第四章相似和量纲分析
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第四 章 量纲分析和相似理论
度、物质的量和发光强度这七个物理量作为“基本量”。
第一节 有因次量和无因次量
这七个基本量的因次相应地用［Ｌ］、［Ｍ］、［Ｔ］、 ［Ｅ］、［Θ］、［Ｎ］、［Ｃ］来表示，称为基本因次。其 它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程 推导出来的，称为“导来因次”。如速度的因次［LT－ 1 ］是
p p0 h
各项的因次都必须是［ML－1T－2］。
第一节 有因次量和无因次量
再如伯努利方程
p1
2 u12 p2 u2 z1 z2 2g 2g
各项的因次都必须是［Ｌ］。
由此可给出因次分析的一个重要原理，即
因次和谐原理： “凡正确的物理方程，其中各项的因次都
必须相同，这是完整物理方程所必然具有的特征”。 有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依 变关系，给人以直观感。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三
个基本量纲的指数乘积来表示，即
x L T M
α β
γ
（3）无量纲量
各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理
量 x L0T0M0 1 ，则称x为无量纲量。
阐述无量纲量的特点 2. 量纲和谐原理 量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方 程，其各项的量纲都必须是一致的。
（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模
型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足 流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
一、几何相似
几何相似：指模型和原型流动流场的几何形状相似， 即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。
4相似原理和量纲分析
§4.2 量纲分析与定理
影响某种流动现象的物理量可以有很多。当这些物理量间不能 用微分方程表示时，通过量纲分析确定出有关相似准则间的定性 关系。再通过实验进一步确定其定量关系。
定理
如果一个物理过程涉及到 n个物理量和r个基本量纲，则这个
物理过程可以由n个物理量组成的n-r个无量纲量（相似准则数i）
解：这是物体绕流，应该主要考虑粘性力相似和压力相似。
由雷诺数相等： lu lu （空气的粘度不变）
Kl
l l
u u
62.5 3600 5 45000
由欧拉数相等： p p
或
u 2 u2
p
u
2
p
u
R
pA
u
2 pA
u
2
R
A
u
2
l
2
R
R
500
u
u R u l
§4.2 量纲分析与定理
第四章 相似原理和量纲分析
§7.1 相似原理与模型实验 §7.2 量纲分析与π定理
§4.1 相似原理与模型实验
一、流动相似的概念
(1)如何把特定条件下的实验结果推广到其它流动中?
(2)如何将实物(或原型)缩小或放大制成模型，并通过 模型的实验结果推知原型中的流动？
(3)要使两流动现象相似，必须满足力学相似条件，即 几何相似、运动相似和动力相似。
3
v d 3 3 3
4
p
v d 4 4 4
其中，待定系数 , , 由量纲的一致性原则确定。
§4.2 量纲分析与定理
1
l d
2
d
3
vd
1 Re
无量纲准则方程为：
l 1 p F1( d , d , Re , v2 ) 0
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
第四章 相似和量纲分析.
