最优控制问题求解方法综述(中英双语)
最优控制问题的优化算法设计
最优控制问题的优化算法设计在现实生活中，我们经常面临着需要做出最优决策的问题。
而最优控制问题正是其中的一个重要研究领域。
最优控制的目标是通过在给定约束条件下，找到使指定性能指标最佳化的控制策略。
为了达到这一目标，研究者们不断探索和发展各种优化算法。
一、最优控制问题的基本形式最优控制问题可以表述为在一段时间内，通过调整系统状态的控制量，使得性能指标达到最优。
通常情况下，最优控制问题由动力学方程和性能指标的约束条件组成。
动力学方程描述了系统的演化过程，它通常采用微分或差分方程的形式来表示。
而性能指标可以是各种形式的约束条件，如最小化系统能耗、最大化系统输出品质等。
最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得性能指标达到最优。
二、优化算法的设计原则优化算法的目的是通过搜索和评估控制策略的性能来找到最优解。
针对最优控制问题，设计优化算法需要遵循以下原则：1. 算法的可行性：算法必须能够在给定的约束条件下求解最优控制问题。
2. 算法的收敛性：算法必须能够收敛到最优解，即使在复杂的问题和高维空间中也能够得到稳定的结果。
3. 算法的效率：算法应该具有较高的求解效率，能够在合理的时间内得到满意的结果。
4. 算法的鲁棒性：算法应该对于问题的参数变化和扰动具有一定的鲁棒性，能够适应不同的环境条件。
基于以上原则，研究者们开发了多种优化算法来解决最优控制问题。
三、最优控制问题的常见优化算法1. 数学规划算法：数学规划算法是最优控制问题求解中最常用的方法之一。
它通过建立目标函数和约束条件，并利用数学规划理论和算法来求解最优解。
2. 动态规划算法：动态规划算法是一种通过将原问题分解为子问题来求解最优控制问题的方法。
它具有较高的求解效率和鲁棒性，在一些特定的问题中表现出色。
3. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
通过模拟遗传、变异和选择等过程，遗传算法可以在大规模搜索空间中找到最优解。
4. 粒子群优化算法：粒子群优化算法基于群体智能的原理，通过模拟鸟群寻找食物的过程来求解最优控制问题。
7 最优控制
6
泛函(functional)
x(t ) 或函数 x( ) 与相对应的值 J [ x()] 之间体现的
是从时间路径(或函数)到实数的映射
] 取决于函数 x( ) 或整条路径 x(t ) 泛函 J [
泛函的变化意味着整条路径位置的变动
7
泛函值：
(t ) dt J [ x( )] F t, x(t ), x
( ) C1 ，满足：
1. 最优性条件(optimal condition)： H u t , x* , u * , 0
(t ) H t , x* , u * , 2. 共态方程(costate equation)： x
3. 横截性条件(transversality condition)： (t1 ) S x* (t1 )
2
7.1 最优控制问题 7.1.1 目标泛函 7.1.2 最优控制问题的典型表示 7.1.3 最优控制问题的特征
3
7.1.1 目标泛函
静态优化问题 经济主体的最优决策一次性完成 决策不涉及未来的规划和决策
4
动态优化问题的解 规划期界(planning horizon)内的最优决策序列 (离散时间)或时间路径(连续时间) （图 7.2）
控制变量 u(t ) 不仅直接影响目标泛函 J x( ), u () ， 而且借助 x(t ) 间接影响目标泛函 J x( ), u( )
最优控制问题要求：决策者能够支配至少一个转移方 程中的至少一个控制变量。
11
) 上的连续性限制： 施加在被积函数 f () 和转移函数 g(
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最优控制问题求解方法综述(中英双语)
最优控制问题求解方法综述Summary of approaches of optimal control problem摘要：最优控制问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的目的，寻找一个最优控制规律或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。
解决最优问题的主要方法有变分法、极小值原理和动态规划法，本文重点阐述了各种方法的特点、适应范围、可求解问题的种类和各种方法之间的互相联系。
Abstract：Optimal control problems are to find an optimal control law or design a optimal control program or system according to various kinds of different research objects and the aim people want. The approaches to solve optimal control problems generally contain variational method, the pontryagin minimum principle and dynamic programming. This paper mainly states characteristics, range of application, kinds of the solvable problems of each approach and the association between these three methods.关键词：最优控制、变分法、极小值、动态规划Keywords: optimal control , classical variational method , the pontryagin minimum principle , dynamic programming正文：最优控制理论是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
最优控制问题的预测性控制算法
最优控制问题的预测性控制算法最优控制是指在给定约束条件下，寻找能使某个性能指标最优化或最小化的控制策略的过程。
预测性控制算法是最优控制的一种方法，通过建立系统的数学模型，并利用模型对未来系统行为进行预测，从而确定最优的控制策略。
本文将介绍最优控制问题的预测性控制算法，分析其原理和应用。
