构造基本图形——等腰三角形
等腰三角形的判定
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为“藏传佛教的八大神山之首。”我们到达梅里雪山的时候是在早晨，结束了几天的地下生活，到了梅里雪山脚下，阳光刺的我睁不 开眼睛，过了一会终于适应了。阳光明媚，山上的雪被阳光照得熠熠生辉，极蓝与极白相交辉映，看着这样的风景好像心也被洗干净 了，空气里都满是雪的味道。我现在终于体会到什么是壮观，在大自然的面前人类是多么的渺小。巍峨的雪山直插云霄，真是雾笼云 遮缥缈中，浑然浩气贯苍穹。山神说拉着我的手，我啊了一声，有点不好意思，脸红的发烫，感觉都红到耳根了。山神看着我说： “想什么呢，拉着我，我们飞上去，这样会节省不少时间。”这是要是有一条地缝，不管多小，我都要挤进去。可等了半天，山神也 没什么动静，他的手依旧如此冰凉。我以为他还在酝酿，只见他眉头紧皱，我说怎么了，我们怎么还在这里。山神说：“在这里，我 居然不能使用法术，我的法术好像被什么禁锢了一样，没法使出来。”我心想这座山这么厉害，居然连山神的法力都被禁锢了，看来， 我们凶多吉少了，真是壮士一去兮不复返啊。我说：“这样啊，那我们还是走吧，万一在这里挂掉了，我还好，你可怎么办啊，多不 划算啊。”我边说边往回走。山神说：“来都来了，再说了，怕什么，这是神山，不会有什么妖怪的。看来，我们只有爬上去了”。 这里有十三座峰，主峰卡瓦格博峰海拔高达6740米，看着主峰，我咽了口唾沫，心想这次不死也要退层皮了。我们修整了一会开始爬 山，我们就一直走，也无心欣赏身边的风景了，山很陡峭，有几次险些摔倒下去，我们一直提心吊胆地走了一天，到傍晚的时候终于 到达了雪线，我们又继续往前走，天也渐渐暗下来了，想想开始露出来，星星离我们很近，温度逐渐降低，风越来越大，尽管穿着很 厚很厚地冬衣，依然感觉很冷，只要一张口，风吹着雪就直往喉咙里灌，山神怕我摔倒后爬不起来，就一直拉着我走，满眼的白色， 一直看着白色突然头一阵眩晕，一不小心就跌了个狗**。山神连忙把我扶起来。山神还是一身玄色衣服，他无论在什么样的恶劣条件 都是这样，丝毫不受影响。走到后来就是他拖着我走了，他怕我失去意识，就一直不停的跟我说话。我们又走了一夜，到第二天中午， 我们来到了一个山洼里，这的山洼很奇怪，它很宽很大，周围长满了野花和野草，还能看到很多蝴蝶，一条清澈的小溪从旁边流过， 这里这的是一处世外桃源啊，想不到大山之中还能有这样的地方不受风雪的侵扰。山神的眼睛很尖，一下就看到了被草掩埋的相机， 拿起来一看，这是尼康FM3A上面的金属机身已经长锈了，相机更新速度很快，现在已经停产了，我们也不能评这个就判断时间，万一 他是胶卷相机的忠实用户呢，这也说不定，随后我们又找到
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。
本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。
以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。
1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。
(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。
(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。
3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。
(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。
4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。
因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。
相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
等腰三角形的基本概念
等腰三角形的基本概念等腰三角形是几何学中常见的一种三角形形状。
它具有特殊的性质和特点，是我们学习几何的基础内容之一。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的定义、性质以及其在几何中的应用。
1. 定义等腰三角形是一个具有两条边相等的三角形。
通常，这两条相等的边被称为等腰边，而与这两条边不相等的边被称为底边。
等腰三角形的顶角是与底边不相邻的两个角，而底边上的角则是与该边相邻的两个角。
