ)．因为直线FM 与直线P A 所成角为60°，P A →＝(2,0，－2)， 所以|cos 〈FM →，P A →〉|＝12，即12＝|－2－2＋4λ|22·1＋2(2λ－1)2，解得λ＝58.所以PM →＝(0，54，－54)，|PM →|＝524.所以在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线P A 所成角为60°，此时PM ＝524. 20．(本小题满分12分)(文)(2015·山西大同市调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下表：网购金额(单位：千元)人数 频率 (0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 合计2001.00(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)．(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？[解析] (1)根据题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图，(2)根据题意，网购金额在(1,2]内的人数为2424＋16×5＝3(人)，记为a ，b ，c .网购金额在(4,5]内的人数为1624＋16×5＝2(人)，记为A ，B . 则从这5人中随机选取2人的选法为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )共10种．记2人来自不同群体的事件为M ，则M 中含有(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )共6种．∴P (M )＝610＝35.(理)(2015·赤峰市统考)某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．(1)求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A ，“两人都不享受折扣优惠”为事件B ，则P (A )＝C 212C 236＝11105，P (B )＝C 224C 236＝46105.因为事件A ，B 互斥， 所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝11105＋46105＝57105. 故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是57105.(2)据题意，ξ的可能取值为0,1,2.其中P (ξ＝0)＝P (B )＝46105，P (ξ＝1)＝C 112C 124C 236＝48105，P (ξ＝2)＝P (A )＝11105.所以ξ的分布列是：所以E (ξ)＝0×46105＋1×48105＋2×11105＝70105＝23.21．(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a 、b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值． [解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(1)＝2a ，∴3＋2a ＋b ＝2a ， ∵f ′(2)＝－b ，∴12＋4a ＋b ＝－b ， ∴a ＝－32，b ＝－3，∴f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3x －3，∴f (1)＝－52，f ′(1)＝－3，∴切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)∵g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，∴g ′(x )＝(6x －3)e －x ＋(3x 2－3x －3)·(－e －x )，∴g ′(x )＝－3x (x －3)e －x ，∴当0<x <3时，g ′(x )>0，当x >3时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减， 所以g (x )极小＝g (0)＝－3，g (x )极大＝g (3)＝15e －3.(理)(2015·福建清流一中期中)设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，猜想g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． [解析] 由题设得，g (x )＝x 1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，猜想g n (x )＝x 1＋nx. (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1].(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，12<ln2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln2－ln1>12，ln3－ln2>13，……ln(n＋1)－ln n>1n＋1，上述各式相加可得ln(n＋1)>12＋13＋…＋1n＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛nxx＋1d x是由曲线y＝xx＋1，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋nn＋1>⎠⎛nxx＋1d x＝⎠⎛n(1－1x＋1)d x＝n－ln(n＋1)，结论得证．22．(本小题满分14分)(文)(2015·长春市十一高中段测)已知椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为23，离心率为33，动点P在直线x＝3上，过F2作直线PF2的垂线l，设l交椭圆于Q点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．[解析](1)由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧2a＝23，e＝ca＝33，a2＝b2＋c2.解得：a＝3，c＝1，b＝2，所以椭圆E的方程为：x23＋y22＝1.(2)设P (3，y 0)，Q (x 1，y 1)，∵PF 2⊥F 2Q ，∴PF 2→·F 2Q →＝0，∴2(x 1－1)＋y 0y 1＝0，又∵y 21＝2(1－x 213)， ∴k PQ k OQ ＝y 1x 1·y 1－y 0x 1－3＝y 21－y 1y 0x 21－3x 1＝2(1－x 213)＋2(x 1－1)x 21－3x 1＝23(3x 1－x 21)x 21－3x 1＝－23. (理)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，离心率为32. (1)求椭圆方程；(2)设过椭圆顶点B (0，b )，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，求k 2的值．[解析] (1)由已知2c ＝23，c a ＝32. 解得a ＝2，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)得过B 点的直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0， ∴x D ＝－8k 1＋4k 2，y D ＝1－4k 21＋4k 2， 依题意k ≠0，k ≠±12. ∵|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，∴|BE |2＝|BD ||DE |，∴b －y D ＝|BE ||DE |＝|BD ||BE |＝b －y D b ， ∵b ＝1，∴y 2D －y D －1＝0，解得y D ＝1－52， ∴1－4k 21＋4k2＝1－52，解得k 2＝2＋54， ∴当|BD |，|BE |，|DE |成等比数列时，k 2＝2＋54.。
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题11 空间几何体课件
易错防范
案例 三视图识读不准致误
一 个 几 何体 的 三 视图 如 图 所示 ， 则 该几 何 体 的体 积 是 ( )
A．112
B．80
C．72
D．64
[易错分析]
ห้องสมุดไป่ตู้
本题易错之处是由正、侧视图误以为几何体
上部为三棱锥或整个几何体为四棱锥． 由俯视图知，棱锥顶点在底面射影为正方体底面一条棱的
中点，故棱锥有一个侧面与底面垂直，它应该为四棱锥，而非
积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化 思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能 力及空间想象能力，难度中等． 3．几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合.
考题引路
考例1
A．8 cm3
(文)(2015·浙江理，2)某几何体的三视图如图所示 )
B．12 cm3
(单位：cm)，则该几何体的体积是(
考例2
(2015·新课标Ⅰ理，11)圆柱被一个平面截去一部
分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正
视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r
＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
[立意与点拨 ]
考查简单几何体的三视图；球的表面积公
式；圆柱的侧面积公式．本题观察视图的关键是圆柱截割后余
三棱锥．
[解答]
由三视图知，该几何体为组合体，下部是棱长为 4
的正方体，上部为四棱锥，四棱锥的底面与正方体底面重合，顶 点在底面射影为正方体棱的中点，其直观图如图，故该几何体的 1 体积 V＝4×4×4＋3×4×4×3＝80，故选 B.
[警示]
识读三视图时，一要按正投影原理找到各点的射
【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件 专题1 第5讲 导数及其应用
走向高考· 数学
新课标版 • 二轮专题复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
专题一 第五讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
专题一
集合与常用逻辑用语、函数与导数
专题一
集合与常用逻辑用语、函数与导数
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
专题一
这是高考的重点必考内容，一般命制一个大题或一大一 小两个题． (1) 导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几
何的知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式考查，有时
也会出现在解答题中的关键一步． (2) 利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生 活中的优化问题，已成为近几年高考的主要考点．
专题一 第五讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
4．函数的性质与导数 在区间(a，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b) 上单调递增．如果f ′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递
减．
专题一 第五讲
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5．( 理) 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画 出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的 上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图 形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能
第五讲 导数及其应用
专题一
集合与常用逻辑用语、函数与导数
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命题角度聚焦
核心知识整合
学科素能培养 方法警示探究
命题热点突破
课后强化作业
专题一 第五讲
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【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件：专题2 第3讲 平面向量
b· b＝|a|2－|b|2＝ cos2α＋sin2α－ cos2β＋sin2β＝1－1＝0，所以 a＋b 与 a－b 互相垂直．
专题二 第三讲
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( 2 ) ka＋b＝(kc o s α＋c o s β，ks n i α＋s n i β) ， ka－b＝(kc o s α－c o s β，ks n i α－s n i β)， 所 以 |ka＋b|＝ k2＋2kc o s β－α＋1， |ka－b|＝ k2－2kc o s β－α＋1， 因 为 |ka＋b|＝|ka－b|， 所 以 k2＋2kc o s ( β－α)＋1＝k2－2kc o s ( β－α)＋1，
专题二 第三讲
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→ → → → 3→ → 3 → → → ∴AM＝AD＋DM＝AD＋4DF＝AD＋4(DA＋AB＋BF)＝a 3 1 1 3 ＋4(－a＋b＋3a)＝2a＋4b， 1 3 → → → 又AM＝λAB＋μAD＝λb＋μa，∴μ＝2，λ＝4， 3 ∴λμ＝8.
