构造等腰三角形解题的五种途径
构造等腰三角形解题的辅助线做法
构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。
那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。
△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.）[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。
证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中*∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。
△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB.[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。
证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2…∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。
等腰三角形有关问题的一点心得
JIETI JI Q IAO YU FANGFA • •等腰三角形有关［题，一点l 得◎刘春发1刘秀明2 （1.武汉市第六初级中学，湖北 武汉 430000；2.武汉市第六中学，湖北 武汉 430000）【摘要】等腰三角形是平面几何学习的一个重点难点内容•平面几何中的很多问题同等腰三角形有关•本文主要讲述同等腰三角形有关问题的解决方法•【关键词】等腰三角形；问题；解题方法45°,4CMB = 30°.求证：AM BC 是等边三角形.一、构造有公共顶点的两个等腰三角形具体到解题的时候，可以先找好黄金点，然后以黄金点 为顶点，另外再作岀一个与原等腰三角形相似的三角形.什么是黄金点呢？黄金点就是等腰三角形的顶点•什 么叫与原等腰三角形相似的三角形呢？原等腰三角形相似 的三角形就是另作一个等腰三角形，使这个等腰三角形同原等腰三角形的顶角相同.因为平面图形是由点和线组成,我们在思考同等腰三 角形相关问题时,抓住了黄金点，就找到了问题的切入点.例1 已知：如图1所示，MB 二AC , 4A BM= 4ACM ，求证:AM 平分4CMN.图6提示 此题的黄金点为点B 此题的解题方向是如图6 所示的以点B 为顶点构造有公共顶点的两个相似的等边三角形•等边三角形的题经常可以考虑构造有公共顶点的两个相似的等边三角形.二、利用黄金点、黄金线、黄金垂的思路来解决同等腰 直角三角形有关的问题黄金点、黄金线、黄金垂是在解决等腰直角三角形问题中的一个通法•黄金点就是指等腰直角三角形的顶点，黄金线就是指过等腰直角三角形的顶点非直角边的任一直线，垂 是 等 的 点 所 作 的解 如图2所示，在CM 上取点/使得CF = BM ，则可 证,MBM= △ACF ，进而可以构造岀,ABC 和△ A MF 形成了有公共顶点的两个相似的等腰三角形•此题思考的切入点 在以点A 为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰三角形，点A 为黄金点.例2 已知：如图3所示，在AM BC 中,4ACB = 90°, AC = BC ,AM 丄BM ,求证：4BMC = 45°.垂,例4 如图7所示，四边形ABCE 中,AB=BC,AB 丄BC ,CN 丄AE,BD 丄ME 于 M ,求证：BM - CE 二 AM.B B图7 图8分析 此题的黄金点就是点B ，黄金线就是BM ，黄金垂就是AM ，CF.此题如果将黄金垂作岀来（如图8所示），就变 得很容易了.例 5 如图 9 所示，AABC 中，MB 二 AC , 4BAC=90 °, M 为BC 上一点，过M 作ME 丄AM ,且ME 二AM ,连BE ,求4MBE的度数.提示 此题的黄金点为点C.此题的解题方向是如图4所示的以点C 为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形•等腰直角三角形的题经常可以考虑构造有公共 点 的 个 似的等 ,例 3 如图 5 所示，4ABM = 4AMB = 15°, 4CBM =数学学习与研究2019.20JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法分析此题的黄金点就是点M,黄金线就是3C,黄金垂就是AG,EF.此题如果将黄金垂作岀来（如图10所示），就找到解题的切入点了.当然，此题还有其他解法，比如，图11以点M为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形.一般而言，等腰直角三角形问题有两种思考途径•途径一，构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形•途径二，黄金点、黄金线、黄金垂的思路.三、遇45。
构造等腰三角形解题的五种途径
构造等腰三⾓形解题的五种途径2019-09-19等腰三⾓形是⼀类特殊的三⾓形，它的性质和判定在⼏何证明和计算中有着⼴泛的应⽤.有些⼏何图形中不存在等腰三⾓形，可根据已知条件和图形特征，通过添加适当的辅助线，巧妙构造等腰三⾓形，然后利⽤等腰三⾓形的性质使问题获解.⼀、利⽤⾓平分线+平⾏线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线，我们可以通过作平⾏线构造等腰三⾓形.如图1，AD是ABC的⾓平分线.①如图2，过点D作DE∥AC交AB于点E，则ADE是等腰三⾓形；②如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，则ABE是等腰三⾓形；③如图5，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC分别交AD、BC于点F、G，则AEF是等腰三⾓形；④如图4，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC，交AD的延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形；⑤如图6，过点C作CE∥AD交AB的反向延长线于点E，则ACE是等腰三⾓形；⑥如图7，点E是AC边上⼀点，过点E作EF∥AD，交AB的反向延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形.