第4章附白金汉量纲分析理论
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第四 章 量纲分析和相似理论
度、物质的量和发光强度这七个物理量作为“基本量”。
第一节 有因次量和无因次量
这七个基本量的因次相应地用［Ｌ］、［Ｍ］、［Ｔ］、 ［Ｅ］、［Θ］、［Ｎ］、［Ｃ］来表示，称为基本因次。其 它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程 推导出来的，称为“导来因次”。如速度的因次［LT－ 1 ］是
p p0 h
各项的因次都必须是［ML－1T－2］。
第一节 有因次量和无因次量
再如伯努利方程
p1
2 u12 p2 u2 z1 z2 2g 2g
各项的因次都必须是［Ｌ］。
由此可给出因次分析的一个重要原理，即
因次和谐原理： “凡正确的物理方程，其中各项的因次都
必须相同，这是完整物理方程所必然具有的特征”。 有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依 变关系，给人以直观感。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三
个基本量纲的指数乘积来表示，即
x L T M
α β
γ
（3）无量纲量
各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理
量 x L0T0M0 1 ，则称x为无量纲量。
阐述无量纲量的特点 2. 量纲和谐原理 量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方 程，其各项的量纲都必须是一致的。
（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模
型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足 流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
一、几何相似
几何相似：指模型和原型流动流场的几何形状相似， 即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。
流体力学第四章量纲分析与相似理论
a a a y = Kx1a1 x2 2 x3 3 ...xn n
2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式 其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式
3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立 根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式， 解出各变量的指数。 解出各变量的指数。 4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明 代入原假设的函数式中去，必要时整理简化， 的反映该物理现象的公式。 的反映该物理现象的公式。
•无量纲数可以是两个同类物理量的比值
例如水力坡度是水头损失与流程长度之比， 例如水力坡度是水头损失与流程长度之比，即
hw J= l
lJw h
其量纲
[J ] =
[ L] = 1 [] [ L]
水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变， 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变，其 数值的大小也不会改变。 数值的大小也不会改变。
科学地组织实验
指导实验结果的整理
建立物理量之间的关系
4.1 量纲分析的概念和原理 4.1.1 量纲
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
按性质不同分类 1、量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表示 用方括号将表示量纲的字母括起来 长度[L] 时间[T] 质量[M] [L]、 [T]、 长度[L]、时间[T]、质量[M] 采用dimq代表物理量q的量纲，则 采用dimq代表物理量q的量纲， dimq代表物理量 面积的量纲表示为dimA dimA＝ 面积的量纲表示为dimA＝L2
2、其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式 其中的某一个物理量可表示为其它物理量幂乘积形式
3、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式。 3、根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式，联立 根据量纲和谐条件，列出基本量纲的和谐方程式， 解出各变量的指数。 解出各变量的指数。 4、代入原假设的函数式中去，必要时整理简化，即得简明 代入原假设的函数式中去，必要时整理简化， 的反映该物理现象的公式。 的反映该物理现象的公式。