4． 若 a与b都 是 非则
λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0 .
专题二 第三讲
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命题热点突破
专题二 第三讲
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平面向量的概念、线性运算及平面向量基本定理
(文)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中 → 点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么EF＝(
专题二 第三讲
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6． 平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 已 知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 当 且 仅 当 x1y2－x2y1＝0 时 ， 向 量 a与b共 线 ．
【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第2部分大专题综合测5解析几何(含解析)
5 解析几何时间 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题 ( 本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(20152XX 市质检 ) “a ＝1”是“直线ax ＋ y ＋1＝0与直线( a ＋2) x －3y －2＝0垂直”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案]B[ 解析 ]两直线垂直的充要条件为a ( a ＋2)－3＝0，解得 a ＝－3或 a ＝1，故选B ．2．( 文 ) 已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，则过点 M (3,0)的最短弦所在的直线方程是 ( )A ．x ＋y － 3＝ 0B ．x －y － 3＝ 0C ．2 － －6＝0D ． 2 x ＋ －6＝ 0x yy[答案]A[解析]圆 O 的方程是 x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即( x －4)2＋( y －1)2＝7，圆心 O (4,1)，设过点M (3,0)的最短弦所在的直线为l ，∵ k OM ＝1，∴ k l ＝－1，∴ l 的方程为： y ＝－12(x －3)，即 x ＋ y －3＝0.( 理 ) 已知动圆C 经过点 F (0,1)并且与直线y ＝－1相切，若直线3x － 4y ＋ 20＝0 与圆C有公共点，则圆C 的面积()A ．有最大值为πB ．有最小值为πC ．有最大值为 4πD ．有最小值为4π[答案]D[ 解析 ]如图所示，由圆C 经过点 F (0,1)，并且与直线y ＝－1相切，可得点 C 的轨迹为抛物线 x 2＝4y ，显然以抛物线x 2＝4y 上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x － 4y ＋ 20＝ 0 相交，且此圆可无限大，即圆 C 的面积不存在最大值，设圆C 与3x －4y ＋20＝0相切于点 A ，其3x－4 0＋2000y＋ 1( 点 C 在直线圆心为 ( x ，y ) ，则由AC ＝PC 可得d ＝5＝ y2＋20 12103x － 4y ＋ 20＝ 0 的右方 ) ，即3x 0－x 0＋ 1，解得x ＝－ 2 或x ＝5＝4x3 ( 舍去 ) ，当x ＝－0 0 02 时，圆心C 坐标为 ( －2,1)，此时圆 C 的半径为 2，即可得圆C 的面积的最小值为4π，故应选 D ．x2y23． ( 文)(20152 XXXX三模) 已知点M( － 6,5)在双曲线 C：a2－b2＝1( a>0， b>0)上，双曲线 C的焦距为12，则它的渐近线方程为()A．y＝±25x B．y＝±255x23C．y＝±3x D．y＝±2x [答案]A3625＝1，a＝4，22[解析]由条件知a－b∴b＝2 5，222，a ＋b ＝ cc＝6.c＝6，∴渐近线方程为y5.＝±2x( 理)(20152 新课标Ⅱ理，11) 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在 E 上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 ()A.5B． 2C.3D． 2[答案]D[解析]考查双曲线的标准方程和简单几何性质．设双曲线方程为x222－y2＝1(>0，>0) ，如图所示， | | ＝ | | ，∠＝120°，过点M a b a b AB BM ABM作⊥轴，垂足为，在 Rt △中， || ＝， || ＝ 3，故点的坐标为(2， 3 MN x N BMN BN a MN a M M a a)，代入双曲线方程得a2＝ b2＝ c2－ a2，即 c2＝2a2，所以e＝2，故选 D．4．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－＝ 0 与抛物线C交于、B两点，y A若 P(1,1)为线段 AB的中点，则抛物线C的方程为() A．y＝2x2B．y2＝ 2xC．x2＝ 2y D．y2＝－ 2x [答案] B2y ＝ 2px1[解析]设 A ( x) ，抛物线方程为2＝ 2px ，则111222，两式相减， y )， B ( x， yyy 2＝2px2可得 2p ＝y1－2y 1 ＋ y 2)＝k AB 32＝2，即可得 p ＝1，∴抛物线 C 的方程为 y 2＝2x ，故应选y 3(x 1 －x 2B ．15． ( 文)(20152 新课标Ⅰ文， 5) 已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为2， E 的右焦点与抛物线 C ： y 2＝8x 的焦点重合， A ， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则| AB |＝()A ． 3B ． 6C ． 9D ． 12[答案] B[解析]抛物线 y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)．因为 E 的右焦点与抛物线焦点重合，所以c 1椭圆中 c ＝2，离心率e ＝a ＝2，所以 a ＝4，222x 2 y 2x ＝－2，所以 b＝a－ c ＝16－4，则椭圆方程为＋＝ 1，因为抛物线的准线方程为16 12当 x ＝－2时， y ＝±3，则| AB |＝233＝6. 故本题正确答案为 B ．22( 理) 过原点O 作直线l 交椭圆x2＋ y2＝1(> >0) 于点、，椭圆的右焦点为2，离心率aba bA BF为 e. 若以AB 为直径的圆过点F ，且sin ∠ ABF ＝e ，则e ＝()22A.122B ．223C. 3D ．2[答案]B[解析]记椭圆的左焦点为F 1，依题意得| AB |＝2c ，四边形 AF 1BF 2为矩形，sin ∠ ABF 2|2| | 2|22 2222＝ AF ＝ A F ＝ e ，| AF 2| ＝ 2c e ，| AF 1| ＝ (2 a － | AF 2|)＝ (2 a － 2c e) ，| AF 1| ＋ | AF 2| ＝ | F 1F 2| ，| AB | 2c 2222(2 a － 2c e) ＋(2 c e) ＝ (2 c ) ，由此解得 e ＝2 ，选 B ．6．