1第一讲信息熵
信息熵入门教程
信息熵入门教程
信息熵是信息理论中的重要概念，它用来度量随机变量中的不确定性或信息量。
在这篇入门教程中，我们将详细介绍信息熵的概念、计算方法和应用领域。
一、信息熵的概念
信息熵是根据信息的概率分布来度量信息的不确定性。
在信息论中，信息的不确定性越大，信息熵越高。
信息熵的单位是比特或纳特。
二、信息熵的计算方法
信息熵的计算方法是根据信息的概率分布来计算的。
对于一个离散随机变量，信息熵的计算公式为：H(X) = -Σp(x)log2p(x)，其中p(x)表示随机变量X取值为x的概率。
三、信息熵的应用领域
信息熵在各个领域都有广泛的应用。
在通信领域，信息熵被用来度量信道的容量，帮助设计高效的通信系统。
在数据压缩领域，信息熵被用来压缩数据，减少存储空间的占用。
在机器学习领域，信息熵被用来评估分类模型的效果，选择最优的特征。
四、信息熵的意义和局限性
信息熵的意义在于量化信息的不确定性，帮助我们理解信息的特性和规律。
然而，信息熵并不能完全反映信息的含义和价值，它只是从概率分布的角度度量信息的不确定性。
五、总结
信息熵是信息理论中的重要概念，用来度量信息的不确定性。
通过计算信息熵，我们可以了解信息的特性和规律，并在各个领域中应用。
然而，信息熵只是从概率分布的角度度量信息的不确定性，不能完全反映信息的含义和价值。
希望通过这篇入门教程，您对信息熵有了更深入的了解。
如果您想进一步学习信息熵的应用和扩展，可以参考相关的学术文献和教材。
祝您学习愉快！。
通信原理信息熵
通信原理信息熵通信原理中的信息熵是指在信息传输中所包含的信息量的度量。
信息熵的概念最早由克劳德·香农在1948年提出，他定义了信息熵作为信息传输中的不确定性度量。
信息熵通常用来描述一个随机变量中所包含的信息量的平均值。
在通信系统中，信息熵可以用来衡量信息源的不确定性，即信息源产生的符号的平均信息量。
信息熵越高，表示信息源产生的符号越不确定，需要更多的信息来描述。
相反，信息熵越低，表示信息源产生的符号越确定，需要较少的信息来描述。
信息熵的计算公式为H(X) = - Σ P(x) log2 P(x)，其中P(x)为随机变量X取某个值的概率。
这个公式告诉我们，信息熵的计算需要知道每个符号出现的概率。
如果一个符号出现的概率很高，那么它所携带的信息量就很低，因为我们可以预测它的出现。
相反，如果一个符号出现的概率很低，那么它所携带的信息量就很高，因为它的出现是不可预测的。
信息熵的单位是比特（bit），表示信息量的大小。
一个比特表示一个二进制选择的结果，即两种可能性中的一种。
例如，抛一次硬币的结果可以用1比特来表示，因为它有两种可能的结果：正面或反面。
如果我们抛两次硬币，结果可以用2比特来表示，因为它有四种可能的结果：正正、正反、反正、反反。
在通信系统中，信息熵的概念对于设计编码方案和传输协议非常重要。
在编码方案中，我们希望尽可能地利用信息熵的特性，减少冗余信息，提高编码效率。
在传输协议中，我们需要考虑信道容量和传输速率，以确保能够有效地传输信息。
信息熵的概念也与信息压缩和数据压缩密切相关。
在信息压缩中，我们希望通过去除冗余信息来减少数据的存储空间和传输带宽。
信息熵提供了一个理论上的界限，即最低的压缩率。
在数据压缩算法中，我们可以利用信息熵的特性来设计压缩算法，以提高压缩效率。
除了信息熵，通信原理中还有其他重要的概念，如信噪比、传输速率和带宽等。
这些概念共同构成了通信系统的基础知识。
了解和理解这些概念对于设计和优化通信系统非常重要。
信息论基本：信息熵
连续随机变量
微分熵
连续随机变量的 互信息
熵、互信息、鉴别 信息之间的关系
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3
1.1 信息熵（Entropy）
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 随机事件的自信息 信息熵 信息熵的唯一性定理 联合熵与条件熵 信息熵的性质
10
例1.2 洗牌的信息 一副52张的扑克牌，现将其充分洗牌，试问：
（1）任意特定排列所给出的平均信息量是多少？ （2）若任意从这副牌中抽出13张，所示的点数都不同，应获得多少信 息量？ 解： （1）获得某一个特定的排列的概率是多少？
I ( X ) = log 1 1 ＝log = log 52! = 225.58bit 1 P{任意特定排列} 52!