•无量纲数可以是两个同类物理量的比值
例如水力坡度是水头损失与流程长度之比， 例如水力坡度是水头损失与流程长度之比，即
hw J= l
lJw h
其量纲
[J ] =
[ L] = 1 [] [ L]
水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 水力坡度是一个无量纲数。它反映了实际液体总水头沿流程减少的情况。 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变， 无论长度单位是选择米还是厘米，只要形成该水力坡度的条件不变，其 数值的大小也不会改变。 数值的大小也不会改变。
科学地组织实验
指导实验结果的整理
建立物理量之间的关系
4.1 量纲分析的概念和原理 4.1.1 量纲
描述流体运动的物理量： 描述流体运动的物理量： 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、 长度、时间、质量、速度、加速度、密度、压强等
属性量纲 量度单位
按性质不同分类 1、量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表征物理量性质和类别的标志，是物理量的质的特征,也称为因次。 量纲表示 用方括号将表示量纲的字母括起来 长度[L] 时间[T] 质量[M] [L]、 [T]、 长度[L]、时间[T]、质量[M] 采用dimq代表物理量q的量纲，则 采用dimq代表物理量q的量纲， dimq代表物理量 面积的量纲表示为dimA dimA＝ 面积的量纲表示为dimA＝L2
4章 量纲分析和相思理论
第4章 量纲分析和相似理论
本节介绍模型实验的理论问题。 4-1 量纲分析的概念和理论 物理量：物质或物理现象的性质及定量的属 性。 量纲：属性相同的物理量 单位：同类物理量中，选取一个特定的量作 为参考量。此参考量称为单位。
基本量纲：质量、长度、时间等称为基本量纲。 导出量纲：一般物理量的量纲可以用基本量纲的幂 的乘积表示。例如：
dimV = LT −1, dim D = L, diml = L, dim ρ = M −3 L dim µ = M −1T −1 L dim ∆ = L dim ∆p = M −1T −2 L
3个基本量纲：M、L、T。 存在4个独立的量纲一的特征数：π1，π2， π3，π4。 确定特征数π1…π4: (1)在5个物理量中选出3个基本物理量ρ、D 、 V。 (2)基本物理量ρ、 D 、 V与另外两个物理量 组成2个量纲一的特征数。
例4-5 今修建一座桥梁，桥墩长度L1=24m，墩宽 b1=4.3m ，水深h1=8.2m ，水流速度v1=2.3m/s ，桥 墩间距B1=90m 。 打算进行模型实验。尺寸比1：50。试求模型的各 种尺寸和试验的水流量。
解：b1/b2= L1/L2 = h1/h2= B1/B2=50 b2=b1/50=0.086m L2=L1/50=0.48m h2=h1/50=0.164m B2=B1/50=1.8m
C D = f (Re) ∴ Re1 = Re 2 ∴ C D1 = C D 2
FD1 FD 2 = 2 2 2 2 ρ1V1 L1 ρ 2V2 L2 FD1 = FD 2
ρV L = 593.8 FD 2 = 2114 N ρV L
2 2 1 1 1 2 2 2 2 2
作业 4-10, 4-13
本节介绍模型实验的理论问题。 4-1 量纲分析的概念和理论 物理量：物质或物理现象的性质及定量的属 性。 量纲：属性相同的物理量 单位：同类物理量中，选取一个特定的量作 为参考量。此参考量称为单位。
基本量纲：质量、长度、时间等称为基本量纲。 导出量纲：一般物理量的量纲可以用基本量纲的幂 的乘积表示。例如：
dimV = LT −1, dim D = L, diml = L, dim ρ = M −3 L dim µ = M −1T −1 L dim ∆ = L dim ∆p = M −1T −2 L
3个基本量纲：M、L、T。 存在4个独立的量纲一的特征数：π1，π2， π3，π4。 确定特征数π1…π4: (1)在5个物理量中选出3个基本物理量ρ、D 、 V。 (2)基本物理量ρ、 D 、 V与另外两个物理量 组成2个量纲一的特征数。
例4-5 今修建一座桥梁，桥墩长度L1=24m，墩宽 b1=4.3m ，水深h1=8.2m ，水流速度v1=2.3m/s ，桥 墩间距B1=90m 。 打算进行模型实验。尺寸比1：50。试求模型的各 种尺寸和试验的水流量。
解：b1/b2= L1/L2 = h1/h2= B1/B2=50 b2=b1/50=0.086m L2=L1/50=0.48m h2=h1/50=0.164m B2=B1/50=1.8m
C D = f (Re) ∴ Re1 = Re 2 ∴ C D1 = C D 2
FD1 FD 2 = 2 2 2 2 ρ1V1 L1 ρ 2V2 L2 FD1 = FD 2
ρV L = 593.8 FD 2 = 2114 N ρV L
2 2 1 1 1 2 2 2 2 2
作业 4-10, 4-13
第四章 相似和量纲分析.