半径不等的两定圆 1、 2 没有公共点，且圆心不重合，动圆 与定圆1 和定圆2都O OOOO内切，则圆心 O 的轨迹是()A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．双曲线的一支或椭圆D ．双曲线或椭圆[答案] C[解析]设⊙ O 、⊙ O 、⊙ O 的半径分别为r 、r 、R ，且 r >r >0，当⊙ O 与⊙ O 外离时，由条件知⊙ O 1 与⊙ O 2 都内切于⊙ O ，∴| OO 1| ＝ R － r 1，| OO 2|＝ R － r 2，∴| OO 2| － | OO 1| ＝ r 1－r 2,0< r 1－r 2<| 1 2|，∴点O 的轨迹是以1、 2 为焦点的双曲线靠近1点的一支；当⊙2内含OOO OOO于⊙ O 时，应有⊙ O 内切于⊙ O ，⊙ O 内切于⊙ O ，112∴ | OO 1| ＝r 1－R ， | OO 2|＝ R － r 2，∴| OO 1|＋| OO 2|＝ r 1－ r 2，∵ O 1与 O 2不重合，且r 1>r 2，∴ 1－ 2>|1 2|，∴点的轨迹为以1、 2 为焦点的椭圆，故选C. rrOOOO O7． ( 文) 已知方程 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值X 围是2－k 2k －1()A ． ( 1， 2) B ． (1 ，＋∞)2C ． (1,2)D ．( 1，1)2[答案] C[解析]由题意可得， 2k － 1>2－k >0，即 2k － 1>2－k ， 解得 1<k <2，故选 C.2－k >0，x 2 y 2x 2 y 2( 理)(20142 XX 文，8) 若实数k 满足 0<k <5，则曲线16－5－k ＝ 1 与曲线16－k －5＝ 1的()A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[答案]D[解析] ∵ 0<k <5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中 c 2＝ a 2＋b 2得其焦距相等，选D ．228．(20142大纲全国理，6) 已知椭圆：x2＋y2＝1(> >0) 的左、右焦点为 1、 2，离心C aba bF F3率为3，过 F 2的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点，若△ AF 1 B 的周长为43，则C 的方程为 ()x 2＋y 2x 22A.3 ＝1B ．＋y＝ 123x 2 y 2x 2 y 2C.12＋8＝1 D ．12＋4＝1[答案]A32[解析]根据条件可知 c ＝3，∴a ＝ 3，c ＝ 1，b 2＝2，椭圆的方程为x，且 4a ＝4a33y 2＋ 2＝ 1.222 2x 2 y 29．( 文 ) 已知P 点是x ＋y ＝a ＋b 与双曲线 C ：a 2－b 2＝1( a >0，b >0)在第一象限内的交点， 1、 2 分别是 C 的左、右焦点，且满足 | 1 | ＝3| 2|，则双曲线的离心率 e 为 ()F FPFPF6A ． 2B ．2105C. 2D ．2[答案]C[ 解析 ]设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝3x ，∴ | F 1F 2| 2＝ | PF 1| 2＋ | PF 2| 2＝ 10x 2＝ 4c 2，10∴ c ＝2 x ，由双曲线的定义知，2a ＝| PF 1| － | PF 2| ＝ 2x ，c10∴ a ＝ x ，∴e ＝a ＝2，故选C.22( 理 ) 已知双曲线x2－y2＝ 1(>0，>0) 的左、右焦点分别为1、 2，点A 在双曲线上，且ababF F| AF 1|5()AF 2⊥x 轴，若|2|＝3，则双曲线的离心率等于AFA ． 2B ． 3 C. 2 D ． 3[答案] A[ 解析 ]设|AF 2|＝3x ，则|AF 1|＝5x ，∴ | F 1F 2| ＝4x ，∴c ＝2x ，由双曲线的定义知， 2a ＝| AF 1| － | AF 2| ＝ 2x ，c∴ a ＝ x ，∴e ＝a ＝2.10．( 文 ) 过抛物线2＝ 2( p >0) 的焦点F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 ，直y pxA线 l 与抛物线的准线的交点为 B ，点 A 在抛物线的准线上的射影为→→ → →C ，若 AF ＝ FB ， B A 2 BC ＝36，则抛物线的方程为 ()A ．y 2＝ 6xB ．y 2＝ 3xC ．y 2＝ 12xD ．y 2＝ 2 3x[答案] D[解析]pp) ，由条件知p∵ F( 2， 0) ，设 A( x ， y) ， y >0，则 C( －2，y ) ，B( p － x ，－ yp3p－ x 0＝－2，∴ x 0＝2，23 p2p3p→ →p∴ y 0 ＝ 2p 22＝ 3p ，∴y 0＝ 3p ，∴B ( －2，－ 3p ) ，A ( 2， 3p ) ，C ( －2， 3p ) ，∴BA 2BC＝(2 p, 2 3p )2(0,23p ) ＝12p 2＝ 36，∴p ＝ 3，∴抛物线方程为 y 2＝2 3x .2y 2( 理 ) 过双曲线M ：x －b 2＝1的左顶点A 作斜率为2的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点、，且 →＝2→ ，则双曲线的离心率是 ()B CBC ABMA. 5B ． 10 C. 17D ． 37[答案] C[解析] 由条件知 A (－ 1,0) ，∴ l ：y ＝2( x ＋1)，双曲线渐近线方程为→y ＝± bx ，∵ BC ＝→y ＝2 x ＋12 2b2AB ，∴B 在A ，C 之间，∴由y ＝－ bx ，得 B (－b ＋2，b ＋2)，由 y ＝2x ＋1得 ( 2 ， 2b ) ，y ＝bx ，Cb － 2 b － 2再由 → ＝ 2→得b ＝4，∴ e ＝ 17.BCAB11．若抛物线y 2＝2px 上恒有关于直线x ＋ y －1＝0对称的两点 A 、 B ，则 p 的取值X 围是()23A ．( －3，0)B ．(0 ，2)22C ．(0， )D ． ( －∞， 0) ∪ ( ，＋∞)33[答案] C[解析]设直线 AB ： y ＝x ＋ b ，代入 y 2＝2px 中消去 x 得， y 2－2py ＋2pb ＝0，∴ y 1＋ y 2＝2p ，x 1＋x 2＝y 1＋y 2－ 2b ＝2p － 2b ，由条件知线段x 1＋ x 2 y 1＋ y 2AB 的中点(，) ，22即 ( p － b ， )在直线 x ＋ y －1＝ 0 上，∴ b ＝ 2 － 1， ＝ 4 2 －8 ＝42－8 (2 －1) ＝－ppppb pp p2212p ＋ 8p >0，∴ 0<p <3.x 2y212．(20152XX 市质检 ) 已知椭圆a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的两焦点分别是 F 1， F 2，过 F 1的直线交椭圆于 ， Q 两点，若 | 2|＝| 1 2|，且2| 1|＝3| 1|，则椭圆的离心率为( )PPFF FPF QF34 A. 5B ． 5 C. 3D ． 3 245[答案]A[ 解析 ]由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴ | PF 1| ＝2a － | PF 2 | ＝ 2a － 2c ，24224 | QF | ＝3| PF | ＝3( a －c ) ， | QF | ＝ 2a － | QF | ＝ 2a －3(2 a － 2c ) ＝3a ＋3c112110| PQ | ＝3 ( a －c )在△ PF 1F 2和△ PF 2Q 中，由余弦定理得：1 2 2 2 － | 1 2 22| PF | ＋| PF | F F |cos ∠F PQ ＝2| PF 1|2|PF 2|22 22 2| PQ| ＋| PF|－| QF|＝2| PQ |2| PF 2|a －2c 2 c 2c 2即2 － 2 c ca10 － 10222 ＋ 4c 23 a 3 cc－3a 3＝ 103a －103c2c整理得 5c 2－ 8ac ＋3a 2＝ 0，即 5e 2－ 8e ＋ 3＝ 0，3∴ e ＝5或 e ＝ 1( 舍 ) ．