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20
例1.6
袋子里装3个黑球，2个白球。进行两个随机试验 X 和 Y。 情况一：X — 从中随机取出一个球，看颜色，放回； Y — 再从中随机取出一球，看颜色。 情况二：X—从中随机取出一个球，看颜色，不放回； Y—再从中随机取出一球，看颜色。 研究联合试验（XY）的不确定性。
7
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自信息
1 I (ai ) = log P(ai )
对数底与信息的单位 以2为底： bit 以e为底： nat 以10为底：Hart (binary unit) (nature unit) (Hartley)
换算关系： 1 nat=1.44 bit 1 Hart=3.32 bit 一般不加说明时，取以2为底。
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信息熵的定义和公式并描述公式
信息熵的定义和公式并描述公式信息熵这个概念听起来好像有点高大上，但其实它并没有那么难以理解。
咱们先来说说啥是信息熵。
想象一下，你在一个超级大的图书馆里找一本书，这个图书馆里的书摆放得毫无规律，有的类别混在一起，有的作者的书分散在各个角落。
这时候，你要找到你想要的那本书就特别费劲，因为不确定性太大了，对吧？这种不确定性，就可以用信息熵来衡量。
信息熵简单来说，就是描述一个系统中信息的混乱程度或者说不确定性的量。
比如说，一个抽奖活动，要是中奖的可能性都差不多，那这时候的信息熵就比较大，因为你很难确定到底谁能中奖。
但要是几乎可以肯定只有一个人能中奖，那信息熵就小多啦。
那信息熵的公式是啥呢？它的公式是这样的：H(X) = -∑p(x)log₂p(x) 。
这里的 X 代表一个随机变量，p(x) 是这个随机变量的概率。
咱们来仔细瞅瞅这个公式哈。
“∑”这个符号就是求和的意思，就是把后面的那些项都加起来。
那“p(x)log₂p(x)”又是啥呢？假设我们有个事件 A 发生的概率是 0.5，那 0.5 乘以 log₂0.5 就是这个事件的一项。
给您举个特别简单的例子来理解这个公式。
比如说有个盒子，里面有红、蓝、绿三种颜色的球，红球有3 个，蓝球有2 个，绿球有5 个。
那总共有 10 个球。
红球出现的概率就是 3/10，蓝球是 2/10，绿球是5/10 。
然后咱们来算信息熵。
按照公式，H(X) = - ( 3/10 * log₂(3/10) +2/10 * log₂(2/10) + 5/10 * log₂(5/10) ) 。
算出来这个值，就能知道这个盒子里球的颜色分布的不确定性有多大啦。
我还记得之前在给学生讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这信息熵到底有啥用啊？”我就跟他说：“你想想啊，咱们平时上网搜索东西，搜索引擎得判断哪些结果最有用、最相关，这就得用到信息熵的概念来衡量信息的不确定性和混乱程度，才能给咱们更准确的结果。
信息熵 标准
信息熵是衡量信息不确定性的一个重要指标，由克劳德·香农在1948年提出，是信息论的基础之一。
信息熵不仅在通信理论中有广泛应用，也对统计学、物理学、计算机科学等多个领域产生了深远影响。
一、信息熵的定义信息熵（Entropy），记作H(X)，是描述信息量的大小的一个度量。
它是随机变量不确定性的量化表示，其值越大，变量的不确定性就越高；反之，其值越小，变量的不确定性就越低。
对于一个离散随机变量X，其概率分布为P(X)，信息熵的数学表达式定义为：\[ H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_b p(x_i) \]其中，\(p(x_i)\)代表事件\(x_i\)发生的概率，\(n\)是随机变量可能取值的数量，\(\log_b\)是以b为底的对数函数，常见的底数有2（此时单位是比特或bits）、e（纳特或nats）和10。
二、信息熵的直观理解信息熵可以被理解为信息的“不确定性”或“混乱程度”。
当一个系统完全有序时，我们可以准确预测它的状态，此时信息熵最低；反之，如果系统完全无序，我们无法预测其任何状态，此时信息熵最高。
例如，在一个完全公平的硬币投掷实验中，正面和反面出现的概率都是0.5，这时信息熵达到最大值，因为每次投掷的结果最不确定。
