相似原理与量纲分析
相似原理和量纲分析
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，
相似原理与量纲分析
CC 2
压强比尺 C p
C Cl
CC 2Cl 2
功能比尺 CW
功率比尺 CN
C Cl4 CCl7 / 2
CC 2Cl CC 3Cl 1
9.3 模型实验(Model Test)
二、模型的设计
在模型设计中通常是根据实验场地和模型制作 的条件先定出长度比例尺Cl，再以选定的Cl缩小原型 的几何尺寸，得出模型流动的几何边界。在一般情 况下模型流动采用与原型流动相同的液体，即Cρ 、 Cν为1。然后按所选用的相似准则确定速度比尺Cu和 流量比尺CQ，从而定出模型流动的流量。
二、几何相似
几何相似是指两个流动流场的几何形状相似，即 模型和原型中的对应长度成比例、对应角相等。
如以 l 表示某一长度，以下标m表示模型的量， 以下标p表示原型的量，则有
长度比尺
Cl
lp lm
面积比尺
CA
Ap Am
l
2 p
lm2
Cl2
体积比尺
CV
Vp Vm
l
3 p
lm3
Cl3
9.1 Basic Theory of Similitude
9.3 Dimensional Analysis
一、量纲的概念 导出量纲
速度 加速度 密度 力
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
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四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
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二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
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4 相似原理与量纲分析4.0 本章主要内容导读通过第三章的学习，可以看到用数学分析方法研究动量传输问题具有较大的局限性，许多情况下无法得到问题的解析解，此时往往通过实验方法或者数值模拟方法进行研究。
实验方法通常包括直接实验法和模型研究法。
由于实验研究条件的限制，很多时候并不能采用直接实验法研究原始研究对象(原型)，此时往往采用模型研究法，建立一个模型来模拟原型。
模型实验研究的理论指导基础是相似原理，具体实践方法则是量纲分析。
本章对这两部分内容进行讨论，主要内容如图4-1所示。
图4-1 第四章主要内容导读4.1 相似原理4.1.1相似的基本概念遵循同一物理方程的现象称为同类现象。
如果两个同类现象对应物理量成比例(在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量大小成比例、方向相同)，称这两个现象为相似现象。
对于动量传输问题，模型(model)与原型(prototype)之间必须满足如下相似条件才能成为相似现象(图4-2)：(1)几何相似。
几何相似又称为空间相似，要求模型与原型外形完全一样；对应线段成比例；对应夹角相等；有粗糙度时粗糙度相似；(2)运动相似。
要求模型与原型对应流线几何相似；对应点速度大小成比例，方向相同；(3)动力相似。
又称为受力相似，要求模型与原型的两个对应流场受同种外力作用；对应点上对应作用力成比例。
上述三类相似中，几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据，动力相似是决定二个流动相似的主导因素，运动相似则是几何相似和动力相似的表现。
相似的流动一定是同时满足几何相似、运动相似和动力相似的流动。
完全的几何相似一般并不容易达到。
例如，采用小尺寸模型模拟原型时，除非能够将模型表面加工得比原型光滑得多，否则无法按照原型的表面粗糙度成比例缩小而加工出模型的表面粗糙度；在研究沉淀物的传输时，不能将河床上的物质按比例缩小成粉末，因为细微的粉末之间有内聚力，无法模拟砂粒的特性；在研究河流流动时，水平方向的尺寸远大于垂直方向的尺寸，受实验空间的限制必须对水平方向采用较大比例尺进行缩小，如果将同样的比例尺用于垂直方向，有可能产生太浅的流动，导致毛细作用影响明显，而且河床的斜率太小会使流动保持层流。
因此，研究河流流动时往往采用畸变模型——垂直方向的比例尺比水平方向大得多。
对于其它传输现象，还需要满足其它相似条件，例如热相似。
图4-2 几何相似、运动相似与动力相似为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。
以匀速运动为例，原型与模型之间必须首先满足τττC C l l C v v m p l m p v m p ===///公式中的C v 、C l 、C τ称为速度、位移和时间的相似常数。
根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足1==lv C C C C τ 公式中的C 称为相似指标。
上式也可以表示为 mm m l l l l v l v ττ= 因此，也可以根据综合数群v τ/l 判断原型与模型是否相似，这种用于判断原型与模型是否相似的综合数群称为相似准数(similarity parameters)。
动量传输中的常用相似准数(1)雷诺数(Renolds number)Re雷诺数表示惯性力和粘性力之比，反映了流体流动中粘性力的影响程度。
具体定义式和作用已在第三章进行过介绍。
(2)弗劳德数(Froude number)Fr弗劳德数表示惯性力和重力之比，可以表示为glv Fr = 弗劳德数反映了流体流动中重力的影响程度，是具有自由液面的液体流动时最重要的相似准数。
在某些流动情况下，流体的粘性力和重力、惯性力同样重要，此时需要同时考虑雷诺数和弗劳德数。
同时满足雷诺数和弗劳德数相等的唯一方法是在模型中采用粘度不同于原型流体的流体。
(3)欧拉数(Euler number)Eu欧拉数表示压力(压差力)和惯性力之比，可以表示为2v p Eu ρ= (4)斯特劳哈尔数(Strouhal number)Sr斯特劳哈尔数表示区域惯性力和对流惯性力之比，可以表示为vl Sr ω= 斯特劳哈尔数反映了流体运动随时间变化的情况，是研究非稳定流动和脉动流动时的重要相似准数。
(5)马赫数(Mach number)Ma马赫数表示弹性力和惯性力之比，反映了流动的压缩程度，适用于流体压缩程度很大时，已在第一章进行过介绍。
