如何构造等腰三角形

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如何构造一个等腰三角形

如何构造一个等腰三角形
在数学几何学中，等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

构造一个等腰三角形的方法有很多种，下面将介绍几种常用的构造方法。

方法一：使用直尺和画圆工具
1. 在纸上画一条基线，作为等腰三角形的底边。

2. 在基线的中点上方或下方用直尺画一条垂直线，作为等腰三角形的高。

3. 使用画圆工具，在基线的两个端点上分别画弧，使其与垂直线相交于同一点。

4. 连接两个交点和基线两端点，得到一个等腰三角形。

方法二：使用直尺和角分度器
1. 在纸上画一条基线，作为等腰三角形的底边。

2. 使用直尺连接基线两端点，找到底角的平分线。

3. 使用角分度器或者直尺和指南针，将底角平分线上的两点与基线两端点分别连接，得到等腰三角形的两条边和高。

方法三：使用直尺和指南针
1. 在纸上画一条基线，作为等腰三角形的底边。

2. 使用直尺连接基线两端点，确定底边的中点。

3. 调整指南针的间距为底边长度的一半，以底边中点为圆心，画出一个等腰三角形的顶点。

4. 连接顶点和基线两端点，得到一个等腰三角形。

无论选择哪种构造方法，都需要仔细测量边长和角度，保证构造出的三角形满足等腰性质。

总结：
构造一个等腰三角形的方法有多种，可以根据个人的偏好和使用的工具选择其中一种。

这些方法基于数学几何原理，通过使用直尺和画圆工具、角分度器或者指南针等工具，可以准确地构造出一个等腰三角形。

在构造过程中，需要注意准确测量边长和角度，以保证构造出的三角形符合等腰性质。

构造等腰三角形解题的五种途径

构造等腰三⾓形解题的五种途径2019-09-19等腰三⾓形是⼀类特殊的三⾓形，它的性质和判定在⼏何证明和计算中有着⼴泛的应⽤.有些⼏何图形中不存在等腰三⾓形，可根据已知条件和图形特征，通过添加适当的辅助线，巧妙构造等腰三⾓形，然后利⽤等腰三⾓形的性质使问题获解.⼀、利⽤⾓平分线+平⾏线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线，我们可以通过作平⾏线构造等腰三⾓形.如图1，AD是ABC的⾓平分线.①如图2，过点D作DE∥AC交AB于点E，则ADE是等腰三⾓形；②如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，则ABE是等腰三⾓形；③如图5，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC分别交AD、BC于点F、G，则AEF是等腰三⾓形；④如图4，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC，交AD的延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形；⑤如图6，过点C作CE∥AD交AB的反向延长线于点E，则ACE是等腰三⾓形；⑥如图7，点E是AC边上⼀点，过点E作EF∥AD，交AB的反向延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形.我们知道，等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合，简称“三线合⼀”.现在的问题是：如果三⾓形⼀边上的中线与它的对⾓的⾓平分线重合，那么这个三⾓形是否是等腰三⾓形呢？答案是肯定的，现在就来证明这个定理.例1 如图8，ABC中，中线AD平分∠BAC.求证：AB=AC.分析：AD既是AC的中线，同时⼜是ABC的⾓平分线.联想到与⾓平分线和中线有关的辅助线，可过点B（或点C）作AC（或AB）的平⾏线.证明：如图9，延长AD⾄点E，使DE=AD.BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，BDE≌CDA.BE=AC，∠E=∠CAD.⼜∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠E.AB=BE.AB=AC.说明：本例也可过点D作DEAB，DFAC，垂⾜分别为E、F，如图10所⽰，从⾯积⼊⼿证明.⼆、利⽤⾓平分线+垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线时，我们也可以通过作垂线的⽅法构造等腰三⾓形.如图11，点E是∠ABC的⾓平分线AD上的⼀点，过点E作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N，则AMN是等腰三⾓形.例2 如图12，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D， CEBD，交BD的延长线于点E.求证：CE=BD.分析：由⾓平分线和垂线可以构造以BC为腰、∠ABC为顶⾓的等腰三⾓形.证明：如图12，延长CE交AB的反向延长线于点F.BD平分∠ABC，CEBD，由⾓平分线的对称性知CE=EF=CF.∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，∠1=∠2.⼜AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，BAD≌CAF.BD=CF.CE=BD.三、利⽤中垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾼时，可以在⾼所在的边（或其延长线）上取⼀点，使⾼是该点与该边上三⾓形的⼀顶点组成的线段的中垂线，从⽽构造等腰三⾓形.如图13，AD是ABC的⾼.①如图14，在线段BC上取⼀点E使ED=DE，连结AE，则AEC是等腰三⾓形；②如图15，在线段BC的延长线上取⼀点E，使BD=DE连结AE，则ABE是等腰三⾓形.例3 如图16，在ABC中，ADBC于点D，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD.分析：由待证结论AB+BD=CD并结合已知条件“ADBC”，可构造以AB为腰、AD为底边上的⾼的等腰三⾓形.证明：在BC上取⼀点E，使BD=DE，连结AE，则ABE是等腰三⾓形.AB=AE，∠B=∠AED.⽽∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，∠C+∠CAE=2∠C.∠CAE=∠C.AE=CE.AB=CE.AB+BD=CE+DE=CD.四、利⽤平⾏线，构造等腰三⾓形过等腰三⾓形⼀腰上的点作底边或另⼀腰的平⾏线，都可以得到等腰三⾓形. 如图17，在ABC中，AB=AC.过线段AB上⼀点D 作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，则ADE和BDF都是等腰三⾓形.例4 如图18，ABC中，AB=AC，D是AB上⼀点，E是AC延长线上⼀点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.分析：由待证结论知点F是线段DE的中点，再结合已知条件“AB=AC”，可过点D作DM∥AC构造等腰三⾓形.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，则∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.AB=AC，∠B=∠ACB.∠B=∠DMB.BD=DM.⼜BD=CE，DM=CE.在DMF和ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，DMF≌ECF.DF=EF.说明：本例也可过点E作EN∥AB交BC的延长线于点N，证明过程留给同学们完成.五、转化倍⾓，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⼀个⾓是另⼀个⾓的2倍时，我们就可以通过转化倍⾓寻找到等腰三⾓形.如图19，ABC中，∠B=2∠C.①如图20，作BD平分∠ABC，则DBC是等腰三⾓形；②如图21，延长CB到点D，使BD=BA，连结AD，则ADC是等腰三⾓形；③如图22，以C为⾓的顶点，CA为⼀边，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三⾓形.例5 如图23，在ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求证：∠A=90°.分析：结合已知条件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分线BD交AC于点D，并取BC的中点E，连结DE，借助等腰三⾓形的“三线合⼀”和三⾓形全等证明.证明：作∠ABC的平分线BD交AC于点D，则∠DBE=∠C.BD=CD.取BC的中点E，连结DE，则BE=AB，且DEBC.在ABD和EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，ABD≌EBD.∠BED=∠A=90°.（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。

