相似原理与量纲分析
相似原理和量纲分析
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，
相似原理与量纲分析
CC 2
压强比尺 C p
C Cl
CC 2Cl 2
功能比尺 CW
功率比尺 CN
C Cl4 CCl7 / 2
CC 2Cl CC 3Cl 1
9.3 模型实验(Model Test)
二、模型的设计
在模型设计中通常是根据实验场地和模型制作 的条件先定出长度比例尺Cl，再以选定的Cl缩小原型 的几何尺寸，得出模型流动的几何边界。在一般情 况下模型流动采用与原型流动相同的液体，即Cρ 、 Cν为1。然后按所选用的相似准则确定速度比尺Cu和 流量比尺CQ，从而定出模型流动的流量。
二、几何相似
几何相似是指两个流动流场的几何形状相似，即 模型和原型中的对应长度成比例、对应角相等。
如以 l 表示某一长度，以下标m表示模型的量， 以下标p表示原型的量，则有
长度比尺
Cl
lp lm
面积比尺
CA
Ap Am
l
2 p
lm2
Cl2
体积比尺
CV
Vp Vm
l
3 p
lm3
Cl3
9.1 Basic Theory of Similitude
9.3 Dimensional Analysis
一、量纲的概念 导出量纲
速度 加速度 密度 力
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
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四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
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5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
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对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
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二、实验关联式
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6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
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对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析包思远摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。
量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。
相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。
本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。
关键字模型试验，相似原理，量纲分析1 模型实验相似原理基础模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N倍，进行相应的实验，得到相应的规律，来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。
模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。
回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。
第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。
它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。
现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。
实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。
目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。
方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。
在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以求出无量纲的二数。
这种方法对实验者知识的掌握程度要求较高。
而且在计算机发达的今天,基于数值计算的计算机方法往往比试验方法更有利。
量纲分析法比方程分析法对知识的要求要低,但是正确应用量纲分析的前提条件是正确地选择支配现象的物理参数。
因为量纲分析法本身无法判断出何种物理参数是支配现象的。
1.1 相似原理中的量纲分析对模型试验来说，为了正确的把实验结果能够用来建立一般的规律性，就首先要对原型力学现象有一个清楚的认识，在安排实验时，正确的选择无量纲参数非常的重要，无量纲参量的数目应尽可能的少，且选定的参量又要以合适的形式反映其效应。
量纲分析法是用来找出各个物理量间的相关关系，探究许多事先并未知晓的物理规律或者说无法得知明确的数学物理方程的情况，它只需要找出与发生物体现象相关的一些参数就可找出相似条件。
有量纲量和无量纲量。
所谓的有量纲量是指某一个数值要依附于一个单位制的量。
而无量纲指的则是某个数值与单位制没有关系，比如:长度，时间，力矩等为有量纲量，而长度的比值，能量的比值，以及长度与体积的比值等均可认为是无量纲量。
所以无量纲量与有量纲量的概念是相对来说的。
基本量度单位和导出量度单位。
它们两个的概念可以这样来解释，即把某些物理量看成基本物理量，而其他各量分别以这些基本量来表示，由此把基本量所有的量度单位称为基本量度单位，把用基本量表示的量度单位称为导出量度单位。
在具体的量纲分析中，选取基本量度单位要根据具体情况来定，如在工程中可以取力，长度和时间的单位等。
另外，我们在量纲分析中，可以把长度单位的符号写成[L]，质量单位符号写成[M]，时间单位符号写成[T]，而导出量纲，如速度就可表示为L/T，力的量纲就可以是ML/T2。
量纲公式。
通过量纲和谐原理，找出两边对应且一致的量纲，并且可以正确的体现规律的方程，也就是说可以正确反映物理规律的方程都能表示为无量纲方程。
