第4章续 多变量寻优方法
第四讲---多变量优化模型
2
函数存在唯一的驻点
(1) A是正定矩阵
对称矩阵
xmin A 1b, f min c bT A 1b
(2) A是负定矩阵
(2) a>0, 抛物线开口向下,
xmax b 4ac b 2 arg max{ f ( x)} , f max x 2a 4a
xmax A 1b, f max c bT A 1b
问题描述的一般形式
可行解集合
S {x n : gi (x) ci , i 1, 2,, m}
min{ f ( x)} n
x
寻优算法的目标函数
寻优算法的目标函数导言寻优算法（Optimization Algorithm）是一种用于求解优化问题的计算方法。
它通过不断调整问题的解，使得目标函数的取值尽可能接近最优解。
目标函数（Objective Function）是寻优算法中的核心概念，它用于衡量问题的解的质量和优劣程度。
本文将会对寻优算法的目标函数进行全面而深入的探讨，包括目标函数的定义、性质、分类以及设计方法等方面。
目标函数的定义目标函数是指在优化问题中用于评价各个解的一个函数。
根据问题的具体情况，目标函数可以是一个标量函数，也可以是一个向量函数。
标量函数的取值是一个实数，用于表示解的优劣程度。
向量函数的取值是一个向量，其中每个分量表示解在不同方面的优劣程度。
在寻优算法中，目标函数通常由用户定义，根据问题的要求和限制，通过数学方法进行建模。
目标函数的定义需要满足以下几个要求：1.目标函数应能准确地衡量解的质量，能够将问题的约束条件和目标要求统一起来。
例如，在旅行商问题中，目标函数可以是旅行商的总行驶距离，通过最小化这个距离来求解最优路径。
2.目标函数应具备可计算性，能够通过解的参数计算出其对应的目标函数值。
目标函数的计算过程应该高效，并且能够容易地被寻优算法调用。
3.目标函数应具有连续性和光滑性，以便寻优算法能够通过局部搜索等技术找到全局最优解。
在某些情况下，目标函数可能具有非连续性和不可导性，这时需要使用特殊的寻优算法和技术。
目标函数的性质目标函数在寻优算法中起着至关重要的作用，它的性质决定了寻优算法的效果和可行性。
目标函数的主要性质包括：单调性如果目标函数是单调的，那么在解空间中，解的质量和目标函数值之间存在一一对应的关系。
这样的情况下，寻优算法可以通过比较目标函数值来选择更优的解。
单调性是目标函数的一种重要性质，如果目标函数不是单调的，寻优算法需要使用其他策略来进行搜索。
凸性如果目标函数是凸的，那么在解空间中，解的质量和目标函数值之间存在凸性关系。
多变量约束优化方法
多变量约束优化方法多变量约束优化问题是指在给定一组目标函数和一组约束条件下，通过调整多个自变量的取值，找到使目标函数最优化且满足约束条件的解。
这类问题在实际应用中非常常见，如工程设计、金融管理、运筹学、物流和供应链管理等领域。
传统的优化方法对于多变量约束优化问题求解存在一些问题，如计算复杂度高、易陷入局部最优解等。
因此，为了有效解决这类问题，研究者们提出了多种多变量约束优化方法，下面将介绍其中几种主流的方法。
一、线性规划方法（Linear Programming, LP）线性规划是最简单且常用的多变量约束优化方法之一、它的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过单纯形法（Simplex Method）或内点法（Interior Point Method）求解。
虽然线性规划方法的计算复杂度比较低，但它只适用于线性目标函数和线性约束条件的情况。
二、非线性规划方法（Nonlinear Programming, NLP）非线性规划方法可以处理目标函数和约束条件是非线性的情况。
常用的非线性规划方法有梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式，在每一步计算目标函数在当前点的梯度，并根据梯度的信息调整自变量的取值，以逐步逼近最优解。
非线性规划方法的计算复杂度较高，但是可以处理复杂的实际问题。
三、遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种通过模拟生物进化过程的优化方法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步解空间中的最优解。
遗传算法具有全局收敛性和并行计算的特点，对于复杂的多变量约束优化问题有较好的适应性。
四、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的行为进行优化的方法。
在粒子群优化算法中，每个个体（粒子）的位置代表潜在解，速度代表解的方向。
粒子的位置和速度通过迭代的方式进行更新，直到找到最优解。
3.3(变量轮换法)无约束条件多变量函数的选优方法
二、优化方法