三、信息熵的性质1. 非负性：信息熵的值总是非负的，即\(H(X) \geq 0\)。
这是因为概率值在0和1之间，而对数函数在(0,1)区间内是负的，所以信息熵的定义中包含了一个负号。
2. 确定性事件的信息熵为0：如果某个事件发生的概率为1，那么这个事件的信息熵为0，因为这种情况下不存在不确定性。
3. 极值性：对于给定数量的n个可能的事件，当所有事件发生的概率相等时，信息熵达到最大值。
这表示在所有可能性均等时，系统的不确定性最大。
4. 可加性：如果两个随机事件X和Y相互独立，则它们的联合熵等于各自熵的和，即\(H(X,Y) = H(X) + H(Y)\)。
信息熵定义
信息熵定义信息熵是指系统内部信息的分布状态及其表示的随机性，它可以代表系统的复杂性和完整性。
信息熵的主要目的是评估和度量系统的性质，即其信息的复杂性程度。
这一概念可以追溯到数学著名学者香农的信息理论，基于香农的理论，信息熵使用信息的熵的概念来表示消息的形式的随机性和复杂性，以及它在模型里的分布。
信息熵的定义可以用熵来表示系统的某种特征，比如熵越高，表明系统信息随机性和复杂性越大。
根据熵的定义，系统信息的分布可以分为两类：随机和确定。
随机信息分布表明，系统中不同消息的概率相等，而确定信息分布则表明，系统中不同消息的概率不相等。
同时，熵还可以表示系统的一致性，即当系统的某些信息的概率发生变化时，熵的大小也会发生变化。
在统计学中，信息熵定义为可以表示系统信息分布的熵，定义为： S= -∑iPi log2 Pi其中Pi是信息分布中每个可能状态的概率，i表示每个状态，而S表示信息熵。
总的来说，信息熵是一种用于衡量系统复杂性的数学概念，它可以用来测量和表示系统中消息的随机性和确定性。
此外，信息熵还可以用来衡量系统的一致性，即当系统的某些信息的概率发生变化时，熵的大小也会发生变化。
【应用】信息熵在各种应用领域中得到了广泛的应用，比如自然语言处理、信息编码、信号处理、生物信息处理等等。
其中最重要的应用之一是在信息系统诊断和评估方面。
由于信息熵可以表示系统的性质，所以它可以用来确定和诊断系统中潜在的问题，以及分析系统的质量和可靠性。
此外，信息熵还可以用来指导和优化系统，因为它反映了系统复杂性的变化。
例如，可以利用信息熵的变化来检测和优化信息系统的性能，从而为系统提供更好的性能。
信息熵还可以用于安全攻击识别。
例如，可以利用信息熵来识别恶意攻击，因为熵的值会发生显著变化，以反映僵尸网络攻击或其他形式的攻击。
最后，信息熵还用于系统建模和设计，例如系统建模、仿真和设计等。
在这些工作中，信息熵可以用来衡量系统的复杂性，以及相关参数的变化情况，从而改进系统的性能和可用性。
《信息熵及其应用》课件
在这份PPT课件中，我们将深入探讨信息熵的概念、应用和性质，以及信息 熵在通信、数据压缩和密码学等领域中的重要作用。
什么是信息熵？
定义
信息熵是衡量一个随机变量的不确定性的度量。
单位
信息熵的单位是比特（bit）或纳特（nat），取决于所使用的对数底数。
离散和连续型信号的熵计算
对于离散型信号，熵的计算需要使用概率论的相关概念；对于连续型信号，熵的计算则需要 使用微积分的工具。
3
序列迭代和熵压缩
序列迭代和熵压缩是一种利用信息熵的计算规则来进行数据压缩的方法。
总结与展望
信息熵的优缺点与应用 前景
信息熵作为随机变量不确定 性的度量，可以在各个领域 中发挥重要作用，但也存在 展， 信息熵的研究也在不断拓展 和挑战。
未来信息熵领域的研究 方向
条件熵
条件熵是在给定一定条件下的信息熵，用于描述更复杂的信息系统。
香农熵、交叉熵和相对熵
香农熵是信息熵的一个特例，交叉熵和相对熵是用于衡量两个概率分布之间的差异。
信息熵的扩展
1
联合熵、互信息和条件互信息
这些是信息熵的扩展概念，用于描述多变量系统中的信息量和相关性。
2
最大熵原理及其应用
最大熵原理是一种在概率模型中寻找最可能的分布的方法，广泛应用于统计学和机器学习领 域。
信息熵的应用
通信领域
信息熵在通信中用于衡量信道的 容量和噪声对信息传输的影响。
数据压缩
信息熵是数据压缩算法中的一个 重要指标，用于衡量数据压缩的 效果。
密码学
信息熵在密码学中用于生成随机 密钥和衡量密码算法的安全性。
信息熵的性质
非负性和有限性质
信息熵始终大于等于零，且对于有限个离散型符号，信息熵是有界的。
信息熵,能量熵
信息熵,能量熵信息熵和能量熵是信息论和热力学中重要的概念。