Vplp Vmlm VmVpllm p3021 0 060k0m /h 0
难以实现，要改变实验条件
2021/5/30
（2）改用水
水 1 .00 17 6 0 m 2/s 空 气 1.7 5 1 6 0 m 2/s
Vpl p Vmlm
p m
V m V pllm pm p 3 0 2 1 0 1 1 0 .0 .7 5 1 0 1 6 0 7 6 0 3k 8/m h 5
2021/5/30
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
pVplp mVmlm
p
m
ppVplppmVmlm
V mV pllm pP pm p30 1 2 0 3 0 1 020 k0 m /h
2021/5/30
1、两个流动现象相似应满足的条件？ 2、对于粘性不可压缩流体定常流流动，有 哪些相似准则来反应模型流动与原形流动相 似关系？ 3、模型实验中是否能够保证与问题相关的 所有相似准则都得到满足？
写成量纲式： [ q i] [ q 1 ] a [ q 2 ] b [ q n 1 ] p
根据量纲一致性原理，确定指数a、b、…p,
就20可21/5/得30 出表达该物理过程的方程式。
[例1]求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N 有关的物理量，
包括单位体积水的重度、流量Q、扬程H，即：
角速度比尺:
m p vvm p//llm p vl
2021/5/30
（3）动力相似
指两个几何相似、运动相似的流动系统 中，对应点处作用的相同性质的力，其方向 相同，大小成一定比例，且比例常数对两个 流场中任意对应点都不变。
p m
2021/5/30
难以实现，要改变实验条件
2021/5/30
（2）改用水
水 1 .00 17 6 0 m 2/s 空 气 1.7 5 1 6 0 m 2/s
Vpl p Vmlm
p m
V m V pllm pm p 3 0 2 1 0 1 1 0 .0 .7 5 1 0 1 6 0 7 6 0 3k 8/m h 5
2021/5/30
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
pVplp mVmlm
p
m
ppVplppmVmlm
V mV pllm pP pm p30 1 2 0 3 0 1 020 k0 m /h
2021/5/30
1、两个流动现象相似应满足的条件？ 2、对于粘性不可压缩流体定常流流动，有 哪些相似准则来反应模型流动与原形流动相 似关系？ 3、模型实验中是否能够保证与问题相关的 所有相似准则都得到满足？
写成量纲式： [ q i] [ q 1 ] a [ q 2 ] b [ q n 1 ] p
根据量纲一致性原理，确定指数a、b、…p,
就20可21/5/得30 出表达该物理过程的方程式。
[例1]求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N 有关的物理量，
包括单位体积水的重度、流量Q、扬程H，即：
角速度比尺:
m p vvm p//llm p vl
2021/5/30
（3）动力相似
指两个几何相似、运动相似的流动系统 中，对应点处作用的相同性质的力，其方向 相同，大小成一定比例，且比例常数对两个 流场中任意对应点都不变。
p m
2021/5/30
第四章 相似原理与量纲分析(新)
第四章 相似原理与量纲分析流体力学中许多工程实际问题由于边界条件复杂，影响因素众多，目前还不能用数学分析方法求出严谨的答案。
即使有少数问题可导出微分方程，但由于它是非线性的，也难以求得精确解。
有些由解析方法求解的，也要做相当的简化和假定，以致结论与实际情况不完全相符。
这就必须借助实验，而且实际中很多公式和系数就是实验的总结。
根据已有的科学知识，进行船舶、飞机和水力机械等的设计是否符合实际需要和流体力学原理，要由实践来证实，因为经济和技术上的原因，不可能直接作出实物实验。
但是，实验必须有理论指导，否则将带有很大的局限性和盲目性，而相似原理和量纲分析就是指导和分析实验的理论依据。
通过相似原理和量纲分析可以正确和合理地制订实验方案和设计模型，获得符合实际的结果。
§ 4-1 相似原理和相似判据一、 相似原理相似概念最早出现于几何学。
如果两个几何图形的对应夹角相等，对应边成比例，那么这两个几何图形是相似的。
这一概念可被推广于一般的物理过程。
所谓两个系统是相应的，就是假定一个系统的一个点和瞬时(ｘp ，ｙp ，ｚp ，ｔp)可以和另一系统的唯一的一个点和瞬时(X Ｍ，Y Ｍ，Z Ｍ，ｔＭ）相对应，并且假定连续性条件适用于这两个系统中的任何两个相邻点。
所谓同名物理量即两个系统中表示同一物理属性的量。
例如，一个系统中某点的速度和另一系统中相应点的速度是两个系统中的同名物理量。
当两个相应系统中进行着同一的物理过程(例如都是机械运动)，而所有相应点的同名物理量的方向相同，其大小之间保持着同一比例关系，那么这两个系统就是物理相似的。
在流体力学中，两个流动系统中相应点的各种向量物理量彼此之间相互平行，并且向量或标量物理量互相成一定比例，则称两个流场是力学相似的。
要实现力学相似，两个流场必须具备以下几个条件：①几何相似；②运动相似；③动力相似；④边界条件和起始条件相似。
(一)几何相似如果两个流场几何形状相同，它们所有相应线段长度之比为同一常数，那么这两个流场是几何相似的。
第四章 相似原理与量纲分析
图 4-2 几何相似、运动相似与动力相似
为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动 为例，原型与模型之间必须首先满足
v p / vm Cv
l p / lm Cl p / m C