我们知道，等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合，简称“三线合⼀”.现在的问题是：如果三⾓形⼀边上的中线与它的对⾓的⾓平分线重合，那么这个三⾓形是否是等腰三⾓形呢？答案是肯定的，现在就来证明这个定理.例1 如图8，ABC中，中线AD平分∠BAC.求证：AB=AC.分析：AD既是AC的中线，同时⼜是ABC的⾓平分线.联想到与⾓平分线和中线有关的辅助线，可过点B（或点C）作AC（或AB）的平⾏线.证明：如图9，延长AD⾄点E，使DE=AD.BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，BDE≌CDA.BE=AC，∠E=∠CAD.⼜∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠E.AB=BE.AB=AC.说明：本例也可过点D作DEAB，DFAC，垂⾜分别为E、F，如图10所⽰，从⾯积⼊⼿证明.⼆、利⽤⾓平分线+垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线时，我们也可以通过作垂线的⽅法构造等腰三⾓形.如图11，点E是∠ABC的⾓平分线AD上的⼀点，过点E作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N，则AMN是等腰三⾓形.例2 如图12，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D， CEBD，交BD的延长线于点E.求证：CE=BD.分析：由⾓平分线和垂线可以构造以BC为腰、∠ABC为顶⾓的等腰三⾓形.证明：如图12，延长CE交AB的反向延长线于点F.BD平分∠ABC，CEBD，由⾓平分线的对称性知CE=EF=CF.∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，∠1=∠2.⼜AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，BAD≌CAF.BD=CF.CE=BD.三、利⽤中垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾼时，可以在⾼所在的边（或其延长线）上取⼀点，使⾼是该点与该边上三⾓形的⼀顶点组成的线段的中垂线，从⽽构造等腰三⾓形.如图13，AD是ABC的⾼.①如图14，在线段BC上取⼀点E使ED=DE，连结AE，则AEC是等腰三⾓形；②如图15，在线段BC的延长线上取⼀点E，使BD=DE连结AE，则ABE是等腰三⾓形.例3 如图16，在ABC中，ADBC于点D，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD.分析：由待证结论AB+BD=CD并结合已知条件“ADBC”，可构造以AB为腰、AD为底边上的⾼的等腰三⾓形.证明：在BC上取⼀点E，使BD=DE，连结AE，则ABE是等腰三⾓形.AB=AE，∠B=∠AED.⽽∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，∠C+∠CAE=2∠C.∠CAE=∠C.AE=CE.AB=CE.AB+BD=CE+DE=CD.四、利⽤平⾏线，构造等腰三⾓形过等腰三⾓形⼀腰上的点作底边或另⼀腰的平⾏线，都可以得到等腰三⾓形. 如图17，在ABC中，AB=AC.过线段AB上⼀点D 作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，则ADE和BDF都是等腰三⾓形.例4 如图18，ABC中，AB=AC，D是AB上⼀点，E是AC延长线上⼀点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.分析：由待证结论知点F是线段DE的中点，再结合已知条件“AB=AC”，可过点D作DM∥AC构造等腰三⾓形.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，则∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.AB=AC，∠B=∠ACB.∠B=∠DMB.BD=DM.⼜BD=CE，DM=CE.在DMF和ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，DMF≌ECF.DF=EF.说明：本例也可过点E作EN∥AB交BC的延长线于点N，证明过程留给同学们完成.五、转化倍⾓，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⼀个⾓是另⼀个⾓的2倍时，我们就可以通过转化倍⾓寻找到等腰三⾓形.如图19，ABC中，∠B=2∠C.①如图20，作BD平分∠ABC，则DBC是等腰三⾓形；②如图21，延长CB到点D，使BD=BA，连结AD，则ADC是等腰三⾓形；③如图22，以C为⾓的顶点，CA为⼀边，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三⾓形.例5 如图23，在ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求证：∠A=90°.分析：结合已知条件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分线BD交AC于点D，并取BC的中点E，连结DE，借助等腰三⾓形的“三线合⼀”和三⾓形全等证明.证明：作∠ABC的平分线BD交AC于点D，则∠DBE=∠C.BD=CD.取BC的中点E，连结DE，则BE=AB，且DEBC.在ABD和EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，ABD≌EBD.∠BED=∠A=90°.（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
八年级数学下册-第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)(解析版)
