第五章 相似原理与量纲分析
流体力学第五章相似原理和量纲分析
vl vl
vl vl
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
Re vl vl
雷诺数，惯性力 与黏性力之比
黏性力作用相似： Re Re
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
或者：
p Eu
v 2
Eu p
v 2
欧拉数，是总压力与 惯性力的比值
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理
量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可 由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理 量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本 量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本 量的原则。
k kl3kg
v
v
gl1 2 gl1 2
kv kl kg
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr
v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： Fr Fr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力分布必须相似
kF
F F
dvx dvx
/ dyA / dyA
k kvkl
F ma V dv dt F ma Vdv dt
F
F
l2v2 l 2v2
kF 1
k
k2 l
k2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： Ne Ne
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kF
相似原理和量纲分析
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，
第五章 相似原理与量纲分析
例：长度比为1/50的船舶模型，在水池中以1m/s的 速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1） 原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度； （3）原型中需要的功率？
第三节 流动相似条动，它们都应为相同 的微分方程组所描述。 2、单值条件（几何条件、边界条件、物性条件、初 始条件）相同或相似； 3、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：包含几何、运动和动力三个方面的因素。 例如固体边界上的法线流速为零，自由液 面上的压强为大气压强等 。
流动相似的含义： 1、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
2、动力相似是决定两个液流运动相似的主导因素；
3、运动相似是几何相似和动力相似的表现； 4、凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似 和动力相似的流动。
例：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通 过的流量为0.18m3/s ，现用水来作模型试验，当模型 管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度 为 0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达 到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm， 试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高 表示）？
M F l kM k F kl k kl3kv2 M Fl
p Fp A k F kp k kv2 p Fp A k A
功率比例尺 动力粘度比例尺
kP
P F v k F kv k kl2 kv3 P Fv k k k k kl kv
例1：当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内 油深太小，会形成大于油面的漩涡，并将空气吸入 输油管。为了防止这种现象，需通过模型实验确定 油面开始出现漩涡的最小油深hmin。已知输油管内 径d=250mm，qV=0.14m3/s，运动黏度ν=7.5x10-5m/s。 倘若选取的长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似， 模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动黏度 应等于多少？在模型上测得h'min=60mm，油池的最 小深度hmin应等于多少？
流体力学第5章 相似性原理和量纲分析
几何相似只有一个长度比例尺，几何相似是力学 相似的前提
二、运动相似
❖ 流场中所有对应点上对应时刻的流速方向相同大小成比例。
v3' 3
v1'
v2'
1
2
3
v3''
v1 v1
v2 v2
v3 v3
v v
kv
v1''
1
2
kv——速度比例尺
v2''
A
A
o
系统1：v
l t
o
系统2：v l t
时间比例尺 加速度比例尺
1/ p
7.5k,kpkv2'
0.001207, kv 4416(Pa)
22.5, 有
F F ' F ' 1.261104(N)
kF
k
k
2
l
k
2
v
M M ' 2030(N m)
k
k
3k
l
2
v
第五节 量纲分析法
❖一、量纲分析的概念和原理 ❖ 量纲是指物理量的性质和类别。例如长度和质量， 它们分别用 [ L ] ， [ M ]表达。 ❖而单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量的 大小，如同为长度量纲的米，厘米等单位。