信息熵是描述信息的不确定性和随机性的度量，而能量熵则是描述系统热力学性质的度量。
本文将从引言概述、正文内容和总结三个部分来详细阐述信息熵和能量熵。
引言概述：信息熵和能量熵是两个不同领域的概念，但它们都是用来描述系统的度量。
信息熵是信息论中的概念，用来度量信息的不确定性和随机性。
能量熵则是热力学中的概念，用来度量系统的热力学性质。
虽然它们的应用领域不同，但是它们都有着相似的数学定义和性质。
正文内容：1. 信息熵1.1 信息熵的定义信息熵是用来度量信息的不确定性和随机性的度量。
它的数学定义为：H(X) = -ΣP(x)logP(x)，其中P(x)表示事件x发生的概率。
当事件发生的概率越均匀，信息熵越大，表示信息的不确定性越高。
1.2 信息熵的性质信息熵具有以下性质：- 信息熵的取值范围为0到logN，其中N为事件的个数。
当所有事件的概率相等时，信息熵达到最大值logN。
- 信息熵满足对称性，即H(X) = H(Y)，其中X和Y是等价的随机变量。
- 信息熵满足可加性，即H(XY) = H(X) + H(Y)，其中XY表示两个独立的随机变量。
2. 能量熵2.1 能量熵的定义能量熵是用来度量系统的热力学性质的度量。
它的数学定义为：S = -ΣPi logPi，其中Pi表示系统处于能级i的概率。
能量熵描述了系统的混乱程度，当系统处于均匀分布时，能量熵最大，表示系统的混乱程度最高。
2.2 能量熵的性质能量熵具有以下性质：- 能量熵的取值范围为0到logN，其中N为系统的能级数。
当系统处于均匀分布时，能量熵达到最大值logN。
- 能量熵满足对称性，即S(X) = S(Y)，其中X和Y是等价的系统。
- 能量熵满足可加性，即S(XY) = S(X) + S(Y)，其中XY表示两个独立的系统。
总结：信息熵和能量熵是两个不同领域的概念，分别用来度量信息的不确定性和随机性以及系统的热力学性质。
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人类传递思想、表达情感，就需要相互交流。 人类的劳动、生产、政治、文化、日常生活等都离不 开通信。 人类利用眼、耳、鼻、舌、身等五种感觉器官来感受 外界的信息，形成一个信息流通的体系。 通信方式的不断提高，代表了人类文明和科技水平的 不断提高。
2020/5/28
信源
信道
信宿
信源 编码
信道 编码
信道 译码
信源 译码
加密
干扰源
解密
加密钥
解密钥
2020/5/28
提出的背景： 在香农信息论出现以前，没有系统的通信理论。
是香农，开创了信息论的研究，奠定了一般性通信 理论的基础。对数字通信技术的形成有很大贡献。
（不论什么样的干扰信道，抓住了本质问题。）
* Roman 《Coding and information theory》, GTM 134，
新的教材： 在广义信息论、网络信息论方面的内容有所增加。
2020/5/28
第一讲 信息熵
1-1 信息论的主要内容 1-2 信息的度量－信息熵 1-3 信息熵的性质
2020/5/28
1－1. 信息论的主要内容
2020/5/28
( Shannon, 1916－2019)
“ A Mathematical Theory of Communication ” “ Communication Theory of Secrecy System ”
2020/5/28
About Claude Elwood Shannon:
2020/5/28
通信的根本任务：将一地点的消息可靠地、有效地 传送到另一地点。
通信系统的基本模型：
信源
信道
信宿
干扰源
2020/5/28
为了使消息可靠地、有效地传送到信宿，就需要 对信源的消息进行处理； 有没有可靠的、有效的处理方法？如何进行编码？ 香农信息论奠定了通信的理论基础。 信息是消息的不确定性度量。某消息出现的概率 大，它的信息量就小， 相反，某消息出现的概率 小，则它的信息量就大。通信的关键是信息的传 输问题。 信源编码：实现有效性；信道编码：实现可靠性； 密码：实现保密性及认证性；
R. J. McEliece《The Theory of Information and Coding》 第二版，电子工业出版社，2019。（内容简练，编码方面较全）
* J.H.Van Lint 《Introduction to coding theory》 GTM 86, Springer-Verlag, 2019.