例析如何添加辅助线构造等腰三角形

解法探究２０２３年３月下半月㊀㊀㊀例析如何添加辅助线构造等腰三角形◉甘肃省平凉市崆峒区广成学校㊀周义武㊀㊀摘要:等腰三角形作为初中数学几何部分的重要知识点,不仅对解决几何问题具有重要作用,而且也是历年中考数学命题的热点,特别是如何添加辅助线构造等腰三角形,是对初中生数学思维能力的考查．基于此,本文在介绍等腰三角形性质的基础上,借助两道例题分析如何添加辅助线构造等腰三角形．关键词:等腰三角形;辅助线;构造;角平分线;倍角１引言等腰三角形的性质和判定是历年数学中考的必考点,然而学生在遇到几何题时难以发现或构造等腰三角形,继而无法利用其性质和判定解决问题[１]．基于这种情况,同时又考虑到构造等腰三角形是解决初中数学几何问题的重要方法,本文中就如何添加辅助线构造等腰三角形进行研究和分析,以供参考．２理论基础通过对那些需要构造等腰三角形才能解决的初中几何题进行分析后不难看出,添加辅助线构造等腰三角形的理论基础主要来自两个方面:首先,等腰三角形的性质．构造等腰三角形主要是构造出两条相等的边或两个相等的角,这是因为等腰三角形具有等边对等角的性质[２]．另外, 三线合一也是突破该类问题思维瓶颈的一个知识点．其次,等腰三角形的判定．要构造等腰三角形,需要根据等腰三角形的判定方法判断构造出的三角形是否为等腰三角形,只有这样才能进一步使用等腰三角形的性质解决问题．当然,在解决这类问题时,还需要结合其它几何知识．例如,证明或求解的过程中可能会利用全等三角形等,那么全等三角形等知识点也是添加辅助线的重要启发．３例题分析笔者结合相关研究内容以及一线教学经验,认为添加辅助线构造等腰三角形可从以下两个方面出发．３．１根据倍角关系作辅助线在几何题中,如果出现了倍角关系,那么极有可能需要构造出等腰三角形进行分析解答．因为等腰三角形具有等边对等角的性质,所以顶角的邻补角等于底角的两倍．如例题１．图１例１㊀如图１所示,在әA B C 中,øA B C ＝２øC ,A D 是øB AC 的平分线．求证:A C ＝A B ＋B D ．分析:本题已知条件中出现了倍角关系,抓住这一关系延长C B 构造出等腰三角形A B E ,然后利用三角形的外角性质和øA B C ＝２øC 得到øE ＝øC ,进而得到等腰三角形A E C ．最后,通过等腰三角形的性质实现了A B 与E B ,A E 与A C 的转换．当然也可延长A B 构造等腰三角形,借助全等三角形实现边的转换．所以,本题有两种不同的解题方法．证法一:如图２所示,延长C B ,使得B E ＝A B ,连接A E ．图２ȵB E ＝A B ,ʑøE ＝øE A B ．ʑøA B C ＝øE ＋øE A B ＝２øE ．又ȵøA B C ＝２øC ,ʑøE ＝øC ．ʑA E ＝A C ．ȵA D 平分øB A C ,ʑøB A D ＝øC A D ．ʑøE A D ＝øB A E ＋øB A D＝øC ＋øC A D ＝øB D A ．ʑE A ＝E D ．又E D ＝E B ＋B D ,E B ＝A B ,A C ＝A E ,ʑA C ＝A B ＋B D ．证法二:如图３所示,延长A B ,使得B M ＝B D ,连接MD ．６８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀图３ȵB M ＝B D ,ʑøM ＝øB DM ．ʑøA B C ＝øM ＋øB DM ＝２øM ．又ȵøA B C ＝２øC ,ʑøM ＝øC ．ȵA D 平分øB A C ,ʑøB A D ＝øC A D ．又A D ＝A D ,ʑәAMD ɸәA C D (A A S )．ʑA C ＝AM ＝A B ＋B M ＝A B ＋B D ．总结与反思:当一个三角形中出现了一个角是另一个角的两倍时,往往可以借助构造等腰三角形转化倍角关系．３．２延长边利用三线合一作辅助线三线合一作为等腰三角形的重要性质,在解题时大有用处,在作辅助线构造等腰三角形时亦是如此．如例题２．图４例２㊀如图４所示,在әA B C中,A B ＝A C ,øB A C ＝９０ʎ,B D 平分øA B C ,C D ʅB D ,B D 与A C 相交于点F ．求证:B F ＝２C D ．分析:本题中的已知条件比较多,分析后发现在不作辅助线的情况下解出此题非常困难．所以,可根据 B D 平分øA B C 延长B A ,C D ,结合三线合一得到等腰三角形．最后,借助三角形全等实现边的转换,达到求证目的．图５证明:延长B A ,C D 交于点E ,如图５所示．ȵB D 平分øA B C ,C D ʅB D ,ʑB C ＝B E ,C D ＝E D ．ʑC E ＝２C D ．ȵøB A C ＝９０ʎ,øB F A ＝øC F D ,ʑøA B F ＝øA C E ．又ȵA B ＝A C ,ʑәA B F ɸәA C E (A S A )．ʑB F ＝C E ．ʑB F ＝２C D ．总结与反思:如果遇到了与角平分线垂直的线段,那么将这条线段延长与角的另一边相交就可以构造出等腰三角形．值得一提的是,这种方法通常会运用全等三角形,一是为了实现边的转换,二是与三线合一搭配使用．４要点说明很多初中几何问题解题时都需要作出相应的辅助线,而有技巧地作出所需的辅助线,是高效㊁巧妙解决数学问题的前提．本文中通过两道例题介绍了两种利用辅助线构造等腰三角形的方法,也是平时训练中常见的方法．在使用这两种方法构造等腰三角形时,需注意以下几个要点:首先,注重化归思想的培养和利用．在本文两道例题中,均使用了化归思想．由此可见,这类问题对化归思想的依赖程度非常高,对尚未有化归思想或不会运用化归思想的学生形成了巨大考验．因此,教师在日常教学过程中,要注重学生化归思想的培养[３]．笔者认为,教师可从边转化㊁角度转化方面开始简单的训练,在充分理解三线合一角平分线垂直平分线内容的前提下发挥其作用,为作辅助线构造等腰三角形奠定丰富的理论基础．其次,注重发散思维的培养．在例１中,采用了两种不同的方法,且两种方法之间存在一定联系．对于әA B D 而言,可以延长的边有三条,但是分析后发现有利于解题的线段延长共有两种情况,即延长D B 或A B ．如此一来,就形成了两种不同的解题方法．那么如何由延长D B 联想到延长A B ,这就是学生发散思维的体现．笔者建议,教师在教学过程中,引导学生延长某一线段时,可从延长方向上激发学生的思维．５结语总之,利用作辅助线的方法构造出等腰三角形是解决几何类问题常用的方法[４]．无论是学生平时训练,还是教师日常教学,可以将该内容形成专题,进行更充分的探讨与学习．这对教师的深入研究和学生的深入学习都非常有意义．参考文献:[１]陈霄剑．学生为什么这么快就知道添加辅助线由等腰三角形性质定理证明的教学片断而引发的思考[J ]．中小学数学(初中版),２０１４(１０):５１Ｇ５２．[２]王键．深入等腰三角形,探究辅助线添加对等腰三角形辅助线添加技巧的探讨[J ]．数学教学通讯,２０２０(２９):７０Ｇ７１,８０．[３]胡宁．纵有千条妙计必有一定之规构造等腰直角三角形解题例谈[J ]．学生之友(中考月刊),２０１２(Z １):７Ｇ８．[４]张文国．例说等腰三角形的辅助线的几种作法[J ]．科教导刊:电子版,２０１８(１７):１．Z７８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