1. 研究背景最优控制问题是控制理论的核心内容之一，广泛应用于工程、经济、生物等领域。
传统的最优控制方法通常需要准确的系统模型和未来状态的预测能力，但由于现实系统的复杂性和不确定性，预测困难和误差积累问题成为制约最优控制算法应用的主要难题。
2. 预测性控制算法原理预测性控制算法基于系统模型，通过预测未来状态和系统输出，优化控制器的输入，使得性能指标达到最优。
主要包括以下几个步骤：(1) 建立系统模型：利用系统的动态方程和约束条件，构建数学模型描述系统行为。
(2) 预测系统状态：利用模型和当前状态，预测系统未来的状态和输出。
(3) 优化控制器输入：通过优化算法，选择最优的控制器输入，使得预测的性能指标最优。
(4) 更新系统状态：根据实际反馈信息，更新系统状态，重新预测和优化。
3. 预测性控制算法的应用预测性控制算法在实际应用中发挥着重要的作用。
以下是两个具体的应用案例。
(1) 工业过程控制工业过程通常具有复杂的非线性动态特性和多变量耦合影响，传统的控制方法往往无法满足要求。
预测性控制算法可以通过建立准确的系统模型和预测未来状态，优化控制器输入，实现精确而灵活的过程控制。
例如，在化工行业中，预测性控制算法可以用于优化反应过程，实现高效、稳定的反应控制。
(2) 能源管理与优化能源管理是现代社会中一个重要的课题。
预测性控制算法可以应用于能源系统中，实现能源的优化和效益的最大化。
例如，在电力系统中，预测性控制算法可以根据电力负荷预测和电价预测，优化电网调度和能源分配，实现对电力系统的智能控制和高效利用。
4. 发展趋势与挑战随着人工智能、大数据和云计算等新技术的快速发展，预测性控制算法在性能和应用领域上都有了显著的进展。
最优控制的计算方法
可得
3、将 代入协态方程，且由边界条件 从t=1倒向积分可得 这里选步长因子 。如此继续下去，直至指标函数随迭代变化很小为止。 由 ，得
图b 最优状态的求解
图a 用梯度法寻找最优控制 右图表示了控制和状态的初始值和第一次迭代值，可以看到第一次迭代 就几乎收敛到最优值， 与最优值还有差异，而且一般说来愈接近最优值收敛愈慢。
K=1时时，控制量为
所以，这个例子只要两步迭代即可得到最优解。一般说来，共轭梯度法比梯度法收敛快，但接近最优解后收敛性仍是较慢的。一个补救办法是重新启动，即找出几个共轭梯度方向 后，令 ，再重新迭代，寻找共轭梯度方向。
可以证明 ，即为最优控制。这只要证明
2、共轭梯度法
*
用共轭梯度法寻找最优控制时是沿着所谓共轭梯度向量的方向进行的。为了说明共轭梯度的意义，我们先从求函数极值问题的共轭梯度法开始，再推广到求泛函极值问题。
(1) 求函数极值的共轭梯度法
其中，
C为常数， Q为正定阵。
要求寻找X使F(X)取极值。
设F(X)是定义在Rn空间中的二次指标函数
直接法的特点是，在每一步迭代中，U(t)不一定要满足H 取极小的必要条件，而是逐步改善它，在迭代终了使它满足这个必要条件，而且，积分状态方程是从t0到tf ，积分协态方程是从tf到t0，这样就避免了去寻找缺少的协态初值(t0)的困难。常用的直接法有梯度法，二阶梯度法，共轭梯度法。
间接法的特点是，在每一步迭代中都要满足H取极小的必要条件，而且要同时积分状态方程和协态方程，两种方程的积分都从从t0到tf或从tf到t0 。常用的间接法有边界迭代法和拟线性化法。
最优控制问题的时间规划算法
最优控制问题的时间规划算法最优控制问题是研究如何在给定的约束条件下，使得系统状态达到最佳状态的一种数学模型。
时间规划算法是用于解决最优控制问题的一种算法。
本文将探讨最优控制问题的时间规划算法及其在实际问题中的应用。
一、问题描述最优控制问题是在给定的系统状态和约束条件下，寻找一种控制策略，使得系统状态达到最佳状态，同时满足约束条件。
具体来说，我们需要确定系统的控制输入函数，使系统从初始状态汇总经过一段时间达到最佳状态或者达到一个特定的目标。
二、时间规划算法时间规划算法是解决最优控制问题的一种常用方法。
它通过对时间的划分，将最优控制问题转化为一系列子问题的求解。
常用的时间规划算法包括动态规划、贝尔曼方程、最优性原理等。
1. 动态规划动态规划是一种通过将问题分解为子问题的方式来求解最优解的方法。
在最优控制问题中，动态规划可以表示为一个递归的方程，通过逐步向前推进，求解问题的最优解。
动态规划算法的基本思想是将问题划分为相互重叠的子问题，并使用一个状态函数来存储这些子问题的解，从而减少计算量，提高求解效率。
2. 贝尔曼方程贝尔曼方程是最优控制问题中的基本方程之一，它描述了系统在给定控制输入下的状态转移规律。
贝尔曼方程可以用递归的方式表示为：V(x) = min_u { C(x, u) + ∫ [ V(f(x, u, t))·P(dt | x, u) ] }其中，V(x)表示系统在状态x下的最优价值函数，C(x, u)表示给定控制输入u情况下从状态x到达最优状态的成本函数，f(x, u, t)表示系统在状态x下，在时间间隔[t, t+dt]内的状态转移方程，P(dt | x, u)表示在给定状态和控制输入下，时间间隔 [t, t+dt]内的概率密度函数。
3. 最优性原理最优性原理是最优控制问题中的重要原理之一，它可以将一个复杂的最优控制问题转化为一个较简单的问题。
最优性原理的基本思想是，如果一个控制策略是最优的，那么在给定初始状态和约束条件下，该策略的部分路径也是最优的。
最优控制问题的基本数学模型
最优控制问题的基本数学模型
最优控制问题的基本数学模型是一个优化问题，目标是找到一个控制策略，使得给定系统在满足约束条件的情况下，能够最大化或最小化一个指标。
通常，最优控制问题的数学模型可以表示为如下形式的动态优化问题：
$$\max_{u(t)} J(y(t), u(t))$$
$$\text{subject to} \quad \frac{dy(t)}{dt} = f(y(t), u(t)), \quad y(0) = y_0$$
$$\text{and} \quad u(t) \in U, \quad t \in [0,T]$$
其中，$J(y(t), u(t))$是一个目标函数，用于度量系统输出
$y(t)$和控制输入$u(t)$的性能。
$f(y(t), u(t))$是系统的动态方程，描述系统随时间的演化。
$y(t)$和$u(t)$分别表示系统的状态和控制输入，$y_0$是系统的初始状态。
$U$是可行控制集，即控制输入的取值范围。
$T$是系统的运行时间。
在这个模型中，目标是找到最优控制策略$u^*(t)$，使得目标
函数$J(y(t), u(t))$在约束条件下达到最大值。
