构造图形 巧妙求解
高中数学构造法求解题技巧
高中数学构造法求解题技巧高中数学构造法是一种解题思路和技巧，它通过构造适当的数学结构，使得问题的求解变得更加简单明了。
构造方法在高中数学中应用广泛，可以用于解决各类题型，包括代数题、几何题、概率题等等。
一、构造法的基本思想构造法是一种通过建立合适的数学结构，简化问题的解决方法和步骤的思想。
通过构造一些符合题意的数学对象，我们可以发现一些规律，从而提供问题的解答方式。
二、构造法的常见技巧1.构造等差数列或等比数列在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个等差数列或者等比数列。
通过构造这样的数列，我们可以找到其中的规律，从而解决问题。
2.构造图形在解决几何问题时，我们可以尝试构造一个与原图形相似或者关联的图形。
通过构造这样的图形，我们可以将复杂的几何问题简化为一些基本的几何性质，从而解决问题。
3.构造排列组合在解决一些概率问题和组合问题时，我们可以尝试构造排列组合。
通过构造排列组合，我们可以得到一些计算公式或者规律，从而解决问题。
4.构造方程组在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个方程组。
通过构造这样的方程组，我们可以得到一些方程之间的关系，从而解决问题。
5.构造递推公式在解决一些数列问题时，我们可以尝试构造一个递推公式。
通过构造递推公式，我们可以找到数列中的规律，从而解决问题。
三、构造法的实例分析1.构造等差数列例题：有一些连续的整数，它们的和是45，这些整数中最小的是多少？解析：我们可以假设这些连续的整数的首项是x，公差是1，那么这些整数的和可以表示为：x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)=45。
通过求和公式，我们可以得到(x+45)/(n+1)=45，进一步化简得到x=15-n。
我们可以发现，当n=30时，x=15-n=0，此时连续整数中的最小值为0。
2.构造图形例题：在平面直角坐标系中，有一条线l过点(0, 0)和(1, 2)，线l与x轴、y轴以及x=y共同围成一个三角形，求这个三角形的面积。
巧妙构圆 简捷求解
巧妙构圆简捷求解巧妙构圆，简捷求解光从字面上看，构圆几乎是一件复杂而艰深的工作，因为它需要从坐标系中的点和它的距离构造出一个圆。
然而，实际上，构圆可以很容易地完成，尤其是当两个点代表圆的圆心和圆上的一点时。
圆的方程：圆看起来是一种很容易计算的图形，但它有一个常见的方程，我们可以用来解决这个问题： (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2，其中(x_0, y_0)是圆心，R是圆的半径。
我们也可以用下面的方法推导出它：假设一个圆心为(x_0, y_0)，半径为R，任意一点P(x,y)在圆上，根据圆心到任意点的距离定义，可以得到下式：d_{P}=sqrt{(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}}=R一般地，一个具有形式(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2的方程就是圆的标准方程。
用两点法构圆：若给定两点这A(x_1, y_1)和B(x_2, y_2)，构圆的简捷方法就是用它们求得圆心(x_0, y_0)和半径R。
求圆心：由两点确定的圆的圆心在线段AB的中点处，可以用下面的公式求得：x_0=frac{x_1+x_2}{2},quad y_0=frac{y_1+y_2}{2} 求半径：有了圆心，就可以求出圆的半径，由两点确定半径R，得到下式：R=sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}从而得到整个圆的方程：(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2注意：以上几个公式中的符号“^”表示幂，即“上标”；而符号“_”表示下标，即“下标”。
