巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题
构造等腰三角形解题的辅助线做法
构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。
那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。
△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.）[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。
证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中*∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。
△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB.[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。
证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2…∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。
几何证明等腰三角形与中位线的证明
几何证明等腰三角形与中位线的证明等腰三角形与中位线的证明等腰三角形是指两边相等的三角形，它有许多有趣的性质和定理。
其中之一就是等腰三角形的中位线与底边垂直且等分底边。
下面我将通过几何证明来展示这个定理。
首先，我们来证明当一条线段垂直且等分另一线段时，这两个线段一定是等腰三角形的两条边。
假设在平面上有一条线段AB和另一条线段CD，且CD垂直且等分AB。
我们需要证明AD=BD。
为了证明这一定理，我们可以利用线段相等和直角的性质。
假设CD等于AB的一半，即CD=1/2 * AB。
通过向两边做垂直CD的线段，我们将三角形ABC分成了两个直角三角形ACD和BCD。
由于线段CD垂直于线段AB，所以∠ACD和∠BCD是直角。
由于CD=1/2 * AB，所以AD=BD=1/2 * AB。
因此，根据线段的相等，我们得出AD等于BD，即AD=BD。
接下来，我们证明等腰三角形的中位线与底边垂直。
假设在平面上有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
我们需要证明中位线DE与底边BC垂直。
为了证明这个定理，我们可以利用垂直且等分线段的性质。
首先，通过顶点A向底边BC做一条平行于BC的线段DE，使得BD和CE分别与DE相等。
这样，DE等分了底边BC，同时也将三角形ABC分成了两个全等的三角形ADE和CDE。
由等腰三角形的性质可知，∠BAD和∠CAE相等。
由于BD=CE，根据线段的相等和垂直的性质，我们得知∠BDE和∠CED也相等。
而全等三角形ADE和CDE的对应角相等，所以∠ADE和∠CDE相等。
综上所述，根据直角和对应角等性质可知，中位线DE与底边BC 垂直。
因此，在等腰三角形ABC中，中位线与底边垂直且等分底边。
通过以上的几何证明，我们证明了等腰三角形的中位线与底边垂直且等分底边的定理。
这个定理在解决几何问题和证明中起着重要的作用。
了解等腰三角形及其性质可以帮助我们更好地理解和应用几何学的知识。
总结起来，等腰三角形与中位线的证明可以通过几何推理来完成。
初二等腰三角形解题技巧
初二等腰三角形解题技巧
等腰三角形是三角形的一种特殊形式，其中两边长度相等。
在初二数学中，等腰三角形是一个重要的知识点，需要掌握其性质和判定方法。
首先，要明确等腰三角形的性质。
等腰三角形两腰相等，两个底角相等，并且有一个顶角。
此外，等腰三角形的高、中线和角平分线三线合一。
这些性质是解决等腰三角形问题的关键。
其次，要掌握等腰三角形的判定方法。
有以下几种方法：
1. 两边相等：如果一个三角形的两边长度相等，则它是等腰三角形。
2. 两个角相等：如果一个三角形的两个角相等，则它是等腰三角形。
3. 三线合一：如果一个三角形的高、中线和角平分线三线合一，则它是等腰三角形。
最后，要学会运用这些性质和判定方法来解决等腰三角形的问题。
以下是一些常见的题型和解题技巧：
1. 求角度：利用等腰三角形的性质，可以通过已知的角度或边长来求其他角度。
2. 作辅助线：在解题过程中，可以通过作辅助线来将问题转化为更容易解决的问题。
例如，作等腰三角形的高、中线或角平分线。
3. 利用三线合一：在解题过程中，可以利用三线合一的性质来证明或求解问题。
4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论，分别考虑不同的情况。
总之，掌握等腰三角形的性质和判定方法是解决等腰三角形问题的关键。
在解题过程中，要灵活运用这些性质和判定方法，通过作辅助线、分类讨论等方法来解决问题。
同时，要注意细节和计算准确性，避免因为粗心而出现错误。
等腰三角形三线合一的应用——原创两线合一补等腰
3
2
E
AC=AB=9
6 Ｂ
Ｆ D3
C
过关条件
两线合一三角形的应用
两线合一补等腰
过关条件
两线合一补 等腰
两线合一现等腰的内容 巧补等腰三角形的应用
A
B
D
C
等腰三角形
底边的高 顶角的角平分线 底边的中线
三线合一 二线
底边的高
1
3
底边的中线
2
顶角的角平分线
1
已知：AD⊥BC，D为BC的中点 求证：ΔABC为等腰三角形
A
中垂线定理： 中垂线上的点，到线段两端点的距离相等
CD——中线 两线合一 CD——垂线 翻折ΔADC
ＡＣ＝ＣＢ
C E
EB——中线 两线合一
O
EB——垂线
ＡＢ＝ＣＢ
A
D
B
ＡＣ＝ＡＢ
练2
两线合一现等腰 翻折含两线合一的三角形补等腰
如图，在△AEC中，∠1=∠2，AD⊥CD，F为 CE中点，DF=AE=3，则AC的长为多少？
A
二线合一的线——ＡＤ
翻折ΔADC补全等腰
C
D
底边的中线与顶角的角平分线重合——现等腰
底边的高与底边的中线重合————现等腰 底边的高与顶角的角平分线重合——现等腰 底边的中线与顶角的角平分线重合——现等腰
两线合一现等腰
过关条件
两线合一补 等腰
两线合一现等腰的内容 巧补等腰三角形的应用
例1
两线合一现等腰
如图， ΔABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CD， D为垂足，AB>AC，求证∠2=∠1+∠B
B
C
D
底边的高与底边的中线重合——现等腰
构造等腰三角形解题的常见途径
