数学基础——微积分基础
高考数学中的微积分基础知识
高考数学中的微积分基础知识引言高中数学是我们学生在人生道路上必经的一段旅程。
而微积分就是高中数学中最重要的学科之一，它在未来的学习和职业中都将扮演重要的角色。
了解微积分基础知识对于我们的学习和未来职业的选择也十分重要。
那么，如何更好地掌握微积分基础知识呢？微积分的基础知识微积分是研究变化的学科，它包括微分和积分两部分。
微分和积分是互相联系的，微分是积分的逆运算。
在微积分中，我们需要了解一些基础概念，如函数的定义域，函数的极限，导数和微分，不定积分，定积分等等。
函数的定义域函数的定义域是在数学中非常基础的概念。
它表示函数的自变量的取值范围。
举个例子，如果函数 f(x) = 1 / (x-2), 则x的取值范围是R \ {2}，R表示实数集合。
当输入的自变量超出了定义域时，函数结果就是无意义的。
函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数趋近于的一个值。
举个例子，当x趋近于1时，函数f(x) = (x+1)/(x-2) 的极限等于2。
这里需要注意的是，这并不意味着f(1)等于2。
相反，当x等于1时，f(x)是未定义的。
导数和微分导数是微积分中最重要的概念之一。
它表示函数在某个点的切线斜率。
对于函数f(x), 它的导数记作 f'(x)，也可以写成 dy/dx 表示函数 y 关于 x 的导数。
微分是导数的一种形式化的表达方式。
在微积分中，微分和导数通常是交替使用的。
不定积分不定积分是指对于一个函数，求其导数的逆运算，即找到一个函数，它的导数是我们原来求的那个函数。
不定积分通常被表示为∫ f(x)dx，其中 f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的求解有很多方法，如代入法，换元法，分部积分法等等。
定积分在微积分中，定积分是对函数在某个区间上的面积进行求解。
定积分通常被表示为∫ab f(x)dx，其中 a，b 分别表示积分的下限和上限。
定积分的求解需要一些特殊的技巧，如基本积分法，反常积分法等等。
微积分的基础理论
微积分的基础理论微积分是数学中的一门重要学科，它研究函数的变化和变化率。
微积分的基础理论主要包括极限、导数和积分，这些理论是建立在数学分析的基础上的。
本文将对微积分的基础理论进行介绍和解释。
一、极限极限是微积分理论的基础，它描述了函数在某一点逼近的趋向。
极限的概念可以简单地理解为当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于一个确定的值。
极限的表示通常用以下形式：lim f(x) = L，其中lim表示当x趋于某个值时的极限，f(x)表示函数的取值，L表示极限的值。
极限有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。
通过极限，我们可以推导出微积分中的导数和积分的概念。
二、导数导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义是函数在极限下的变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率。
导数的计算通常使用极限的方法，即求出函数在某一点的极限值。
导数具有一些基本的性质，比如导数的线性性、乘积法则、商法则、链式法则等。
导数在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学中描述物体的速度和加速度，经济学中描述市场的供求关系等。
三、积分积分是导数的逆运算，它表示函数在一定区间上的累积变化量。
积分的计算和求解是通过求导的逆运算进行的。
积分具有一些基本的性质，比如积分的线性性、换元法则、分部积分法等。
积分在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学中计算曲线下的面积和弧长，统计学中计算概率密度函数的面积等。
积分在微积分中也具有一些重要的定理，比如牛顿-莱布尼茨公式和基本定理等。
结语微积分的基础理论是数学中重要的一部分，它涉及到极限、导数和积分的概念和计算方法。
在实际应用中，微积分的理论为我们研究和解决各种问题提供了强大的工具。
通过熟练掌握微积分的基础理论，我们可以更好地理解和应用数学知识。
总之，通过对微积分的基础理论的学习和理解，我们可以深入了解函数的变化和变化率，为进一步研究和应用微积分提供良好的基础。
微积分入门基础知识
微积分入门基础知识
微积分是数学中最重要的分支，是分析数学的基础，也是数学应用中最重要的工具。
它是指用微分学和积分学研究函数的变化问题。
微积分在物理、化学、生物、经济等各个领域都有广泛的应用，可以说没有微积分，数学乃至现代科学技术的发展是不可想象的。
微积分的基础知识包括微分、积分、微分方程和积分变换等。
微分是指函数的值在某点的变化率，即求函数的导数，可以用来描述函数的切线的斜率。
积分是指函数的值在某一区域的变化量，可以用来描述函数的面积。
微分方程是指根据某些函数的微分与未知函数之间的关系，求解未知函数的方程。
积分变换是指根据微积分的积分公式，将某一函数的表达式从一种形式转换到另一种形式。
微积分具有很强的普遍性，它是数学中最重要的研究工具，为数学的发展提供了极大的便利，同时也为现代科学技术的发展提供了重要的支撑。
因此，研究微积分是一个非常重要的研究内容，一定要深入理解微积分的基础知识，以便在今后的研究中有所帮助。
微积分基础知识
D : ( ,)
奇函数,
Hale Waihona Puke 有界函数,22双曲函数常用公式
sh( x y ) shxchy chxshy ;
ch( x y ) chxchy shxshy ;
ch2x sh2x 1;
sh2x 2shxchx ;
ch2x ch2 x sh 2 x.