应用：构圆的方法应用非常广泛，比如在数学、工程、建筑、计算机图形学等领域。
比如，在数学中，构圆的方法可以用来求出圆周长和圆面积，从而研究圆的特征；在工程建筑上，可以用来求出高楼的圆柱形的外墙的高度，从而给居民提供更好的视野和空气；在计算机图形学上，可以用来构建平滑的曲线，从而增强视觉效果。
总之，构圆是一项实用技术，它不仅能提供实用的解法，而且可以方便地从几何上推导出一个圆。
巧妙构造图形解决数学问题
巧妙构造图形解决数学问题【摘要】巧妙构造图形在数学问题中扮演着重要的角色。
通过巧妙构造图形，可以更清晰地理解几何问题，简化复杂的数学计算，解决代数方程问题并提高数学竞赛的竞争力。
本文将介绍利用巧妙构造图形解决几何问题的方法，探讨巧妙构造图形对理解抽象数学概念的帮助，解释如何简化复杂数学问题的步骤，并探讨巧妙构造图形在代数方程问题和数学竞赛中的应用。
通过对这些内容的讨论，我们可以深刻认识到巧妙构造图形在数学问题中的重要性，以及展望未来在数学研究中更广泛的应用前景。
通过巧妙构造图形，我们可以更高效地解决数学问题，并且推动数学领域的发展。
【关键词】关键词：巧妙构造图形、数学问题、几何问题、抽象概念、数学竞赛、代数方程、简化步骤、重要性、未来应用。
1. 引言1.1 介绍巧妙构造图形解决数学问题的重要性巧妙构造图形在解决数学问题中扮演着非常重要的角色。
通过巧妙构造图形，我们可以更直观地理解和解决各种数学难题。
图形能够帮助我们将抽象的数学概念具体化，从而更容易理解和应用这些概念。
通过构造各种形状和图像，我们可以将复杂的数学问题转化为简单直观的几何图形问题，从而简化问题的处理过程。
巧妙构造图形不仅可以帮助我们解决几何题，还可以应用在代数方程和复杂数学问题的求解中。
通过构造合适的图形，我们可以清晰地展示和分析问题，找到解决问题的突破口。
在数学竞赛中，巧妙构造图形更是必不可少的技能。
通过构造图形，我们可以更快速地解决问题，提高解题效率，从而在比赛中取得更好的成绩。
掌握巧妙构造图形的方法对于数学学习和解题有着重要的意义。
通过运用巧妙构造图形的技巧，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解题能力，培养数学思维。
巧妙构造图形不仅是解决数学难题的利器，更是促进数学学习和研究的有效方法。
深入理解和掌握巧妙构造图形的技巧对于数学学习和研究都具有非常重要的意义。
1.2 阐述巧妙构造图形在数学问题中的应用巧妙构造图形在数学问题中的应用是数学研究中一种重要的解题方法。
巧用构造法解答数学难题
巧用构造法解答数学难题马沁芳(福建省龙岩初级中学ꎬ福建龙岩３６４０００)摘㊀要:解题教学是初中数学教学中的重要环节ꎬ主要检测学生综合运用所学知识处理问题的能力.在初中数学教学中存在一些较难的问题ꎬ对学生的解题水平要求较高.从本质来看ꎬ解题过程即为条件向结论转化的过程ꎬ只不过面对难度较大的数学问题时ꎬ学生无法轻松找到转化方法.教师可指导学生结合条件和结论的特殊性ꎬ建构已知条件与所求结论之间的逻辑关系ꎬ从而顺利解答数学难题.关键词:初中数学ꎻ构造法ꎻ转化ꎻ数学难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００６５－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:马沁芳(１９７９.２－)ꎬ女ꎬ福建省龙岩人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀构造法指的是当采用常规方法㊁按照定向思维无法处理某些数学问题时ꎬ可基于已知条件与所求结论的特殊性ꎬ从新角度出发ꎬ运用新观点去观察㊁分析与理解问题ꎬ把握已知条件和所求结论之间的内在联系ꎬ运用问题的数据㊁外形㊁坐标等特征ꎬ构造新数学对象ꎬ由此达到解题的目的.