二、填空题 ( 本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，将正确答案填在题中横线上)x 2 y 2213． ( 文 ) 已知双曲线a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 与抛物线y ＝8x 有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．[答案]2222xy[ 解析 ]∵抛物线y ＝8x 的焦点为(2,0)，∴双曲线a 2－b 2＝1( a >0，b >0)中 c ＝2，c又 a ＝1，∴e ＝a ＝2.x 2 y 2＝ 1( a >0，b >0) 的一个焦点作一条渐近线的垂线，( 理 ) 过双曲线a 2 －b 2 垂足恰好落在曲线x 2y 2b 2＋a 2＝1上，则双曲线的离心率为________．[答案]2b[解析]不妨设双曲线的一个焦点为( c, 0) ， ( c >0) ，一条渐近线方程为y ＝a x ，由ay －0＝－bx －ca 2 abx 2 y 2 a 4b得垂足的坐标为 ( c ，c ) ，把此点坐标代入方程b 2＋a 2＝1，得b 2c 2y ＝a xa 2b 2222c＋a 2c 2＝1，化简，并由 c ＝ a ＋ b 得 a ＝b ，∴e ＝a ＝2.14．( 文 ) 设抛物线x 2＝ 4y 的焦点为F ，经过点P (1,4) 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点 P 恰为 的中点，则 | →|＋| →| ＝ ________.ABAFBF[答案] 10[解析]22设 A ( x 1，y 1)，B ( x 2，y 2)，由题意知 x 1＋ x 2＝2，且 x 1＝4y 1， x 2＝4y 2，两式相减1－ 2x 1＋ x 2 1 2yy ＝2，所以直线整理得，x 1－x 2＝ 4AB 的方程为 x －2y ＋7＝0，将 x ＝2y －7代入 x ＝4y212→ → 1 2整理得 4y － 32y ＋ 49＝0，所以y ＋y ＝ 8，又由抛物线定义得 | AF | ＋ | BF | ＝y ＋ y ＋2＝10.x2y2( 理 ) 椭圆Γ：a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，若直线y ＝ 3( x ＋c ) 与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝ 2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________．[答案] 3 －1[解析]本题考查了椭圆离心率的求解．1212c2如图，由题意易知 F M ⊥ F M 且| MF | ＝ c ，| MF |＝3c ，∴2a ＝( 3＋ 1) c ，∴a ＝3＋ 1 ＝3－ 1.15．(20152潍坊市模拟 ) 抛物线C ：y 2＝ 2px ( p >0) 的焦点为F ，点 O 是坐标原点，过点 O 、F 的圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．[ 答案 ]y 2＝16xp p[ 解析 ] 由圆的面积为 36π，得圆的半径r ＝ 6，圆心到准线的距离为2＋4＝ 6，得p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝ 16x .16．( 文)(20152 XX 市诊断) 椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率12等于 2，且它的一个顶点恰好是抛物线 x ＝8 3y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为________．[答案]x2y2＝1＋16 12c1[解析] 由题设知抛物线的焦点为 (0,23) ，所以椭圆中b ＝2 3.因为e ＝a ＝2，所以 ＝ 2c ，又因为a 2b2c 2c ＝ 2，＝ 4，所以椭圆C 的标准方程为x 2y 2－＝，联立解得＋＝1.aa1612( 理)(20142 XX 理，1 22y 214) 若F 、F 分别是椭圆E ： x＋b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点 F 的直线交椭圆E 于 A 、B 两点．若| AF |＝3| F B |，AF ⊥ x 轴，则椭圆 E 的方程为________．111 2[答案]x 2＋ 3 2 ＝ 12y[解析] 如图，由题意， A 点横坐标为 c ，2∴ c 2＋y 2＝1，b又 b 2＋ c 2＝1，∴ y 2＝b 4，∴| AF 2|＝b 2，又∵ | AF 1| ＝ 3| BF 1| ，51 2∴ B 点坐标为(－3c ，－3b )，12 25 23b代入椭圆方程得，3c＋b 2＝ 1，b 2＝1－c 2，21c＝，3∴3 222方程为 x ＋ y＝ 1.22b ＝3三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．( 本题满分 10 分)(20152 XX 市二模 ) 已知抛物线E ：x 2＝ 4y ，m ，n 是过点A ( a ，－1) 且倾斜角互补的两条直线，其中与有唯一公共点 ， 与 相交于不同的两点 ，(1) 求 m 的斜率 k 的取值X 围；(2) 当n 过E 的焦点时，求 B 到 n 的距离．[解析](1) m ：y ＋ 1＝k ( x －a ) ，n ：y ＋ 1＝－k ( x －a ) ，分别代入x 2＝ 4y ，得x 2－4kx ＋4ka ＋4＝0①，x2＋ 4 －4 ka ＋ 4＝0 ②，kx由 1＝0得k 2－ka －1＝0，由2＞0得k 2＋ka －1＞0，故有 2k 2－ 2＞ 0，得k 2＞ 1，即k ＜－ 1 或k ＞ 1.－ 2(2) E 的焦点 F (0,1)， k AF ＝a ＝－ k ，所以 ak ＝2. ∴ k 2＝ ka ＋1＝3，B (2 k ， k 2)，|3 k 2－ak ＋ 1||3 k 2－ 1|所以 B 到 n 的距离 d ＝1＋k 2＝1＋k 2＝4.18． ( 本题满分 12 分)(201 52XX 市一模 ) 在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点(1,0) 且与直线x ＝－ 1 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程；π(2) 已知点A (5,0) ，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且与曲线E交于 M 、 N 两点，求△ AMN 面积的最大值，及此时直线l 的方程．[ 解析 ] (1) 由题意可知圆心到点 (1,0) 的距离等于到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y 2＝4 .x(2) 解法一：由题意，可设 l 的方程为 y ＝ x － m ，其中0＜ m ＜5y ＝x － m22由方程组y 2＝ 4 ，消去 y ，得 x －(2 m ＋ 4) x ＋m ＝ 0①x当0＜＜5时，方程①的判别式＝ (2 ＋ 4) 2－4 2＝16(1 ＋ ) ＞0 成立．