Vplp Vmlm VmVpllm p3021 0 060k0m /h 0
难以实现，要改变实验条件
2021/5/30
（2）改用水
水 1 .00 17 6 0 m 2/s 空 气 1.7 5 1 6 0 m 2/s
Vpl p Vmlm
p m
V m V pllm pm p 3 0 2 1 0 1 1 0 .0 .7 5 1 0 1 6 0 7 6 0 3k 8/m h 5
2021/5/30
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
pVplp mVmlm
p
m
ppVplppmVmlm
V mV pllm pP pm p30 1 2 0 3 0 1 020 k0 m /h
2021/5/30
1、两个流动现象相似应满足的条件？ 2、对于粘性不可压缩流体定常流流动，有 哪些相似准则来反应模型流动与原形流动相 似关系？ 3、模型实验中是否能够保证与问题相关的 所有相似准则都得到满足？
写成量纲式： [ q i] [ q 1 ] a [ q 2 ] b [ q n 1 ] p
根据量纲一致性原理，确定指数a、b、…p,
就20可21/5/得30 出表达该物理过程的方程式。
[例1]求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N 有关的物理量，
包括单位体积水的重度、流量Q、扬程H，即：
角速度比尺:
m p vvm p//llm p vl
2021/5/30
（3）动力相似
指两个几何相似、运动相似的流动系统 中，对应点处作用的相同性质的力，其方向 相同，大小成一定比例，且比例常数对两个 流场中任意对应点都不变。
p m
2021/5/30
难以实现，要改变实验条件
2021/5/30
（2）改用水
水 1 .00 17 6 0 m 2/s 空 气 1.7 5 1 6 0 m 2/s
Vpl p Vmlm
p m
V m V pllm pm p 3 0 2 1 0 1 1 0 .0 .7 5 1 0 1 6 0 7 6 0 3k 8/m h 5
2021/5/30
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
pVplp mVmlm
p
m
ppVplppmVmlm
V mV pllm pP pm p30 1 2 0 3 0 1 020 k0 m /h
2021/5/30
1、两个流动现象相似应满足的条件？ 2、对于粘性不可压缩流体定常流流动，有 哪些相似准则来反应模型流动与原形流动相 似关系？ 3、模型实验中是否能够保证与问题相关的 所有相似准则都得到满足？
写成量纲式： [ q i] [ q 1 ] a [ q 2 ] b [ q n 1 ] p
根据量纲一致性原理，确定指数a、b、…p,
就20可21/5/得30 出表达该物理过程的方程式。
[例1]求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N 有关的物理量，
包括单位体积水的重度、流量Q、扬程H，即：
角速度比尺:
m p vvm p//llm p vl
2021/5/30
（3）动力相似
指两个几何相似、运动相似的流动系统 中，对应点处作用的相同性质的力，其方向 相同，大小成一定比例，且比例常数对两个 流场中任意对应点都不变。
p m
2021/5/30
第四章 相似原理与量纲分析
图 4-2 几何相似、运动相似与动力相似
为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动 为例，原型与模型之间必须首先满足
v p / vm Cv
l p / lm Cl p / m C
公式中的 Cv、Cl、Cτ 称为速度、位移和时间的相似常数。 根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲 Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。无量纲量有两种， 一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。
无量纲物理量具有以下性质：客观性、不受运动规模的影响、清楚反映问题实质、可进行超越函是判断模型与原型是否相似的关键。因此，如何获得所研究问题相关的 相似准数是研究相似现象的必要步骤。常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括 相似转换法和积分类比法)和定律分析法。本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。 4.2.1 量纲与单位 任何物理量都包括大小和种类两方面。物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的 种类则用量纲(dimension，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。量纲与单位有以下区别：量纲 是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。同一 量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。 量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。基本量纲是 具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲 L、时间量纲 T、质量量纲 M。导出 量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
《量纲分析》课件
an
a1 1
a2
2
ak
k
❖ 描述物理现象的函数关系式可写成：
❖ 含有k个量纲的独立量的n个物理量之间的函数关系式， 简化为（n-k）个无量纲乘积（π）之间的关系式——无 量纲方程
材料工程基础及设备多媒体课件
8.2.3 量纲分析的一般说明
1、量纲独立：K个物理量，其中任一个物理量的量纲均不能由 其它物理量的量纲组合来表示，则称k个物理量的量纲彼此 独立。
a a a a 1
2
k
k 1
1
2
k
a a a a 1
2
k
k2
1
2
k
材料工程基础及设备多媒体课件
an a11 a2 2 ak k
❖ 则有：
a1 1
ak a2
2
1
ak
k
1
1
ak 1
a1 1
a2 2
ak k
a1
1
an a2 2
ak
k
1
nk
❖ 求解方程封闭：直接求解
方程不封闭：以（n--3）个量为待定量
❖ 逐项令待定量一项为1,其余为零,写出结果矩阵。
❖ 写出各无量纲乘积及准数方程。
材料工程基础及设备多媒体课件
例题:水流中物体的运动
例题:水流中物体的运动
F= f（μ、g、w、L、ρ）
❖ 写出量纲矩阵： ❖ 矩阵的秩：r =3
无量纲乘积数目n-k=3 ❖设 ❖ 写出指数方程 ❖ n＞3 ，
8.2 量纲分析
原理:1、量纲和谐性原则 2、 Π定理
重点：量纲分析法
材料工程一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。
量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的 一致性。
量纲分析摘要
量纲分析摘要物理问题的分析与研究过程，即为准确地认识与度量该物理问题涉及的物理量，寻找并建立这些物理量之间的内在联系和定量的函数关系；从某种意义上讲，对物理量或物理规律的认识最关键的一步就是对物理量或物理量之间的内在联系进行定量的描述。