在初中数学解题训练中ꎬ针对一些难题ꎬ学生运用常规方法和定向思维很难解决ꎬ教师可指引学生巧用构造法ꎬ结合题设条件和结论构造新对象ꎬ最终解答数学难题[１].１巧妙构造方程ꎬ解答数学难题方程是学生从小学时期就开始学习的一类数学知识ꎬ步入初中阶段以后ꎬ学生需学习更多有关方程的内容.除一元一次方程以外ꎬ还涉及一元二次方程㊁方程组㊁分式方程等知识ꎬ属于初中数学教学的一项重要内容ꎬ在解题中有着广泛应用.在初中数学解题训练中ꎬ有的题目难度较大ꎬ教师可指引学生结合题干中提供的条件和数量关系构造新方程ꎬ获得全新的解题思路ꎬ让学生结合方程知识转化问题ꎬ难题就迎刃而解[２].例１㊀已知ｘꎬｙꎬｚ是三个互不相等的实数ꎬ且ｘ>ｙ>ｚꎬ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎬｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ那么ｘ＋ｙ的范围是什么?分析㊀题目中给出的方程关系较为特殊ꎬ是三元一次方程与三元二次方程形式ꎬ学生采用常规方法很难进行解题.此时ꎬ教师可指导学生运用构造方程的方法ꎬ将已知条件与所求结论联系到一起ꎬ利用方程知识求得结果.解㊀根据ｘ＋ｙ＋ｚ＝１可得ｘ＋ｙ＝１－ｚꎬ两边同时平方ꎬ得ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＝１－２ｚ＋ｚ２.又因为ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ所以ｘｙ＝ｚ２－ｚ.由一元二次方程的根与系数的关系可以看出ꎬｘꎬｙ是方程ｍ２＋(ｚ－１)ｍ＋(ｚ２－ｚ)＝０两个不相等的实数根ꎬ再结合Δ>０可以得到－１３<ｚ<１ꎬ即为－１３<１－(ｘ＋ｙ)<１ꎬ则ｘ＋ｙ的范围是４３>ｘ＋ｙ>０.例２㊀已知实数ｘꎬｙꎬｚ满足ｘ＋ｙ＝３ꎬｚ２＝ｘｙ＋ｙ－４ꎬ求ｘ＋３ｙ＋２ｚ的值.分析㊀这是一道比较特殊的代数式求值类问题.教师可要求学生先对题目中的条件展开变形ꎬ把５６原式转变成两个式子的求解问题ꎬ再观察两个已知式子的形式ꎬ通过变形以后构造新方程ꎬ然后让学生结合方程的相关知识求解.解析㊀根据题意可得(ｘ＋１)＋ｙ＝４ꎬ(ｘ＋１)ｙ＝ｚ２＋４ꎬ通过观察易发现ꎬｘ＋１ꎬｙ是一元二次方程ｔ２－４ｔ＋ｚ２＋４＝０的两个实数根ꎬ然后结合一元二次方程根的判别式确定方程根的情况即可解决问题ꎬ求解过程从略.２巧构造不等式ꎬ解答数学难题不等式是用 >ꎬ<ꎬȡꎬɤꎬʂ 等符号表示大小关系的式子ꎬ学生在小学阶段也有所接触.在初中数学学习中ꎬ学生学习的不等式知识难度更大ꎬ深度也有所提升ꎬ涉及一元一次不等式㊁一元一次不等式组等内容ꎬ不少问题中都会用到不等式相关知识.在初中数学解题教学中ꎬ当遇到部分难题时ꎬ教师需提示学生注意题目中 最大 最小 不低于 不高于 等关键词ꎬ引导其尝试构造不等式模型ꎬ然后利用不等式知识解答难题[３].例３㊀已知某工厂存储有甲㊁乙两种原料ꎬ质量分别为３６０ｋｇ和２９０ｋｇꎬ现在准备利用这两种原料生产Ａ㊁Ｂ两种商品共计５０件ꎬ其中生产一件Ａ商品需要甲㊁乙两种原料分别为９ｋｇ㊁３ｋｇꎬ利润是７００元ꎬ生产一件Ｂ商品需要甲㊁乙两种原料分别为４ｋｇ㊁１０ｋｇꎬ利润是１２００元.(１)根据条件和要求生产Ａ㊁Ｂ两种商品一共有多少种方案?(２)设生产Ａ㊁Ｂ两种商品获得的总利润是ｙ(元)ꎬ生产Ａ商品ｘ件ꎬ请写出ｙ与ｘ之间的函数关系式ꎬ且利用函数的性质说明哪种生产方案能够获得最大利润?最大利润为多少?分析㊀先把题目中的文字语言转变成规范的数学语言ꎬ根据已知条件利用构造法建立一个不等式组ꎬ再结合不等式知识处理函数问题ꎬ然后根据实际生产情况确定方案.解㊀(１)设生产Ａ商品ｘ件ꎬ则Ｂ商品的数量为(５０－ｘ)件ꎬ根据题意可得不等式组９ｘ＋４(５０－ｘ)ɤ３６０ꎬ３ｘ＋１０(５０－ｘ)ɤ２９０.