构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：．AE ＝AP ．简析 要证．AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥CABE DO图3图4F CDEBA M图2 FB ACD P E图1①D ②C D C ④FCDAC ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由．简析 猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA 、OC 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ．例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．简析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，故BF ＝2CD ．E 图5ABCD 图6BF DE CA- 3 -三、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．如图7①中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形；如图7②中，若∠ABC ＝2∠C ，如果延长线CB 到D ，使BD ＝BA ，连结AD ，则△ADC 是等腰三角形；如图7③中，若∠B ＝2∠ACB ，如果以C 为角的顶点，CA 为角的一边，在形外作∠ACD ＝∠ACB ，交BA 的延长线于点D ，则△DBC 是等腰三角形．例5 如图8，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°． 简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB ＝2∠B 进行技术处理，即作CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则由∠ACB ＝2∠B 知∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形，而DE ⊥BC ，所以BC ＝2CE ，又BC ＝2AC ，所以AC ＝EC ，所以易证得△ACD ≌△ECD ，所以∠A ＝∠DEC ＝90°． 说明 本题也可以利用图7的②、③来构造等腰三角形求解．手脑并用巧解题图7 BC DA① ② BC DA③BCDAE 图8CBAD湖北毕保洪随着《课程标准》深入实施：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实验、自主探索与合作交流成为学习的重要方法”．因此，以等腰三角形为背景的动手操作、动脑设计的手脑并用的中考题悄然兴起．一、模拟画图例1已知在如图1的△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图1，请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）．解：如图4、图5、图6、图7．此题不仅培养同学们的动手能力，而且考查同学们的发散思维能力．二、手脑并用例2在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴，首尾依次相接可以搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：问: （1）4根火柴能搭成三角形吗?（2）8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出图形．解：（1）4根火柴不能搭成三角形因为1+1=2不满足三边关系．（2）8根火柴能搭成等腰三角形，如图8；而12根能搭成等边三角形，如图9，或等腰三角形，如图10，或直角三角形，如图11．此题动手操作性强而且有助于培养同学们探究学习的学习习惯．三、动手剪裁例3在劳技课上老师请同学们在一张边长为16cm的正方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形至少有一条边在正方形的边上），请你帮助同学们画出剪裁的等腰三角形．解：分三种情况：①如图12，AE=AF=10cm，沿EF剪裁；②如图13，AE=AF=10cm，沿EF和AF剪裁；③如图14，AE=EF=10cm，沿AF和EF剪裁．- 5 -。
[实用参考]等腰三角形证明以及辅助线做法
![[实用参考]等腰三角形证明以及辅助线做法](https://img.taocdn.com/s3/m/039d48daf61fb7360b4c658c.png)
巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。
掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。
它有以下几种形式：①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。
本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。
具体证明过程略。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。
具体证明过程略。
证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。
证明：如图2，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE在△ADC和△EDB中AD=DE∠ADC=∠EDBCD=BD∴△ADC≌△EDB∴AC=BE,∠CAD=∠BED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠BED=∠BAD∴AB=BE又∵AC=BE∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形。
二线合一能证明等腰三角形吗
能。
三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”，三线中“两线合一”就能证明他是等腰三角形。
等边三角形有三线合一，指的是等边三角形一边上的高、角平分线，中线都在同一条直线上。
等腰三角形定义
至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的判定的方式
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：
1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