如何进行模型实验： (1) 几何相似（模型和实物、攻角、位置等）； (2) 确定相似准则数； (3) 确定模型尺度和速度； (4) 实验数据整理(无因次形式)； (5) 试验值与实际值之间的换算。
完全相似：两个流动的全部相似准则数对应相等。不可能实现。 部分相似：满足部分相似准则数相等。
近似的模型试验：在设计模型和组织模型试验时，在 与流动过程有关的定性准则中考虑那些对流动过程起 主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的
第五章 相似理论与量纲分析
第五章相似理论与量纲分析Chapter FiveSimilitude and Dimensional Analysis第五章相似原理与量纲分析仅仅依靠理论知识，一般是很难确定与流体流动相关的所有参变量是如何相互联系的。
在确定函数、关系式、以及某些参变量与自变量的关系时，常常采用实验研究的方法。
鉴于完整描述流体流动的变量数较多，需要进行的实验数目将是相当惊人的。
然而，利用量纲分析与相似原理，可以大大减少需要进行实验的数目。
涉及到流体力学的大多数工程问题的求解，都依赖于实验所获得的数据。
在很多情况下，经验数据已经足够满足工程师们的一般设计需求，这些数据，例如管道的阻力系数与钝头体的阻力系数，可以通过学术期刊及教科书查到。
然而，在许多问题中，要么是引导流动的几何结构太特殊、要么是流动本身太稀少，需要对结构不同尺度的复制品进行专门的实验，以预测流态与压强的变化。
在进行这样的实验时，在实际工程设计中所采用的结构称为原型，复制品称为模型。
基于经济的原因，模型一般比原型小很多。
5.1 相似原理与模型实验5.1.1 几何相似、运动相似、动力相似相似最基本的、或许也是最明显的要求，就是在几何上模型是原型精确的复制品，如图5-1所示。
.Fig.5-1 Prototype and Model 原型与模型定义：所谓几何相似，就是模型与原型有完全相同的形状，它们只是尺寸不同。
用下标m表示模型，下标p表示原型，定义长度比尺为(5.1)模型与原型之间对应的面积和体积有如下的比例关系Chapter FiveSimilitude and Dimensional Analysis定义：所谓运动相似，指的是除了满足几何相似，在流动中所有对应点的速度之比相等。
速度比尺为(5.2)由于时间在尺度上等于长度除以速度，所以时间比尺为按同样的方法，加速度比尺为流量比尺为运动粘度比尺为注：矢量相似要求：1）所涉及的矢量大小成比例，2）各矢量的方向相同。
第五章量纲分析和相似原理
Ρ ρ,ρ rho 电阻系数（小写）
∑ ζ,s sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写） Φ φ phi 磁通；角 Ψ ψ psi 角速；介质电通量（静电力线）；角 Ω ω omega 欧姆（大写）；角速（小写）；角
补充资料
A α 阿尔法 B β 贝塔 Γ γ 伽玛 Δ δ 德尔塔 Ε ε 伊普西隆 Ζ δ 泽塔 Μ κ 米欧 Νλ纽 Ξ μ 克西 Ο ν 欧米克隆 ∏π派 Ρξ柔 ∑ ζ 西格玛 Τη陶
对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其 他物理量量纲均为导出量纲。 速度 dimv=LT-1； 力 dimF=MLT-2； 加速度 dima=LT-2 动力粘度 dimκ=ML-1T-1
综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3
个基本量纲的指数乘积形式表示。
补充资料
1
2
n
据量纲和谐原理 [L]: 有: [T]: [M]: a = a1 1 ＋ a2 2 +……+an n b = b1 1 ＋ b2 2 +……+bn n c = c1 1 ＋ c2 2 +……+cn n
解出： 1 ， 2 ， 3 ， …….. n
（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的
2、量纲的分类：
（1）基本量纲（独立量纲） ——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 长度量纲： [L] 如： 质量量纲： [M] 时间量纲： [T] 温度量纲： [Θ] （2）导出量纲（非独立量纲）
如： 速度量纲： [ L T –1] ； 流量量纲： [ L3 T –1] 。
——可由基本量纲导出的量纲。
2
1 =1
第五章 相似原理和量纲分析
kρklkv 1 k
klkv 1 k
• 的制约，不能全部任意选择。
• 当模型与原型用同一流体时，kρ= kμ= 1，故有
k
1 kl
三、压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场必相似。
kF
Fp Fp
pA pA
p p
A A
k pkl2
代入
kF k ρkl2kv2
v v kv 速度比例尺
图5-2 速度场相似
由于流场的几何相似是运动相似的前提条件, 因此甚易证明，模型与原型流场中流体微团经过 对应路程所需要的时间也必互成一定比例，即
时间比例尺
kt
t t
l l
v v
l v
l v
kl kv
由几何相似和运动相似还可导出用kl、kv表 示的有关运动学量的比例尺如下：
• 二流动的重力作用相似，其弗劳德数必定相等， 即 Fr′= Fr ；反之亦然。
• 重力相似准则，又称弗劳德准则。
• 重力作用相似的流场，有关物理量的比例尺要受
kv
kl k g
12
1
的制约，不能全部任意选择。
• 由于在重力场中
故有
g g kg 1 kv kl1 2
二、黏滞力相似准则
在黏滞力作用下相似的流动，其黏滞力分布必 须相似。
kF
F F
d vx d vx
d yA d yA
d vx d vx
1 d y
A A
dy
k kv
1 kl
kl2
k kv kl
第5章 相似原理与量纲分析
V 2
Ev
LV 2 LV 2 LV 2 Weber number We m p
1 相似原理—力学相似的基本概念
流场的动力相似的条件
在对应点上的Fr、Re、Eu、Ma、We分别相等。
流场的力学相似
同时满足几何相似，运动相似和动力相似。 解决了如何安排实验的问题。
3 3
m p
C C C g
3 L
CF CLCg 2 2 2 2 2 Cv C C L Cv C C L Cv
3 C CLC gFra bibliotekg m Lm g p Lp V V
2 m 2 p
1