小专题构造等腰三角形的常用技巧人教版八年级数学上册作业课件PPT

小专题(五) 构造等腰三角形的常用技巧
技巧一：作平行线构造等腰三角形【模型构建】 ①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形．若∠1＝∠2，AC∥ OB，则△OAC 为等腰三角形．
②作腰的平行线构造等腰三角形．若 AB＝AC，DE∥AC形．若 AB＝AC，DE∥BC，则△ADE 为等腰三角形．
小专题(5) 构造等腰三角形的常用技巧-2020秋人教版八年级数学上册作业课件(共20 张PPT)
小专题(5) 构造等腰三角形的常用技巧-2020秋人教版八年级数学上册作业课件(共20 张PPT)
5．如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 为 AB 上一点，AD，CE 交于点 F，且 AE＝EF，求证：AB＝CF.
证明：在边 AC 上截取 AP＝AB，连接 PD. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠PAD. ∴△ABD≌△APD(SAS)． ∴∠APD＝∠B，PD＝BD. ∵∠B＝2∠C，∠APD＝∠PDC＋∠C， ∴∠PDC＝∠C. ∴PD＝PC.∴BD＝PC. ∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC.
小专题(5) 构造等腰三角形的常用技巧-2020秋人教版八年级数学上册作业课件(共20 张PPT)
小专题(5) 构造等腰三角形的常用技巧-2020秋人教版八年级数学上册作业课件(共20 张PPT)
1．如图，AE，BC 交于点 D，且 AB＝CE，∠B＋∠DCE＝180°，求证：AD＝DE.
小专题(5) 构造等腰三角形的常用技巧-2020秋人教版八年级数学上册作业课件(共20 张PPT)
∴∠G＝∠EAF. ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA＝∠GFC. ∴∠G＝∠GFC，∴CG＝CF.∴AB＝CF. 方法二：延长 AD 至 M，使 DM＝DF，连接 BM，同理可证 CF＝BM＝AB. 方法三：作 BM⊥AD 于 M，CN⊥AD 于 N，先证△BMD≌△CND，BM＝CN，再证△ABM≌△FCN 即可．

关于等腰三角形构造技巧的探究

关于等腰三角形构造技巧的探究
胡燕;张恩荣
【期刊名称】《数学教学通讯》
【年(卷),期】2024()11
【摘要】通过构造等腰三角形来解题在中考中经常遇到.而等腰三角形的构造技巧有很多,常见的三种包括“平行线+角平分线”构造、过腰或底作平行线构造、倍角关系构造.文章开展引例探究,并结合实例探究等腰三角形的三大构造技巧,还提出几点教学建议.
【总页数】3页(P80-82)
【作者】胡燕;张恩荣
【作者单位】甘肃省古浪县西靖阳光初级中学;甘肃省古浪县城关第一小学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.走进等腰三角形,探讨存在性问题--等腰三角形存在性问题的策略探究与反思
2.走进等腰三角形,探讨存在性问题——等腰三角形存在性问题的策略探究与反思
3.深入等腰三角形,探究辅助线添加——对等腰三角形辅助线添加技巧的探讨
4.基于“问题情境活动”下的“问题链式”课堂教学设计与反思——以八年级“利用角平分线和垂线构造等腰三角形”一课为例
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等腰三角形面积最大值

等腰三角形面积最大值以等腰三角形面积最大值为题，我们来探讨一下如何构造一个面积最大的等腰三角形。

我们需要了解等腰三角形的性质。

等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

根据等腰三角形的性质，我们知道等腰三角形的底角和顶角是相等的，而底边上的中线也是等腰三角形的高。

现在，我们来考虑如何构造一个面积最大的等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，我们可以知道，等腰三角形的面积等于底边乘以高再除以2。

要使面积最大，我们需要尽量增大底边和高。

我们来考虑底边的长度。

假设底边的长度为x，那么根据等腰三角形的性质，两个等边的边长也为x。

由于我们要尽量增大底边和高，我们可以假设底边的长度为无穷大。

这样一来，等边的边长也会趋近无穷大。

但是，在实际情况中，我们无法构造出无穷大长度的线段，所以我们需要在实际范围内选择一个较大的底边长度。

接下来，我们来考虑高的长度。

由于底边长度已经确定，我们可以通过调整顶角的大小来改变高的长度。

根据三角函数的性质，我们知道正弦函数的取值范围在-1到1之间。

所以，我们可以通过改变顶角的大小，使得正弦函数的值尽量接近1，从而使得高的长度尽量大。

要构造一个面积最大的等腰三角形，我们需要选择一个较大的底边长度，并通过调整顶角的大小使得高的长度尽量大。

当底边长度趋近无穷大时，等腰三角形的面积也会趋近无穷大。

在实际应用中，等腰三角形的面积最大值有着重要的意义。

例如，在建筑设计中，我们希望减少材料的使用量，同时又要满足结构的稳定性和美观性。

此时，我们可以考虑采用等腰三角形的结构，以达到最大化利用材料的效果。

等腰三角形面积的最大值取决于底边的长度和顶角的大小。

通过选择较大的底边长度和调整顶角的大小，我们可以构造出一个面积最大的等腰三角形。

这对于解决一些实际问题具有重要的意义。

解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线压轴题三种模型全攻略(解析版)

