三角函数的图像与性质一轮复习

???－π2，π2???上是增函数，在???－π，－π2???和???π2，π???上是减函数．
答案：B
3．函数 y＝ cos x－12的定义域为
A.???－π3，π3???
?
B.?k
?
π －π3 ，k π ＋π3 ???，k ∈ZΒιβλιοθήκη C.??2k
?
π－π3，2k
π＋π3???，k
∈Z
D．R
解析：∵cosx－12≥0，得 cos x≥12，
义域；
(2)求函数 y＝2cos2x＋5sin x－4 的值域．
[自主解答 ] (1)要使函数有意义，必须有
??2sin x－1>0，
?
??1－2cos x≥0，
??sin x>12，
即? ??cos
x≤12，
解得
?π ?6 ??π ?3
＋2k ＋2k
π< x<56π＋2kπ， π ≤x ≤ 53π ＋ 2k π
?
＋π2，2k
π
＋32π????
[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
(k ∈Z)
(k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
x＝ 2kπ＋π2(k∈Z) x＝ 2kπ(k∈Z)
最
值
时， ymax ＝1 x＝ 2kπ－π2(k∈Z)
时，ymax＝1 x＝ 2kπ＋π(k∈Z)
无最值
时， ymin ＝－ 1
(k ∈ Z) ，
即 π3＋ 2k π ≤ x ＜ 56π ＋ 2k π( k ∈ Z) ．
故所求函数的定义域为
???π3＋2k
π
，
5π 6
＋2k
π
?
?(k
?
∈
Z)
．
(2)y＝2cos2x＋5sin x－4
＝2(1－sin2x)＋5sin x－4
＝－2sin2x＋5sin x－2
?
＝－2?sin
?
π
[探究] 1.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？ 提示： 不是．正切函数 y＝tan x 在每一个区间
?
?k
?
π－π2，k
π＋π2???(k
∈Z)
上都是增函数，但在定义域内不
是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y＝Asin( ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，
φ的取值是什么？对于函数 y＝A cos(ωx ＋φ)呢？
2．三角函数值域的求法
求解三角函数的值域 (最值)常见到以下几种类型的题目： (1) 形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的 形式，再求最值(值域)；(2)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数， 可先设 sin x＝t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如 y ＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x±cos x，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值)．
时， ymin ＝－ 1
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
对称
对称中心
对称中心
???kπ＋π2，0???， ???k2π，0???(k∈Z) k∈Z
性
对称轴 l：
x＝kπ＋π2，k∈Z
对称轴 l：
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
周期
2π
2π
[ －1,1]
y＝cos x R
[ －1,1]
y＝tan x
? ? ?
?
x?? ?
x
≠π2＋k
π
，k
∈Z
}
R
递增区间：
?
??2kπ
?
－π2
，2k
π
＋π2????
递增区间： [2kπ－π，2kπ]
递增区间：
单调性 (k∈Z) 递减区间：
(k∈Z) 递减区间：
?
??k
?
π
－π2
，k
π
＋π2????
?
??2kπ
x －54???2＋98.
故当 sin x＝1 时，ymax ＝1，
当 sin x＝－1 时，ymin ＝－9，
故 y＝2cos2x＋5sin x－4 的值域为 [－9,1]．
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1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常
借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值 问题．如2012年湖南T6等．
3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北 京T15等.
[归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
函数 定义域 值域
y＝sin x R
[备考方向要明了] 考什么
1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角 函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调 性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切 函数在区间???－π2，π2???内的单调性.
怎么考
1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周 期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．
提示：函数 y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当
φ＝kπ＋π2(k∈Z)时是偶函数；函数 y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈
Z)时是偶函数，当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时是奇函数．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编 )设函数 f(x)＝sin???2x－π2???，x∈R，则 f(x)是
A．最小正周期为 π 的奇函数
()
B．最小正周期为 π 的偶函数
C．最小正周期为 π2的奇函数
D．最小正周期为 π2的偶函数
解析：∵f(x)＝sin
?
?2x
?
－π2???＝－cos
2x
，
∴f(x)是最小正周期为 π 的偶函数．
答案：B
2．(教材习题改编)函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在 [0，π]上是减函数 B．在???－π2，π2???上是增函数，在???－π，－π2???和???π2，π???上都是减 函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在???π2，π???∪???－π ，－π2???上是增函数，在 ???－π2，π2???上是减函数 解析：由函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的图象可知，该函数在
∴2k π －π3≤ x ≤2k π ＋π3 ，k ∈Z. 答案：C
()
4．(教材习题改编)函数 f(x)＝ 3sin???x2－π4???，x∈R 的最小 正周期为________．
解析：函数 f(x)＝ 3sin???x2－π4???的最小正周期为
T ＝21π ＝4π . 2
答案： 4π
5．函数
?
y＝3－2cos?x
?
＋π4???的最大值为____________
，此时
x＝____________.
解析：函数
?
y＝3－2cos?x
?
＋π4???的最大值为
3＋2＝5，此
时 x＋π4＝π＋2kπ，即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)． 答案：5 34π＋2kπ(k∈Z)
三角函数的定义域和值域
[例 1] (1)求函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定