第06讲解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)目录【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (1)【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (6)【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】 (18)【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，∴EDB CBD ∠=∠，∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED=是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，P 为AOB ∠的角平分线OC 上一点，常过点P 作PD OB ∥交OA 于点D ，易得POD 为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B '处，则重合部分ACE △的形状是_______．(2)【类比探究】如图3，ABC 中，内角ABC ∠与外角ACG ∠的角平分线交于点O ，过点O 作DE BC ∥分别交AB AC 、于点D E 、，试探究线段BD DE CE 、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD 中，,AD BC E ∥为CD 边的中点，AE 平分BAD ∠，连接BE ，求证：AE BE ⊥．【答案】(1)ACE 是等腰三角形(2)BD DE CE =+，理由见解析(3)见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；（2）根据（1）的结论可知，BDO △为等腰三角形，则BD OD =，且OCG ECO EOC ∠=∠=∠，可证CE OE =，由此即可求解；（3）如图所示，过点E 作EF AD ∥，E 为CD 边的中点，可知点F 是AB 的中点，得出BEF △为等腰三角关系，证明BE 平分ABC ∠，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明2590∠+∠=︒，即直角三角形AEB ，由此即可求证．【详解】（1）ACE △是等腰三角形；理由：在长方形ABCD 中， DC AB ∥，∴∠=∠ACD BAC ，由折叠性质可得BAC B AC '∠=∠，∴ACD B AC '∠=∠，AE CE ∴=，ACE ∴ 是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）解：BD DE CE =+，理由如下，∵BO 平分ABC ∠，OD BC ，∴ABC CBO DOB ∠=∠=∠，∴BDO △为等腰三角形，则BD OD =，CO 平分ACG ∠，DO ∥BC ，OCG ECO EOC ∴∠=∠=∠，COE ∴ 为等腰三角形，即CE OE =，BD DO DE EC ==+ ，BD DE CE ∴=+．（3）证明：如图所示，过点E 作EF AD ，AD 交AB 于点F ，E 为CD 边的中点，∴点F 是AB 的中点，即AF BF =，AD ∥BC ，AE 平分BAD ∠，123∴∠=∠=∠，AEF ∴ 是等腰三角形，即AF EF =，EF BF ∴=，∴∠=∠，45∥，EF AD∴∠=∠，46∴∠=∠，56∥BC，AD∠+∠=︒，1256180∴∠+∠+∠+∠=︒，即2225180∴∠+∠=︒，2590()∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，180251809090AEB∴⊥．AE BE【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC=．线上，且BD DE(1)若点D是AC的中点，如图1，则线段AD与CE的数量关系是__________；(2)若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D作DF BC∥，交AB于点F)(3)若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．=，理由见解析【答案】(1)AD CE=，理由见解析(2)AD CE(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段(2)如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段说明理由．【答案】(1)1 2过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，如图，∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒，120,EFC AFE A ∴∠=︒∠=∠，EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，120EBD ∴∠=︒，EFC EBD ∴∠=∠，CE DE = ，∴EDB ECB ∠=∠，60EDB DEB ECB ECF ∠+∠=∠+∠=︒ ，DEB ECF ∴∠=∠，在EDB △和CEF △中，∵,,DEB ECF EBD EFC DE CE ∠=∠∠=∠=，∴()AAS EDB CEF ≌，BD EF ∴=，∵EF EA =，BD AE ∴=．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =．(1)【感知】如图1，当点E 为AB 的中点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______；(2)【类比】如图2，当点E 为AB 边上任意一点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ．）(3)【拓展】在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若ABC 的边长为2，3AE =，则CD 的长是______．∵ABC 是等边三角形，∴AB AC A =∠=∠，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，ABC 中，AB AC =，10BC =，点P 从点B 出发沿线段BA 移动到点A 停止，同时点Q 从点C 出发沿AC 的延长线移动，并与点P 同时停止．已知点P ，Q 移动的速度相同，连接PQ 与线段BC 相交于点D (不考虑点P 与点A ，B 重合时的情况)．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，PBF ∴△为等腰三角形，PE BC ⊥ ，BE EF ∴=，【观察猜想】如图①：D 为线段AB 上一点，DE BC ∥，交AC 于点E ．