解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】1如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，过D 作直线DE 交直线AB 与E ，过D 作直线DF ⊥DE ，并交直线AC 与F ．(1)若E点在线段AB 上(非端点)，则线段DE 与DF 的数量关系是；(2)若E 点在线段AB 的延长线上，请你作图(用黑色水笔)，此时线段DE 与DF 的数量关系是，请说明理由．【答案】(1)DE =DF(2)图见解析，DE =DF ，理由见解析【分析】(1)连接AD ，先根据等腰直角三角形的性质可得AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°，AD ⊥BC ，再根据垂直的定义、等量代换可得∠BDE =∠ADF ，然后根据三角形全等的判定证出△BDE ≅△ADF ，根据全等三角形的性质即可得出结论；(2)分①当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，②当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时两种情况，参考(1)的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．【详解】(1)解：如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°,AD ⊥BC ，∴∠BDE +∠ADE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠ADF+∠ADE =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠B =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ，故答案为：DE =DF ．(2)解：DE =DF ，理由如下：①如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD ,∠ABD =∠DAC =45°,AD ⊥BC ，∴∠DBE =∠DAF =135°,∠ADF +∠BDF =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠BDE +∠BDF =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠DBE =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ；②如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =CD ,∠ACD =∠DAB =45°,AD ⊥BC ，∴∠DCF =∠DAE =135°,∠ADE +∠CDE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠CDF +∠CDE =90°，∴∠ADE =∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，∠DAE =∠DCFAD =CD ∠ADE =∠CDF，∴△ADE ≅△CDF ASA ，∴DE =DF ；综上，线段DE 与DF 的数量关系是DE =DF ，故答案为：DE =DF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =a ，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF ⊥DE 交BC 于点F ．求证：CE +CF为定值．【答案】证明见解析【分析】连接CD ，证明△CDE ≌△BDF ，得CE =BF ，进一步证明CE +CF =BC =AC =a ，从而得到结论．【详解】证明：连接CD ，如图，∵△ABC 是等腰直角三角形，且D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，CD 平分∠ACB ，AD =BD =CD∴∠DCA =∠DCB =∠DBC =45°又DE ⊥DF∴∠EDC +∠FDC =90°而∠FDC +∠FDB =90°∴∠EDC =∠FDB在△CDE 和△BDF 中，∠DCE =∠DBFCD =CD∠EDC =∠BDF∴△CDE ≌△BDF∴CE =BF∵BC =AC =a ∴CE +CF =BE +CF =BC =AC =a ，故：CE +CF 为定值．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE =BF 是解答此题的关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边AC ,BC 上，连接PD ,PE ，若PD ⊥PE．(1)求证：PD =PE ；(2)若点D ，E 分别在边AC ,CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证明；(3)在(1)或(2)的条件下，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB 的度数(不用说理)；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°【分析】(1)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠DCP =45°=∠B ，从而得到CP =BP ，再由PD ⊥PE ，可得∠DPC =∠EPB ，可证得△DPC ≌△EPB ，即可求证；(2)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，从而得到CP =AP ，再由∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，可得∠APD =∠CPE ，可证得△APD ≌△CPE ，即可；(3)根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】(1)明∶连接PC，∵∠ACB =90°,AC =BC ，∴∠A =∠B =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠DCP =45°=∠B ，∴CP =BP ，∵PD ⊥PE ，∴∠DPC +∠CPE =∠CPE +∠EPB =90°，∴∠DPC =∠EPB ，在△DPC 和△EPB 中，∠DCP =∠BPC =PB ∠DPC =∠EPB，∴△DPC ≌△EPB ASA ，∴PD =PE ；(2)解：PD =PE 仍成立，理由如下：连接CP，∵∠C =90°,AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，∴CP =AP ，又∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，∴∠DPE =∠CPA =90°，∴∠DPE +∠CPD =∠CPA +∠CPD ，∴∠APD =∠CPE ，在△APD 和△CPE 中，∠PAD =∠PCEPC =PA ∠APD =∠CPE，∴△APD ≌△CPE ASA ，∴PD =PE ；(3)解：△PBE 能成为等腰三角形，①当BE =BP ，点E 在CB 的延长线上时，则∠E =∠BPE ，又∵∠E +∠BPE =∠ABC =45°，∴∠PEB =22.5°；②当BE =BP ，点E 在CB 上时，则∠PEB =∠BPE =12180°-45° =67.5°；③当EP =EB 时，则∠B =∠BPE =45°，∴∠PEB =180°-∠B -∠BPE =90°；④当EP =PB ，点E 和C 重合，∴∠PEB =∠B =45°；综上所述，△PBE 能成为等腰三角形，∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点．(1)若∠EOF=90°，两边分别交AC,BC于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF；②如图2，当点E，F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF，若OE=6，则S△EOF=．(2)如图3，若∠EOF=45°，两边分别交边AC于E，交BC的延长线于F，连接EF，若CF=3,EF=5，试求AE的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】(1)①由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE=OF；②由“ASA”可证△COE≌△BOF，可得OE=OF=6，即可求解；(2)由“ASA”可证△COF≌△AOH，可得CF=AH=3，OF=OH，由“SAS”可证△EOF≌△EOH.，可得EF=EH=5，即可求解．【详解】(1)①证明：如图1，连接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠=∠B=45°.∵点O为AB的中点，∴∠AOC=∠EOF=90°，∴△AOC和△BOC是等腰直角三角形，∴AO=CO=BO，∴∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF；②解：如图2，连接OC，同理可证：AO=CO=BO，∠ABC=∠ACO=45°，∴∠OCE=∠OBF=135°，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠COE=∠BOF，∴△COE≌△BOF(ASA)，∴OE=OF=6，×OE⋅OF=18，∴SΔEOF=12故答案为：18；(2)解：如图3，连接CO，过点O作HO⊥FO，交CA的延长线于点H，∵AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴AO=CO=B0,∠AOC=∠FOH=90°,∠BAC=∠BCO=45°，∴.∠COF=∠AOH,∠OCF=∠OAH=135°，∴△COF≌△AOH(ASA)，∴CF=AH=3,OF=OH，∵∠EOF=45°,∠FOH=90°，∴∠EOF=∠EOH=45°，又∵OF=OH,EO=EO，∴△EOF≌△EOH(SAS)，∴EF=EH=5，∴.AE=EH-AH=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】1如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM=2，求CD-BD的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)过A作AH⊥BC于点H，根据三线合一可得：BH=CH，DH=EH，即可证明；(2)过A作AH⊥BC于点H，易证△AHD≌△CMD，可得MD=DH，即可求解．