2. 性质等腰三角形有一些独特的性质，这些性质使得我们能够更好地理解和应用它们。
2.1 对称性等腰三角形具有对称性。
即，如果我们将等腰三角形绕着顶角进行旋转180度，它仍然与原来的三角形完全相同，并且两者重合。
这种对称性使得等腰三角形在几何问题中有着重要的作用。
2.2 顶角性质等腰三角形的顶角是相等的。
由于等腰三角形具有两条边相等的特点，顶角的相等性可以由等边的对称性推导出来。
这个性质在解决几何问题时经常用到。
2.3 底角性质等腰三角形的底角是相等的。
底角是指与底边相邻的两个角，它们的度数是相等的。
这一性质可以由等腰三角形的对称性和两条边相等的特点推导出来。
3. 应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 定义和判定在学习几何学时，我们常常需要定义和判定等腰三角形。
通过分析三角形的边长并比较它们的相等性，我们可以准确地判断一个三角形是否为等腰三角形。
3.2 问题解决在解决几何问题时，等腰三角形经常被用作中间步骤或关键步骤。
通过利用等腰三角形的特性，我们可以得到一些等式或等角关系，从而推导出问题的解答。
3.3 图形构造等腰三角形的对称性使得它在图形构造中非常有用。
例如，在绘制对称图形时，我们可以通过画一条等腰三角形的等腰边作为对称轴，从而得到完美的对称效果。
总结：等腰三角形是几何学中的基本概念之一，它具有对称性、顶角和底角的相等性等重要性质。
在几何学中，我们经常需要定义和判定等腰三角形，并利用其特性来解决问题或进行图形构造。
等腰三角形判定PPT
如果EG∥BC？
A
倍 速
E
F
G
课
时
学 练
B
C
思考拓展
• 1、如图，⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点 O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，求证：BD+EC=DE
提示：∵ DE//BC
∴∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠EOC
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
倍
∴∠DBO=∠DOB=∠OBC,∠ECO=∠EOC=∠OCB D
等边三角形的判定方法:
• 1.三边相等的三角形是等边三角形.
• 2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三 角形.
倍 速
• 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等
课 时
边三角形.
学
练
例1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°. 分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些 等腰三角形.
(同学们自已完成证明.)
倍
Ａ
速
课
时
学
练
Ｂ
Ｃ
已知：△ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
C
AD=AD
D
倍
速 课
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
时 学
∴AB=AC（全等三角形的对应边
练
相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？
1.等腰三角形的两腰相等.
A
2.等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）.
【精品PPT】2020年初中数学全国优秀课展示活动优秀课件★★等腰三角形—展示课件
特例：直角三角形
三角形
关系
全等三角形
定义
特例：等腰三角形
等边三角形
性质
含30°角的 直角三角形
的性质
判定
等边三角形 平行四边形 ……
几何图形特例研 究的一般套路
教学分析
内容课与程内性容质解析 目标与目标解析
教学问题诊断
教学分析 教学设计 教学过程 教学反思
重点
探索并证明等腰三角形的性质和判定.
教学分析
如何证明等腰三 角形三线合一？
怎么使用“等腰三角 形三线合一”？
如何发现等腰三角 形三线合一？
如何用符号语言来
描述“等腰三角形三 线合一”？
教学分析
内容与内容解析 目标与目标解析
教教学学问问题题诊诊断断
难点
发现、证明与理解“等腰三角形三线合一”.
目录 CONTENTS PAGE
教学分析 教学设计 教学过程
边的位置关系特殊化 边的大小关系特殊化
设计意图：以三角形中知识发展的逻辑以及现实情境为线索，构建确 定了研究对象——等腰三角形.