无论物理问题形式如何，其必须满足量纲一致性法则，即只有量纲相同的物理量或物理量组合才能进行对比或加减运算，因此对于任何一个物理问题或规律，其函数关系中等式两端的量纲应该完全一致；也就是说，姑且不论等式两端数值是否相等，但其量纲必定相同。
换一个角度看，我们即使不知道函数中物理量的具体数值，纯粹从量纲上进行运算和转换也可对该物理问题或规律进行初步分析；反之，我们也可以根据量纲的一致性对所给出的函数关系的正确性进行预判。
这种多个物理量量纲之间的运算包含基础衍生量纲的展开、导出独立量纲向基本量纲的转换及其基本量纲之间的运算，这种分析过程即为量纲分析。
当前物理问题涉及的量纲有很多，如不考虑无量纲物理量，物理量量纲整体可以分为三类：基本量纲(7个)、导出独立量纲(20个)和衍生量纲。
衍生量纲与基本量纲之间的联系是通过衍生量纲对应的物理量定义来建立的，如加速度量纲展开为长度量纲与时间量纲的平方之商，就利用到加速度的定义；导出独立量纲与基本量纲之间的联系则是通过应用某个物理定律来建立的，如力的量纲转换为质量量纲与加速度量纲的乘积，就应用了牛顿运动定律。
因此，量纲分析的过程也是一系列物理量定义与定律的使用及运算过程，从某种程度上讲，这是量纲分析的一个物理本质。
当前，度量单位特别是国际标准度量单位的出现，极大程度地促进了科技交流和发展，但有时也使得物理规律分析更为复杂，因为这相当于在复杂的物理问题中引入了外部基准量；对于特定物理问题而言，如果我们不采用这些基准量，而直接采用物理问题所包含的某个物理量或某几个物理量组合为度量单位，则可在一定程度上简化物理问题的分析过程。
因此，量纲分析也是排除外部基准度量单位而利用物理问题或规律涉及的物理量或物理量的组合为度量单位的一个过程，这是量纲分析的另一个物理本质。
量纲分析法课件
量的待定幂指数，从而可得到 j 的表达式。 如在该问题中，令：
4
5
M M
0 L0 t 0 0 L0 t 0
L ML3 A1
Lt2 ML3
Mt2 A2 L A3
Mt L B1
2 B2
B3
4
5
M M
0 0
L0t0 L0t0
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度 、表面张
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
Re)
CD
A
2
2
此即为著名的雷利（Rayleigh)绕流阻力计算公式。
式中：CD f (Re) 称绕流阻力系数，在不可压缩流体中与Re 有 关，可由实验测取二者的关系曲线。
23
水射流的加工过程中非常复杂，涉及到许多参数，可以写成如下 式:
Vm f m , m , dm , s , H , E
式中：Vm —单个颗粒的切削率；m —颗粒的速度； m —磨料 的密度； dm —颗粒的平均直径； s —被加工材料的屈服强度；H 、E —材料的刚度和弹性模量。对其模型的描述也较为困难。
燕山大学的王军、于超、耿鹏飞等基于量纲分析法，建立了水射 流打孔过程的新数学模型，
通过试验验证该模型的误差仅为3 % ～ 1 0 % 。
24
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
量纲分析_精品文档
量纲分析量纲分析是解决物理和工程问题的一个重要的科学方法和强有力的工具。
本书着重对物理和工程问题的物理机理和数量级进行分析，尽量避免运用比较复杂的数学。
在介绍了作为量纲分析的唯一的理论基础η定理以后，采用案例分析的方法，由浅入深地阐述和介绍运用量纲分析方法来解决力学中众多方面的典型问题，其中包括简单和常见问题的分析；经典问题的分析；前沿问题的分析。
始终贯彻并突出说明的是，分析问题的关键在于：在控制问题的自变量中找出问题所固有的单位系统，以此度量有关的变量，合理地抓大放小，从而导出简要结果。
全书共10章，1、序论，介绍量纲、有量纲量、无量纲量、基本量、及其导出量的定义；2、量纲分析的基本原理，论述η定理，它是量纲分析的理论基础；3、流体力学中的问题，讨论量纲分析在流体力学中的应用；4、固体力学中的问题，介绍量纲分析在固体力学中的应用；5、固体中的热传导和热应力，讨论固体中热应力的相似定律；6。
流体运动和固体变形的耦合问题，采用量纲分析讨论流体运动和固体变形耦合的相关案例；7。
液体-弹塑性体模型，并以该模型为基础，讨论在爆炸和高速冲击的实际问题中的控制参数和相似性参数；8。
爆炸的相似律，讨论爆炸波的传播规律，工程技术应用中爆炸的基本原理和相似律，主要涉及爆炸成形、爆炸焊接和爆破；9。
高速冲击的相似律，介绍由三种类型反坦克弹产生的装甲动态破坏、射流和薄片的拉伸断裂、煤与瓦斯突出；10。
数学模拟中的归一化，数学模拟是指：不同类型的物理现象，可以用共同的数学语言来描述的一类模拟，数学模拟的关键在于归一化，即要选择合适的单位系统。
本书适合大学生和研究生阅读，对于物理、力学、工程技术和应用数学相关领域的研究人员、工程师、和研究生来说，是一本很有价值的参考书。
吴永礼，研究员（中国科学院力学研究所）。
用量纲分析方法求相似准则 相似理论 课件
P
h
L
b
PL3 3EI
4PL3 Ebh3
then "make it dimensionless"
L
4
P Eh2
L b
L h
E 表征材料 抵抗弹性变 形的能力， 其数值大小 反映该材料 弹性变形的 难易程度。
• Note the leading constant is of “order 1,” this is typical for relationships expressed in terms of dimensionless parameters
L
Buckingham’s Theorem:
P
h
b
L
f
(v,
L, h
L, b
P Eh2 )
例5 Dead Man’s Dive
The dive coach claims that a man who holds himself rigid as he topples from a 3-meter diving board will execute a successful dive. How is this result changed for a small boy?
Dead Man’s Dive
g
Nlh g m M 0 00 0 1 L 0 11 1 0 T 0 0 0 2 0
h
l
Rotation=Np
g and m cannot appear in pi’s, thus 3-1=2 pi’s
Dead Man’s Dive
h
g
l Rotation=Np
h f (N) l
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L
ML1T 2 L 3 2 ML LT
L2T 2 L 2 LT
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三 白金汉（Buckingham）定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有 n 个变量互为 函数关系， f (a1 , a2 , …an) = 0 而这些变量含有 m 个基本量纲，可把这 n 个变量转换成为 有 (n-m)=i 个无量纲量的函数关系式, F (1 , 2 , … n-m) = 0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程 中的变量数减少了 m 个，更为概括集中表示物理过程或 物理现象的内在关系。
L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0