变量轮换法、单纯形加速法、一阶梯度法、共轭 梯度法等。
3.3.1.1 变量轮换法
一、基本思想 把多变量的优化问题转化为一系列单变量的优化问 题方法。 二、基本原理 沿着坐标轴的方向轮流进行搜索，直至最优点。又
称坐标轮换法。
三、计算方法（两种计算方法） （一）第一种计算方法 1 以 二元函数情况为例 设二元函数f(X)=f(x1，x2) ，区间a1≤ x1≤b1， a2≤ x2≤b2，初始点X(0)=(x1(0) ，x2(0)) ， f(X(0)) 。 (1) 令x1=x1(0) 不动，变动x2，求以x2为单变量的函数最优 值X(1)=(x1(0) ，x2(1))，得f(X (1))； (2)再令x2=x2(1)不动，变动x1，求以x1为单变量的函数最 优值X(2)=(x1(1)，x2(1))，得f(X (2)) ；
(4)若f(X(k))－f(X(k－1))<成立， 则停止搜索，否则进入
下一轮寻优（令X(1) = X(n＋1) ），直至满足精度为止。
程序框图
f(X) ，X1 ，k=1，e，
f(X)=min[f(Xki＋iei)] Y END
f(Xki)－f(Xki－1)< Y N in N k=k+1 X1 =Xkn
20
11 8.75 8.1875
36
9 2.25 0.5625 0.1406 0.0352
X(5)=(7.5，5.75) f(x1)=70.0625－15.75x1＋x12 X(6)=(7.875，5.75) 8.0469 X(7)=(7.875， 5.9375) 8.0117
7 X(6)=(7.875，5.75) f(x2)=43.266－11.875x2+ x22
多变量约束优化方法
第7章 多维约束优化方法Chapter 7 Constrained Several Variables Technique7-1 概述 Summarize工程中的优化设计问题绝大多数是约束优化问题，即nR X X f ∈)(m innp v X h m u X g t s v u <===≥,,2,10)(,,2,10)(..约束最优点不仅与目标函数的性质有关，也与约束函数的性质有关。
因此，约束优化问题比无约束优化问题情况更复杂，求解困难也更大。
根据对约束条件处理方法的不同，解决约束优化问题的方法分成二类: 1) 直接法 Direct Method寻优过程直接在设计空间的可行域D 内进行，但对每一个迭代点)(k X 必须进行可行性()(()01,2,,)k u g X u m ≤= 和下降性))()(()1()(+>k k X f X f 检查。
直接算法简单，直观性强，对目标函数和约束函数的函数性态没有特殊的要求。
但是它的计算量大、收敛速度慢，因此效率低，比较适用于解决低维数的、具有不等式约束的优化问题。
这类算法包括随机方向法、复合形法等。
2) 间接法 Indirect Method间接法的主要思路是，首先将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后再用无约束 优化方法来进行求解。
间接解法分很多类，其中比较有代表性的、用的比较广泛的是惩罚函数法。
7-2 惩罚函数法 Penalty Method在将约束优化问题转换成无约束优化问题时,惩罚函数法的处理思路与拉格朗日法很相似, 都是把目标函数与约束条件合并形成新的函数,而后求其最优解。
但惩罚函数法得到的新函数不是一个而是一个系列。
因此，用无约束优化算法求解得的最优解也是一个系列，即**2*1,,kX X X ，当k →∞时，**k X X →。
因此，惩罚函数法又称序列无约束最小化技术Sequential Unconstrained Minimization Technique ， 即SUMT 法。
多参数寻找最优解算法_解释说明以及概述
多参数寻找最优解算法解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本篇长文将介绍多参数寻找最优解算法，该算法可以应用于各个领域的优化问题。
在实际问题中，往往存在多个参数需要同时调整以获取最佳解，而传统的单参数最优化算法无法满足这种需求。
因此，我们需要一种能够同时考虑多个参数的寻找最优解算法。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分进行阐述和探讨。
首先，在引言部分我们将概述本篇文章的目的和内容，并介绍多参数寻找最优解算法的定义和特点（第2部分）。
接着，在第3部分我们将详细解释说明该算法的原理，并提供相应的流程图解析。
在第4部分，我们将通过具体的案例来展示该算法的实现步骤与技巧分享，并进行案例选择和分析方法论述。
最后，在第5部分中，我们将总结研究成果并讨论存在问题及改进方向，并展望未来相关研究领域。
1.3 目的本文旨在深入探讨多参数寻找最优解算法，并且通过具体案例的分析展示其实现步骤与技巧。