V2 V2 Fr p Fr m gL p gL m V Fr 弗劳德数 （Froude number） gL
相似条件—相似第二定理
同一类物理现象，描述物理现象的数理方程相 同（如果有）。 单值条件相似。 单值条件中的物理量所组成的相似准则相等。
2 量纲分析法 — 量纲与单位
量纲 用来描述物体或系统物理状态的可测量性质。 任一个物理量完整的表述：大小、单位。 基本量纲、导出量纲 物理学中有7个基本量纲：
模型流动x向 的N-S方程
1 相似原理—相似性质
xm ym zm CL 几何相似 xp yp z p
物性相似 运动相似 动力相似
m C p
m C p
um vm wm Cv u p v p wp
f X ,m fX , p
F / L F / L
1 相似原理—相似性质
第三个制约关系
Cp C C
2 v
1
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第五章 相似理论与量纲分析5．1基本要求本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。
其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。
5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义，量纲的定义。
5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。
5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。
重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。
难点：量纲分析法，模型律。
5．2基本知识点5．2．1相似的基本概念为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。
具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。
原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。
1. 几何相似两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。
即n nl m m L d C L d == n m θθ=相应有 222n nA l m m A L C C A L === 333n n V l m mV L C C V L ===2. 运动相似两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。
n nu m mu C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2u u a t lC C C C C ==3. 动力相似两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。
Im pn n In n Gn EnF m m Gm pm EmF F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
5．2．2相似准则描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，利用该方程可得到模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间的约束关系即相似准则。
常用的相似准数为: 1. 雷诺数ReRe uL uLρμν==，Re 数表征了惯性力与粘滞力作用的对比关系。
2. 弗汝德数Fr2u Fr gL=，Fr 数表征惯性力与重力作用的对比关系。
3. 欧拉数Eu2pEu u ρ∆=，Eu 数表征压力与惯性力作用的对比关系。
4. 斯特劳哈勒数St2L u tSt tu u L==，St 数是时变加速度与位变加速度的比值，标志流动的非定常性。
5．2．3模型律 1. 模型律的选择动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全相似。
但同时满足所有相似准数都相等，在实际上是很困难的，有时也是不必要的。
实际上我们往往只需要考虑主要动力相似，即只要起主导作用的相似准数相等即可。
要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来选择恰当的相似准数。
2. 模型试验模型试验步骤：①选定l C ；②求模型的几何边界；③选模型律；④实现相似，计算相应物理量。
5．2．4量纲分析法 1. 量纲分析 1） 量纲量纲是物理量的单位种类。
注意量纲与单位的区别！基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L 、时间量纲T 和质量量纲M 。
导出量纲由基本量纲组合表示。
任一物理量均可由基本量纲的指数乘积的形式来描述：[]q M L T αβγ⎡⎤=⋅⋅⎣⎦2） 无量纲量无量纲量指物理量的量纲为1，用000M LT 表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。
无量纲量可由几个有量纲量通过乘除组合而成或由同类量的比值组成。
无量纲量的优点：①客观；②不受运动规模的影响；③可进行超越函数的运算。
3） 量纲和谐原理量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中各项的量纲应该是一致的。
推论：（1）凡正确反映客观规律的物理方程，都可表示成由无量纲项组成的无量纲方程。
（2）量纲和谐原理规定了一个物理过程与有关物理量之间的关系。
2. π定理：对于某个物理现象，如果存在n 个变量互为函数，即12(,,,)0n F A A A = 。
而这些变量中含有m 个基本量，则可把这n 个变量成（n-m ）个无量纲数的函数关系12(,,,)0n f πππ= ，即可合并n 个物理量为（n-m ）个无量纲π数。