可知ADE V 【实践发现】如图②：D 为线段AB 外一点，连接AD ，以AD 为一边作等边三角形想BD 与CE 数量关系为______，直线BD 与CE 相交所产生的交角中的锐角为______【深入探究】：D 为线段AB 上一点，F 为线段CB 延长线上一点，且DF DC =．（1）特殊感知：当点D 为AB 的中点时，如图③，猜想线段AD 与BF 的数量关系为ADE ∴V 是等边三角形．实践发现BD CE =，60︒理由：ABC ADE Q V V 、都是等边三角形，60,,BAC DAE AB AC AD AE ∴∠=∠=︒==，BAD CAE ∴∠=∠，()SAS BAD CAE ∴ ≌，,BD CE ABD ACE ∴=∠=∠，延长BD 交CE 于F ，BCF 中，180BCF CBF BFC ∠+∠+∠=︒，180ACB ACE CBF BFC ∴∠+∠+∠+∠=︒，即6060180BFC ︒+︒+∠=︒，60BFC ∴∠=︒，深入探究（1）特殊感知∶AD BF=理由：当点D 为AB 的中点时，AD BD =，ABC 是等边三角形，30ACD BCD ∴∠=∠=︒，DF DC =，30F BCD ∴∠=∠=︒，30BDF ABC F ∴∠=∠-∠=︒，30F BDF ∴∠=∠=︒，BD BF ∴=，AD BF ∴=．（2）特例启发：猜想AD BF =，证明：过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．DE BC ∥，60ADE ABC ∴∠=∠=︒，60AED ACB ∠=∠=︒．ADE ∴V 是等边三角形，AD DE AE ∴==．.BD CE ∴=DF DC =，.DCF F ∴∠=∠又6060FDB DBC F F DCE DCF ︒︒∠=∠-∠=-∠∠=-∠ ，，.FDB DCE ∴∠∠=在BFD △和EDC 中，BD CE FDB DCE DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BFD EDC ∴ ≌，.BF DE AD ∴==.AD BF ∴=（3）①如图：②如图，当点D 在BA 的延长线上时，作DE AC ⊥，交直线BC 90,DEB ∴∠=︒60B ∠=︒ ，30BDE ∴∠=︒，12BE BD ∴=，ABC 的边长为2，AD 【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。
模型34 两圆中垂构造等腰三角形(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.【结论】分类讨论：若AB＝AC，则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若BA＝BC，则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若CA＝CB，则点C在线段AB的垂直平分线PQ上．以上简称“两圆一中垂”．“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.例题精讲【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，你能否将点C的坐标表示出来？解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．∴AB＝2，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即C1（0，0）、（4，0）（舍去）；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外）：（4﹣2，0）（4+2，0），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，分别为（2，0），（0，﹣2）；将点C的坐标表示出来，如图：综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．变式训练【变式1-1】．直线y＝﹣x+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+2上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为（0，2），（1，1），（2﹣，），（2+，﹣）．解：依题意得A（2，0），B（0，2），△AOP为等腰三角形，有三种情况：当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点P，P（0，2）符合题意；当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（2﹣，），（2+，﹣）；当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（1，1）．故答案为：（0，2），（1，1），（2﹣，），（2+，﹣）．【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点P为边AB上一动点，连接CP，DP．当△CDP为等腰三角形时，AP的值为1或2.5或4．解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝5，①当CD＝CP＝5时，过点P作PQ⊥CD于点Q，∴PQ＝AD＝3，CQ＝＝4，∴BP＝4，∴AP＝1；②当CD＝DP＝5时，同①可得AP＝4，③当DP＝CP时，可知P为AB的中点，AP＝2.5．故答案为：1或2.5或4．【例2】．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．解：∵反比例函数y＝图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA＝AB或PB＝AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB＝＝2，PA＝，PB＝，当PA＝AB时，则有＝2，解得x＝﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB＝AB时，则有＝2，解得x＝3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．变式训练【变式2-1】．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为（2，2），（0，4），（4﹣2，2），（4+2，﹣2）．．