我们希望读者能够对该算法的原理和应用有一个清晰的了解，并能够在实际问题中灵活运用。
通过本文的阅读，读者将能够了解到该算法在不同领域的应用，并对相关的研究方向和改进方法提供参考和启示。
2. 多参数寻找最优解算法2.1 定义多参数寻找最优解算法是一种用于在具有多个参数的问题中找到最优解的方法。
通常，在现实世界中的许多问题都具有多个输入或参数，而这些参数之间可能存在复杂的相互关系。
因此，通过使用多参数寻找最优解算法，可以更全面地分析和评估各种可能的参数组合，并找到最佳的解决方案。
2.2 特点多参数寻找最优解算法具有以下特点：- 能够同时考虑多个参数的影响：相比于单一参数优化方法，如经典的梯度下降算法，在处理多个参数时更加有效。
- 考虑了各个参数之间的相互关系：该算法考虑到不同参数之间可能存在着相关性或交互作用，从而能够更全面地搜索最优解空间。
- 涵盖了广泛的应用领域：由于许多实际问题涉及到多个变量或条件，因此该算法在各种领域中都具有广泛应用价值。
凸优化问题的多变量优化算法研究
凸优化问题的多变量优化算法研究第一章：引言凸优化问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于工程、经济学、金融等领域。
多变量优化算法是解决凸优化问题的一种重要手段。
本章将介绍本文的研究目的和意义，概述凸优化问题和多变量优化算法的基本概念。
第二章：凸优化问题基础本章将介绍凸集、凸函数和凸优化问题的基本概念。
首先介绍集合、函数和向量等基础数学概念，然后引入凸集和凸函数的定义，并讨论它们之间的关系。
接着介绍最小值和最大值等重要概念，并给出一些例子来说明。
第三章：多变量优化算法基础本章将介绍多变量函数极值点求解方法中常用的一些基础算法。
首先介绍最速下降法，它是求解无约束极小值点常用方法之一。
然后讨论共轭梯度法，在求解二次型极小值点时具有较好性能。
接着介绍拟牛顿法，它通过构造目标函数二阶导数的近似矩阵来优化搜索方向。
最后介绍粒子群优化算法，它是一种基于群体智能的优化算法，用于求解复杂的非线性优化问题。
第四章：多变量凸优化问题求解算法研究本章将介绍多变量凸优化问题求解算法的研究现状和发展趋势。
首先介绍线性规划和二次规划等常见凸优化问题，并给出相应的求解方法。
然后讨论约束条件下的凸优化问题，包括等式约束和不等式约束，并给出相应的求解方法。
接着介绍凸二次规划和半定规划等特殊类型的凸优化问题，并讨论它们在实际应用中的意义。
第五章：多变量凸优化算法实验研究本章将设计一系列实验来评估不同多变量凸优化算法在不同类型问题上的性能表现。
首先选择一些典型的凸函数作为测试函数，并设计不同维度、不同条件下的测试实例。
然后选择最速下降法、共轭梯度法、拟牛顿法和粒子群优化算法作为对比对象，对它们在测试实例上的求解结果进行对比分析。
最后讨论实验结果，并分析不同算法在不同问题上的适用性。
第六章：结论与展望本章将总结全文的研究内容和结果，并对未来的研究方向进行展望。
首先总结本文对凸优化问题和多变量优化算法的研究，指出它们在实际应用中的重要性和应用前景。
多变量最值问题求解的常用解法
多变量最值问题求解的常用解法
1. 枚举法：若实际问题中的目标函数为只有已知解的有限多解，则
可以用枚举法列举所有的解，并依据目标函数的需求，选择其中的最
优解。
2. 穷举法：用于解决多变量最优化问题，即多元非线性函数最值问题，又称暴力搜索法。
穷举法的思想就是将问题的所有解范围分割成一个
个小区间，然后将所有小区间取点，最终求取各点函数值得出最值。
3. 暴力搜索法：通过搜索问题中可能出现的每一种情况，最终求取最
优解。
4. 遗传算法：是一种著名的进化计算方法，它具有简单易行、收敛速
度快等优点，在解决多变量最优化问题时能够取得很好的效果。
5. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种建立在模拟物理过程的算法，
该算法采取尝试性的搜索方式，避免局部最优的出现和陷入，对多变
量最优化问题常常可以取得满意的解。
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4.4：梯度法解析法（间接法）：在确定搜索方向时，需要计算目标函数导数的方法。
梯度法，共轭梯度法，变尺度法，牛顿法。
● 方法又称最速下降法，它是在n X 点附近沿负梯度方向一维搜索，并按负梯度方向逐步进行寻优的方法。
最简单最基本的无约束优化问题方法 ● 收敛性判别准则给定允许误差0>ε，如果)(kx k X f p -=满足ε≤k p则搜索停止，从而得到问题的近似解。