【详解】(1)证明：如图过A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AE，∴DH=EH，∴BD=CE；(2)解：过A作AH⊥BC于点H，在△AHD 和△CMD 中，∠CDM =∠ADH∠CMD =∠AHD =90°CD =AD∴△AHD ≌△CMD AAS ，∴DH =MD ，∴CD -BD =CH +DH -BH -DH =2DH =2MD =4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1如图，△ADB 与△BCA 均为等腰三角形，AD =AB =CB ，且∠ABC =90°，E 为DB 延长线上一点，∠DAB =2∠EAC．(1)若∠EAC =20°，求∠CBE 的度数；(2)求证：AE ⊥EC ；(3)若BE =a ，AE =b ，CE =c ，求△ABC 的面积(用含a ，b ，c 的式子表示)．【答案】(1)20°(2)见解析(3)12a 2+12bc 【分析】(1)先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出∠D =∠DBA =70°，即可由∠CBE =180°-∠DBA -∠ABC 求解；(2)过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，证明△BAF ≌△CBG AAS ，得出AF =BG ，BF =CG ，进而求得∠AEF =∠ACB =45°，∠CEG =∠AEF =45°，即可得出∠AEC =90°，从而得出结论；(3)由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，从而有CG =BF =EF -BE =AF -BE ，再根据S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，则有S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG =12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC ，即可求解．【详解】(1)解：∵∠EAC =20°，∠DAB =2∠EAC ，∴∠BAD =40°，∵AD =AB ，∴∠D =∠DBA =12180°-∠BAD =12180°-40° =70°，又∵∠ABC =90°，∴∠CBE =180°-70°-90°=20°．(2)证明：过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，∴∠AFB =∠ABC =∠CGB =90°，又∵AD =AB =CB ，∴∠BAC =∠ACB =45°，∠FAB =12∠DAB =∠CAE ，∵∠FAB +∠FBA =∠FBA +∠CBG =90°，∴∠FAB =∠CBG =∠CAE ，∴在△BAF 和△CBG 中，∠BAF =∠CBG∠AFB =∠CGB AB =BC，∴△BAF ≌△CBG AAS ，∴AF =BG ，BF =CG ，∵∠CBG =∠CAE ，设AE 、BC 交于点O ，则∠AEF =180°-∠CBG -∠BOE∠ACB =180°-∠CAE -∠AOC又∠BOE =∠AOC ，∴∠AEF =∠ACB =45°，∴AF =EF =BG ，BF =CG ，∴BF =EG =CG ，∴∠CEG =∠AEF =45°，∴∠AEC =90°，∴AE ⊥EC ．(3)解：由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，∴CG =BF =EF -BE =AF -BE ，∵S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，∴S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG ．=12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC =12a 2+12bc ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．2已知OP 平分∠MON ，如图1所示，点B 在射线OP 上，过点B 作BA ⊥OM 于点A ，在射线ON 上取一点C ，使得BC =BO ．(1)若线段OA =3cm ，求线段OC 的长；(2)如图2，点D 是线段OA 上一点，作∠DBE ，使得∠DBE =∠ABO ，∠DBE 的另一边交ON 于点E ，连接DE ．①∠OBC =2∠DBE 是否成立，请说明理由；②请判断三条线段CE ，OD ，DE 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)6cm(2)①∠OBC =2∠DBE 成立，理由见解析；②CE =OD +DE ，理由见解析【分析】(1)如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到OC=2OH，由角平分线的定义得到∠BOA=∠BOH，进一步证明△BAO≌△BHO，得到OH=OA=3cm，则OC=2OH=6cm；(2)①如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，则∠OBH=∠OBA，由∠DBE=∠ABO，即可推出∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，先证明∠BOD=∠BCQ，进而证明△BOD≌△BCQ，得到BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，进一步证明∠EBQ=∠EBD，从而证明△EBD≌△EBQ，得到DE=QE，由CE=CQ+QE可证明CE=OD+DE．【详解】(1)解：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴OH=CH，即OC=2OH，∵OP平分∠MON，∴∠BOA=∠BOH，∵BA⊥OM，BH⊥OC，∴∠BAO=∠BHO=90°，又∵OB=OB，∴△BAO≌△BHO AAS，∴OH=OA=3cm，∴OC=2OH=6cm(2)解：①∠OBC=2∠DBE成立，理由如下：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴∠OBH=∠CBH，即∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，∴∠OBH=∠OBA，∵∠DBE=∠ABO，∴∠DBE=∠OBH，∴∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②CE=OD+DE，理由如下：如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，∵OB=BC，∴∠BOC=∠BCO，∵△BAO≌△BHO，∴∠BOA=∠BOH，∴∠BOD=∠BCQ，∴△BOD≌△BCQ SAS，∴BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，∠OBC，∵∠DBE=12∠OBC，∴∠OBD+∠ODE=12∴∠CBQ+∠ODE=1∠OBC，∴∠EBQ =12∠OBC ，∴∠EBQ =∠EBD ，又∵EB =EB ，∴△EBD ≌△EBQ SAS ，∴DE =QE ，∵CE =CQ +QE ，∴CE =OD +DE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】1如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 的中点，过点E 作FG ⊥AD 交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF =AG ；(2)BF =CG ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据ASA 证明△AHF ≌△AHG ，即可得出AF =AG ；(2)过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，由△AHF ≌△AHG 可得∠AFH =∠G ，根据平行线的性质得出∠CMG =∠AFH ，可得∠CMG =∠G ，进而得出CM =CG ，再根据据ASA 证明△BEF ≌△CEM ，得出BF =CM ，等量代换即可得到BF =CG ．【详解】(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAH =∠GAH ，∵FG ⊥AH ，∴∠AHF =∠AHG =90°，在△AHF 和△AHG 中，∠FAH =∠GAHAH =AH ∠AHF =∠AHG，∴△AHF ≌△AHG ASA，∴AF =AG ；(2)证明：过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，∵△AHF ≌△AHG ，∴∠AFH =∠G ，∵CM ∥AB ，∴∠CMG =∠AFH ，∴∠CMG =∠G ，∴CM =CG ，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE ，∵CM ∥AB ，∴∠B =∠ECM ，在△BEF 和△CEM 中，∠B =∠ECMBE =CE ∠BEF =∠CEM，∴△BEF ≌△CEM ASA ，∴BF =CM ，∴BF =CG ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1如图所示，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ，若BD =1，BC =3，求：线段AC的长．【答案】5【分析】延长BD 交AC 于点E ，由题意可推出BE =AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC =CE ，AE =BE =2BD ，根据BD =1，BC =3，即可求出AC 的长度．【详解】解∶延长BD 交AC 于点E ，∵∠A =∠ABD ，∴BE =AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∴∠BDC =∠EDC =90°，∴∠BCD +∠EBC =∠ECD +∠BEC =90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD =∠ECD ，∴∠EBC =∠BEC ，∴BC =CE，∵BE ⊥CD ，∴BE =2BD ，∵BD =1，BC =3，∴BE =2，CE =3，∴AE =BE =2，∴AC =AE +EC =2+3=5．