教学过程
教学分析
发现问题 提提出出问问题题 分析问题 解决问题 迁移应用
教学设计
教学过程
教学反思
问题2 怎样研究等腰三角形呢？ 定义
性质
判定
类比
设计意图：通过类比构建研究路径，用相似的路径研究不同的问题, 明确了研究思路，提出学习和研究的总问题，建立了整体框架，这是 有效发展学生思维的载体和平台，
发现问题 提提出出问问题题 分分析析问问题题 解解决决问问题题 迁移应用
用符号语言描
判定
发现
证明
述等腰三角形 的判定以及归
等腰三角形的性质有哪些
等腰三角形的性质有哪些等腰三角形是初中数学中一个重要的几何图形，具有许多独特的性质。
下面就让我们一起来详细了解一下等腰三角形到底有哪些性质。
首先，等腰三角形两腰相等。
这是等腰三角形最基本的定义特征。
也就是说，如果一个三角形有两条边长度相等，那么我们就称它为等腰三角形。
等腰三角形的两个底角相等，这被称为“等边对等角”。
假设等腰三角形的两条相等边被称为腰，另一条边称为底边。
那么，两个腰所对应的角就是底角。
比如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。
这个性质在解决很多与角度相关的问题时非常有用。
等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，简称为“三线合一”。
我们以底边 BC 上的中线 AD 为例，因为 AB ＝AC，AD 是中线（BD ＝ DC），所以可以证明△ABD ≌△ACD（SSS 全等判定），从而得出∠BAD ＝∠CAD，AD⊥BC。
这意味着等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高和中线；底边上的中线也是顶角的平分线和底边上的高；底边上的高也是顶角的平分线和底边上的中线。
这个性质在证明线段相等、角相等以及垂直关系时常常发挥关键作用。
等腰三角形是轴对称图形。
它的对称轴是顶角平分线所在的直线，或者是底边上的中线所在的直线，又或者是底边上的高所在的直线。
沿着这条对称轴对折，等腰三角形的两部分能够完全重合。
从等腰三角形的性质出发，我们可以进一步推导出一些相关的结论。
比如，如果一个等腰三角形的顶角为α，那么底角的度数就是（180°α) ÷ 2 。
在实际应用中，等腰三角形的性质有很多用处。
例如，在建筑设计中，如果需要设计一个对称的结构，等腰三角形的性质就可以帮助工程师确保结构的稳定性和对称性。
在制作一些工艺品或者服装的图案时，也经常会用到等腰三角形的对称美。
在数学解题中，当我们遇到等腰三角形的相关问题时，常常需要灵活运用上述性质。
比如，已知等腰三角形的一个角的度数，求其他角的度数时，就需要考虑这个已知角是顶角还是底角的情况。
等腰三角形及其性质课件
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等腰三角形两底角平分线相等定理证明
• 在三角形$ABD$和三角形$ACE$中，由于$\angle ABD = \angle ACE$且$\angle A = \angle A$，根据三角形的全等判 定——角角边（AAS）全等定理，得到$\triangle ABD \cong \triangle ACE$。
2024/1/26
等腰三角形在建筑结构中的应用
许多古代建筑和现代建筑都采用了等腰三角形的结构形式，如埃及金字塔、古希 腊神庙等。这种结构形式能够提供很好的稳定性和承重能力。
稳定性原理
等腰三角形的两条等边和对应的两个等角使得其具有很好的平衡性和稳定性。在 建筑结构中，利用等腰三角形的这一特性，可以有效地分散荷载并减小结构的变 形。
利用对称轴求未知元素
在等腰三角形中，对称轴是底边的垂直平分线。因此，可以 通过对称轴来求出未知的顶点或边长。
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构造辅助线解决问题
2024/1/26
作底边的垂线
通过等腰三角形的顶点作底边的 垂线，可以将等腰三角形划分为 两个直角三角形，从而利用直角 三角形的性质来解决问题。
作底边的中线
通过等腰三角形的顶点作底边的 中线，可以得到一个与底边平行 且等于底边一半的线段，从而简 化问题。
非等腰三角形的性质
05
不具有等腰三角形三线合一的性质。
03
三个内角之和等于180°。