4、有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。
双等腰直角三角形模型及证明
双等腰直角三角形模型及证明
双等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它既是等腰三角形，也是直角三角形。
下面我们将展示双等腰直角三角形的模型，并给出其证明。
双等腰直角三角形的模型可以使用两条等长的直线段和一条直线段垂直于这两条直线段构建。
具体步骤如下：
1. 首先，我们画一条水平直线段AB，作为等腰直角三角形的底边。
2. 接下来，我们从A、B两点相同的方向上，分别作两条与底边等长的直线段，分别记为AC和BD。
这两条直线段将与底边AB相交于
C、D两点。
3. 然后，我们将竖直地连接C和D两点，得到CD这条垂直于底边AB的直线段。
完成上述步骤后，我们可以观察到所构建的模型正好满足双等腰直角三角形的定义：即底边AB与两条斜边AC和BD等长，且直角CD 垂直于底边AB。
接下来我们对这个模型进行证明。
首先，我们可以通过观察得到AC和CD、BD和CD都是等长的，因为AC和BD与底边AB相交于C和D两点，所以它们与底边AB的长度必然相等。
同时，直角CD垂直于底边AB，与底边构成直角，因此CD也与AB等长。
其次，由于AC和CD、BD和CD等长，所以根据等腰三角形的性质，我们可以得到AC与BD等长。
最后，由于CD垂直于AB且与AB等长，根据直角三角形的性质，我们可以得到底边AB和直角CD构成直角。
综上所述，我们证明了双等腰直角三角形的模型确实满足双等腰直角三角形的定义。
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)解析
第05讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (6)【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (12)【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (15)【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (24)【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】 (28)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，∵AB AC =，120BAC ∠=︒，∴AD BC ⊥，AD 平分BAC ∠，∴1602∠=∠=︒DAC BAC ，ADC ∠1．（2023上·北京·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作EF BC ∥，且AE AF =．求证：(1)DE DF =；(2)BG CH =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形“三线合一"的性质得AD BC ⊥，再利用平行线的性质得90DAF ADB ∠=∠=︒，从而说明AD 垂直平分EF ，则有DE DF =；（2）利用等角的余角相等EDB FDC ∠=∠，再利用ASA 证明BDG CDH ≌，从而证明结论．【详解】（1）证明：连接AD ，ABAC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．2．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．3．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．（2）若点E F 、分别在线段AB ，CA 的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接AD ，理由如下：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（）；∴DE DF ADE CDF =∠=∠，，又∵90CDF ADF ∠-∠=︒，∴90ADE ADF ∠-∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，点M N 、在边OB 上，PM PN =，若5OM =，求MN 的长．【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM 练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中PM PN = ，PC ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，PCO ∠162OC OP ∴==，5OM = ，1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在ABC 中，点,D E 是边BC 上的两点．(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EOB =∠OBC ,∠FOC =∠OCB ，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，∴∠EBO =∠OBC ,∠FCO =∠BCO ，∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD DE =．(1)若点D 是AC 的中点，如图1，则线段AD 与CE 的数量关系是__________；(2)若点D 不是AC 的中点，如图2，试判断AD 与CE 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F )(3)若点D 在线段AC 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)AD CE =，理由见解析(2)AD CE =，理由见解析(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E 运动到线段AB 的中点，点D 在线段(2)如图2，当点E 在线段AB 上运动，点D 在线段说明理由．【答案】(1)12∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒120,EFC AFE ∴∠=︒∠EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，(1)【感知】如图1，当点E为AB的中点时，则线段(2)【类比】如图2，当点E为AB边上任意一点时，∥，交AC于点F．