全等三角形解题方法与技巧

“三步曲”证全等牢记判定定理：SSS SAS ASA AAS HL一看图形：全等三角形的基本图形大致有以下几种①平移型；②对称型；③旋转型（复杂图形可分离出基本图形）二看条件：（一）应先看有无隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、某些角的和差，某些线段的和差。

）1、利用公共边（或公共角）相等例1：如图1，AB DC =，AC DB =，△ABC ≌△DCB 全等吗？为什么？练习1：已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。

求证：EB=ED 。

DA E CB2、利用对顶角相等例2：如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？练习2：已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。

求证：∠ACE=∠BDF 。

3、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等例3：如图，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由．练习3：已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。

求证：BE ＝CD 。

AED CBA BCDEFO4、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等例4：如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数．练习4：如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。

（二）再分析显性条件，如果条件不够，应确定还需什么条件，然后证明该条件。

基本思路：1.已知两角――任一边；2.已知两边――找夹角或第三边；3.已知一角与邻边――找另一角或另一邻边；4.已知一角与对边――找另一角。

例1：如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ． 求证：ABC DEF △≌△．例2：如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为 ．例3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连接DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．图1图2D CE A BCEBFDAFEDCBH练习1：已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。

求证：OE=OF 。

ABCD E F O练习2：已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。

OB ACDE练习3：如图，B ，E 分别是CD 、AC 的中点，AB ⊥CD ，DE ⊥AC 求证：AC=CD练习4：如图，已知AD 是△ABC 的中线， DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ， 且BE=CF ， 求证：(1)AD 是∠BAC 的平分线；(2)AB=AC ．练习5：已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

(1) BF=AC (2) CE=12BF (3)CE与BG的大小关系如何。

三创条件：条件与结论联系不明显，直接证明难度大，考虑添加辅助线，构造全等三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．1、倍长中线（线段）造全等△ABC中,AD是BC边中线方式1：直接倍长，(图1)：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长DCB A1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD例1：已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。

课堂练习1：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+课堂练习2：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EFB_D _F _C _ B _E _A课堂练习3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，课后作业1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课后作业2：在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论课后作业3：如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AMFEABCMACE E D CBAP 21DCBAPQCBAEDCBA2、截长补短例2：如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP课堂练习1：如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC课堂练习2：如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC课堂练习3：如图，AD ∥BC ， AE, BE 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BCCD OECB A课后作业1：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： ︒=∠+∠180C A课后作业2：已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．课后作业3：如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A3、借助角平分线造全等例3：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.课堂练习1：如图是三条两两相交的笔直公路，现要修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4课堂练习2：如图所示，四边形ABCD 中，AB =AD ，AC 平分∠BCD ， AF ⊥CD .求证：∠B=∠ADF.课堂练习3：如图四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠D ＋∠B =180°，求证：AD ＋AB =2AE ．E DGFCBA课堂练习4：如图，D 是△ABC 的一个外角的平分线上一点，求证：AB ＋AC <DB ＋DC .课后作业1：如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC =2BD ，求证：∠BAP ＋∠BCP =180°课后作业2：已知：如图，ΔABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，E 是AC 上一点，且DE=DB. 求证：∠1=∠B课后作业3：如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．D C B AF E D CB A 课后作业4：已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC.（1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．4、借助平移或旋转构造全等例4：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.课堂练习1：等腰直角△ABC ，其中AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线，垂足分别为M 、N（1）①你能找到一对三角形的全等吗？并说明．②BM ，CN ，MN 之间有何关系？（2）若将直线L 旋转到如右图的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依然成立，如果不成立，给出新的关系式。

（3）若将直线l 旋转到如下图的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依然成立？课堂练习2：如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？课堂练习3：复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．课后作业1：将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC △和DEF △．且ABC △≌DEF △。