● 迭代步骤1：取初始点0X ，梯度模的允许误差ε，最大迭代次数MAXI ，令k =0； 2：计算梯度)(k x k X f p -=3：检验是否满足收敛性判别准则ε≤k p若满足，则迭代停止，得到kX X ≈min ；否则进行4 4：求单变量极值问题的最优解k λ)()(0k k k k k p X f p X f Min λλλ+=+>5：令k k k k p X Xλ+=+16：判断是否满足εϕ≤-+)()(1k k X f X f)(0.1)(0.10.1)(kk k X f X f X f =≥=<ϕϕ时时若满足，则迭代停止，得到kX X ≈min ；否则进行7 7：令 k =k+1 8：判断迭代次数MAXI k ≥若满足，则迭代停止（非正常），取kX X ≈min ，否则转向2 ● 迭代框图● 优点程序简单，计算机实现起来容易。
对起始点要求也不甚严格，即使从一个较差的初始点出发，一般也能收敛到极小点。
● 缺点在极小点附近收敛得很慢，对于目标函数而言，在起始点远离极小点时，开头几步下降较快，到了极值点时，下降便开始变缓慢，甚至在极小点附近出现来回摆动的情况。
它的收敛快慢与变量尺度关系很大。
2221)(x x X f +=一次迭代 [0,0]22219)(x x X f +=十次迭代]10165.6,10276.5[66--⨯⨯对于小扰动会出现不稳定。
舍入误差或者一维搜索步长的确定不准确，带来小扰动，这些小扰动在个别情况下甚至可能使实际下降方向与理论下降方向成正交的荒谬结论，破坏了方法的收敛性。
4.5：共轭梯度法（FR 法）找到某一个方向的共轭方向，可以一步直接达极值点。
● 计算方法正定二次函数X Z CX X X f T T+=21)(，C 为n n ⨯对称正定阵。
若np p ,,1为任意一组C 的共轭向量，则由任意初始点1X 出发，按如下格式迭代)()(k k k k k p X f p X f Min λλλ+=+n k p X X kk k k ,,11 =+=+λ则至多迭代n 步即收敛。
● 找共轭方向取1X 处的目标函数负梯度方向作为第一个搜索方向)(1)1(1X f g p x -=-=然后沿着1p 方向作一维搜索)()(11111p X f p X f Min λλ+=+由此得到一个新的点2X ，并计算出相应的梯度方向 1112p X X λ+=)(2)2(X f g x =因为梯度方向和前一搜索方向在1λ处正交0)()()()2()1(21=-=-g g X f X f T x T x为了在)1(g 和)2(g构成的正交系中寻求共轭方向2p ，令11)2(2p g p υ+-=即，共轭方向为2X 处的负梯度方向与前一个搜索方向的线性组合，这里的关键是选择1υ使得1p 和2p 共轭。
对于正定二次函数有kk T k k k k T T k k k k TT k k x k Cp C p g g Z C p X g Z C X X f g λλλ或)()()()()()1()1()(=-++=+==++于是得到如下关系1+k p 为)1(+-k g 与k p 的线性组合 k k k k p g p υ+-=++)1(11+k p 与k p 共轭0)(!=+k T k Cp p二次正定函数)1(+k g 与)(k g关系k k T k k k k Cp C p g g λλ或)()()1(=-+从而2212)(2)1()()(kx k x k k k X f Xf gg++==υ),2,1()1(1 =+-=++k p g p kk k k υ迭代步骤1：给定起始点1X ，梯度的模允许误差0>ε，维数n ，最大迭代轮次MAXI ，令k =1 2：检验是否满足收敛性判别准则ε≤)(1X f x若满足，迭代停止，得到1min X X ≈，否则转向33：令)(1)1(1X f g p x -=-=4：求单变量极值问题的最优解)()(k k k k k p X f p X f Min λλλ+=+k k k k p X X λ+=+15：判断是否满足εϕ≤-+)()(1k k X f X f)(0.1)(0.10.1)(kk k X f X f X f =≥=<ϕϕ时时若满足，迭代停止，得到1min +≈k XX ，否则转向66：判断k =n 是否成立。
若成立，令11+=k X X ，转向10；否则，转向7 7：检验是否满足收敛性准则ε≤+)(1k x X f若满足，迭代停止，得到1min +≈k X X ，否则转向88：计算21)()(kx k x k X f Xf +=υk k k x k p X f p υ+-=++)(11k =k +19：正定性检查gb <0， gb 为)(k x X f 与kp 的内积若满足，则转向4；否则，令kX X =1转向10 10：判断迭代轮次J 是否达到规定的最大值 MAXI J ≥ 若满足，则迭代停止，取1min X X ≈，否则转向2“再开始”：n 步迭代后，为了避免舍入误差造成的不良后果，以加快收敛速度，由起始点1X出发，每进行n 步迭代以后，如果不满足收敛性判别准则，再由1111),(++==n n x X X X f p 重新开始，也就是进行n 步以后的第一次迭代取负梯度方向。