最优控制问题的
解即为最优控制策略$u^*(t)$，以及对应的系统状态轨迹
$y^*(t)$。
第6章 用变分法求解最优控制问题
x(t) = x*(t) +εη(t) = x*(t) +δ x(t)
§6－2 泛函与变分的基本概念
3.泛函的变分 ● 泛函的增量 由自变量函数 x(t) 的变分δ x(t)引起泛函 J[ x(t)]的增量
∆J = J[ x*(t) +δ x(t)] − J[x*(t)] 为泛函 J[ x(t)] 的增量。
§6－2 泛函与变分的基本概念
一. 泛函与泛函的变分 1. 泛函的定义 对于某一类函数集合{x(t)} 中的每一个函数 x(t)，均有一个确定的数 J 与之对应，则称 J 为依赖于函数 x(t) 的泛函，记作
J = J[x(⋅)] = J[x(t)]
函数值。 例泛函：
J[x(t)] 中的 x(t)应理解为某一特定函数的整体，而不是对应于 t 的
α = ∫ 2[x(t) + δ x(t)]δ x(t)dt α=0
0
1
= ∫ 2x(t)δ x(t)dt
0
1
§6－2 泛函与变分的基本概念
二. 泛函的极值 1. 泛函极值的定义 如果泛函 J[x(t)] 在 x(t) = x (t) 的邻域内，其增量
*
∆J = J[x(t) − x*(t)] = J[x(t)] − J[x*(t)] ≥ 0
∂ J[x*(t) +αδ x(t)] α=0 = 0 ∂α ∂ J[x*(t) +αδ x(t)] α=0 = δ J[x*(t)] = 0 ∂α
§6－3 无约束条件的变分问题
引理：如果函数 F(t) 在区间 [t0, t f ] 上是连续的，而且对于只满足某些 一般条件的任意选定的函数
η(t) 有
第六章 用变分法求解最优控制问题
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最优控制问题求解方法综述Summary of approaches of optimal control problem摘要：最优控制问题就是依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的目的，寻找一个最优控制规律或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。
解决最优问题的主要方法有变分法、极小值原理和动态规划法，本文重点阐述了各种方法的特点、适应范围、可求解问题的种类和各种方法之间的互相联系。
Abstract：Optimal control problems are to find an optimal control law or design a optimal control program or system according to various kinds of different research objects and the aim people want. The approaches to solve optimal control problems generally contain variational method, the pontryagin minimum principle and dynamic programming. This paper mainly states characteristics, range of application, kinds of the solvable problems of each approach and the association between these three methods.关键词：最优控制、变分法、极小值、动态规划Keywords: optimal control , classical variational method , the pontryagin minimum principle , dynamic programming正文：最优控制理论是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。
它所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
Optimal control theory is a main branch of modern control theory, which focuses on studying basic conditions and synthetic approaches of optimizing systematic performance index. Optimal control theory is a subject studying and solving for the optimal solution from all possible control solutions. What it study can be summarized in this way: given a manipulated dynamic system or motor process, we are supposed to find a optimal control solution from allowable solutions of the same category, making the systematic movement transfer to the appointed state from a original state and getting a optimal performance index at the same time. And this kind of problems exist in technology field or social problems.为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。
系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。
因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极小值原理和动态规划。