23
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在 [a , a ] 内, 只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
34
( 1)n1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
n=5 n=7
( 1) n1 xn 1 . n
计算与分析的能力
了解和使用现代数学语言和符号的能力
使用数学软件学习和应用数学的能力
8
第0章
基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体.
组成集合的事物称为该集合的元素.
a M, a M, A { a1 , a 2 , , a n }
M { x P( x) }
18
可定义复合
注: 复合函数
代入法
设 y u, u 1 x 2 ,
y 1 x2
复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成.
x 例如 y cot , 2
y u,
x u cot v , v . 2
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初等函数
定义: 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合 运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。 例：
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
高中数学中的微积分基础
高中数学中的微积分基础微积分是数学中的一门重要学科，也是高中数学的一部分。
它是研究变化和积分的数学分支，广泛应用于自然科学、工程学和经济学等领域。
在高中数学中学习微积分基础，对于培养学生的分析思维和解决实际问题的能力具有重要意义。
微积分的基础概念包括导数和积分。
导数是函数在某一点的变化率，可以理解为函数图像在该点的切线斜率。
在高中数学中，我们学习了导数的定义和求导法则。
导数的定义是通过极限的概念来定义的，即函数在某一点的导数等于该点处函数值的极限与自变量的极限之商。
求导法则包括常数的导数为零、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数以及三角函数的导数等。
在学习导数的过程中，我们还学习了导数的几何意义。
导数可以表示函数图像在某一点的切线斜率，也可以表示函数图像的变化趋势。
通过导数，我们可以研究函数的增减性、极值和拐点等性质。
这些性质在解决实际问题时非常有用，例如在物理学中，通过函数的导数可以求解速度、加速度等问题。
另一个重要的微积分概念是积分。
积分是导数的逆运算，表示函数的面积或曲线长度。
在高中数学中，我们学习了定积分和不定积分。
定积分是通过求和的方法来计算曲线下的面积，可以理解为函数在某一区间上的累积变化量。
不定积分是求函数的原函数，即求导数的逆运算。
通过积分，我们可以计算函数的面积、求解曲线长度，以及解决一些与变化量有关的问题。
微积分的基础概念不仅仅是理论知识，更是实际问题求解的工具。
在高中数学中，我们学习了很多与微积分相关的应用问题。
例如，通过导数可以求解函数的极值问题，可以帮助我们找到最大值或最小值的点。
通过积分可以计算曲线下的面积，可以帮助我们求解物体的质量、体积等问题。
这些应用问题的解决过程中，需要我们对微积分的基础概念有深入的理解，并能够将其运用到实际问题中去。
除了基础概念的学习，微积分还有一些重要的定理和方法。
例如，拉格朗日中值定理和柯西中值定理等定理可以帮助我们研究函数的性质和解决一些特殊问题。
微积分的基础知识与运算
微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用
大学数学微积分基础知识
大学数学微积分基础知识微积分作为数学的一门重要分支，是大学数学必修的一门课程。
掌握微积分的基础知识对于理解和应用数学都具有重要意义。
本文将介绍微积分的基础知识，包括导数、积分和微积分的应用。
一、导数导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。
定义上，如果函数f(x)在点x处可导，则它的导数f'(x)表示函数在该点的瞬时变化率。
导数有两种常见的表示方法：1. 函数f(x)的导数可以用极限的形式表示为：f'(x) = lim (h→0)[f(x+h) - f(x)] / h2. 也可以使用微分符号表示为：dy/dx = f'(x)导数有几个重要的性质：1. 导数可以用来求函数的切线斜率。
在点x0处函数的导数f'(x0)即为切线的斜率。
2. 导数可以判断函数的增减性。
当导数f'(x)>0时，函数在该点处增加；当导数f'(x)<0时，函数在该点处减小。
3. 导数还可以判断函数的凹凸性。
当导数f'(x)递增时，函数凹向上；当导数f'(x)递减时，函数凹向下。