1.2 相似条件在利用相似原理之前，我们需要认清原型与模型是否符合一定的相似条件，而相似条件主要从多各方面来对比考虑，如几何相似，材料相似，荷载相似，初始条件和边界条件相似，质量相似，时间相似等等。
所设计出的模型试验只有和现实相似了，结果和规律才能正确的反馈到现实中去。
以下分别介绍几何相似和荷载相似:(1)几何相似，模型和原型中形成一个尺寸比例关系，通过这一比例来确定模型的尺寸，进而可以确定其他的比值，如:面积比，惯性矩比，跨度比，以及在本实验模型中的锤重等。
(2)荷载相似，利用量纲分析得到相似系数来对荷载进行缩放。
在本模型试验中只要确定了锤重，落距，就能得到夯击能的缩放比例。
2 相似原理与量纲分析在试验中的应用例文应用强夯法模型试验，文中指出强夯模型试验的研究比较多，使用的方法也是各不一样，但普遍都存在各自的问题，比如模型箱的尺寸，所选用的参数，土的调制，测量方法等，都或大或小有着问题。
如果我们把模型设计的太小，通过相似准则知道，其他的实验装置都必须做的比较精细，即测量时可能由于方法的粗糙，导致实验分析的结果与实际相差较远，也就是说所设计的模型试验不能反映现场规律，实验为不成功。
所以探讨模型试验的不足以及它未来的发展趋势是有必要的。
2.1 实验模型的分析一、探讨模型箱的尺寸首先，从模型箱的设计尺寸大小来考虑，模型箱需要符合在强夯某一能量作用下最大影响范围和最大影响深度，计算出其大致范围和深度，即通过大致计算出影响深度，即可设计出模型箱的高度，而通过文献中得到的经验数据，表明夯点间距为锤径的1.5~2.0倍，也就是说模型箱的长宽度至少要为锤径的5倍左右，以此来设计模型试验箱，以避免实验后续过程中，模型箱边界效应的影响，导致实验结果不准确;其次，要考虑到模型箱内容土的体积，如果过小会有边界影响，过大又会加大实验量，拖慢实验进度，固考虑实验工作量也是一方面;最后，要综合考虑以上箱尺寸之后，要考虑的就是模型箱的制作材料，不同的材料会有不同程度的变形，对于强夯模型试验，在冲击的作用下当然是把箱体的变形减到最小就是最好的了。
二、探讨强夯模型实验中的相似系数通过确定基本参数的比例，再由相似原理得到的所选取参数之间的相似关系，即可根据相似关系得到其它参数的比例系数，最后通过把原型缩小到模型的参数值去综合考虑该模型试验是否能够顺利的进行。
如何选取基本参数的比例尤为重要，因为它涉及到后面的其他参数因子。
原则上，要根据实际工程中的经验数值，挑选些比较容易见到的参数，且比较好控制，这样使得在通过相似关系计算其他因子的比例后根据实际情况方便调整基本参数的比例。
在相似系数要充分合理，要根据实际情况加以控制，如在实际中锤底面积2~4m2，把它换算锤径大约为1.5~2.3m，进而根据模型箱的大小确定锤径之间的比例可缩小20倍，同时也符合模型箱的验算。
三、准确且合理化量纲分析过程从目前大多数的有关强夯模型试验文献来看，介绍量纲分析过程的比较少，故由此得到的相似关系没有详细的理论依据。
在量纲分析给出了详细推理过程中，由于考虑的参数比较有限，得出的实验结果有些不能反映明显的现场规律。
量纲分析的过程是一种建立实际情况和模型情况的联系，只有通过正确且有效的量纲分析手段才能更好的从实验结果反映现场的实际情况。
所以在量纲分析之前，要先详细了解在工程作用中的力学特性，在准确选取工程中重要的物理参数，之后才能够合理的进行量纲分析，在分析过程中最好能找出一种最科学的和最能反映现场情况的推导过程，以此来建立量纲方程，当然，如果条件允许，可以从实际操作中进行总结后再得出相应的方程，多次进行，以此来得到最终的量纲分析过程。
2.2 实验概述根据强夯模型试验的介绍可知，在进行模型试验研究之前，结构模型需要以量纲分析为理论基础，除了满足结构构件的原则和要求外，还应当严格遵循相似原理进行试验设计，即(1)几何相似:在原型和模型之间的尺寸需要按照设计的计算出的比例进行缩放;(2)材料相似:原型和模型的材料属性之间需要满足一定的相似关系;(3)力学相似:在施加力的时候，需要把实际的力按通过设计的缩放比例进行缩减;在满足以上三个条件的同时，还应该根据相似第二和第三原理，计算得到能够反映从原型到模型模拟过程的一个相似条件，这样才能较为严格的从模型得到的结果反推到实际情况。
根据相似原理三大定理为理论背景进行如下的量纲分析，并得出相应的相似条件: 选取所应考虑的物理量，本模型试验所考虑的施工工艺参数为:夯击能E、夯锤重量w、夯锤直径D，土质参数取干重度γ，并设夯坑深度为S。
(1)用函数简单表示上述参数关系为 F(E,w, D,γ,S)=0列出各参数基本因次及按公式确定量纲矩阵:[E]=[FL] [W]=[F] [D]=[L] [γ]=[FL -3] [S]=[L] (2)根据量纲和谐定理，确定π数。
其中取W, D 为基本量纲，总量纲共有5个，其中 基本量纲2个，故独立的π数有3个。
即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1311001101L F(3)可得3个无量纲π数如下:WD E =1π，WD γπ32=，D S =3π 根据相似第二定理可得： ，1=D WE C C C 13=WD C C C γ，1=D S C C 所以可从上式中看出，只要确定锤重的相似系数C W 和锤径C D ，其他的相似系数也能从式中求出，这样就可以保证模型与原型的相似。
2.3 实验器材设计模型箱:考虑到夯锤在一定高度的冲击也算比较大，故采用厚度为4cm 左右的建筑模板制成，同时根据早期前人的一些模型实验经验及L.Menard 提出经验公式。
大致估算出加固深度，从而设计模型箱的长宽高，以避免在实验设计的最高高度处所产生的振动会因为箱子大小受到很大的边界效应，从而影响实验结果。
综合考虑，实验采用边长为尺寸为70cm X 70cm X70cm 的模型箱。
三角支架:该装置主要用于固定夯锤沿竖直方向自由下落，包括主支架、导轨、调平装置和滑轮四部分组成。
主支架由三根三角钢焊接而成，具有足够的稳定性和承载能力;导轨用来引导夯锤自由下落，且导轨表面较光滑;调平装置为一三角形平板，每个角下配有一个旋钮，分别用来维持夯锤在下落前处于水平状态，避免下落时夯锤翻转，影响实验结果;滑轮则是用来拴在夯锤的。
夯锤:考虑到实验结果与现场的符合性，本实验中使用的夯锤均根据现场实际情况进行设计。
实际中使用的夯锤底面积2~4m 2(换算直径大约为1.5~2.3m)，夯锤重量为10~25t ，下落的高度为8~25m 。
3 结论量纲分析法看起来简洁明了，要正确应用却并不容易，关键在第一步。
若遗漏了必需的物理量将导致错误结果，而引入无关的物理量将使分析复杂化。
要正确选择物理量需掌握必要的基础知识和对研究对象的感性认识，并具有一定的量纲分析经验。
量纲分析的结果主要用于指导实验。
相似理论的优越性体现在可以较好地指导模型试验，随着科技进步,国外也逐步将相似理论应用在工程领域,如工程系统相似设计、人机系统相似设计、相似虚拟制造、成组技术和机械系统相似设计等，已经得到很多研究人士的重视并得到较好的应用。