2024/1/26
06
非等腰三角形的判定：一个三角形若不满足等腰三角形的 判定条件，即为非等腰三角形。
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THANKS
等腰三角形(说课稿)
等腰三角形(说课稿)一、说教材本文是高中数学课程中关于几何图形——等腰三角形的专题讲解。
在几何学中，等腰三角形作为一种基本的图形，具有极其重要的地位。
它不仅是平面几何的基础知识，也是培养学生空间想象能力、逻辑推理能力的重要载体。
等腰三角形在课文中的作用主要体现在以下几个方面：1. 基础知识：等腰三角形是基本的几何图形，掌握其性质和判定方法对后续学习其他几何知识有重要影响。
2. 方法培养：通过学习等腰三角形，可以培养学生运用几何画板、尺规作图等工具解决实际问题的能力。
3. 能力提升：等腰三角形的相关问题可以锻炼学生的逻辑思维、空间想象和推理能力。
主要内容：1. 等腰三角形的定义及性质：两边相等的三角形称为等腰三角形，等腰三角形的底角相等，底边的中点到顶点的线段是高、中线和角平分线。
2. 等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，有两角相等的三角形是等腰三角形。
3. 等腰三角形的周长、面积计算：掌握等腰三角形的周长和面积公式，并能解决实际问题。
4. 等腰三角形的轴对称性：等腰三角形具有轴对称性，对称轴是底边的中垂线。
二、说教学目标学习本课，学生需要达到以下教学目标：1. 知识与技能：掌握等腰三角形的定义、性质、判定方法，能运用等腰三角形的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过几何画板、尺规作图等工具，培养学生的实际操作能力和空间想象能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对几何学的兴趣，提高学生的逻辑思维和推理能力。
三、说教学重难点1. 教学重点：等腰三角形的定义、性质、判定方法，以及等腰三角形的周长和面积计算。
2. 教学难点：等腰三角形的轴对称性及其在实际问题中的应用，运用等腰三角形的性质解决综合问题。
在教学中，要注意引导学生通过实际操作、观察、推理等过程，逐步突破这些难点。
四、说教法在教学等腰三角形这一部分时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高学生的学习兴趣，促进学生的主动参与和深入理解。
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习题课《构造基本图形——等腰三角形》
一、教学目标
知识与能力：
1．探究构造等腰三角形的方法，能通过作垂线和平行线来构造等腰三角形。
2．能灵活的运用等腰三角形的性质进行有关说理并解决具体的数学问题。
过程与方法：
1. 运用类比研究问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2．培养学生逻辑推理能力和创造性思维能力。
3．在自主探究中理解基本图形，收获探究方法，充分体现观察、实验、猜想、论证、应用的研究几何图形问题的全过程。
情感、态度、价值观：
1．认识到观察、实验、类比可以获得数学猜想，数学活动赋予探索、充满挑战。
2．引导学生面对困难时要积极对待，冷静思考，尽力寻求方法解决问题。
二、教学重点
学生探索构造等腰三角形。
三、教学难点
对构造的基本图形 ----- 等腰三角形方法的归纳。
四、教学手段
利用多媒体手段，直观演示图形。
五、教学过程
（一）导入新知
在轴对称一章里，我们接触了等腰三角形，如图等腰三角形△ ABC ，它有什么性质和判定方法？
等腰三角形：等边对等角，等角对等边及底边上的高线、中线、顶角的角平分线重合。
等腰三角形具有这么特殊的性质，提供了“边与边、角和角及边和角的关系”。
我们把等腰三角形看作是平面几何中的一个基本图形，在很多问题中，如果有等腰三角形，我们要把它能从复杂图形中找出来；如果问题中没有有时我们还需要想办法构造出来，本节课我们就来探究如何构造等腰三角形。
我们来看这样一个问题：（展示课件）（学生活动）
问题 1 ：利用圆规或三角板，在角上添加线构造等腰三角形
方法：有多种方法，分别把∠ O 作为底角和顶角来构造。