mmmm112212122设 M ( x ，y )， N ( x ，y ) 则x ＋ x ＝4＋ 2m ，x 2 x ＝ m ，∴ | MN |＝ 2| x 1－x 2| ＝ 4 2＋ 2m又因为点 A 到直线 l5－m的距离为 d ＝2∴ S ＝2(5－ m ) 1＋ m ＝232m －9m ＋15m ＋25.△ AMN32令 f ( m )＝ m －9m ＋15m ＋25，(0< m <5)，2f ′(m )＝3m －18m ＋15＝3( m －1)( m －5)，(0< m <5)所以函数 f ( m )在(0,1)上单调递增，在(1,5) 上单调递减．当 m ＝1时， f ( m )有最大值32，解法二：由题意，可设l 与 x 轴相交于 B ( m,0), l 的方程为 x ＝ y ＋ m ，其中0＜m ＜5由方程组 x ＝y ＋ m，消去 x ，得 y 2－4y －4m ＝0①y 2＝4x∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M 、 N ，∴方程①的判别式＝( －4) 2＋ 16m ＝ 16(1 ＋m ) ＞ 0 必成立，设 M ( x 1，y 1)， N ( x 2，y 2)则 y 1＋ y 2＝4， y 12 y 2＝－4m .1∴ S △＝(5－ m ) | y 1－ y 2|21y ＋ y2y＝2(5 －m )2－ 4y211 ＝ 2(5 －m ) 1＋m ＝2 32m －9m ＋15m ＋25.32令 f ( m )＝ m －9m ＋15m ＋25，(0< m <5)，2f ′(m )＝3m －18m ＋15＝3( m －1)( m －5)，(0< m <5)所以函数 f ( m )在(0,1)上单调递增，在(1,5) 上单调递减．当 m ＝1时，f ( m )有最大值32，故当直线 l 的方程为 y ＝x －1时，△ AMN 的最大面积为8 2.19． ( 本题满分 12 分 )( 文 ) 设点P 是曲线C ：x 2＝ 2py ( p >0) 上的动点，点P 到点(0,1)的5距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为4.(1) 求曲线 C 的方程；(2) 若点 P 的横坐标为1，过 P 作斜率为 k ( k ≠0)的直线交 C 于点 Q ，交 x 轴于点 M ，过点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N ，问是否存在实数 k ，使得直线 MN 与曲线 C 相切？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．p 51[ 解析 ] (1) 依题意知 1＋2＝4 ，解得 p ＝2.所以曲线 C 的方程为x 2＝ y .1(2) 由题意直线PQ 的方程为： y ＝ k ( x －1)＋1，则点 M (1－k ，0)．＝x － 11联立方程组y k，消去 y 得 x 2－kx ＋ k －1＝0，得 Q ( k －1，( k －1)2)．y ＝ x 2212 21所以得直线 QN 的方程为 y －( k －1)＝－k ( x － k ＋1)．代入曲线方程y ＝ x 中，得 x ＋k12x －1＋k －(1－ k )＝0.解得 (1－1－，(1 － －1)2)．N kkk k所以直线 MN的斜率 k MN＝12k－k.＝－kk－1k2 11k－kk1过点 N的切线的斜率k′＝2(1－ k－k)．1k－k 由题意有－k 21＝2(1 －k－k) ．－1± 5解得 k＝.2－1±5故存在实数k＝使命题成立．2x2y2( 理)(20152 XX市质检) 设椭圆C：a2＋b2＝ 1( a>b>0) ，F1，F2为左、右焦点，B为短轴2端点，且 S△ BF1F2＝4，离心率为，O为坐标原点．2(1)求椭圆 C的方程；(2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恰有两个交点 M、N，→→→ →且满足 | OM＋ON|＝ | OM－ON| ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．x2y21 [解析](1)因为椭圆C：a2＋b2＝1( a>0， b>0)，由题意得S△ BF1F2＝232 c3 b＝4，e c2222a2＝8，x2y2＝a＝2， a ＝b＋ c，所以解得b2＝4.所以椭圆 C的方程为8＋4＝1.(2) 假设存在圆心在原点的圆x2＋ y2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点，，因为|→＋→| ＝|→－→| ，所以有→2→＝0，M N OM ON OM ON OM ON设 M( x1，y1)， N( x2， y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y＝ kx＋ m，由方程y＝ kx＋m组x2 y2＋＝18 422222得 x ＋2( kx＋ m)＝ 8，即 (1＋2k) x＋ 4kmx＋ 2m－ 8＝ 0，则222)(2222，＝ 16k m－ 4(1 ＋2k m－8)＝8(8 k － m＋4)>02 2即8k－m＋ 4>0，－4±16 2 2－42 22－8x 1,2 ＝kmk mkm22k 24km22m － 8∴ x 1＋ x 2＝－1＋2k 2，x 1x 2＝1＋2k 2；k 22222222m －84k m 2m －8k y 1y 2＝( kx 1＋m )( kx 2＋ m )＝ k x 1x 2＋ km ( x 1 ＋ x 2)＋ m ＝1＋2 2－1＋ 2 2＋m ＝1＋2 k 2 ，kk→ →2 2－8 2－ 8 22 2mmk要使 OM 2ON ＝0，需 x 1x 2＋ y 1y 2＝0，即1＋2k 2＋1＋2k 2＝0，所以3m －8k － 8＝ 0，所以22＝ 3m － 8k≥0，82又 22m >2，8k －m ＋ 4>0，所以23m ≥8282 62 6所以 m ≥3，即 m ≥ 3 或 m ≤－ 3 ，因为直线 y ＝ kx ＋ m 为圆的一条切线，| m|2282 6所以圆的半径为 r ＝2m 2＝ m2 y 21＋k 2，r ＝1＋k28 ＝ ，r ＝ 3 ，所求的圆为 x ＋ ＝3m －31＋ 88 3，此时圆的切线＝kx ＋都满足2 62 6，≥或 ≤－ymm3m 32 6x 2 y 2而当切线的斜率不存在时，切线为 x ＝±3与椭圆8＋4＝1的两个交点为2 6 2 6 或 － 2 6 26满足→ 2→＝ 0，综上，存在圆心在原点的圆x 2＋ 2＝ 8满3 ，±3 ，±OM ON333足条件．20． ( 本题满分 12 分)(20152 文，20) 已知椭圆C ： x 2＋3y 2＝3.过点 D (1,0)且不过点 E (2,1)的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，直线 AE 与直线 x ＝3交于点 M .(1) 求椭圆 C 的离心率；(2) 若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；(3) 试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由．[ 分析 ]本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将椭c圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用e ＝a 计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出 A ，B 点坐标和直线AE 的方程，由直线 AE 与 x ＝3相交于 M 点，得到 M 点坐标，利用点 B 、点 M 的坐标，求直线 BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到x1＋ 2 和 1 2，代入到BM＝1AE x x x k 中，只需计算出等于0 即可证明k＝k，即两直线平行．