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．2如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；(用含a 、b 的式子表示)(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3(2)a -b(3)14【分析】(1)利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得出AE =AC =5，再利用BE =AB -AE 即可求得答案；(2)利用SAS 证明△AED ≌△ACD ，得出∠AED =∠C ，ED =CD ，由题意可得出BE =AB -AE =a -b ，再利用等角对等边证得DE =BE ，即可得出答案；(3)延长AC 、BG 交于H ，先证明△ABG ≌△AHG ，得出：BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，利用等底等高的两个三角形面积相等可得S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，即可得出答案．【详解】(1)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAF =∠CAF ，∵CE ⊥AD ，∴∠AFE =∠AFC =90°，在△AEF 和△ACF 中，∠EAF =∠CAFAF =AF ∠AFE =∠AFC，∴△AEF ≌△ACF ASA ∴AE =AC =5，∵AB =8，∴BE =AB -AE =8-5=3；故答案为：3．(2)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠CAD ，在△AED 和△ACD 中，AE =AC∠EAD =∠CAD AD =AD，∴△AED ≌△ACD SAS ，∴∠AED =∠C ，ED =CD ，∵AE =AC ，AB =a ，AC =b ，∴BE =AB -AE =a -b ，在△BDE 中，∠AED =∠B +∠BDE ，∴∠C =∠B +∠BDE ，∵∠C =2∠B ，∴∠B =∠BDE ，∴DE =BE =a -b ，∴CD =a -b ；(3)解：如图，延长AC 、BG 交于H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAG =∠HAG ，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB =∠AGH =90°，在△ABG 和△AHG 中，∠BAG =∠HAGAG =AG ∠AGB =∠AGH，∴△ABG ≌△AHG ASA ,∴BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，∴S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，∵S △ACG =7，∴S △AGH =S △ACG +S △CGH =7+x ，∴S △ABG =S △AHG =7+x ，∴S △ABH =27+x =14+2x ，∴S △ABC =S △ABH -S △CBG +S △CGH =14+2x -x +x =14．【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 是BC 边上的一个动点，连接AD 并延长，过点B 作BF ⊥AD 交AD 延长线于点F．(1)如图1，若AD 平分∠BAC ，AD =6，求BF 的值；(2)如图2，M 是FB 延长线上一点，连接AM ，当AD 平分∠MAC 时，试探究AC 、CD 、AM 之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接CF ，①求证：∠AFC =45°；②S △BCF =354，S △ACF =21，求AF 的值．【答案】(1)3(2)AC +CD =AM ，理由见解析(3)①证明见解析；②12【分析】(1)如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．证明△ADC ≌△BEC ASA ，得到BE =AD =6，再证明△ABF ≌△AEF ，即可得到BF =EF =12BE =3；(2)如图，分别延长BF ，AC 交于点E ，由(1)可得△ACD ≌△BCE ，得CD =CE ，再证△AFM ≌△AFE 得到AM =AE ，由此可得结论；(3)如图所示，在AD 上截取AH =BF ，证明△ACH ≌△BCF ，得到CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，进一步证明∠HCF =90°，则∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，则△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，可得GH =GF =GC ，由全等三角形的性质得到S △ACH =S △BCF =354则S △CHF =S △ACF -S △ACH =494，据此求出HF =7，则CG =3.5，进一步求出AH =5则AF =AH +HF =12．【详解】(1)解：如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠ACB=90°，又∵∠ADC =∠BDF ，∴∠DAC =∠EBC ．在△ADC 和△BEC 中，∠DAC =∠EBCAC =BC∠ACD =∠BCE =90°∴△ADC ≌△BEC ASA ．∴BE =AD =6；∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠AFE =90°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAF =∠EAF ．在△ABF 和△AEF 中，∠BAF =∠EAFAF =AF∠AFB =∠AFE∴△ABF ≌△AEF ASA ．∴BF =EF =12BE =3；(2)解：AC +CD =AM ，理由如下：如图所示，延长MF ，AC 交于点E ．由(1)可得，△ADC ≌△BCE ，∴CD =CE ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFM =∠AFE =90°，∵AF 平分∠MAE ，∴∠MAF =∠EAF ．在△AMF 和△AEF 中，∠MAF =∠EAFAF =AF∠AFM =∠AFE∴△AFM ≌△AFE ASA ．∴AM =AE ．∵AE =AC +CE =AC +CD ．∴AC +CD =AM ．(3)解：①如图所示，在AD 上截取AH =BF ，在△ACH 和△BCF 中，AH =BF∠CAH =∠CBF AC =BC，∴△ACH ≌△BCF SAS ，∴CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，∵∠ACH +∠BCH =90°，∴∠BCF +∠BCH =90°，即∠HCF =90°，∴∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，∴∠GCH =GCF =45°，∴△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，∴GH =GF =GC ，∵△ACH ≌△BCF ，∴S △ACH =S △BCF =354∴S △CHF=S △ACF -S △ACH =494，∴12HF ⋅CG =494，即12HF ⋅12HF =494，∴HF =7，∴CG=3.5，∴1 2AH×3.5=354，∴AH=5，∴AF=AH+HF=12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4(2022春·河北石家庄·八年级校考期中)(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC= BC(即点C为AB的中点)．(2)【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE=．(3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ACB的角平分线CD；②过点A作AD⊥CD于D．已知BC=13，AC=10，△ABC面积为20，则划出的△ACD的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26°(3)BE=12CD，证明见解析(4)△ACD的面积是10013【分析】(1)证△AOC≌△BOC(ASA)，得AO=BO，AC=BC即可；(2)延长AE交BC于点F，由问题情境可知，AC=FC，再由等腰三角形的性质得∠EFC=∠EAC=63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论；(3)拓展延伸延长BE、CA交于点F，证△ABF≌△ACD(ASA)，得BF=CD，再由问题情境可知，BE=FE =12BF ，即可得出结论；(4)实际应用延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，则S △ACD =S △ECD ，再由三角形面积关系得S △ACE =1013S △ABC =20013，即可得出结论．【详解】(1)解：∵OP 平分∠MON ，∴∠AOC =∠BOC ，∵AC ⊥OP ，∴∠ACO =∠BCO ，∵OC =OC ，∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴AO =BO ，AC =BC ，故答案为：ASA ；(2)解：如图2，延长AE 交BC 于点F ，由可知，AC =FC ，∴∠EFC =∠EAC =63°，∵∠EFC =∠B +∠DAE ，∴∠DAE =∠EFC -∠B =63°-37°=26°，故答案为：26°；(3)解：BE =12CD ，证明如下：如图3，延长BE 、CA 交于点F ，则∠BAF =180°-∠BAC =90°，∵BE ⊥CD ，∴∠BED =90°=∠BAC ，∵∠BDC =∠ABF +∠BED =∠ACD +∠BAC ，∴∠ABF =∠ACD ，又∵AB =AC ，∴△ABF ≌△ACD (ASA )，∴BF =CD ，由问题情境可知，BE =FE =12BF ，∴BE =12CD ；(4)解：如图4，延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，∴S △ACD =S △ECD ，∵S △ABC =20，∴S △ACE =1013S △ABC =20013，∴S △ACD =12S △ACE =10013，答：△ACD 的面积是10013．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．。