{解之得３０ɤｘɤ３２ꎬ由于ｘ的值只能是正数ꎬ故ｘ只能取３０ꎬ３１ꎬ３２ꎬ也就是Ａ商品的件数ꎬ那么根据(５０－ｘ)可以求得Ｂ商品的件数分别是２０ꎬ１９ꎬ１８ꎬ则一共有３种生产方案ꎬ即Ａ商品３０件ꎬＢ商品２０件ꎻＡ商品３１件ꎬＢ商品１９件ꎻＡ商品３２件ꎬＢ商品１８件.(２)根据题意可得ｙ＝７００ｘ＋１２００(５０－ｘ)＝－５００ｘ＋６００００ꎬ根据一次函数的性质可知ꎬ该函数中ｙ随ｘ的增大而减小ꎬ所以当ｘ＝３０时有最大利润ꎬ即生产Ａ商品３０件㊁Ｂ商品２０件获得的利润最大ꎬ此时ｙ＝－５００ˑ３０＋６００００＝４５０００ꎬ最大利润为４５０００元.ｙ与ｘ之间的函数关系式ｙ＝－５００ｘ＋６００００ꎬ由此可知ꎬ(１)中的方案１获得的利润最大ꎬ最大利润是４５０００元.３巧妙构造函数ꎬ解答数学难题函数在初高中数学课程体系中占据着重要地位ꎬ学好函数知识能够为数学学习带来诸多便利.原因在于不少题目都能够借助构造函数的方法解决ꎬ即使无法直接求解ꎬ也能够打开解题思路[４].例４㊀如图１所示ꎬ一位篮球员进行投篮练习ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ然后顺利命中篮筐ꎬ其中篮筐的高度是３.０５ｍ.图１㊀篮球的运行路线图(１)篮球在空中运行的最大高度是多少?(２)假如该篮球运动员在跳投时ꎬ篮球出手距离地面的高度是２.２５ｍꎬ那么他距离篮筐中心的水平距离是多少?分析㊀对于问题(１)ꎬ应该把整个函数图象构造出来ꎬ求出篮球在空中运行过程中距地面的最高点ꎻ对于问题(２)ꎬ要构造平面直角坐标系ꎬ结合二次函数知识与图象的性质等求解问题ꎬ从而求出运动员与篮筐中心之间的水平距离.６６解㊀(１)根据已知条件可知ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ该抛物线的顶点坐标是(０ꎬ３.５)ꎬ如图１所示大致画出篮球的运行路线ꎬ即为该抛物线的一部分ꎬ验证后可知最高点在函数的定义域内ꎬ由此可知篮球运行的最大高度是３.５ｍ. (２)建立如图１所示的平面直角坐标系ꎬ审题后可以发现求出该运动员位置的横坐标就是问题的答案ꎬ篮筐处的高度是ｙ＝３.０５ｍꎬ由此可知ｘ＝１.５ｍꎻ再根据该篮球运动员的出手高度ｙ＝２.２５ｍꎬ此时ｘ＝－２.５(ｘɤ０)ꎬ则运动员距篮筐中心的水平距离是４ｍ.例５㊀已知分式ｘ－３ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ无论ｘ取何值ꎬ该分式都有意义ꎬ那么ｍ的取值范围是什么?分析㊀因为本题中的分式恒有意义ꎬ这说明分母ｘ２－６ｘ＋ｍ的值永远不会是０.可据此构建一个二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ把分式问题转变为一个二次函数取值问题进行研究ꎬ结合二次函数的性质来解题ꎬ找出ｙʂ０的情况ꎬ以此确定ｍ的取值范围.解㊀令ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ根据题意可知ꎬｙ的值永远都不等于０ꎬ由于该抛物线的开口方向是向上的ꎬ所以该二次函数的图像不会与ｘ轴相交ꎬ则Δ＝３６－４ｍ<０ꎬ解之得ｍ<９ꎬ即为ｍ的取值范围是ｍ<９.４巧妙构造图形ꎬ解答数学难题初中数学课程主要分为代数与几何两大方面的内容.用构造法解答数学难题时ꎬ不仅可以根据题意构造代数方面的式子ꎬ还能够构造出相应的几何图形ꎬ利用数形结合思想解题.在初中解题教学中ꎬ将 数 和 形 结合起来ꎬ不少难题就易于解答.例６㊀如图２所示ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ对角线ＡＣꎬＢＤ相交于点Ｏꎬ而且ＡＣ与ＢＤ的长度相等ꎬ点ＥꎬＦ分别为对角线ＡＢ与ＣＤ的中点ꎬＥＦ分别同ＢＤꎬＡＣ相交于点ＧꎬＨ.求证:ＯＧ＝ＯＨ.