BM DEx22[ 解析 ] (1) 椭圆C的标准方程为3＋y ＝1.所以 a＝3，b＝ 1，c＝ 2.c6所以椭圆 C的离心率e＝a＝3.(2)因为 AB过点 D(1,0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1， y1)， B(1，－ y1)．直线 AE的方程为 y－1＝(1－ y1)( x－2)．令x＝3，得 M(3,2－ y1)．所以直线的斜率k BM ＝2－y1＋y1＝ 1.BM3－1(3)直线 BM与直线 DE平行．证明如下：当直线 AB的斜率不存在时，由(2)可知 k BM＝1.1－0又因为直线DE的斜率 k DE＝＝1，所以BM∥ DE.2－1当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y＝ (－ 1)(k≠1) ．k x设A( x1，y1)， B( x2，y2)，y1－1则直线 AE的方程为 y－1＝x1－2( x－2)．y1＋ x1－3令 x＝3，得点 M(3，x1－2) ．x2＋3y2＝3，由y＝k x－1得(1 ＋3k2) x2－ 6k2x＋3k2－ 3＝ 0.6k23k2－ 3所以 x1＋x2＝1＋3k2， x1x2＝1＋3k2.y1＋ x1－3x1－2－y2直线 BM的斜率 k BM＝.3－x2因为 k BM－1＝k x －1x －3－k x－ 1x －2x2x －211211x2x1－2k－1x x ＋2x＋ x23]＝121x2x1－2－ 3 k 2＋312k 2k －11＋ 3k 2＋1＋3k 2－3]＝x 2x 1－2 ＝ 0，所以 k ＝1＝ k .BMDE所以 BM ∥ DE .综上可知，直线与直线 平行．BMDE－1221．( 本题满分 12 分 )( 文)(20152 XX 市一模) 已知圆E ：x 2＋y 2＝9经过椭圆 C ：x224ay 2＋b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆 C 在第一象限的交点为A ，且 F 1， E ，A 三点→→共线，直线 l 交椭圆 C 于 M ，N 两点，且 MN ＝λOA (λ ≠0)．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．[ 解析 ] (1) 如图，圆E 经过椭圆 C 的左、右焦点F 1， F 2，∵ F 1， E ，A 三点共线，∴ F 1A 为圆 E 的直径，∴ AF 2⊥ F 1F 2，∴ F 2( c, 0)在圆上，21 2 9∴ c ＋0－2＝4，∵ c >0，∴ c ＝ 2，| 2|2＝| 1 | 2 － |1 2|2＝9－8＝1，∴|2|＝1,2＝ | 1|＋|2|＝3＋1＝4，∴ ＝2，AF AF F FAF a AFAFa∵ a 2 ＝ b 2＋c 2 ，解得 b ＝2，∴椭圆 C 的方程x 2＋y 2＝1.42(2) 点A 的坐标 (→→ λ ≠0) ，2， 1) ，∵MN ＝λOA (2 2所以直线 l 的斜率为2，故设直线 l 的方程为 y ＝2 x ＋ my ＝2 ＋，2 x m22由y2消去 y 得， x ＋ 2mx ＋m － 2＝0，x2＝ 1，4＋2设 M ( x 1，y 1)， N ( x 2，y 2)∴x1＋2＝－ 2 ，1 2＝ 2－ 2， ＝ 2 2－ 4 2＋8>0，x m x xmm m∴－ 2<m <2，2122|MN |＝1＋k | x 2－x 1| ＝ 1＋2x 1＋ x 2－ 4x 1x 2＝ 12－3m ，点 A 到直线 l 的距离 d ＝6| m |3 ，1|2d ＝ 1 26|△ AMN＝|212－3 3|S2 MNm3 m22 22 4－ 2＋ 2＝2mmm m ≤232＝ 2，当且仅当 4－ 2＝2，即＝± 2时，△AMN 取到最大值 2，直线l 的方程为 ＝2 ± 2.m m mSy 2 x( 理)(20142 XX 八校调研122y 2) 已知点F 、F 为双曲线C ： x －b 2＝1( b >0)的左、右焦点， 过2 作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 ，且∠ 1 2＝30°.圆 O 的方程是FMMFFx 2＋y 2＝ b 2.(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、 P 2，求→→PP 12 PP 2的值；(3) 过圆 O 上任意一点 Q ( x 0，y 0)作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点， AB 的中点为→ →M ，求证：| AB |＝2| OM |.[解析] (1) 设2、的坐标分别为 ( 1＋ b 2，0) ， (1＋2 ， 0)，F Mb y22y 0因为点 M 在双曲线 C 上，所以 1＋b －b 2＝ 1，即 y 0＝± b 2，所以| MF 2|＝ b 2，在 Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°， | MF 2| ＝b 2，所以 | MF 1| ＝ 2b 2，由双曲线的定义可知 | MF 1| － | MF 2| ＝b 2＝2，2 y 2故双曲线 C 的方程为 x －2＝1.(2) 由条件可知两条渐近线方程为 l 1： 2x －y ＝ 0，l 2： 2x ＋y ＝0.设双曲线 C 上的点 P ( x ， y )，两渐近线的夹角为 θ ，y ＝2x 的倾斜角为α，则sin 22α＝ 2－ 1 1cos θ＝ cos( π－ 2α ) ＝ 2α － cos 2 ＝ .sin α＋ cos α 2＋ 1 3点 P 到两条渐近线的距离分别为| 2 0－ y 0| | 2 x 0＋ 0| ，| PP 1| ＝x 3 ，| PP 2| ＝ 3 y2y 222因为 P ( x 0， y 0)在双曲线 C ： x －2＝1上，所以 2 x 0 － y 0 ＝ 2，→→|2 0－ y 0||2 x 0＋ 0|x2y cos( π －θ )所以 PP 12 PP 2＝332 2|12|2 x －y＝0 2(－3)＝－9.3(3) 证明：由题意，要证→→| AB | ＝ 2| OM |，即证OA ⊥OB ． 设 ( 1， 1)，( 2， y 2)，切线 l 的方程为 0 x＋ 0 ＝2.A x yB xx y y①当 y ≠0时，切线 l的方程代入双曲线C 的方程中，化简得 (2 y 222＋ 4x x － (2 y2－ x ) x＋4)＝0，0 04 x2＋42 0所以 x 1＋x 2＝－2， 22，x 1x 2＝－22y－ x0 2y － x又 y y2－x 0x 12－x 0x 21＋ x2＝2＝ 2[4－x (x) ＋x x x ]1 2y 0y 0y 01 2 0 1 228－ 2x 0＝22，2y 0－x 0→→28－ 2x 22y＋ 4所以 2＝12＋12＝－22＋2OA OBx x y y2y 0－x 02y 0－x 04－ 2 22x 0＋ y 0＝ 22x 2 ＝ 0；－y②当 y 0＝0时，易知上述结论也成立，→→即 OA 2 OB ＝ x 1x 2＋ y 1y 2＝0.