人教版八年级数学上等腰等边三角形及其性质

第1讲等腰三角形（一）1．等边△ABC 中，D 为AC 的中点，CE ＝CD .求证：BD ＝DE .2．如图，AC ＝AD ，BC ＝BE ，∠DCE ＝045，求证：AC ⊥BC .3．如图，已知AC ＝CD , EF ＝DF ，AF ＝AG ，求∠A.一、全等中的几何画图（一）动态画图，周密思考4．如图，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，过G 点任画直线l ，过A 点、B 点分别作l 的垂线AE 、BF ，垂足为E 、F ，试画图探究AE 、BF 与EF 的大小关系.5．如图，1l ∥2l ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，过C 点任画直线交1l 、2l 于E 、F ，试探究AE 、BF 、AB 三线段的数量关系，并证明．6．在ABC中，AD，CE为高，两条高所在的直线相交于H点，若CH＝AB，求∠ACB的大小.（二）动态画图，由此及彼7．如图∠B＝2∠C，AD为∠A的平分线交BC于D点(1) 求证：AB＋BD＝AC(2) 如图，若AD为∠A的外角平分线，问上结论是否成立，画图证明45．8．如图AC＝BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，∠MON＝0(1) 求证CN＋MN＝AM(2) 若点M在AC上，点N在BC的延长线上，上结论是否成立，画图证明9．已知Rt △ABC ，∠A ＝090，AB ＝AC ，过点B 的直线BF 交直线AC 于D ，CE ⊥BE 于E(1) 当BE 平分∠ABC ，求证：AB ＋AD ＝BC ;(2) BE 转到△ABC 外，平分∠ABC 的一个外角，请画出图形，上述结果是否还成立，若成立请说明理由．（一）直角三角形全等问题10．如图，等腰△ABC ，∠ACB ＝090，D 为CB 延长线上一点，AF ＝AD ，且AE ⊥AD ，BE 交AC 的延长线于点P ．(1) 求证：BP ＝PE ;(2) 若32 BC BD ，求PCAC 的值.（二）延长、截取法运用11．已知：CA ＝CB ，AD 平分∠CAB ，且AB ＝AC ＋CD ，求证：AC ⊥BC12.如图在平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，E 点与A 点关于x 轴对称，B 点与F 点关于y 轴对称，∠GEP ＝045，交直线AB 于G 点，交直线AF 于P 点，求证：EG 平分 ∠PGB .13.如图1，点A 、B 分别为x 轴、y 轴正半轴上一点，P 为第二象限一点，P A ⊥PB ，P A 交y 轴于点C ，且C 为P A 的中点．(1) 求证：∠PBO ＝∠P AO ;(2) 已知A (a ，0)、C (0，b )，若()02322=-+-b a ，求P 点的坐标； (3) 如图2，若P A ＝PB ，求BCOC 的值.第2讲等腰三角形(二)1．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．2．等腰三角形的判定：(1)等腰三角形定义；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）基础回顾例1 如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于M .(1) 求证：∠BME ＝21(∠ACB －∠B )； (2) 若EM 平分AD ，求证：∠CAM ＝∠B .分析：(1)由AD 平分∠BAC ，设∠1＝∠2＝α，根据内角和定理及外角与内角关系定理，建立∠BME 、∠B 、∠ACB 与α之间的关系式，消去参数α“即得；(2)由EM 垂直平分AD ，得MA ＝MD ，∠MAD ＝∠MDA ，于是∠2＋∠CAM ＝∠1＋∠B ，得证．证明：点评：(1)问是“设参法”，先建立含有“参数”和相关量的关系式，再消去参数，便得所求证的关系式(2)问则是运用“等边对等角”的性质证明角相等，这种方法是证明角相等的又一方法，例2等腰△ABC 中，过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，求三内角的度数.分析：按直角、锐角、钝角三角形来分类讨论.解：点评：(1) 当面对的问题情形较多时，应注意分类讨论；(2) 当难以直接计算求角时，可考虑通过建立方程求解.1．若等腰三角形一腰上的高，等于腰长的一半，求这个等腰三角形的顶角.2．如图，过△ABC的顶点A，作直线AE与∠B的内角平分线BE垂直相交于E点，且与∠C的内角平分线交于P点．(1) 直接回答：当∠B与∠C满足什么条件时，点P在△ABC内，在△ABC外，在△ABC 的边上？(2) 若P在△ABC内，过P作PQ∥BC交AB、AC于Q、R．求证：QR＝AQ＋CR例3如图，△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC中点，AD平分∠BAC，MF∥AD 交AC于F．求FC的长.分析：“角平分线＋平行线”易构造等腰三角形，对于中点的条件，类比“倍长中线”的方法，移动CF，构造等腰三角形，寻找CF、AB、AC之间的关系。