公式中的 Cv、Cl、Cτ 称为速度、位移和时间的相似常数。 根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲 Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。无量纲量有两种， 一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。
无量纲物理量具有以下性质：客观性、不受运动规模的影响、清楚反映问题实质、可进行超越函是判断模型与原型是否相似的关键。因此，如何获得所研究问题相关的 相似准数是研究相似现象的必要步骤。常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括 相似转换法和积分类比法)和定律分析法。本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。 4.2.1 量纲与单位 任何物理量都包括大小和种类两方面。物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的 种类则用量纲(dimension，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。量纲与单位有以下区别：量纲 是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。同一 量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。 量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。基本量纲是 具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲 L、时间量纲 T、质量量纲 M。导出 量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
量纲分析与相似理论
为3，应使其分别具有质量因次、时间因次（运动因次）、长度因次， 如ρ、V、d ③ 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物
理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出 n－3 个 Π 项。
1
x4
x a1 1
x b1 2
x c1 3
2
x5
x a2 1
x b2 2
x c2 3
（4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
们确定所有动力学量的比例尺。
•几何相似是运动相似和动力相似 的前提； •动力相似是决定流动相似的主要 因素； •运动相似是几何相似和动力相似 的表现。
§4-4 流动相似的准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
模型采用同oxing流体，则将导致 Cl 1 ，失去了模型试验的价值。
•实际应用时，通常只保证主要力相似.
④ 据因次齐次性求各 Π项的指数 ai，bi，ci
⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式
F (1, 2,, nm ) 0
§4-3 流动相似的基本概念
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
由式 (4-10) 得:
CF 1 C Cl2Cv2
（4-15）
Ne称为牛顿数，
或:
F' F
'l'2 v'2 l 2v2
（4-16）
它是作用力与惯 性力的比值。
理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出 n－3 个 Π 项。
1
x4
x a1 1
x b1 2
x c1 3
2
x5
x a2 1
x b2 2
x c2 3
（4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
们确定所有动力学量的比例尺。
•几何相似是运动相似和动力相似 的前提； •动力相似是决定流动相似的主要 因素； •运动相似是几何相似和动力相似 的表现。
§4-4 流动相似的准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
模型采用同oxing流体，则将导致 Cl 1 ，失去了模型试验的价值。
•实际应用时，通常只保证主要力相似.
④ 据因次齐次性求各 Π项的指数 ai，bi，ci
⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式
F (1, 2,, nm ) 0
§4-3 流动相似的基本概念
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
由式 (4-10) 得:
CF 1 C Cl2Cv2
（4-15）
Ne称为牛顿数，
或:
F' F
'l'2 v'2 l 2v2
（4-16）
它是作用力与惯 性力的比值。
流体力学第4章相似原理和量纲分析
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
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2010-9-29
西安交通大学流体力学课程组
14
相似准则6
前提
几何相似
动力相似
前提 表象
主导 表象
运动相似
2010-9-29
西安交通大学流体力学课程组
15
Re 数特征长度 L 和特征速度 V