分析㊀在几何图形中出现多个中点ꎬ大多数情况下都要利用中位线的性质进行解题ꎬ所以本题可以先取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦꎬ因为ＥꎬＦꎬＭ分别是ＡＢꎬＣＤꎬＢＣ的中点ꎬ由此可构造中位线ＥＭꎬ图２㊀例６题图ＭＦꎬ然后结合三角形中位线定理解题.先证明әＥＭＦ是等腰三角形ꎬ根据 等边对等角 ꎬ即可证明øＭＥＦ＝øＭＦＥꎬ利用平行线的性质证明øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ最后根据 等角对等边 即可解决问题.解㊀如图２所示ꎬ取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦ.因为ＭꎬＦ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ则ＭＦʊＢＤꎬＭＦ＝ＢＤ.同理可得ＭＥʊＡＣꎬＭＥ＝ＡＣ.因为ＡＣ＝ＢＤꎬ所以ＭＥ＝ＭＦꎬøＭＥＦ＝øＭＦＥ.又因为ＭＦʊＢＤꎬ所以øＭＦＥ＝øＯＧＨ.同理可得øＭＥＦ＝øＯＨＧꎬ所以øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ所以ＯＧ＝ＯＨ.５结束语在初中数学解题教学中ꎬ有的题目难度比较大ꎬ采用常规方法和思路很难解答.面对这些难题ꎬ教师可引导学生巧妙运用构造法ꎬ重新处理题目中给出的条件和结论.把问题与熟悉的理论知识联系起来ꎬ通过构造方程㊁不等式㊁函数㊁几何图形等数学模型把问题实质清楚地反映出来ꎬ架构起结论和条件之间的桥梁ꎬ让学生从中寻求解题问题的切入点ꎬ确定合适的解题方案ꎬ继而准确解答数学难题.参考文献:[１]连继莹.例说初中数学的解题方法:以 构造法 为例[Ｊ].中学课程辅导(教师教育)ꎬ２０２１(９):１１４.[２]吴月红.巧用构造法解初中数学题[Ｊ].语数外学习(初中版)ꎬ２０２０(８):２８－２９.[３]张梅.构造法在初中数学解题中的有效运用[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０２０(４):８０－８１. [４]张文贺.初中数学解题技巧的有效运用[Ｊ].数学大世界(下旬)ꎬ２０２０(１):７７.[责任编辑:李㊀璟]７６。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是一种常用的解题方法，在高中数学中有着广泛的应用。
它通过巧妙地构造一些数学对象或者利用某些数学性质，来解决问题。
下面将介绍构造法在高中数学解题中的常见应用方法。
1.构造图形构造图形是构造法的一种常见应用方法。
在解决几何问题时，我们可以通过构造一些特殊的图形，来辅助求解。
要证明一个角为直角，可以通过构造一个等腰直角三角形；要证明两条线段相等，可以构造两个相等的线段等等。
通过构造图形，我们可以更加直观地理解问题，并且根据构造出的特殊图形进行推理和证明。
2.构造等式构造等式是构造法的另一种常见应用方法。
在解决代数问题时，我们可以通过构造一些特殊的等式，利用等式的性质和关系来推导和求解。
要解方程组可以通过构造一个与原方程组等价的等式，从而利用等式的性质消去未知数。
又要证明两个多项式恒等，可以通过构造一个等式，使得等式两边的多项式进行运算后得到相同的结果。
通过构造等式，我们可以把复杂的问题转化为更简单的等式求解问题。
3.构造序列4.构造方法构造方法是构造法的一个重要应用。
在解决问题时，我们可以通过构造一种方法或者算法，来找到问题的解决思路。
要证明一个命题成立，可以通过构造一个反证法，假设命题不成立，然后推导出矛盾；要解决一个最优化问题，可以通过构造一个函数或者模型，然后利用函数的性质进行优化。
通过构造方法，我们可以建立问题与数学方法之间的联系，从而解决问题。
构造法是一种重要的解题方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过构造图形、构造等式、构造序列和构造方法等，我们可以更加直观地理解问题，利用数学性质和关系进行推理和证明，以达到解决问题的目的。