→ →综上所述， OA ⊥OB ，所以| AB | ＝ 2| OM |.2222． ( 本题满分12 分)( 文) 已知椭圆 ： x 2＋y2＝1( >>0) 的短轴长为 2，且与抛物线y 2C ab a b＝4 3x 有共同的一个焦点，椭圆C 的左顶点为，右顶点为 ，点 P 是椭圆 C 上位于 x 轴上AB方的动点，直线AP 、 BP 与直线 y ＝3分别交于 G 、 H 两点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 求线段 GH 的长度的最小值；(3) 在线段 GH 的长度取得最小值时，椭圆 C 上是否存在一点 T ，使得△ TPA 的面积为1，若存在求出点 T 的坐标，若不存在，说明理由．[ 解析 ](1) 由已知得，抛物线的焦点为(3， 0) ，则c ＝3，又b ＝1，由a 2－b 2＝c 2，可得a 2＝ 4.2x 2故椭圆 C 的方程为＋y ＝1.43(2) 直线 AP 的斜率 k 显然存在，且 k >0，故可设直线 AP 的方程为 y ＝k ( x ＋2)，从而 G (k－ 2,3) ．y ＝kx ＋2由 x222222得(1 ＋ 4k ) x ＋16k x ＋ 16k －4＝ 0.4＋ y ＝1.16k 2－4设 P ( x 1，y 1)，则(－2) x 1＝1＋4k 2，2－ 8k 24k2－ 8k 2 4k所以 x 1＝1＋4 k 2，从而y 1＝1＋42.即P ( 1＋ 4 k 2， 1＋ 4 2)，kk1 又 B (2,0)，则直线 PB 的斜率为－4k .1得 x ＝－12由y ＝－4kx －2k ＋2，y ＝3.y ＝3.所以 H (－12k ＋2,3)．33故 | GH |＝ | k － 2＋12k － 2| ＝ | k ＋ 12k － 4|.又 k33k＝ 12.>0，＋ 12 ≥2212kkk31当且仅当k ＝ 12k ，即k ＝2时等号成立．1所以当 k ＝2时，线段 GH 的长度取最小值8.1 (3) 由 (2) 可知，当GH 的长度取最小值时，k ＝.2则直线 AP 的方程为 x －2y ＋2＝0，此时 P (0,1)，| AP |＝5.25若椭圆 C上存在点 T，使得△ TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于 5，所以T 在平行于且与距离等于25的直线l上．AP AP51设直线 l ： y＝2x＋ t .1y＝2x＋ t ，则由x22得 x2＋2tx ＋2t 2－2＝0.＋ y ＝1.4＝ 4t2－8( t2－1) ≥0. 即t2≤2.|2 － 2t |＝2 5由平行线间的距离公式，得，55解得 t ＝0或 t ＝2(舍去)．可求得 T(2)或T(－ 2，－22 ，) ．22x2y2( 理 ) 设椭圆C1：a2＋b2＝ 1( a>b>0) 的左、右焦点分别是F1、 F2，下顶点为 A，线段 OA 的中点为 B( O为坐标原点)，如图．若抛物线C2： y＝ x2－1与 y 轴的交点为 B，且经过 F1、 F2点．(1)求椭圆 C1的方程；4(2) 设M(0 ，－) ，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线 C2的切线交椭圆C1于 P、5Q两点，求△ MPQ面积的最大值．[ 解析 ] (1) 由题意可知B(0，－1)，则 A(0，－2)，故 b＝2.令y＝0得 x2－1＝0即 x＝±1，则 F1(－1,0)，F2(1,0)，故 c＝1.所以 a2＝b2＋ c2＝5，x2y2于是椭圆 C1的方程为：5＋4＝1.(2)设 N( t ， t 2－1)，由于 y′＝2x 知直线 PQ的方程为：y－( t 2－1)＝2t ( x－ t )．即y＝2tx － t 2－1.代入椭圆方程整理得：4(1 ＋ 5t2) x2－ 20t ( t2＋ 1) x＋ 5( t2＋ 1) 2－20＝ 0，＝ 400t2( t2＋ 1) 2－ 80(1 ＋ 5t2)[( t2＋ 1) 2－ 4]＝80( －t4＋ 18t2＋ 3) ，5t t 2＋1， x1x2＝5 t2＋12－ 20，x1＋ x2＝1＋ 5t245t2故| PQ| ＝ 1＋ 4t2| x1－x2|＝ 1＋ 4t22x1＋ x22－ 4x1x252 1＋ 4t22－ t 4＋18t 2＋3＝1＋ 5t2.设点 M到直线PQ的距离为 d，则4221| 5－t－ 1|| t＋5|2.d＝1＋ 4t2＝1＋ 4t所以，△的面积1|2＝ |MPQ S2PQ d1 52 1＋ 4t22－ t 4＋18t 2＋3t 2＋15＝21＋ 5t221＋ 4t2 542522＝10－ t ＋18t＋3＝10t－ 9＋ 845105≤84＝.105当 t ＝±3时取到“＝”，经检验此时>0，满足题意．综上可知，△的面积的最大值为105.MPQ5[ 方法点拨 ] 1. 涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，用根与系数的关系“整体代入设而不求”和用判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决．2．涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题，常结合定义，正余弦定理等知识解决．3．涉及垂直问题可结合向量的数量积解决．反馈练习一、选择题1． ( 文) “＝2”是“直线 ax ＋ 2 ＝ 0 平行于直线 x ＋ ＝1”的 ( )ayyA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]若 a ＝2，则直线 ax ＋2y ＝0 平行于直线 x ＋ y ＝1，反之也成立，即“ a ＝2”是“直线 ax ＋2y ＝0平行于直线 x ＋ y ＝1”的充要条件，故应选C.(理)若直线 2＋ 3 y ＋ 2＝0 与直线x ＋6 －2＝0 平行，则实数 t 等于()txty1 1B ．1A. 或－22211C ．－2D ．4 [答案]B2t 321[解析] 由条件知， 1＝6t ≠－2，∴ t ＝2.2．( 文 ) 若直线l 1：x －ay ＋1＝ 0 与直线l 2：( a ＋ 4) x ＋ (2 a － 1) y － 5＝ 0 互相垂直 ( a <0) ，则直线 l 1的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．60°D ．30°或 135°[答案]B[ 解析 ]∵ l 1⊥ l 2，∴ 13(a ＋4)－ a (2 a －1)＝0，∴ a ＝－1或2，∵ a <0，∴ a ＝1，∴ l 1的方程为 x ＋ y ＋1＝0，∴ l 1的倾斜角为135°.( 理 ) 若曲线y ＝2x 2的一条切线 l 与直线 x ＋4y －8＝0 垂直，则切线 l 的方程为()A ．x ＋4y ＋ 3＝ 0B ．x ＋ 4y －9＝ 0C ．4 － ＋3＝0D ． 4 x － y －2＝ 0x y[答案]D1[解析]y ′＝4x ，直线 x ＋4y －8＝0的斜率 k ＝－4，令4x ＝4得 x ＝1，∴切点 (1,2) ，∴切线l ：y － 2＝ 4( x － 1) ，即 4x －y － 2＝ 0，故选 D ．3．(20152东北三省四市第二次联考) 已知直线y ＝22( x － 1) 与抛物线C ：y 2＝ 4x 交于→→)A ，B 两点，点 M (－1， m )，若 MA 2MB ＝0，则 m ＝(2A. 2B ．21C. 2D ． 0[答案] B[解析]求出点 A ，B 的坐标，利用数量积的坐标运算建立方程求解．联立直线 y ＝2 221 ，－ → →3 ( x － 1) 和抛物线C ：y ＝ 4x ，解得A (2,22) ，B (2) ，所以MA 2MB ＝(3,2 2－ m )2(，2292－ ) ＝ 0，化简得212－ 2－ )＝＋(2 2－ )(－－ 2＋＝0，∴ ＝，故选 B ．m2mmmm 2m 2[点评]当 A 、B 坐标互换时，求得m 的另一个值，但结合选项知只能选B ．224．