二、积分积分是导数的逆运算，它是微积分的另一个基本概念。
积分可以理解为对函数的一个区间上所有微小变化的总和。
积分的定义有两种常见的方法：1.不定积分，也称原函数。
对于函数f(x)，它的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
计算不定积分的过程称为积分计算。
2.定积分，也称为区间积分。
对于函数f(x)，它的定积分可以表示为∫abf(x)dx，其中a和b分别为积分的上下限。
定积分可以用来计算曲线下的面积。
积分有一些重要的性质：1. 积分的线性性质：∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx2. 积分的区间可加性：∫abf(x)dx + ∫bcf(x)dx = ∫acf(x)dx3. 牛顿—莱布尼茨公式：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常量。
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O ta t tb
t
间 隔tb
ta 被t1
ta
,
t2 ,
t3
tn
,
t
分
b
成n段
，
每
段
间
隔t
,
个时刻的速度分别为v(t1),v(t2 ),v(t3 ) v(tn ).
sab v(t1 )t v(t2 )t v(t3 )t v(tn )t
v(ti )t i 1
几何意义：以 vi 为高的各小矩形面积之和。
二、如果f ( x) u( x) v( x), 则
f ( x)dx u( x)dx v( x)dx
三、如果f ( x) u(v)v'( x), 则
f ( x)dx u(v)v'( x)dx u(v)dv
2020/3/22
20
补充知识 微积分初步 5.4 通过不定积分计算定积分
将sb san等 分 ， 间 隔 为s, 在 每 个 小 F(s)
间 隔中 视F (si )为 恒量 ， 在 每个 小 间
隔 内力 做 功 为: A F (si ) s.
力从sa到sb之间所做功为：
O sa
sb s
n
A F (si )s i 1
n
A
lim
s0 n
i 1
F ( si
)s
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14
补充知识 微积分初步
5.2 定积分
y f (x)
取 自 变 量 区 间a b, 将 其n等 分 ， 每 小 段
n
间 隔 为x, 则 当 lim
x0 n
i 1
f ( xi )x, 可用符号
b f ( x)dx来 表 示 。 即 ： a
b
n
a
f ( x)dx lim
x0 n
i 1
f ( xi )x
补充知识 微积分初步 1、函数
y f (x)
y f (x) 3x 2
F f (x, y, z,t)
自变量、因变量、常量、 一元函数、多元函数
2020/3/22
1
补充知识 微积分初步
2、导数
2.1 极限
例：
lim f ( x) a
x x0
y f (x) 3x2 x 2 x 1
(3x 2)(x 1) 3x 2 x 1
3、求y ax2(a为常数）的导数。
4、求y x2e x的导数 5、求y 3x2 2 的导数。
5x 1
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9
补充知识 微积分初步
6、求y cos(ax b（) a、b为常数）的导数。
7、求y x2 1的导数。
8、求y x2eax（2 a为常量）的导数。
2020/3/22
3x2 x 2
lim f ( x) lim
5
x 1
x1 x 1
2020/3/22
2
补充知识 微积分初步
2.2 函数的变化率——导数
y f (x)
——静态
y
x
——动态
x, y
增量，可正、可负
y f ( x0 x) f ( x0 ) 平均变化率
x
x
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3
补充知识 微积分初步
b
a f (x)dx (b) (a)
2020/3/22
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补充知识 微积分初步 5.3 不定积分及其运算
若f ( x) '( x)，则( x)称为f ( x)的 逆导数或原函数
函数逆导数不唯一
函数逆导数的通式称为函数的不定积分
f ( x)dx ( x) C
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补充知识 微积分初步 基本不定积分公式
求得不定积分 f ( x)dx ( x) C后
将 上 下 限 的 数 值 代 入 相减 即 得 到 定 积 分 的 值
b
a f ( x)dx (b) (a)
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补充知识 微积分初步
例：
1. 5x2dx
2. (3x2 x 4)dx
3. sin(ax b)dx