解：依题意得A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，有三种情况：（1）当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点B，B（2，2）符合题意；（2）当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（4﹣2，2），（4+2，﹣2）；（2）当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（2，2）．故本题答案为：（2，2），（0，4），（4﹣2，2），（4+2，﹣2）．【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与直线y＝x+交于点B，与x轴交于点A．（1）求点B的坐标．（2）若点C在x轴上，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形，求点C的坐标．解：（1）∵直线y＝﹣x+与直线y＝x+交于点B，∴解得∴B（﹣1，3）；（2）∵直线y＝﹣x+与直线y＝x+交于点B，与x轴交于点A．∴A（3，0），B（﹣1，3），∴AB＝＝5，设点C（m，0），AC2＝（3﹣m）2＝m2﹣6m+9，BC2＝（m+1）2+32＝m2+2m+10，当AC＝AB时，m2﹣6m+9＝52，解得：m＝8或﹣2；当AB＝BC时，m2+2m+10＝52，解得：m＝﹣5或3（与点A重合，舍去）；故点C的坐标为（﹣5，0），（﹣2，0），（8，0）．1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的点C有（）A．4个B．5个C．6个D．7个解：由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；以AC、BC为腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个．故选：D．2．如图，已知函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴上一点，若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（﹣3﹣2，0）B．（3，0）C．（﹣1，0）D．（2，0）解：如下图所示：∵函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在y＝x+中，令y＝0可得x＝﹣3，令x＝0可得y＝，∴A（﹣3，0），B（0，），∴AB＝＝2，（1）当AB＝BP时，点P与P1重合，则P1（3，0）；（2）当AP＝BP时，点P与点P2重合，如图②所示：过AB的中点C作x轴的垂线，垂足为D，由题意知：CD2＝AD•PD，∵点C的坐标为（﹣，），设点P的坐标为（a，0）∴（）2＝（﹣+3）（a+）解之得：a＝﹣1即：点P的坐标为（﹣1，0）（3）当AB＝AP时，点P3重合，则P3（﹣3﹣2，0）或（﹣3+2，0）综上所述：若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标可能是（3，0）、（﹣1，0）、（﹣3﹣2，0），（﹣3+2，0）故选：D．3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形时，∠ABC＝30°，则点C的坐标为（）A．（﹣2，0），（，0），（﹣4，0）B．（﹣2，0），（，0），（4+，0）C．（﹣2，0），（，0），（，0）D．（﹣2，0），（1，0），（4﹣，0）解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝＝4，tan∠ABO＝＝＝，∴∠ABO＝30°，∵∠ABC＝30°，∴点C在点B的左边．①若AB＝AC＝4，又∵OA⊥BC，∴OC＝OB＝2，∴点C1坐标为（﹣，0）；②若BC＝AB＝4，又∵点B的坐标为（，0），∴点C2坐标为（2﹣4，0）；③若CA＝CB，则C在线段AB的垂直平分线上．设OC＝x，则AC＝BC＝OB﹣OC＝2﹣x．在直角△OAC中，∵∠AOC＝90°，∴OA2+OC2＝AC2，即22+x2＝（2﹣x）2，解得x＝．∴点C3坐标为（，0）．综上所述：点C坐标为（﹣2，0）或（2﹣4，0）或（，0）．故选：A．4．已知平面直角坐标系中有A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个解：如图：当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴于点C1，C2，当BA＝BC时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C3，C4，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C5，交y轴于点C6，∵点A，B，C2三个点在同一条直线上，∴满足条件的点C的个数是5，故选：A．5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+B．1﹣C．﹣1D．1﹣或1+解：令x＝0，则y＝﹣3，所以，点C的坐标为（0，﹣3），∵点D的坐标为（0，﹣1），∴线段CD中点的纵坐标为×（﹣1﹣3）＝﹣2，∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，∴点P的纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2，解得x1＝1﹣，x2＝1+，∵点P在第四象限，∴点P的横坐标为1+．故选：A．6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有4个．解：分二种情况进行讨论：当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．∴符合条件的点一共4个．故答案为：4．7．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC 是等腰三角形，则符合条件的C点共有8个．解：如图，当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有8个，故答案为：8．8．已知直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．令一次函数y＝﹣x+3中x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为（0，3）；令一次函数y＝﹣x+3中y＝0，则﹣x+3＝0，解得：x＝，∴点B的坐标为（，0）．∴AB＝2．