示如下：过点E作EF BC(3)【拓展】在等边三角形ABC中，点E在直线（2）AE DB =，理由如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，则AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，，FEC ECD ∠=∠，∵ABC 是等边三角形，∴60AB AC A ABC ACB =∠=∠=∠=︒，，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到CQ PB ∴=，AB AC = ，2AP AQ AB PB AC CQ AB ∴+=-++=；（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADE △(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。
构造等腰三角形解题方法论
构造等腰三角形解题方法论山东沂源县徐家庄中心学校256116 左效平等腰三角形是一种特殊的三角形，它的性质和判定在计算和证明中有着广泛的应用.当图形中无显性的等腰三角形时，可根据条件和图形的特征，适当添加辅助线，如延长线，平行线等等，直接构造等腰三角形或判定三角形是等腰三角形，后利用等腰三角形的性质，破解问题.1.延长线段法直接构造等腰三角形例1 如图1，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC.图 1分析：延长AB到点E，使得BE=BD，只需证明△ADE≌△ADC，结论得证.证明：延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，因为BE=BD，所以∠ABC=2∠E.因为∠ABC=2∠C，所以∠C=∠E.所以DAE DACE CDA DA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△ADC，所以AC=AE.因为AE=AB+BE，所以AB+BD=AC.点评：延长较长的线段，使得延长线段等于较短的线段，从而把折线段的和转化为共线线段的和，设法证明构造的新线段与所求和线段相等即可.这是证明这类问题的一种常用方法要熟练掌握.例2 如图2，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+AD.图 2分析：注意等腰直角三角形锐角为45°.证明：延长AB到点E，使得AE=AD，连接DE，因为AE=AD，AB=AC，∠A=90°,所以∠C=∠E=45°.所以EBD CBDE CDB DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△BDE≌△BDC，所以BC=BE.因为BE=AB+AE，所以BC=AB+AD.点评：熟记等腰直角三角形锐角为45°是解题的重要因素.2.延长线段法先判断等腰三角形后证不等式例3 如图3，已知,在△ABC中，AD是边BC上的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，连接EF. 求证：EF＜BE+CF.图 3分析：延长ED到点G，使得ED=DG，则DF是三角形EFG的中线，根据DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，可以得到DF⊥EG，从而判断三角形EFG是等腰三角形，把EF迁移到 FG的位置上,利用三角形全等的性质，把BE迁到CG的位置上，利用三角形的三边关系定理即可破解.证明：延长ED到点G，使得ED=DG，因为DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，所以DE⊥DF，连接FG，则三角形EFG是等腰三角形，所以EF=FG.连接CG，因为DE DGEDB CDG DB DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△ADC，所以CG=BE.因为FG＜CG+CF，所以EF＜BE+CF.点评：通过构造等腰三角形把不共三角形的线段迁移到同一三角形中，这也是解题的重要思路.3.延长线段法先判断等腰三角形后证等量关系例4 如图4梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，且AE⊥BE.求证：AB=AD+BC.图 4分析：延长AE，BC交于点F，易证AE=EF，为解题补充条件，结合已知条件AE⊥BE，轻松得到等腰三角形ABF，应用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，问题轻松破解.解：延长AE，BC交于点F，所以DAE CFEADE FCEDE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△FCE，所以AE=EF,AD=CF，因为AE⊥BE，所以AB=BF，因为BF=BC+CF,AD=CF，所以AB=AD+BC.点评：熟练判断三角形ABF是等腰三角形是解题的关键.灵活应用等腰三角形的性质，全等三角形的性质也是解题的重要依据.4.延长等腰梯形的两腰构造等腰三角形例5 已知，如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，P是BC上的一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别是E，F，G，求证：BG=PE+PF．图 5分析：同一个图形的面积相同，且整体图形的面积等于分割后几个部分图形的面积和，这也是解答此类问题常用的方法---面积法.证明：如图5，延长BA,CD交于点M，连接PM．因为四边形ABCD是等腰梯形，所以三角形MBC是等腰三角形，所以MB=MC．三角形MBC的面积=21×MC×BG，三角形MPB的面积=21×MB×PE，三角形MPC的面积=21×MC×PF，且三角形MBC的面积=三角形MPB的面积+三角形MPC 的面积， 所以21×MC ×BG=21×MB ×PE +21×MC ×PF=21×MC （PE+PF ），所以所以BG=PE+PF ．点评：面积法能帮助我们解答很多类型的问题，希望能重视这种解题方法.5.平行线+角平分线构造等腰三角形 例6 如图6，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC,交边AD 于点E. 求证：BC=CD+DE ．图 6分析：证明AB=AE 是解题的关键. 