数学——最大与最小

第18讲最大与最小
【专题精华】
在我们的日常生产和生活中，常常会碰到如何使费用最少或效益最高等实际问题，这类问题在数字上称为最大最小问题，简称最值问题。

最大最小问题涉及到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

【教材深化】
［题1］1把钥匙只能开一把锁，现在4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次可以打开所有的锁？
<敏捷思维> 开第一把锁，按最坏情况考虑，试了3把钥匙还没成功，用第4把钥匙开肯定会成功，开第二把锁最多要试3次才能打开，开第三把锁最多要试2次才能打开，开最后一把锁1次就可以打开它。

<全解> 4+3+2+1=10（次）
答：最多试10次可以打开所有的锁。

<拓展探究> 本题中的“最多”可以理解为“最不凑巧”，这样就容易知道打开每一把锁所需要试开的最多试数。

从极端情形入手考虑，着眼于极端情形，是解最值问题的常用方法。

［能力冲浪］
1、一把钥匙开一把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，问最多试多少次能用9把钥匙把9把锁打开？最少多少次？
2、现在有1克、2克、3克、4克共4个不同的天平砝码。

若砝码只能放在天平一侧，最多可以测出多少种不同的重量？（0克不算一种重量）
3、士兵做队列表演（500人以内），3人一排时余1人，5人一排时余4人，7人一排时余3人，问这些士兵最多多少人？最少多少人？
［题2］把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？
<敏捷思维> 要把17分成几个自然数的和，使它们的乘积最大，拆分的个数要尽可能多，且不含有1，其次拆成的数不宜大于4，例如5可以拆成2和3，因为2×3>5。

还有拆成的数中2的个数不能多于2个，若多于2个，例如3个2，因为2+2+2=6，而6=3+3，3×3 > 2×2×2，因此要尽可能多拆出3来。

故把17应拆分成5个3与1个2。

<全解> 17=3+3+3+3+3+2
3×3×3×3×3×2=486
答：把17分拆成5个3与1个2，才能使它们的乘积最大。

<拓展探究> 把一个数分成若干个自然数之和，如果要使这些自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。

［能力冲浪］
1、把2008分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，这个最大的乘积是多少？(结果用算式表示）
2、将20表示成一些合数的和，这些合数的积最大是多少？
3、从0、1、2、3、
4、
5、
6、
7、
8、9这十个数字中选出6个，填入下面的方框中，使算式成立。

要求每个方框里填一个数字，方框里填的数字都不相同，则式中的三位数最大是多少？
+ =
【生活数学】
［题3］用长为20米的篱笆围成一个长方形菜园,围成的菜园面积最大是多少平方米?
<敏捷思维> 长方形的面积=长×宽,要使长方形的面积最大,即长、宽的乘积最大。

长与宽的和是周长的一半，即10米，是一个定值。

由两个数的和一定，其差越小，它们的乘积越大。

可知：当长与宽相等时，长与宽的差为0，此时差最小，积最大。

即长方形为边长是5米的正方形时，面积最大。

<全解> 边长：20÷4=5（米）
面积：5×5=25（平方米）
答：围成的菜园面积最大是25平方米。

<拓展探究> 1、如果两个数的和一定，那么这两个数的差越小，它们的乘积就越大；当两个数相等时，乘积最大。

2、在周长相等的长方形中，正方形面积最大。

［能力冲浪］
1、用长为30米的篱笆围成一个长方形鸡场，长和宽各是多少米时，鸡场面积最大？最大面积是多少平方米？
2、如图用长为30米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形鸡场，长方形的长和宽各为多少米时，鸡场面积最大？最大面积是多少平方米？
3、试求和为10，乘积最大的两个自然数是多少？
［题4］放假期间，某合唱团团长有一个紧急通知要发给120个成员，如果打一个电话需1分钟，每个合唱团成员都有电话。

请你算一算最少需要多少时间，才可以全部通知到所有成员？
<敏捷思维> 团长第1分钟通知第一个成员；第2分钟团长和那位成员同时打电话通知，则有4个人知道了这个通知；第3分钟4个人又可通知4个人，共有8个人知道了这个通知；第4分钟8个人又通知8个人，共16个人知道了这个通知。