∵抛物线的对称轴为x＝，∴点C的坐标为（2，3），∴AC＝2＝AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．令y＝﹣（x﹣）2+4中y＝0，则﹣（x﹣）2+4＝0，解得：x＝﹣，或x＝3．∴点M的坐标为（﹣，0），点N的坐标为（3，0）．△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB＝BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；②当AB＝AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP＝BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故答案为：3．9．在平面直角坐标系中，已知A（5，0），B（0，12），且AB＝13，在x轴上取一点P，使得△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点P的坐标（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）．解：如图，①若AB＝BP，则OA＝OP＝5，则点P1（﹣5，0）；②若AB＝AP，则点P2（﹣8，0）；点P3（18，0）；∴符合条件的点P的坐标分别为：（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）．故答案为：（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，∠AOB＝50°，AB⊥x轴于B，点C在y轴正半轴上运动，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数是40°或100°．解：分三种情况：当OA＝OC时，∠AOC＝90°﹣∠AOB＝40°，当AO＝AC时，∠CAO＝180°﹣2×40°＝100°，当CO＝CA时，∠ACO＝180°﹣2×40°＝100°，综上所述，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数为40°或100°，故答案为：40°或100°．11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若在y轴上取一点P，使△ABP是等腰三角形，则请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．解：（1）由x2﹣7x+12＝0，得x1＝3，x2＝4，∵OA＜OB，∴OA＝3，OB＝4．∴A（3，0）B（0，4）设直线AB的函数表达式y＝kx+b，则∴∴（2）满足条件的P的坐标：（0，9）（0，）（0，﹣1）（0，﹣4）因为OA＝3，OB＝4所以AB＝5，以B为圆心，以AB为半径作弧，交y轴与两点，这两点的坐标分别是（0，9）、（0，﹣1）这两点与A、B都构成的△ABP是等腰三角形．根据轴对称的意义，当P（0，﹣4）时，△ABP是等腰三角形．当点P在AB的垂直平分线与y轴的交点上时，设P（0，m）则（4﹣m）2＝m2+32解得，m＝所以点P的坐标为：（0，9）（0，）（0，﹣1）（0，﹣4）12．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．（1）求AB的长度．（2）如图2，若以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，（2）如图，过点C作CE⊥OB于E，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCE，在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC，∴BE＝OA＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝OB+BE＝7，∴C（3，7）；（3）设P（a，0），∵A（4，0），B（0，3），∴PA＝|a﹣4|，PB2＝a2+9，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当PA＝AB时，∴|a﹣4|＝5，∴a＝﹣1或9，∴P（﹣1，0）或（9，0），②当PA＝PB时，∴（a﹣4）2＝a2+9，∴a＝，∴P（，0），③当PB＝AB时，∴a2+9＝25，∴a＝4（舍）或a＝﹣4，∴P（﹣4，0）．即：满足条件的点P的坐标为（﹣1，0）、（﹣4，0）、（9，0）、（，0）．13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得1分∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PQ⊥x轴，OQ＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S四边形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOC＝AO•CO+（PQ+CO）•OQ＝×1×3+（﹣2m+6+3）•m＝﹣m2+m+（1≤m≤3）．（3）CM＝，CN＝，MN＝①当CM＝NC时，，解得x1＝，x2＝1（舍去）此时N（，）②当CM＝MN时，，解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），此时N（1+，4﹣）③当CN＝MN时，＝解得x＝2，此时N（2，2）综上所述：线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC 为等腰三角形．15．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，∴点C（0，﹣4），∴OC＝4，∵＝，∴OB＝3，∴点B（3，0），∴3k﹣4＝0，解得：k＝；（2）设A的纵坐标为h，＝OB•h＝6，且OB＝3，∵S△AOB∴h＝4，∵直线BC的解析式为：y＝x﹣4，∴当y＝4时，4＝x﹣4，解得：x＝6，∴点A（6，4），∴当点A运动到（6，4）时，△AOB的面积是6；（3）存在．∵A（6，4），∴OA＝＝2，①若OP＝OA＝2，则点P1（2，0），P2（﹣2，0）；②若OA＝AP，过点A作AM⊥x轴于点M，则PM＝OM＝6，∴P3（12，0）；③若OP＝AP，过点P作PN⊥OA于点N，则ON＝AN＝OA＝，∵∠ONP＝∠OMA，∠PON＝∠AOM，∴△OPN∽△OAM，∴，∴，解得：OP＝，∴P4（，0）；综上所述：点P1（2，0），P2（﹣2，0），P3（12，0），P4（，0）．16．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，即此抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x＝1；（3）存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），当PA＝PD时，则＝，解得y＝﹣，当DA＝DP时，则＝，解得y＝﹣4±2，当AD＝AP时，则＝，解得，y＝±4（舍去﹣4），由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+2）或（1，4）．。