(6)韦伯数(Weber number)Wb韦伯数表示惯性力与表面张力之比，可以表示为σρl v Wb 2=韦伯数适用于研究气液、液液及液固交界面上有显著表面张力作用的情况。
(7)牛顿数(Newton number)Ne牛顿数表示外力与流体惯性力之比，可以表示为22l v F Ne ρ= 当外力为阻力F d 或者升力F L 时，牛顿数Ne 可以表示为L 22f 22C L v F N C L v F N L e d e ====ρρ 公式中的C f 为阻力系数，C L 为升力系数。
4.1.2相似三定律根据上一小节的介绍，用模型研究法进行实验研究必须保证模型与原型对应的物理现象彼此相似，相似三定律告诉我们如何判断原型与模型对应的物理现象是否相似以及彼此相似现象的性质。
4.1.2.1相似第一定律相似第一定律：彼此相似的现象必定具有数值相同的同名相似准数。
相似第一定律是现象相似的必要条件，它揭示了相似现象的基本性质——相似准数相等。
相似准数相等等同于相似指标等于一，因此也可以将相似第一定律表示为“彼此相似现象的相似指标等于一。
”4.1.2.2相似第二定律相似第二定律：凡同一种类现象，如果定解条件相似，同时由定解条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等，这些现象必定相似。
相似第二定律反映了现象相似的三个充分必要条件——同类现象、定解条件相似、相似准数相等。
有些教材中将该定律中的“定解条件相似”描述成“单值条件相似”，即要求同时满足几何相似、物理相似和定解条件相似(初始条件相似、边界条件相似)。
4.1.2.3相似第三定律相似第三定律：描述某现象的各种量之间的关系式可以表示成相似准数之间的函数关系，即0),,,(21=n F πππ这种关系式称为准数方程。
相似第三定律反映了实验数据的处理方法——将物理量的关系表示为准数方程形式。
根据相似第三定律，任何定解问题的积分结果都可以表示成由这一定解问题所导出的相似准数之间的函数关系——准数方程，方程中的每个准数由有关物理量构成，所以准数方程实际上就是定解问题的解。
当需要用实验手段找出具体准数方程时，实验的变量不是一般的物理变量，而是由物理量构成的独立的无量纲相似准数，使实验变量的个数大大减少。
实际应用中，常将准数方程表示为如下形式m n i f m i i ，，已定已定已定未定,1),,,(21==ππππ对准数方程进一步处理的理论依据是白金汉π定理(见4.2.3)，因此有许多教材将白金汉π定理称为相似第二定律，而将上面的相似第二定律称为相似第三定律。
例4-1 模型车与原型车的相似一辆新型两厢车在25℃时的时速是80km/h ，工程师建立了一个1/5尺寸的模型车进行风洞测试，风洞中的温度为5℃，风洞的速度达到多少才能保证模型与原型的相似？例4-1图假设：(1)空气为不可压缩流体(待验证)；(2)风洞壁面离模型车足够远，对空气阻力无影响；(3)模型与原型几何相似；(4)风洞有一个移动带来模拟汽车下的地面(以达到流动中每一处特别是汽车下的地面处的动力学相似)。
解：该问题属于前面介绍的外部流动问题，相关物理量为空气阻力F d 、汽车速度v 、特征长度L 、空气密度ρ和粘度µ。
该问题可以表示为),,,(d μρL v f F =相应的准数方程为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===μρρvL f Re f L v F C )(22d f 显然，必须保证雷诺数Re 相等才能满足模型与原型的相似，因此有pp p p p p m m m m m m L v Re L v Re μρπμρπ=====,2,2 即4km/h 355kg/m 27.1kg/m 185.1s)kg/(m 1035.18s)kg/(m 104.17km/h 803366=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⨯⋅⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--m p m p p m p m L L v v ρρμμ 这个速度非常大(大约为100m/s)，一般的风洞在该速度下难以运行。
而且这样的高速度下，空气的不可压缩假设可能不能成立(Ma≈0.3)。
对该问题可以采取以下几种解决方法：(1)采用大的风洞(汽车制造商一般在非常大型的风洞中测试，对轿车采用3/8尺寸模型，对货车和公共汽车采用1/8尺寸模型)；(2)采用其它流体进行实验。
根据相似第二定律，即使采用不同的流体进行实验，只要相应的相似准数相等，原型与模型就可以保持彼此相似，因此汽车、飞行器可以在水洞中进行相似实验，而潜艇可以在风洞中进行相似实验。
对同样尺寸的模型，水洞所需速度远远低于风洞速度(对本问题，水洞所需速度约为11m/s)；(3)对风洞加压和/或调节温度(效果有限)；(4)在接近最大速度的几个速度下进行风洞实验，然后根据自模化外推到全尺寸雷诺数情况(见4.3节)。
4.2 量纲分析相似原理告诉我们相似准数是判断模型与原型是否相似的关键。
因此，如何获得所研究问题相关的相似准数是研究相似现象的必要步骤。
常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括相似转换法和积分类比法)和定律分析法。
本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。
4.2.1量纲与单位任何物理量都包括大小和种类两方面。
物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的种类则用量纲(dimension ，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。
量纲与单位有以下区别：量纲是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。
同一量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。
量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。
基本量纲是具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲L 、时间量纲T 、质量量纲M 。
导出量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。
无量纲量有两种，一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。