1916年生于 Gaylord, MI 的一个小镇。母亲是一个语 言教师和中学校长，父亲是一个商人。
16岁高中毕业，进入密西根大学。1936年获得电子工 程和数学双学士学位。随后进入 MIT，作为研究生和研 究人员。一年后，完成布尔代数用于开关电路的硕士论 文。1940年完成“关于遗传学的代数”的博士论文。
信道编码 R<C
信道 解码
R’－编码信息传输率 L/N R －信道信息传输率 L/n
噪声
信宿
信源 解码
2020/5/28
香农信息论主要讨论如下内容： 1、围绕信息的度量所展开的讨论。这是信息论建立的基础，
给出了各种信息量和各种熵的概念； 2、围绕无失真信源编码所展开的讨论。最主要的结论是
香农第一定理以及各种信源编码方法 。 3、围绕信道编码所展开的讨论。它给出了信息传输率、
1941年以后进入 Bell 实验室。(新理论和技术的摇篮)
1945年写出“密码学的数学理论”，1949年正式出 版，名为“保密系统的通信理论”。1948年发表“通信 系统的数学理论”。其后又取得通信、人工智能等多方 面的成果。
2020/5/28
N 信源
信息 信号
L
C－信道容量
n 信道
信源熵 H
信源编码 R ’> H
6、 围绕通信网的发展带来的信息传输问题展开的讨论。 即网络信息理论，随着通信网、因特网的发展，它越 来越受到重视。
7、 围绕通信的保密所展开的讨论。包括保密通信的技术 体制及其数学模型，传输线路保密技术的信息论基础， 信息保密技术的基础知识以及保密通信的各种方法。
2020/5/28
本课程的讲授内容：Biblioteka 信息论基础2020/5/28
2011 年 3 月
教材和参考书：
傅祖芸 编著《信息论－基础理论与应用》， 电子工业出版社，2019，第二版.
孟庆生《信息论》，西安交通大学，1986。
（数学家写的研究生教材，含编码和密码）
朱雪龙《应用信息论基础》，清华大学出版社,2000。
（研究生教材，面向电子类，含编码方法。）
信道容量等概念，最主要的结论是香农第二定理，以及 基于该定理的各种信道编码，如分组码、卷积码等。 4、围绕带限信道传输的能力所展开的讨论，最主要的结论 是信道容量公式，即香农公式。
2020/5/28
5、 基于信息传输时允许一定程度的失真和差错所展开 的讨论。由此得到信息率失真理论、香农第三定理、 信息价值等。这是目前还在不断发展和完善的理论， 在通信以外得学科不断得到应用。
第四讲 信道容量及其计算 1. 信道容量 2. 信道容量的计算
第五讲 1. 2. 3. 4.
连续信源和信道 连续信源的微分熵 具有最大熵的连续信源 连续信道和波形信道 连续信道和波形信道的信道容量
王育民、梁传甲《信息与编码理论》，西电教材。
（内容深入，推导过程少）
沈连丰、叶芝惠 编著《信息论与编码》 东南大学硕士教材，科学出版社，2019， （面向通信专业）。
2020/5/28
周荫清主编《信息理论基础》 北航出版社，2019 （简洁，面向电子类）
T. M. Cover & J. A. Thomas , Elements of Information Theory ， Addison-Wesley Pub, 1990, 清华影印 。
第一讲 1. 2. 3.
信息熵 信息论的主要内容 信息的度量－信息熵 信息熵的性质
第二讲 1. 2. 3. 4.
信源的信息熵 信源的描述 无记忆扩展信源 离散平稳信源 马尔可夫信源
2020/5/28
第三讲 1. 2. 3.
平均互信息 信道和平均互信息 平均互信息的性质 数据处理定理
2020/5/28