希望通过这些介绍，能够帮助到学生在高中数学中更好地运用构造法解题。
应用“构造法”解题例析
应用“构造法”巧解数学问题例析河北省隆化县职业中学 曹瑞民（068150）构造法是初中数学的一种重要的数学方法，利用构造法可以巧妙的解决数学中的很多难题。
一、构造矛盾，巧证几何题例1、 求证：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
证明：如图1，已知∆ABC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠,的平分线。
BD=CE ，要证AB=AC 。
假设AB ,AC ≠不妨设AB>AC,则有ACB ∠>ABC ∠ A因而ACE ∠>ABD ∠构造ECF ∠=ABD ∠. F设CF 分别交AB 、BD 于G ，则CEF BFG ∆≈∆。
E G D 即BF ：CF=BG ：CE但BF>CF ∴BG>CE B C BD>BG ∴ BD>CE (图1)这显然与已知BD=CE 相矛盾，故AB ≠AC 的假设不成立，而必有AB=AC 。
二、构造对偶式，巧求非对称式的值例2、设x 21x 是方程x 2＋5x ＋2=0的两根，不解方程；求21x x 的值。
分析：21x x 是非对称式，构造其对偶式12x x （即将21x x 中的2,1x x 互换位置）以后，组合成对称式再进行运算。
22124)5(2)(11,221212212122211221=--=-+=+=+∴==x x x x x x x x x x y y y x x y x x 则解：设即2y 2－21y ＋2=0,解之得 4175212,1±=y 三、构造方程，巧解几何最值问题例2、 如图2，平行四边形MNPQ 的一边在ABC ∆的边BC 上， A 另两个顶点分别在AB ，AC 上。
M H N 求证：平行四边形MNPQ 的面积的最大值为ABC ∆面积的一半。
分析：题设中出现两个相关图形——平行四边形，三角形；结论是证明面积最值问题，面积问题自然联想到作高AG ， 与两个图形面积有关的元素有四个：MN 、HG 、BC 、AG 。
构造全等三角形的七种常用方法
构造全等三角形的七种常用方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊构造全等三角形的七种常用方法。
这可真是个有趣又实用的知识领域啊！咱先说说第一种方法，那就是“平移法”。
就好像你有两个形状差不多的拼图块，通过平移一下，嘿，它们就能完美地重合在一起啦！这就像你走路的时候，从这边走到那边，位置变了，但本质没变呀。
还有“翻折法”，这就像是把一张纸对折起来，两边瞬间就一模一样啦。
想象一下，这多神奇呀，就像变魔术一样。
“旋转法”也很有意思哦。
就好比一个玩具在那转呀转，转到某个角度的时候，哇，和另一个完全一样了。
这多好玩呀！“倍长中线法”呢，就好像给一条线打了激素，让它变长，然后就能找到对应的全等啦。
“截长补短法”就像是裁剪衣服一样，多了的就剪掉，少了的就补上，让它们变得一样整齐。
“作平行线法”，这就像是给三角形铺了一条平行的道路，顺着这条路就能找到全等的伙伴啦。
“利用角平分线法”，角平分线就像是一个裁判，公平地把三角形分成相等的部分。
这七种方法呀，每一种都有它独特的魅力和用处。
就像你有七把不同的钥匙，能打开不同的门，进入全等三角形的奇妙世界。
在解决问题的时候，你就得像个聪明的侦探一样，找到最合适的那把钥匙。
比如说，遇到一个复杂的图形，别慌呀，静下心来分析分析，看看哪种方法能派上用场。
可能一开始会觉得有点难，但只要多练习，多尝试，你就会发现自己越来越厉害啦！想象一下，你掌握了这些方法，就像是拥有了超能力一样，可以轻松地解决那些看似很难的问题。
而且呀，当你在考试或者做作业的时候用上这些方法，那感觉就像打了一场胜仗，多有成就感呀！所以呀，朋友们，可别小瞧了这七种常用方法哦。