π定理解题步骤如下：1） 确定关系式：确定所研究流动问题所包含的各个物理量及其关系式：121211(,,,)0,(,,,,,,)n i i i n F A A A A F A A A A A -+== 或 2） 确定基本量：从n 个物理量中选取m 个基本物理量作为基本量纲，一般3m =，如A 1，A 2，A 3；3） 确定无量纲变量π数的数目(n-m )，并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式：1231,2,...,,iiii i i i i A A A A i n m αβγπαβγ==-；为待定指数4） 确定无量纲π数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数,,αβγ，从而定出各无量纲π参数。
5） 写出描述物理现象的关系式：12(,,,)0n f πππ= 或者1211(,,,,,,)i i i n m f ππππππ-+-= 5．3典型例题例5－1 某水库以长度比尺100l C =做底孔放空模型实验，今在模型上测得放空时间为12小时，求原型上放空水库所需的时间。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n mgl gl υυ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以n m mυ==10C υ===又 1001010l t C C C υ=== 所以 1012120h n t m t C t ==⨯=讨论：弗汝德数的适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明渠流动与隧洞流动等。
本题中水库内水的出流是重力出流，因此选择重力相似准则，即弗汝德数相等。
例5－2 已知某船体长122 m ， 航行速度15 m/s ，现用船模在水池中实验船模长3.05 m 。
求船模应以多大速度运动才能保证与原型相似。
若测得船模运动阻力为20 N ，实物船所受阻力等于多少。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n mgl gl υυ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以15 2.37m/s m υυ===又 2222()()nmFFllρυρυ=所以 233612()122()20() 1.2810N () 3.05n n n m m m m l l F F F l l υυ===⨯=⨯ 例5－3 有一直径20cm d =的输油管道，输送运动粘滞系数为624010m /s ν-=⨯油的油，其流量10l/s Q =。
若在模型中采用直径为5cm 的圆管，求模型中用运动粘滞系数为621710m /s ν-=⨯水的水做试验时的流量。
【解】 选用雷诺数相似准则，即n n m mn md d υυνν＝ 又Qd υπ=24，∴n n m m n n m m Q d Q d d d πνπν2244＝ .l/s m m m n n n d Q Q d νν⨯⨯=⨯=⨯⨯10106-6-651710＝204010 讨论：雷诺数的适用范围：主要是受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类流动相似要求雷诺数相等。
另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证动力相似的。
如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。
例5－4 一建筑物模型在风速为5 m/s 时，迎风面压强为50 N/m 2，，背风面压强为－30 N/m 2，若气温不变，风速增至15 m/s 时，建筑物迎风面和背风面的压强各为多少？【解】采用Eu 相似准则，nmn n m m p p ρυρυ=22因为 n m ρρ=所以，迎风面压强2N/m m n n p p υυ++==⨯=222215504505背风面压强2()N/m m n n p p υυ--==⨯-=-222215302705讨论：一般，两流动的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。
只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证流动相似。
例5－5 假设流量Q 与管径D 、喉管直径d 、流体密度ρ、压强差P ∆及流体的动力粘滞系数μ有关，试用π定理分析文丘里管的流量表达式。
【解】 据题意拟定函数关系式：(),,,,,0F Q D d p ρμ∆=选择 D ，,ρμ为独立变量，则可建立3个无量纲π数：111222333123D dD P D Qαβγαβγαβγπρμπρμπρμ==∆=对1π： 1＝()()1113111L MLML T L βγα--=111111:31:0:0L M T αβγβγγ--=⎧⎪+=⎨⎪=⎩求解上述方程组可得：1111,0,0αβγ=-==所以 1d Dπ= 同理可得 222PDρπμ∆=3DQ ρπμ=将各π数代入312(,)f πππ= 得22(.)DQ d Pf D D ρρμμ∆= 22(.)d P Q f D D D μρρμ∆=讨论：从本例题可以看出，利用π定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。
但是用量纲分析法所确定的物理方程中包含待定系数，这个系数要通过实验来确定。
而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。
因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
例5－6 试用量纲分析法证明风洞运行时所需功率为()23N L f L ρυρυμ=，式中N 为功率，ρ为流体密度，μ为动力粘性系数，L 为风洞的特征长度。
【解】 本题共5个变量，选3个基本量纲，则无量纲π数为2。
选定ρ、L 、υ 为基本量，则1111L αβγπμρυ=，显见 1L ρυπμ=2222N L αβγπρυ=[]222002332M L T ML T ML L LT αγβ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=+=321303201022222222γβαγγβαα所以 22323,()NN Lf L L ρυπμρυρυ==即23()LN L f ρυρυμ=5．4习题1. 当水温为20℃，平均速度为4.5 m/s ，直径为0.3 m 水平管线某段的压降为68.95 kN/m 2。