(20152XX 理，x 2 y 252，7) 已知双曲线C ：a －b ＝ 1 的离心率 e ＝4，且其右焦点为F (5,0) 则双曲线 C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2A. 4－3＝1B ．9－16＝1x 2 y 2x 2 y 2C.16－9＝1 D ．3－4＝1[答案] C[解析]本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于容易题．c 5222因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0) 且离心率为 e ＝a ＝4，所以c ＝ 5，a ＝ 4，b ＝ c － ax2y 2＝9，所以所求双曲线方程为16－9＝ 1，故选 C.x 2 y 25．( 文)(20142 XX 理，5) 已知双曲线a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 ( )x 2 y 2x 2 y 2A. 5－20＝1B ．20－5＝13x 2 3y 23x 23y 2C. 25－100＝ 1 D ．100－25＝ 1[答案] A[解析]由于一个焦点在直线 y ＝2x ＋10 上，则一个焦点为 ( － 5,0) ，又由渐近线平行b222于直线 y ＝2x ＋10.则a ＝2，结合 a ＋ b ＝ c ， c ＝5得，22x 2 y 2∴ a ＝ 5，b ＝ 20，双曲线标准方程为5－20＝ 1，选 A.x 2 y 2( 理)(20142 XX 文， 9) 过双曲线C ：a 2－b 2＝ 1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于 . 若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过、 O 两点 ( O 为坐标原点 ) ，则双AA曲线 C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2A. 4－12＝1B ．7－9＝1C. x 2－ y 2＝1D ． x 2－ y 2＝18 8124[答案]Ab[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点 B ，设渐近线 OA 方程为 y ＝a x ，由题意知，以 F 为圆心，4为半径的圆过点O ， A ，∴ | FA | ＝ | FO | ＝r ＝ 4.∵ AB ⊥x 轴， A 为 AB 与渐近线 y ＝bx 的交点，a∴可求得 A 点坐标为 A ( a ， b )．∴在 Rt △中，|| ＝2＋2＝ a 2＋ b 2＝ ＝| | ＝4，ABO OAOB ABc OF∴△ OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得| OB | ＝a ＝ 2， | AB | ＝b ＝2 3，x 2 y 2∴双曲线的方程为4－12＝ 1，故选 A.x 2y 226． ( 文) 已知双曲线a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的两条渐近线与抛物线 y ＝2px ( p >0)的准线分别交于 A 、B 两点， O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为 3，则p ＝ ( )3A ． 1B ．2C ． 2D ． 3[答案]Cc2222b[解析]∵ e ＝a ＝ 2，∴b ＝c －a ＝ 3a ，∴a ＝3，双曲线的两条渐近线方程为y ＝± 3x ，不妨设 p 3p p 3p＝3 ，又三角形的高为p1 p( －，)， (－，－ ) ，则，则△AOB＝3AB33p ＝ 3，∴p 2＝4，又p >0，∴p ＝2.x 2y 2( 理 ) 已知点F 1、F 2分别为双曲线a 2－b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上2 2的任意一点，若 | PF |的最小值为 9 a ，则双曲线的离心率为()| PF 1|A ． 2B ． 5C ． 3D ．2或5[答案] B[解析]由双曲线定义得 |2| ＝2 ＋| 1|，PFaPF221|＋4a2∴ | PF 2|＝a ＋| PF 1|＝ |＋ 4 ，其中 | 1|≥ c － . 当 c － ≤2时，＝ x| PF 1| | PF 1|PFPFa ay| PF 1|4a 24a 2＋x 在 [ c －a ，＋∞ ) 上为减函数，没有最小值，故c －a >2a ，即 c >3a ? e>3，y ＝ x ＋x 在[ c2＋∞)上为增函数，故f ( x )min ＝ f ( c － a )＝ c － a ＋4a＋4a ＝9a ，化简得10a 2－7ac ＋ c 2 c － a＝0，两边同除以a 2可得e 2－7e ＋10＝0，解得e ＝5或e ＝2(舍去)．x 2 y 27．(20152XX 市二模 ) 已知点P 为椭圆4＋3＝1 上一点，点F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点 I 为△ PF 1F 2的内心，若△ PIF 1和△ PIF 2的面积和为1，则△IF 1F 2的面积为 ()11 A. 4 B ．2 C ． 1D ． 2[答案] B[解析]由椭圆方程知，＝ 2，＝ 1，设内心到三边距离为d ，则由椭圆定义及条件知，ac△PIF 1＋△PIF11|212|2 d 11|＋|2|)2d ＝ 2 ＝1，∴d12＝|＋ |＝ (|＝，∴△SS 2 PFd 2 PF2PF PFd2S11IF 1F 2＝2|F 1F 2|2 d ＝cd ＝2.8．抛物线y ＝x 2( －2≤x ≤2) 绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体， 使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是()。
《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)课件第2章第7节函数与方程、函数模型及其应用
• 2．判断方程实数根的个数的方法
• (1)二次方程、一次方程等可直接判断．
• (2)方程由多项式函数，指对函数、三角函数 中的两类函数组合构成时，一般先变形使等 式两边都是可画图形的基本初等函数，再构 造函数用数形结合法判断．
函数f(x)的零点个数，即y＝x 3
与y＝(
1 3
)x的图象的
交点个数，画出两函数的图象观察可得．
[解析]
1
函数f(x)＝x 3
－(
1 3
)x的零点个数，即方程x
1 3
－(
1 3
)x
1
＝0的根的个数，亦即函数y＝x 3
的图象与函数y＝(
1 3
)x图象的
交点个数，画出两函数的图象(如图)，可得交点的个数为1.
[解析] 可将函数 f(x)＝log2x＋1x－1 的零点的个数看作函
数 y＝log2x 与 y＝－1x＋1 的图象的交点个数，作出函数图象可
得到交点有 2 个．
1
(理)(2013·唐山模拟)函数f(x)＝x 3
() A．0 C．2
• [答案] B
B．1 D．3
－(
1 3
)x的零点个数为
[分析]
1
成才之路 ·数学
人教A版 ·高考总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 函数与基本初等函数
第二章
第七节 函数与方程、函数模型及其应用
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
自主预习学案
• 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与 方程根的联系，判断一元二次方程根的存在 性及根的个数．