微积分发展简史-PowerPoint演示文稿

经过中世纪的停滞时期后，数学同自然科学一 起，在新出现的微积分的基础上开始了突飞猛进的发 展，这时公理化的方法才被人们遗弃了。
曾经极其广泛地开拓了数学领域的有创造才能的 先驱们，并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑 分析而束缚住自己，因此，在十七世纪，逐渐广泛地 采用直观证据来代替演绎的证明。一些第一流的数学 家在确实感到结论无误地情况下，运用了一些新的概 念，有时甚至运用一些神秘的联想。由于对微积分新 方法的全面威力的信念，促使研究者们走得很远（如 果束缚于严格的限制的框架上，这将是不可能的）。 不过只有具备卓越才能的数学大师们才有可能能避免 发生大错。
这种做法你想做 多少次就可以做多少 次。可以肯定，圆与 某一边数足够多的正 多边形面积之差可以 弄得比任何预先给定 的量还要小。
64边形
希腊数学的重大成就之一，是将许多数学命题和 定理按逻辑上连贯的方式归为为数不多的非常简单的 公设或公理。即熟知的几何公理和算术法则，它们支 配着如整数、几何点这样一些基本对象之间的关系。 这些基本对象是作为客观现实的抽象或理想化而产生 的。
紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是 继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的 创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理 过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先 还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。
哪些主要的科学问题呢?
Archimedes
有四种主要类型的问题.
第一类问题
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知 物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距 离。
各项公理，或因从哲学观点看可以认为是“显
然”
的，或仅仅因其非常有说服力，而被不加证明地予以
接受。
这可靠吗？
已定型的数学结构就建立在这些公理的基础之 上。在后来的许多世纪中，公理化的欧几里德数学曾 被认为是数学体系的典范，甚至为其他学科所努力效 仿。（例如，像笛卡尔、斯宾诺沙等哲学家，就曾试 图把他们的学说用公理方式，或者如他们所说，“更 加几何化”地提出来，以便使之更有说服力。）
Archimedes
看一下阿基米德在证明两个圆的 面积比等于其直径平方比所作的 工作。
阿基米德证明的主 要精神是证明圆可以被 圆内接多边形穷竭。
在圆里面内接一个 正方形，其面积大于圆 面积的 1/2 （因为它大 于圆外切正方形面积的 1/2，而外切正方形的面 积大于圆的面积。）
设 AB 是内接正方形
D
C 3
1
E
的一边，平分弧 AB 于点 C 处并连接 AC 与 CB 。
A
2
B 作C 处的切线，并作 AD
及 BE 垂直于切线。
1 2 3 1 || BC || 故 DE // AB 。 2
从而，ABED 是一个矩形， 其面积大于弓形 ACB 的面 积 。因此，等于矩形面积
一半的三角形ABC 的面积大于弓形ACB 面积的一半。
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问 题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体 在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
第二类问题
困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。
古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
第一类问题
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
第二类问题
第四类问题
困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和 体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用 了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法 缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。
穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而 被根本修改了。
欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的 几何方法。它的思想虽然古老，但很重要，阿基 米德用得相当熟练，我们就用他的一个例子来说 明一下这种方法。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角 发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于 另一个物体上的引力。
——狄德罗
任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或 几百年以前，函数的概念也是如此。直到17世 纪，人们对函数才有了明确的理解。函数概念的 提出，与伽利略和格雷戈里有关。格雷戈里将函 数定义为这样一个量：
它是其他的量经过一系列代数运算而得到的， 或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。
因为这个定义太窄，所以很快就被遗忘了，并 被陆续出现的其它关于函数的定义替代。但即使是 最简单的函数也会涉及到实数。而无理数在17世纪 时并不被人们充分了解，于是，人们在处理数值时 就跳过逻辑，对函数也是如此。在1650年以前，无 理数就一直被人们随心所欲地使用着。
对正方形的每边都这样做，得到一个正八边形。
8 边形
所得到的八边形 不仅包含正方形且包 含圆与正方形面积之 差的一半以上。
16边形
在八边形的每边 上也可按照在AB 上 作三角形ABC 那样地 作一个三角形，从而 得到一个正十六边 形。
16边形
32边形
这个正十六边形 不仅包含八边形且包 含圆与八边形面积之 差的一半以上。
聊聊天
微积分的产生——17、18、19世纪的微积分.
很久很久以前, 在很远很远的一块古老的土地上, 有一群智者……
开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、 格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、 牛顿、莱布尼茨工作的开端，几乎都是极不完美 的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目 的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝 试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将 正确的途径示以他人。……可以这样说，为了 寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。