流动 圆管流动 钝体绕流 平板边界层
Re << 1 Re < 2100
Re >> 1
特征长度与特征速度
V 过流断面平均速度
4.1 力学相似
模型流动与实物流动在各对应点和对应时 刻，对应物理量成一定的比例关系
力学相似
几何相似 运动相似 动力相似
2010-9-29
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3
几何相似1
几何相似
针对描述几何形状的量
模型流动与实物流动有相似的边界形状 对应的线性尺寸成同一比例
L1m L1 p
L2m L2 p
CL
α
CL – 线性比例系数
2010-9-29
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α
4
几何相似2
对应的面积和体积分别成一定的比例关系
Am Ap
L2m L2p
C
2 L
Vm Vp
L3m L3p
C
3 L
α
α
线性尺寸成同一比例时，对应的夹角相等
2010-9-29
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5
运动相似1
运动相似
水深
2010-9-29
西安交通大学流体力学课程组
17
自模化
过渡区
过渡 粗糙区
完全粗糙区 自模化
层流
水力学 光滑管
Re
2010-9-29
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18
第四章 相似和量纲分析
流体动力学
相似原理、准则数
基础知识
几何相似，几种力的定义
2010-9-29
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1
相似原理与量纲分析概述2
流体力学的 研究方法
理论分析 实验研究 数值模拟
力学相似
实物流动
模型流动
量纲分析
分析物理现象中的未知规律
2010-9-29
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2
爆聚气泡的显微照片
轴流式泵叶片的绕流
2010-9-29
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13
相似准则5
马赫准则 （马赫数）
Ma v a
惯性力与弹性力的比
Ma < 1：亚音速流动 Ma = 1：音速流动 Ma > 1：超音速流动
可压缩流动中重要的准则数 高速流动问题
模型流动与实物流动动力相似时，必须 保证在对应点上各个准则数分别相等
am ap
Vm Vp
tm tp
CV Ct
Ca
流线几何相似
2010-9-29
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7
动力相似1
动力相似
针对描述动力特征的量
满足几何相似 对应瞬时，对应空间点
同名力方向相同，大小 成同一比例
F1m F1 p
F2m F2 p
CF
p1 p p1m
1p p2 p Wp
2p
1m p2m Wm
2m
CF – 作用力比例系数
2010-9-29
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8
相似准则1
准则数
惯性力与某种力的比
惯性力 重力 粘性力 弹性力 表面张力
2010-9-29
Ma L2V 2
Mg L3 g
压力
A du A VL
dy Ev A EV L2
l L
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Eu
p
V 2
如果有其它参数导致流 态改变，Eu 也会变化
压力或压差对流速分布影响较大的流动中重 要的准则数
空化效应或空蚀现象等
2010-9-29
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12
汽穴、汽蚀、空化1
气泡直径：0.15-6 mm 射流速度：110 m/s 撞击壁面压强: 50700 kPa 液体温度不到1/1000秒内升 高2100C
L 管道直径
来流速度
迎风截面的宽度
来流速度
到前缘的距离
特征 Re 范围
低Re粘性流动－蠕动流
管内粘性层流
边界层外理想无旋－势流 边界层内粘性有旋
2010-9-29
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16
Fr 数特征长度 L 和特征速度 V
流动 水面船舶 明渠流
特征长度与特征速度
V 船舶速度 平均流速
L 吃水线长度
针对描述运动状态的量
满足几何相似
对应瞬时，对应空间点
流速方向相同，大小成同一比例
V1m V1 p
V2m V2 p
CV
CV – 速度比例系数
2010-9-2运动相似2
流体质点通过对应距离的时间相似
tm Lm Vm t p Lp Vp
CL CV
Ct
流体质点的加速度相似
弗劳德准则 （弗劳德数）
惯性力与重力的比
Fr V gL
重力加速度一样时， 小模型对应小流速
是具有自由液面流体流动时重要的准则数
船舶形成的波运动、明渠流、水对桥墩的作用、溢 洪道流动、孔口出流及其它重力起主要作用的流动
2010-9-29
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11
相似准则4
欧拉准则 （欧拉数）
压力与惯性力的比
pA pL2
9
相似准则2
雷诺准则 (雷诺数)
惯性力与粘性力的比
Re VL
Re VL
小模型，高流速
原型与模型中的流体 无需一致
V 为特征速度，L 为特征长度
粘性流动最重要的准则数：完全充满的管道流动、 飞行器或潜艇 （不产生水面波）的阻力等
2010-9-29
西安交通大学流体力学课程组
10
相似准则3