For suppose of solving optimal control problems, we must build motion equations describing the manipulated motor process, give allowable value range of the control variables, designate the original state and target state of the motor process and stipulate a performance index to evaluate merits of the quality in the motor process. In general, the merits of a performance index depend on the control function and homologous motion state that we choose. Thus, the optimal control problems can be formulated from mathematical point of view as follows: solving for extremum (maximum or minimum) of the performance index function (functional) based on control function and the motion state under the constraint of motion equation and the allowable control range. The main approaches of solving optimal control problems includes classical variational method, the pontryagin minimum principle and dynamic programming.一、变分法First. Variational method变分法是处理泛函的数学方法，和处理函数的普通微积分相对，譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个经典的例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它地下的一点B。
在所有从A到B的曲线中必须极小化的是下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉——拉格朗日方程，它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或最小值（或者都不是）。
Variational method is a mathematical method to conduct functional, just as the ordinary calculus dealing with functions. For instance, such functional can be constructed by unknown functional calculus and its differential. Variational method aims at findin extreme functions that make functional obtain maximum or minimum. Some classical problems on curved lines always adopt this kind of expression: a classical example is brachistochrone, along which a granule can get to B (not under A directly) from A in the minimum duration under the effect of gravity. In brachistochrone, what is supposed to be minimum is the expression of fall time among all these curved lines from A to B. The key theorem of variational method is Euler——Lagrangian equation, which is correspondent to the functional critical point. While we can’t distinguish the maximum or minimum (or neither) when we are finding the functional extremum through giving a first order approximation of a small change around a solution.用变分法求解连续系统最优控制问题，实际上就是具有等式约束条件的泛函极值问题，只要把受控系统的数学模型看成是最优轨线)(tx应满足的等式约束条件即可。
变分法中的三类基本问题：拉格朗日（Lagrange）问题、梅耶（Mayer）问题、波尔扎（Bolza）问题。
Solving the optimal control problems of continuous systems with variational method is the functional extremum problem with conditions of equality constraint.We just need to regard the methematical models of manipulated systems asconditions of equality constraint which the optimal trajectory )(t x follows. Threeessential problems of variational method: Lagrange problems, Mayer problems and Bolza problems.但是，变分法作为一种古典的求解最优控制的方法，只有当控制向量u不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来)(t处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。