(八)压轴题解题方法——等腰三角形的存在性
等腰三角形的存在性1.几何法三部曲：先分类；再画图；后计算2.代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．3.几何法与代数法相结合 几何法…….. 确定目标 代数法……..准确定位几何法与代数法相结合——又好又快)4)(2(214212-+-=++-=x x x x y点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC 若平行于x 轴的动直线与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，问：是否存在这样的直线，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标 . 第一步 分类 ①OD = OF ②DO = DF ③FO = FD第二步 画图 ).0,2(),4,0(),0,4(),0,2(D C A B -F 在直线AC 上， △ODF 是等腰三角形第三步 计算)0,2(),4,0(),0,4(),0,2(D C A B - 4212++-=x x y F 1(2,2)，F 2(1,3).若PF //x 轴，F 在抛物线上，P 在直线AC 上，求点P 的坐标 (1)当y =2时，直线与抛物线的交点P 有两个； (2)当y =3时，直线与抛物线的交点P 有两个.因P 而F ? 还是因F 而P ?222++-=x x y),3,1(),1,1(--P A 若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标．①O D = O F ， ②D O = D F ， ③F O = F D ， 点F 不存在点F 有两个：与A 重合， F 1(2,2) . 点F 2(1,3) .第一步 分类 ①AB = AP ②BA = BP ③PA = PB第二步 画图第三步 计算——具体情况具体分析点B 与点P 关于直线y =－1对 ①AB = AP )5,1(-B ②BA = BPBA2 = BP2 222)3()1(2-=++m m )21,1(,21B m =③PA = PB 524222=+=PA )523,1(-B代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．第一步 罗列三边（的平方）222)1(2++=m AB 202=AP 22)3(-=m BP①A B 2 = A P 2 ②B A 2 = B P 2 ③P A 2 = P B 220)1(222=++m 222)3()1(2-=++m m 20)3(2=-m ① ② ③)5,1(-B )21,1(B )523,1(-BDEFG BC DE 正方形,// x AD D =,动点 当△BDG 是等腰三角形时，求AD 的长．寻找△BDG 中不变的元素∠BDG 的大小不变用x 表示BD 、DG x BD -=5x DP DE DG 562===54cos =∠D 第一步 分类 ①BD = BG②DB = DG ③GB = GD6,5===BC AC AB B C①BD = BG 因B 而G ②DB = DG 因B 而G ③GB = GD 因G 而BD 的坐标为（3，4）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标 ．①PO = PD②OP = OD ③DO = DP①PO = PD ②OP = OD ③DO = DP∠O 横看成岭侧成峰①PO = PDOP OE O ==∠53cos 2521==OD OE 62535==OE OP ⎪⎭⎫⎝⎛0,6251Px x D -==∠55354cos 207x =x x 565=-2511x =x x D 56)5(2154cos -==∠12573x =②OP = OD OP = OD =5 P2 (5,0)③DO = DP OP =2CD =6 P3(6,0)代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．224)3(,,5+-===a PD a OP OD①PO = PD ②OP = OD ③DO = DP224)3(+-=a a 5=a 224)3(5+-=a点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点以P 为圆心，3为半径作⊙P 当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？这是特例！反例？三部曲失效了！第一步 画图——不求准确，但求思路点P 在y 轴的负半轴上 假设一个位置画P以P 为圆心，3为半径作⊙P⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形先画PE 再画PC 、PD第二步 罗列、标记已知量——理清思路⊙P 的半径为3 PC=3 正三角形PCD 求出PE A(－4, 0)，B(0,－8) 求出sinB 求出BP 求出OP 点P （0，k ）是y 轴的负半轴 上的一个动点 写出点P 的坐标第三步 丰富思想——完善思路分类讨论思想P 在B 上，P 在B 下 P 与P ′关于B 对称 OP ′＝OB ＋BP点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点 写出点P ′的坐标233=PE 51sin =∠ABO 21535==PE BP 21538-=-=BP OB OP ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21538,0P 21538+=+=BP OB OP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21538,0'P点P 是x 轴的正半轴上的一个动点PQ ⊥AB ，与y 轴的正半轴交于Q 若△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标 ．几何法解答不了 观察图形得出结论：△AOB ∽△QOP OP ＝2OQ代数法：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．).0,2(,0),0,(a P a a Q 那么设>①AP = AQ②PA = PQ ③QA = QP22(21)AP a =+122+=a AQ 225a PQ =22(21)1a a +=+22(21)5a a +=2251a a =+1240,3a a ==-25a =±21±=a ()425,0P +)0,1(P。