它们就像是你的秘密武器，能在关键时刻帮你大忙呢！好好去探索，去发现吧，全等三角形的世界正等着你去闯荡呢！。
巧妙构造,让数学解题更精彩
应考方略数学有数GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG 巧妙构造，让数学解题更精彩■江苏省太仓市明德高级中学王佩其数学解题，贵在巧思，巧思方可得妙解.而巧思中最为推 崇的解法是构造法，这种方法体现了数学思维的创新性，是 数学解题的最高境界.通过对题目的条件与结论进行对比分 析，找到一座沟通它们之间的桥梁，这座桥梁可以是一个函 数，一个方程，一个图形等，借助这座桥梁，可以让原问题 圆满解决，这就是所谓的构造法.本文举例说明，供同学们 参考._、巧构几何体，速解立几题在立体几何中，我们通常把正方体、长方体、正四面体 等这些形状优美，性质优美且特殊的几何体称作完美几何体. 在立体几何中，这些几何体有着十分重要的地位，起着不可 替代的作用，有些几何问题，往往可以通过对比与联想，构 造出完美几何体，借助于完美几何体的优美性质，让原问题 快速解决，同时也让我们感受到数学的奇异美.例1.已知一个棱长是a的正四面体的四个顶点均在同一 个球面上，则这个球的表面积是（)A. 37T02B-T na2C.^rTTa}D.各•jra2解析j正四面体有六条相等的棱，而正方体的六个面都是 全等的正方形，因此它们的对角线都相等，于是可以采用补 形的方法，将正四面体“还原”成正方体（如图1),那么正 方体的外接球就是与正四面体的外接球.因为四面体的棱长为a,所以正方体的棱长是A f a,于是正方体对角线f就是这个球的直径，故球半径= S:477"/?2=~^-7ra2.所以本题选 D.正方体是立方体中最完美的图形，它与它的内切球 与外接球之间的关系，能帮助我们快速找到解题“突破口 对于正四面体，将其“放入”正方体中，可以快速求出它的 外接球的半径.例2.已知乙/10B是平面a内的一个直角，0是直角顶 点，又0C是平面a的斜线，且乙4O C=Z S O C=60°,则直线 0C与平面a所成的角的大小是______._如图2所示，作正四棱锥且它的每一个侧面都是正三角形.于是a4, O B,0C满足已知条件，这相当于把题设所给的线面关系“搬到”了正四棱锥中，于是原问题等价于求侧棱C0与正四棱锥的底面a4A B所成的角.设底面中心为£,则乙C0£：即为所求的角.经图2计算可知，〇£=C£，故乙C O£=45。
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构造图形，巧妙求解
（342300 江西于都第三中学 蔡家禄）
数学知识的积累，数学思想方法的感悟大多是通过解题习得的，有时掌握一些基本图形或式子的特点（结论）对于快速形成解题思路是大有裨益的.
例1 题目：已知a+b=2，则4122+++b a 的最小值为 .
分析：由勾股定理a 2+b 2=c 2,
则c =,式子22b a +就可以理解为“以a 、b 为直角边长的直角三角形的斜边长”；而a+b=2，可以理解为线段a 、b 长度之和为2，据此，我们可以构造图1.在图1 中，AB =2, BC =a +b =2,CD =1,∠B =∠C =90°.要求4122+++b a 的最小值，即可将问题转化为求AP +DP 的最小值，显然当A 、P 、D 三点共线时有最小值（两点之间，线段最短，见图2）.如图2，在Rt △AGD 中，直角边AG =3,DG =2,用勾股定理可求得斜边AD
即4122+++b a
（解略）
2A 12
2D A
反思：这是一种“无中生有”式的解题技法，其关键在于“数形结合”，由代数式子想到几何图形！
例2 题目：在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点D 、E 分别为AC 、BC 上的点，将△ABC 沿DE 折叠，使得点A 落在点A 1处.
