流体力学 第四章 量纲分析讲解

解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则
Q vA vl 2 Q vl2
佛劳德准则： v l
Q

5 2 l
Qp Qm5l 2 300 205 2 537000L / s 537m3 / s

v

1
l
Fr（gp=gm）：
v
2 p
vm2
lp lm
v l
1
l
l
l 1 失去模型实验的价值
（2）不同介质（υp≠υm）
Re：vplp vmlm
p m

v

l
Fr：
3
l2
v l
取 l 10
m

p
3

p
31.62
vp
lp lm
300 20 1
6000km/ h
难以实现，要改变实验条件
（2）改用水
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
201.007106 300 115.7 106

up um
v
λv——速度比尺
时间比例尺
t
tp tm
lp lm
vp vm
l v
加速度比尺
a

v t

v2 l
流量比例尺
q

qV p qVm

l
3 p
lm3
tp tm
3l t
2lv
运动粘度比例尺 角速度比例尺
lv


v l
高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m 原型是空气υp=15.7×10-6m2/s Re vd 3107 属阻力平方区（自模区）

因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区 （Re=50000）
Re

vm 0.12 15.7 106
50000
vm
6.5m / s
此时
v

8 6.5
1.23
例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20℃、 压强为1at的静止空气中飞行，用λl=20的模型在风洞中 作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风 洞中空气速度应为多少？
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
密度比例尺 质量比例尺


p m
m

mp mm

pVp mVm
3l
力的比尺
F

Fp Fm
ma
l22v
力多边形法则： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
动力粘度的比例尺
lv
无量纲系数的比例尺
C 1
相同介质重力加速度的比例尺
g 1
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，组 成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相似 流动中应该是相等的
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
10 2
υp——水 υm——很困难
如果υp——空气（15.7×10-6m2/s） 自模区——阻力平方区
υm——水（1.007×10-6m2/s）
（与Re无关）
l 6.24
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
385km/ h
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
Re vl pvl
ppvpl p pmvmlm
vm
vp
lp pp lm Pm
300 20 1 200km/ h 1 30
例3：溢水堰模型，λl=20，测得模型流量为300L/s，水 的推力为300N，求实际流量和推力
斯特洛哈尔数——脉动角频率的相似准数
Ar

gd0T0
v02Te

浮力与重力之差（有效 惯性力
重力）
阿基米德准数——温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数

3.准则的选择
很难实现同时满足两个以上准数相等
例：若同时满足Re数相等和Fr数相等
（1）同种介质（υp=υm）
Re：vpl p vmlm
改成
FIP FIm FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v2
v
2 p

vm2
g plp gmlm
无量纲数
Fr

v2 gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
FPP FIP FPm FIm
改成
FPP FPm FIP FIm
FP l 2 FI l 2v2
FTP FIP FTm FIm
改成
FIP FIm FTP FTm
FT

A dv
dy

lv

lv
FI ma l 2v2
vpl p vmlm
p m
无量纲数 Re vl

雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
第四章 相似原理和量纲分析
§4-1相似原理
1.力学相似的基本概念
（1）几何相似
lp lm

dp dm
l
p m
λl——长度比尺
Ap Am

l
2 p
lm2
l2
vp vm

l
3 p
lm3
3l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似
vp vm
无量纲数
Ca

v2
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a E 代入（*）式，得

vP vm aP am
无量纲数 M v a
马赫数——弹性力的相似准数
（5）其它准数
W v2l

表惯面性张力力
韦伯数——表面张力的相似准数
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Sr

l
v
vt l

时位变变惯惯性性力力
PP
P vP2

Pm
m vm2
无量纲数
Eu

p
v 2
p
v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
FEP FIP FEm FIm
改成
FIP FIm FEP FEm
FE El 2 E——弹性模量 FI l 2v2

P
v
2 p

mvm2
Ep
Em
（*）