新人教版数学八年级上册 小专题(四) 等腰三角形问题中常见的解题策略
小专题( 四)等腰三角形问题中常见的解题策略在解决等腰三角形的角度( 或边长)问题时,若题目中没有明确顶角和底角( 或腰长和底边),做题时要注意分类讨论,这是解题的关键.有时候在解决问题时,需要通过添加辅助线的方式构造等腰三角形求解,如截长补短法等,这也是一种常见的解题策略,可以将零碎的知识加以整合,进而将复杂问题简单化.类型1分类讨论法——求角度在题目没有给出图形,已知条件也未确定顶角或底角的情况下,要进行分类讨论,一般情况都是锐角三角形与钝角三角形两种形状.1.如果等腰三角形中有一个内角等于70°,那么这个三角形最小的内角等于55°或40°.2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为21°或69°.3.( 改编)在等腰三角形ABC中,( 1 )若∠A=100°,则∠B=40°;( 2 )若∠A=50°,则∠B=65°或80°或50°.类型2分类讨论法——求边长在题目没有出示图形,也未确定腰长和底边长时,要进行分类讨论,并利用三角形的三边关系加以验证,以确定能否组成三角形,这是最容易错的点.4.已知等腰△ABC的两边长分别为2和5,则等腰△ABC的周长为( B)A.9B.12C.9或12D.不能确定5.已知一个等腰三角形的三边长分别为2x-1,x+1,3x-2,求这个等腰三角形的周长.( 1 )完成部分解题过程,在以下解答过程的空白处填上适当的内容.解:①当2x-1=x+1时,解得x=2,此时能构成等腰三角形( 填“能”或“不能”).②当2x-1=3x-2时,解得x=1,此时不能构成等腰三角形( 填“能”或“不能”). ( 2 )请你根据( 1 )中两种情况的分类讨论,完成第三种情况的分析,若能构成等腰三角形,求出这个三角形的周长.解:( 2 )③当x+1=3x-2时,解得x=,此时能构成等腰三角形,周长为7.类型3分类讨论法——分割等腰三角形分割三角形时,根据“等角对等边”定理,重点关注三角形的内角度数,尤其是两个底角相等,进而得到等腰三角形.6.在△ABC中,∠A=70°,∠B=30°.请在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中一个为等腰三角形,请在图中画出至少两种方案.解:提供四种分割方案如图所示.( 答案不唯一)类型4构造等腰三角形——作平行线在解决几何问题时,构造等腰三角形是常见的解题方法.这里提供三种构造方案,供大家参考:①“角平分线+平行线”;②作腰的平行线;③作底边的平行线.7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,DE交BC于点F,且DF=EF.求证:BD=CE.证明:过点D作DG∥AE,交BC于点G.易证△DGF≌△ECF,∴DG=CE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∴∠B=∠DGB,∴DG=BD,∴BD=CE.8.已知,△ABC为等边三角形,D为AC上的一个动点,E为BC延长线上一点,且BD=DE.( 1 )如图1,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由;( 2 )如图2,若点D在AC的延长线上,那么( 1 )中的结论是否仍然成立,请说明理由.解:( 1 )AD=CE.理由:过点D作DP∥BC,交AB于点P.∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠ADP=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.又∵∠BPD=∠A+∠ADP=120°,∠DCE=∠A+∠ABC=120°,∴∠BPD=∠DCE.在△BPD和△DCE中,∠PDB=∠DEC,∠BPD=∠DCE,DB=DE,∴△BPD≌△DCE,∴PD=CE,∴AD=CE.( 2 )AD=CE仍然成立.理由:过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P.∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.在△BPD和△DCE中,∴△BPD≌△DCE( AAS ),∴PD=CE,∴AD=CE.类型5构造等腰三角形——截长补短法解决此类题,都需要添加辅助线,利用将长线段“截短”或短线段“延长”的方法,使之长度相等,再综合全等三角形的知识加以证明.9.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.求证:BC=CD+AB.解:如图,延长BA至点E,使BE=BC,连接DE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.易证△EBD≌△CBD,∴DE=DC,∠E=∠C=36°.∵∠EAD=72°,∴∠EDA=∠EAD=72°,∴EA=ED,∴CD=DE=AE,∴BC=BE=AB+AE=AB+CD.类型6构造等腰三角形——倍角关系在解决此类问题时,可利用角平分线的性质,添加辅助线,构造等腰三角形.10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,求证:AB+BD=AC.证明:在AC上截取AE=AB,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,∴△ABD≌△AED( SAS ),∴∠B=∠AED,BD=DE,又∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C,而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,∴∠C=∠EDC,∴DE=CE,∴AB+BD=AE+CE=AC.。