（1）填空：边AC 的长为 ；设CD =x ，A 1D 的长可用含x 的式子表示为 .
（2）探究1：如图1，当点A 1落在边BC 上时，
①若点A 1是BC 的中点，求CD 的长；
②若CD =94
，则四边形ADA 1E 是菱形，请说明理由； （3）探究2：如图2，当点A 1落在BC 边的下方时，设A 1D 与边BC 交于点M ，A 1E 与边BC 交于点N ，问△A 1
MN 是否为等腰三角形？若能，请求出t an ∠CDM 的值；若不能，请说明理由.
图1 图2
点评：
本题以边长分别为6、8、10最为学生熟悉的特殊直角三角形为背景，以翻折为手段，将轴对称，勾股定理，菱形的判定，列方程求线段长，相似三角形，等腰三角形，分类讨论等初中阶段核心数学知识与解题思想方法融汇在一起，设问构思精巧，立意深远，图形简洁优美，内涵丰富，犹如陈年老酒，入口醇正，沁人心脾，回味无穷.
第（1）小题第一问可直接由勾股定理求得AC =6；第二问由轴对称的性质可知A 1D =AD =6－x.第（2）小题的第①问，当点A 1是BC 的中点时，即已知CA 1=4，在Rt △A 1CD 中，CD =x ，A 1D =6－x ，CA 1=4，由勾股定理列出方程可求得CD 的长；第②问，已知CD 的长，可求CA 1与A 1D 的长，进而可得DA 1∥AB ,∴∠A 1DE =∠AE D=∠ADE ,∴AE =AD = A 1E =A 1D , ∴四边形ADA 1E 是菱形. ①与②实际上是互为照应，①由点的位置，确定线段的长，而②恰好反过来，由线段长来确定点的位置，点的位置确定了，形的大小也就确定了.这通常也是数学研究的一般思维模式，正反互相印证.
（3）若△A 1MN 为等腰三角形，显然应分三种情况讨论，即其三边谁作腰？谁作底？（一般地，对于等腰三角形的分类，通常以谁作顶角的顶点为分类标准可使解题思路清晰，在解题叙述上更为方便简洁.）
（一）若A 1M =A 1N （即A 1为顶角的顶点）（见图2-1）, 则∠A 1MN =∠A 1NM= 1(180)2A ︒-∠=∠DMC ，∴∠CDM =90°－∠DMC= 12A ∠.由12
A ∠想到∠A 的平分线，所以我们可抛开原图，再重新构造一个新图（见图3），AP 平分∠BAC ,过点P 作PQ ⊥A
B 于Q ，设CP =x ，则PQ= CP =x ，P B =8－x ，由
PQ AC PB AB =得6810x x =-，解得x =3. ∴t an ∠CDM =t an 12A ∠=3162
CP AC ==；
（二）若NM = N A 1（即N 为顶角的顶点）（见图2-2），则∠NA 1M =∠NM A 1=∠DMC=∠A ，∠CDM =∠B . ∴t an ∠CDM =t an ∠B =
6384
AC BC ==；
（三）若MN= M A1（即M为顶角的顶点）（见图2-3）, 则∠MA1N=∠M NA1=∠A，过点N 作NG⊥A1 M于G，则有∠CDM=∠M NG=∠M NA1－∠GN A1=∠A－∠B.由∠A－∠B想到构造新图4（见图），作AB的垂直平分线交BC于S，垂足为T，连接AS，则∠CAS=“∠A
－∠B”，BT=1
5
2
AB=,由
SB AB
TB CB
=得
10
58
SB
=，解得SB=
25
4
.
∴CS=8－SB=7
4
.∴t an∠CDM =t an∠CAS =
7
24
CS
AC
=.
综上所述，当△A1MN为等腰三角形时，t an∠CDM的值为1
2
或
3
4
或
7
24
.
反思：
这种根据角的大小重新构造图形来求比值的方法，很新颖，很有创意，它跳出了原图的束缚，开辟了一个新的天地，给求值计算带来简便.。