“正定性检查”：即检查寻查方向kp 与梯度方向)(k g的夹角是否为钝角，若不为钝角，则取负梯度方向重新开始迭代。
迭代框图优点迭代程序简单，储存量小。
● 缺点)(k x X f 较小时，计算k υ可能会带来较大的舍入误差，甚至可能引起不稳定。
4.6：变度量法（DFP 法及BFGS 法）DFP 法是由Davidon 于1959年提出的，Flethei-Powell 于1963年改进的一种算法。
比共轭梯度法有更快的收敛速度，在高维问题求解中有着明显优势。
● 广义牛顿法对二次严格凸函数X Z CX X X f T T+=21)( 从初始点1X 出发，沿着方向)()()(1111111Z C X Z CX C X f C p T x ---+-=+-=-=沿着此方向搜索，只需要一次迭代可以直接得到最优解 Z C p X X 1112--=+=0)()()(122=+-=+=-T T T T x Z C Z C Z C X X f广义牛顿法迭代公式k k k p X X +=+1牛顿法中每次迭代都必须计算搜索方向T k x k xx T k x k X f X f X f C p )())(()(11---=-=引进一组矩阵121,,,,+n n H H H H 来替代111))((,,))((--n xx xx X f X fk k k H H H ∆+=+1修正矩阵k H ∆不断修正，每次迭代都能逼近1))((-k xx X f 。
DFP 法中修正矩阵为)()()()()()()()()(k k T k kT k k k k T k T k k k gH g H g g H g X X X H ∆∆∆∆-=∆∆∆∆=∆BFGS 法中修正矩阵为)()()()()()()()()()()()(1k T k kTk k T k k k T k k k T k k k T k k gX H g X X g H X X g X g H g H ∆∆∆∆-∆∆-∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆∆+=∆ 其中kk k k k k k x k k k k X X X gggX f g g H p -=∆-=∆=-=++1)()1()()()()(一维搜索kk k k k k k k k pX Xp X f p X f Min λλλλ+=+=++1)()(迭代步骤1：给定起始点1X ，允许误差0>ε，维数n ，最大迭代轮次MAXI ，初始矩阵I H =1，令J =02：检验是否满足收敛性判别准则ε≤)(1X f x若满足，迭代停止，得到1min X X ≈，否则转向3 3：判断迭代轮次J 是否达到规定的最大值 MAXI J ≥ 若满足，则迭代停止，取1min X X ≈，否则转向4 4：令)(1)1(X f g x =k =15：令)(k k k g H p -=当k =1时，转向7，否则转向6 6：正定性检查gb <0， gb 为)(k x X f 与kp 的内积若满足，则转向7；否则，令I H k =)(k k g p -=转向77：求单变量极值问题的最优解)()(k k k k k p X f p X f Min λλλ+=+k k k k p X X λ+=+18：检验是否满足收敛性准则ε≤+)(1k x X f若满足，迭代停止，得到1min +≈k XX ，否则转向99：判断是否满足εϕ≤-+)()(1k k X f X f)(0.1)(0.10.1)(kk k X f X f X f =≥=<ϕϕ时时若满足，迭代停止，得到1min +≈k XX否则，当k =n 时，令11+=k X X ，I H k =，J =J +1令转向3当k <n 时，令kk k k k k k x k X X X g g gX f g -=∆-=∆=++++1)()1()(1)1()(10：若取L =0，则选用DFP 法计算)()()()()()()()()(k k T k kT k k k k T k T k k k gH g H g g H g X X X H ∆∆∆∆-=∆∆∆∆=∆若L ≠0，则选用BFGS 法计算)()()()()()()()()()()()(1k T k k Tk k T k k k T k k k T k k k T k k g X H g X X g H X X g X g H g H ∆∆∆∆-∆∆-∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆∆+=∆ 转向1111：令k =k +1，转向5 迭代框图● 优点保留了广义牛顿法的优点，克服其计算不便的缺点。
收敛速度快，避开牛顿法的繁琐计算，不必计算赫森矩阵的逆。
● 缺点此方法对一维搜索的精度要求比较高，当舍入误差较大时，就不易保证度量矩阵k H 的正定性，会出现数值不稳定。