微积分入门(精华)

定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx

b
a
f
(t )dt

b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，




例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n 等分，分点为xi

i ，(i n

1,2,, n )
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi

1 ，(i n
1,2,, n )
取i xi ，(i 1,2,, n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
n1 6 11 n
2

1 n


1. 3
五、定积分 的性质
性质1
b[ a
f
(
x)

g(
x)]dx

b
a
f
(
x)dx

b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)

g(
x)]dx
n

lim
0
[
i 1
f
(i
)

g(i
)]xi
n
n

lim
0
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 x max{x1,x2, ,xn}，
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx

A1 A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 x 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx

I
lim 0
n i 1
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v( i )ti
i 1
（3）取极限 max{t1,t2 ,,tn }
n
路程的精确值
s

lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
趋近于零 ( x 0或者 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A

lim
0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ]上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,记小区间的最大长度 或者( x )
x max{x1, x2 , xn}
i 1
i 1
i 1

n

i 1

i n

2

1 n

1 n3
n

i 1
i2

1 n3

n(n

1)(2n 6

1)

1 6

1

1 n

2

1 n
,
x 0 n
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i 2xi

lim
i 1
f
(i )xi
lim 0
i 1
g(i )xi
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
b
a kf
(
x
)dx

k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数).
证
bkf a
( x)dx

lim
0
n
kf
i 1
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
曲边梯形如图所示，
在区间 [a, b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]，
长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界，
且只有有限个第一类的 间断点，
则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义