所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为 F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
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至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式 可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么 p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re) p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
第四章 附
布金汉[Buckingham] 定理
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一
1. 量纲
量纲分析的基本概念
是物理量的单位种类，又称因次，如长度、高度、厚度等都 可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一
单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。
2. 基本量纲 导出量纲
用[ ]表示物理量的 量纲，用（ ）表 示物理量的单位
[4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 1=l/d
(4）
求解方程(1) M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+1+1=0 → 1= -1 求解方程（2） M:2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+2=0 → 2= -1 所以 2= /d
基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有 三个基本量纲：长度量纲L 时间量纲T 质量量纲M
导出量纲由基本量纲组合表示，如
加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成[B]=MLT
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基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量） 和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系导 出，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数， 所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取 基本量的原则。
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求解方程（3） M: 1+3=0 → 3= -1
T: -1-3=0 → 3= -1
L: -1-3 3+ 3+3=0 → 3= -1 所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1 T: -2-4=0 → 4= -2
令= F2( /d, 1/Re)
p/= (l/d)(v2/2g) 这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示了等直圆管 中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成 正比，与管径成反比。
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从该例题看出，利用定理，可以在仅知与物理过程
有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的 基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还 带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量 纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。 因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
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例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压
降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内 流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。 试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为
f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三 个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量 的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
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1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0 [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0 （1） （2） （3）
vl LT 1 L [Re] 2 1 1 LT
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量纲和谐性原理
量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲 齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物 理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致 的、齐次的。 一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样， p v2 以能量方程为例 z C g 2 g 方程左边各项的量纲从左到右依次为：
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如、v 、l 可以构成一组基本量，包含了L 、M 、T 这三个基本量纲，而 a 、v 、l 就不能构成基本量，因为不 包含基本量纲M
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4. 无量纲量 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个 数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的 综合物理量，如雷诺相似数