问题 2 ：利用角平分线的条件，过点 P 作一条线段构造等腰三角形
设计说明：这个环节由学生自己动手画图操作，发散学生思维，寻求多种方法解决问题，同时对每一种画法，说明理由。
在探索过程中，学生可能会给出多种构造方法，比如：
1 ．以顶点 O 为圆心， OP 长为半径作弧，交角的两边于点 A 、 B ，连结 AB ，则△ OAB 为等腰三角形。
2 ．以点 P 为圆心， OP 长为半径作弧，交角的一边于点 A ，连结 AP ，则△ OAP 为等腰三角形。
3 ．过 P 点分别向角的两边引垂线段，垂足点 A 、 B ，连结 AB ，则△ OAB 为等腰三角形。
对于作平行线的方法学生可能比较难考虑到，此时给出适当的引导：我们知道角平分线可得两角等，而等腰三角形也有两角等，那么我们能不能想个办法把角平分线得到的这对等角转移到一个三角形中呢？
（二）在封闭的三角形内研究基本图形的构造
刚才，我们利用角和角的平分线，过一点通过添加线来构造等腰三角形，我们探索了很多的方法，下面我们把这个角平分线的条件放到一个三角形里，看是否还存在我们所研究的基本图形——等腰三角形。
问题 3 ：在△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ， P 是 BD 上的一点，过点 P 添加一条线段能构造等腰三角形吗？
【设计意图】把角平分线放到一个封闭图形（三角形）中，进一步探究作平行线和垂线来构造等腰三角形的方法。
变形：利用多媒体几何画板的优势，改变点相对于三角形的位置关系，观察上面的结论是否发生变化。
变化过程：点在三角形内部点在三角形边上点在三角形外部。
画板演示变化过程：以作平行线为例。
问题 4 ：已知：在△ ABC 中， BD 、 CD 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ，请思考过点 D 添加线段能够造等腰三角形。
我们由刚才一条角平分线变成两条角平分线，还可以构造等腰三角形吗？
演示一：作平行线
就构造的基本图形提出应用：
图１：若已知ＡＢ＝４，ＡＣ＝５， BC=6 ，你能知道△AＥＦ的周长吗？
图２：若已知ＡＢ＝４，ＡＣ＝５， BC=6 ，求△ＤＥＦ的周长。
演示二：做垂线
【设计指导】引导、画图、讲解同步进行，师生共同研究。
【设计意图】对于下面的问题 5 和 6 ，教师引导学生自己提出问题。
为了更好的理解基本图形，即更好的体现新课程标准中提倡的课堂不要过满，课堂学习
可以有效延伸的课后学习，此两个题目作为思考题留到课下，由学生独立探究完成。
问题 5 ：已知在△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ， CD 平分外角∠ ACM ，请思考过点 D 添加线段构造等腰三角形。
改变角平分线的位置：从两内角平分线变为一内角和一外角平分线。
作平行线：（应用：线段 EF 、BE 、FC 有什么数量关系？答 EF=BE-FC ）
做垂线：
问题 6 ：已知：在△ ABC 中， BD 、 CD 分别平分外角∠ CBE 和∠ BCM ，请思考过点 D 如何添加线能构造等腰三角形？
【设计意图】改变角平分线的位置，由两内角角平分线变为两外角角平分线，通过对图形的变化，使学生更深刻的理解基本图形的构成。
（三）课堂小结
对比黑板上画出的各种构造等腰三角形的方法。
归纳构造方法：作平行线和垂线是利用角等来构造等腰三角形，而其它比如利用角平分线的性质到角两边距离相等或利用圆规画图的方法是直接利用边等来构造等腰三角形，今天我们主要研究利用角等来构造等腰三角形的方法。
从知识点和方法上，你有什么收获？
板书：基本图形的构成
（四）基本图形的应用
【例题】已知：△ ABC 中，∠ ABC=3 ∠ C ，∠ 1= ∠ 2 ，BE ⊥ AE 于 E 。
求证： AC-AB=2BE 。
【设计意图】此题目较前面的例题有一定的难度，要给学生充分讨论交流的时间，先引导学生寻找基本图形，再从要证明的结论入手，当学生遇到困难时，老师及时引导帮助。
分析：延长 BE 交 AC 于点 M ，利用做角平分线的垂线构造的基本图形，可得△ ABM 是等腰三角形，则 AB=AM 且 BE=EM ，所以 AC-AB=MC ， 2BE=BM ，要证 AC-AB=2BE ，只需证 MC= BM 即可，再利用已知和已得的角的关系推证即可。