4. sin x cos xdx
dx
定理三
d dx
[ u( x)] v( x)
v(
x)
du u( x) dx [v( x)]2
dv dx
定理四 d u[(v( x)] du dv
dx
dv dx
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补充知识 微积分初步 例题
1、求y x2 a2(a为常数）的导数
2、求y ln x (a为常数）的导数。 a
3、导数的运算
3.1 基本函数的导数运算
(1) y f ( x) C(常量）
y' lim f ( x x) f ( x) lim C C 0
x 0
x
x0 x
(2) y f ( x) x y' f '( x) 1
(3) y f ( x) x2 y' f '( x) 2x
(4) y f ( x) x3 y' f '( x) 3x2
f ( x) ln x f (x) ex
f '(x) 1 x
f '(x) ex
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7
补充知识 微积分初步
3.2 导数运算的几个定理
定理一 d u( x) v( x) du dv
dx
dx dx
定理二 d u( x)v( x) v( x) du u( x) dv
dx
dx
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6
补充知识 微积分初步
1
1
(5)
y f (x) x
y' x2
(6) y f ( x) x
y' f '( x) 1 2x
结论 y xn
y' dxn nx n1 dx
n为任何数
其它常用 求导公式
f ( x) sin x f '( x) cos x
f ( x) cos x f '( x) sin x
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4
补充知识 微积分初步
2.3导数的几何意义
曲线的切线: P1→P0时， 0
割线 P0 P1 的斜率
tan MP1 y
P0M x
P1→P0时 割线斜率的极限
tan0
lim tan
P1 P0
lim y x0 x
f '(x)
导数的几何意义是切线的斜率
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补充知识 微积分初步
y对x的微商或导数
y' f '( x) lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
其他表示： dy , df , d f ( x) dx dx dx
二阶导的表示：
y''
f ''(x)
d2y dx2
d ( dy ) dx dx
d dx
f '(x)
高阶导以此类推
函数 f ( x)
xn (n 1)
不定积分 f ( x)dx
x n1 C
n1
sin x cos x
1 x
cos x C
sin x C
ln | x | C
ex
ex C
2020/3/22
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补充知识 微积分初步 积分运算定理
一、如果f ( x) au( x（) a为常数），则
f ( x)dx a u( x)dx
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12
补充知识 微积分初步
v(t)
n
sab
lim
t 0 n
i 1
v(ti )t
O ta t tb
t
几何意义：tb ta区间内v(t)曲线下的面积。
2020/3/22
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补充知识 微积分初步
5.1.2 变力做功
设力与物体运动方向一致，力与位置函数关系如
图，求物体从 sa到sb处力对其所做的功。
10
补充知识 微积分初步 4、微分
4.1 自变量的微分—自变量的无限小增量
x dx
4.2 函数的微分—函数的导数乘以自变量的微分
dy f '( x)dx f '( x) dy
dx
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补充知识 5、积分
微积分初步
v(t)
5.1 两个例子
5.1.1 变速直线运动的路程计算
ta tb 质点走的路程
f ( x) 被积函数
a, b 上Βιβλιοθήκη 限2020/3/2215
补充知识 微积分初步
例：
s tbv(t )dt ta
A sb F (s)ds sa
2020/3/22
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补充知识 微积分初步
积分定理
如果被积函数f (x)是某个函数(x)的导数，即 f (x) '(x),
则在x a到x b区间内f (x)对x的定积分等于(x)在 这个区间内的增量，即
5.
dx xa
1
6.0 sin2xdx
2020/3/22
22