证明：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AD ∥BC,AD=BC,AB=CD ， 因为BE 平分∠ABC, 所以∠ABE=∠AEB ， 所以AB=AE ， 所以AD=AE+ED ， 所以BC=AB+ED ， 所以BC=CD+DE ．点评：角平分线和平行线相遇易生成一个等腰三角形，这是解题的一个关键.6.垂直+角平分线构造等腰三角形例7 如图7，(第26届希望杯初二试题) 在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB,AD=9,BC=CD=10,AB=21, 则AC= ．图 7分析： AC 平分∠DAB,作DE ⊥AC ，垂足为G ，交AB 于点E ，连接CE ，可判断三角形ADE 是等腰三角形，三角形CDE 是等腰三角形，这样就为解题创造了条件，提供了一条求解的思路.解：作DE ⊥AC ，垂足为G ，交AB 于点E ，连接CE ，AC 平分∠DAB, 所以AD=AE=9,CD=CE=CB=10, 因为AB=21，所以EB=12.作CF ⊥AB ，垂足为F ，交AB 于点F ，则EF=FB=6.在直角三角形BCF 中，BC=10，所以CF=8.在直角三角形ACF 中，AF=AE+EF=9+6=15,CF=8，所以AC==17.点评： 正确构造两个等腰三角形是解题的关键.例8 如图8，已知△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，CE ⊥BE ，垂足为E ，求证：BD=2CE.图 8分析：BE 平分∠CAB,CE ⊥BE ，延长CE,交BA 的延长线于点F ，可判定三角形BCF 是等腰三角形，CE=EF.只需证明BD=CF,问题就顺利得证.证明：延长CE,交BA的延长线于点F，BE平分∠CAB,CE⊥BE，所以CE=EF，所以CF=2CE.易证Rt△BAD≌Rt△CAF,所以BD=CF，所以BD=2CE.点评：构造等腰三角形BCF是证明的关键.7.梯形中构造等腰三角形例9 如图9，已知AC∥BD, EA、EB分别平分∠CAB，∠ABD，CD经过点E，求证：AB=AC+BD.图9分析 AC∥BD, EA、EB分别平分∠CAB，∠ABD，可知AE⊥BE，AE平分∠CAB,延长BE,交AC的延长线于点F，可判定三角形ABF是等腰三角形，故AB=AF=AC+CF，易证CF=BD.问题得证.证明：延长延长BE,交AC的延长线于点F，由AC∥BD, EA、EB分别平分∠CAB，∠ABD，可知AE⊥BE，所以AF=AB,BE=EF.易证△EFC≌Rt△EBD,所以BD=CF.由AF=AC+CF，所以AB=AC+BD.点评：构造等腰三角形ABF是证明的关键.。
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巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中李敬峰谷兴武学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。
掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。
它有以下几种形式：①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。
本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。
具体证明过程略。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。
具体证明过程略。
证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。
证明：如图2，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE在△ADC和△EDB中AD = DE∠ADC=∠EDBCD=BD∴△ADC≌△EDB∴AC=BE, ∠CAD=∠BED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠BED=∠BAD∴AB=BE又∵AC=BE∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形。
方法二：分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线，从而构造出了高，再利用面积公式开辟出新思维。
具体做法是：如图2，过点D作DF⊥AB，DE⊥AC垂足分别为F、E。
又因AD是∠BAC的角平分线，所以DF= DE。
因为BD=DC，利用“等底同高的三角形面积相等”的原理，所以=，再根据“等积三角形高相等则底也相等”，因为===，又因DF= DE，所以AB=AC，可见“面积法”给解题带来了简便，这种方法也正是被人们易忽视的。
当然，学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时，很容易形成思维定势，证明两组直角三角形分别全等，从而证明∠B=∠C，所以AB=AC，此法明显较麻烦些，但是思路要给予肯定。
需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性，但是这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。
二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）例1 人教版八（上）第十二章章节复习题中的第5题：如图4，D、E分别是AB、AC 的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
经笔者验证，学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形，所以连接AO（图略），证明△AOC≌△AOB或者三组直角三角形分别全等，其中还要用到线段的垂直平分线的性质，证明OA=OB=OC，方法相当地麻烦。
分析：题目没有直接给出“CD、BE分别是AB、AC的垂直平分线”这样的语句，所以学生最初拿到这个题目，很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起。
如果学生有“两线合一，必等腰”的思维，很容易想到CD、BE分别可以是以AB、AC为底边的等腰三角形底边上的高和中线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。