依次类推……
答：最少只需7分钟便可全部通知到。

<拓展探究> 一般地，如果打电话1分钟通知1个人，第n分钟可以有2n个人知道这个通知。

［能力冲浪］
1、需要在最短时间内，向全班同学发出紧急通知，如果打电话通知1个人需要1分钟，则5分钟最多可通知多少位同学？
2、公司经理要把一个消息传达给他手下的420名员工，如果用电话联系，每通知1个人要0.5分钟。

最少需要多少分钟,消息才可以传到每一位员工?
3、工厂办公室主任要把一个紧急通知传达给宿舍区的975人，假定用电话联系，每通知1个人要1分钟；而主任每开一次简短会议可通知60人，但要花5分钟。

主任要使通知在最短时间内完成，最少要用多少分钟？
【感受奥赛】
［题5］某学习小组有4名女生，2名男生，在一次考试中，他们做对试题的数量各不相同，最多对10题，最少对4题，女生中做对最多的比男生中做对最少的多4题，男
生中做对最多的比女生中做对最少的多4题，则男生中做对最多的人对了几道题？
<敏捷思维>
由题意可知共计4+2=6（名）同学，由于这6名同学做对试题的数量各不相同，且最多对10题，最少对4题，可知：6位同学做对的题数只能是4、5、6、7、8、9、10中的六个数。

若做对最少题数的是男生，即男生做对最少的是4题，则女生做对最多的对8道题（4+4=8），于是男生做对最多的对10题。

由女生做对最多的对8题，可知：女生4名同学分别做对5、6、7、8道题。

10-5=5（道），与男生做对最多的比女生做对最少的多4题矛盾，由此可以否定做对最少的是男生。

<全解> 因此，做对最少题数的是女生，即女生做对最少的是对4题，则男生做对最多的对8题（4+4=8），于是女生做对最多的对10题，则男生做对最少的对6题（10-4=6）。

因此4名女生做对的题数可能是4、5、7、10；4、5、9、10或4、7、9、10，男生做对的题数是6题和8题，故男生中做对最多的对8题。

<拓展探究> 这道题既是一道最大最小问题，也是一道逻辑推理问题。

用列表与假设相结合的方法推理，比较容易解决。

［能力冲浪］
1、现有5个自然数，第一个小于第二个的2倍，第二个小于第3个的3倍，第三个小于第四个的4倍，第四个小于第五个的5倍，第五个小于100，则第一个数最大是多少？
2、四个连续自然数，它们从小到大顺次是3的倍数、5的倍数、7的倍数、9的倍数，这四个连续自然数的和最小是多少？
3、四个房间，每个房间不少于2人，任何三个房间的人数不少于8人，这四个房间的人数至少有多少人？
18、最大与最小提高篇
1、把100拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？
2、把一根长24厘米的铁丝围成一个长方体或正方体，问围成立体图形的体积最大是多少立方厘米？
3、三个质数的和是52，它们的乘积最大是多少？
4、四个互不相同的自然数，它们的积是2772，问它们的和最大是多少？
5、一个养鸭专业产用一段长100米的篱笆靠墙建一个长方形的鸭舍，要使鸭舍面积最大，长方形的长和宽应各是多少米？
6、三个连续的自然数，后两个数的积与前两个数的积之差是78，这三个数中最小的数是多少？
7、有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是1998。

求所有这样的三位数中最小的一个三位数。

8、一种细菌的繁殖能力惊人，在理想状态下，每过1分钟一个细菌可繁殖出2个细菌，那么过5分钟一个细菌可以变成多少个？（假定细菌不死亡）
9、从1、2、3、4、5……50中，取若干个数，其中任意两个数的和都不能被7整除。

则这样的数最多可取多少个？
10、有32吨货物，从甲城运往乙城。

现有大、小两种卡车，大、小卡车的载重量分别是5吨、3吨，大小卡车的耗油量分别是10升、7.2升。

运完这批货物，最少要耗油多少升？。