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以Ｅ＝ＡＰ所以ＡＥ＝Ａ
所
１０１６２１２／
亨罄数字公开稀警Ｉ
特殊四边形的性质与判定
０江西宜黄神岗中学徐小芬
Ｃ
ｆｆ厂形正方］Ｕ
图１
甚（）懿１可利用 “Ａ ” 明；ＳＳ证
（）１可判断／Ｂ，ＤＢ，２由（）Ｄ／Ｃ且Ａ＝Ｃ
Ｄ／Ｂ．Ｆ／Ｅ
（）证：１求 △Ａ肋ＡＣＢＥ．
Ｃ所以 △ＡＦ △ＣＢ（ｈＳ．Ｅ．ＤＥＳ）
（２）因为 △ＡＦＤＡＣＥＢ，以所
（）２四边形ＡＤＣ是平行四边形吗？请说明理由．
ＡＣ乙Ｄ：ＢＥＤ＝ＢＡＦＣ．甄、Ｄ／ ’ 土Ａ／
边的平行线交另一边．得等腰三角形．
个等腰三角形．
（）２自角一边上的任一点作角平分线的平行线交另一边的反向延长线．得等腰三角形．
Ｐ
例ｆ如图ｌ所示，在等腰直角
三角形ＡＢＣ中．Ａ＝０．ＡＢ的平９。Ｃ
Ｂ
Ｃ
￣Ｅ＿ＣＦＬ，所以ＡＢＤ∥Ｅ于是易证
得ＥＡ．＝船故ＡＥＡ＝
图１
延长ｃＥ交的延长线于
点Ｆ．为Ｂ是Ａ的平分线．Ｅ￣因ＥＣＢ
．
作／Ｂ的平分线交启＿Ａｃｃ
日Ｃ
于点Ｄ．则ＢＡＤ＝ＣＡｎ因为Ａ日＝
例４如图４所示，在ＲＡＢｔＡＣ
中．＝０，Ｅ是曰的垂直平分线，ＡＣ９￣Ｄ交ＢＣ于点Ｄ．点Ｅ是垂足，ＡＤ：／＿Ｃ
ＣＢ１３求Ｂ度数．Ａ＝：。的
ＣＡＤ＝．则ＣＡＢ＝ｘ３．所以Ｂ＝
“ 平分线＋线，造等角垂，构
腰三角形
Ｒ △ Ｃ所以日＝＝ＣｔＡＫＤＣ２Ｅ
证Ｆ＝．因为ＤＦ甩＝ＥＥＣ｝ＤＥ．以Ｄ所＋
层ｃＥ．－即ＤＥ＝．故此题应选Ａ．９
根据等腰三角形的 “ ｉ线合一 ” 性质作垂线：三角形中，在已知一个角的平分线．自该角一边的另一端可点作已知角平分线的垂线．之与该使角另一边相交．则所构成的三角形是
因而四边形ＡＢ是平行四边形． ∞
（）１因为／Ｂ，以／Ｅ所
ＤＦ＝Ｂｅ在 △ＡＦＡＤ和 △ ＣＢＥ
中．为Ｄ＝Ｅ，Ｄ＝＿ＥＡ因ＦＢ／ＢＣ，
例ｆ（００州贵阳）２１贵已知
如图１示．Ｆ四边形ＡＢＤ对角所Ｅ．是Ｃ
Ｃ所以四边形ＡＢＤ是平行四边形．ＢＣ
线ＡＣ的两点。且ＡＦＣＤ＝Ｅ，上＝Ｅ，ＦＢ
３中垂线与等腰三角形
以ＤＡ：口丑
因为ＤＥ垂直平分Ａ所Ｂ，
所采
用整体思想．合条件 “ 直平分线 ” 结垂
因）ＤｆＢ，Ｄ＝￣ＥＣ所以船
／Ｂ＿ＦＣ因为／ＦＣ＝／ＦＤ．所以＿Ｂ＿Ｂ＿
Ｄ船＝船Ｄ．所以ＤＦ＝Ｄ．同理可日
ＡＤＣ＝／ＥＣ＝０．妖娃ＡＤ／Ｅ．Ｆ９。ｆＦ
所以ＢＡＤ＝Ｅ．ＡＤＡ／Ｃ＝
数字公开锎专
通看每篇文章的标题，择对自己有用的文章进行细读选
．
中等成绩且希望不断提高能力的同学：解题时能力欠缺的同学
．
如何构造等腰三角形
。山东枣庄二中朱述亚
中垂线、角平分线均与等腰三角形有着密不可分的联系，多几何问题中，在许遇到等腰三角形就会想到顶鹞的平分线遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。
所以ＢＣ
Ｆ所以ＡＦＣＢ是等
图２
Ａ所以ＡＣＣ．ＤＬＢ．而ＥＦ上Ｂ所以Ｃ．
腰三角形．所以Ｇ肥．所以Ｃ＝Ｅ：Ｆ
２Ｅ．因为Ａ日Ｃ．Ａ日Ｄ＝』Ｃ４ＣＦ．ＢＡＤ＝Ｃ＝０．以ＲｔＡＤＡＦ９。所 △Ｂ
分线交ＡＣ于点Ｄ．过点ＣＤ的垂线作Ｂ
例２如图２所示．ＡＡＣ．在Ｂ￣
Ｂ和Ｃ的平分线相交于点Ｆ．点Ｆ过
Ｄ
＼
ＦＣ
交ＢＤ的延长线于点Ｅ．求证：Ｄ＝Ｃ．Ｂ２Ｅ
Ｆ
作ＤＣ交Ａ于点Ｄ交于点Ｅ＃Ｂ，曰，ｃ，
若ＢＥ＝，线段ＤＥ长为（Ｄ＋Ｃ９则的
Ａ．９Ｂ．８
图３
）
黝
要说明ＡＰ只需证明Ｅ，
／ＡＰ＿Ｅ即可．仅凭已知条件似但
Ｃ．７
Ｄ．６
Ａ
乎有一定的难度．考虑￣Ａ－ｑＢ－ＡＣ．若
作ＢＡＣ的平分线ＡＤ．则ＡＤ上Ｃ
一
一
２ “ 角平分线＋平行线，，构造
等腰三角形
例３如图３所示，ＡＢ中．在ＡＣ
ＡＢＡＣ，在ＡＣ取一点Ｐ．过点Ｐ＝上作
ＥＬＣ．Ｆ＿曰交的延长线于点．足垂为点证明：＝ＡＥＡＰ
一
（）自角平分线上任一点作角１