简单证明：连结BC，∵CD⊥AB，AD=BD∴AC=BC （注：利用线段垂直平分线的性质）同理可得：AB=BC∴AC=AB由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致，所以笔者在此就不过多的举例。
2、逆命题②的应用例2 已知：如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
求证：∠2=∠1+∠B分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高和底边所对角的平分线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。
简单证明：延长CD交AB于点E，由题目提供的条件，可证△AED≌△ACD，∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。
例 3 在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，且CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：CD=BE分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”，所以延长CD和BA，交于点F，补全等腰三角形。
简单证明：由所添辅助线可证△BFD≌△BCD，可知△BCF是等腰三角形∴ CD=DF=CF再证△ABE≌△ACF∴ BE=CF∴ CD=BE可见，学会“两线合一，必等腰”的思维，对满足“三线合一”性质的逆命题的条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，为我们解决相关问题开辟了新思维。
笔者认为，三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出。
例4 逆命题②还可以与中位线综合应用：已知：如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD 的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。
求证：EF∥AB，EF=(AC-AB)分析：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分线，又是EC边上的高，即“两线合一”，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线：分别延长CE、AB交于点G。
简单证明：由所添辅助线可证△AGE≌△ACE，得出△AGC是等腰三角形，AG=AC ∴EG=CE又∵点F是BC的中点∴EF是△BGC的中位线∴EF∥AB，EF=BG=(AG-AB)=(AC-AB)3、逆命题③应用：例5 已知：如图8，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE∥AC、DF∥AB 分别与AB、AC相交于点E，F。
求证：DE=DF分析：根据已知条件，利用相似性知识，可证：点E，F分别是AB、AC的中点（初中阶段不能用三角形的中位线的逆定理），又因点D是BC的中点，再利用三角形中位线的性质可知，DE=AC，DF=AB，可见只要证明AC=AB，题目所求证的结论就可得证。
因为AD既是∠BAC的角平分线，又是BC边上的中线，即“两线合一”，所以△ABC是等腰三角形可证，方法见逆命题③的证明。
证明：过程略。
还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路。
例6如图9，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AD=CD+AB例7分析：拿到这个题目，学生的思维很活跃，有的用“截长补短法”；有的用“角的平分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题”的方法；笔者发现有几个学生延长DC、AE相交于点F，易证△ABE≌△FCE，所以AB=CF，AE=EF，可见只要证明AD=FD，题目所求证的结论就可得证。
可是学生想到这一步，思维受阻：DE此时既是∠ADC的角平分线，又是AF边上的中线，△DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么证明。
可见，学生如果有“两线合一，必等腰”的思维和掌握了它的证明方法，那么此法是可行。
只是此法用于这个题目较为麻烦、不可取，但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的。
由于笔者在研究过程中，发现逆命题③的应用不是很多，所以在此就不过多的举例。
三、请读者小试牛刀学习了以上“两线合一，必等腰”的新思路，笔者最后再一次警告读者：由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防与“三线合一”性质搞混淆。
请读者试解下面问题（前2题提示，后3题不予提示）1、已知，如图10，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线交AD 于E，交AC于P，∠CAD的平分线交BP于Q。
求证：△QAD是等腰三角形。
（提示：可证∠AQB=90°，延长AQ。
此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用）2、如图（图略，读者自己画），在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC 交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：ME=MF．（提示：延长BE、CF．）3、如图（图略），BE、CF是△ABC的角平分线，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N．求证：MN ∥BC．（画图时，注意AB≠AC）4、如图（图略），已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠C的平分线CE⊥AD于E，且DE=2AE，CE把梯形ABCD分成两部分，求这两部分面积之比．（画图时，注意AB为上底，CD为下底，E点在线段AD上）5、BD、CE是△ABC的两个外角的平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：(1)DE∥BC．(2)DE 等于△ABC的周长的一半．（画图时，注意BD，CE在直线BC的同侧）等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。