(优选)经济数学基础微积分课函数

原料：函数 工具：极限
方式一 方式二
产品一：导数 产品二：积分
第一章 函数
由于实践和各门科学自身发展的需要， 到了16 世纪， 对物体运动的研究成为自然科学的中心问题. 与之相适应， 数学在经历了两千多年的发展之后进 入了一个新的时代，即变量数学的时代. 作为在运动 中变化的量(变量)及它们之间的依赖关系的反映，数 学中产生了变量和函数的概念.
函数是数学中最基本的概念之一，微积分研究 函数的一些局部的和整体的性态.
本章介绍函数的一般概念，几种常用的表示方 式，最基本的函数类——初等函数，函数的性质， 以及经济学中几种常用的函数.
第一节 实数
一、实数与实数的绝对值
1.实数的组成
正整数
有理数: p q
其中p,q为整数,
且 q0.
实数
有理数
整数 分数
绝对值不等式的解:
| x | a a x a ; | x | a x a 或 x a
例1 解下列绝对值不等式：
(1) | x 1 | 3 (2) | x 1| 2
解 (1) | x 1 | 3 3 x 1 3
2 x1 4.
3
3
1 3
1
1 3
x
(2) | x 1| 2 x 1 2 或 x 1 2
例如，伽利略发现自由落体下落的距离 s 与经 历的时间 t 的平方成正比，得到著名的公式
s 1 gt2 2
确定了变量 t 与 s 之间的依赖关系，即函数关系， 这就是自由落体运动规律的数学表述.
数学的一项重要任务，就是要找出反映各种实 际问题中变量的变化规律，即其中所蕴含的变量之 间的函数关系.
。
（3）实数的大小关系具有传递性，即若
，则有
。
（4）实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何
，若
，则存在正整数 ，使得 nb a
（5）实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另 一个实数，且既有有理数，也有无理数。
实数的有序性:
a,b R a b, a b, a b
oa
b
x
无穷区间
[a, ) {x | x a} o a (, b) {x | x b} (, ) {x | x R}
x
ob
x
o
x
邻域： 设a与是两个实数 , 且 0.
数集 {x | | x a | } 称为点a的 邻域 , 记作 U (a, ) ,
a
a
a x
点a称为这邻域的中心, 称为这邻域的半径.
U(a, ) {x | a x a } 点 a 的 空心邻域: 记作 U(a, )
a
a
a
x
U(a, ) {x | 0 | x a | }
点a的左 邻域 : (a Biblioteka a)a aa
x
点a的右 邻域 : (a, a )
a
a
a
x
练习：
P8 习题 一 1.
第二节 函数
二、函数的单调性 在给定区间内，判断
若有任意x1 x2, f (x1) f (x2 ),则函数在给定区间内单调递增 若f (x1) f (x2),则函数在给定区间内单调递减.
零 负整数
无理数 (无限不循环小数)
数轴是一条有原点、正方向和单位长度的直线.
1 O 1 2 P x
实数与数轴上的点是一一对应的.
2、实数的性质
（1）实数集是有序的，即任意两数
必须满足下述三个关系之一：
（2）实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭 的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
b |b|
证略.
二、常用数集的记号
自然数集 N { 0,1, 2, 3,, n,} 整数集 Z { 0, 1, 2, 3,, n,}
正整数集 Z {1, 2, 3,, n,} 有理数集 Q { p | p N , q Z ,且 p, q 互素}
q 实数集 R { 全体实数}
数轴
x
01
本书中如无特别说明，均限于实数范围内.
区间： 闭区间 { x | a x b} , 记作 [a,b]
oa
x b
开区间 { x | a x b}，记作(a, b) .
oa
b
x
左开右闭区间 {x | a x b} , 记作 (a, b]
oa
b
x
左闭右开区间 {x | a x b} , 记作 [a, b)
x 1 或 x 3
12 1 1 2
x
绝对值的基本性质：
| a | 0; | a | | a |; | a | a2 ; |a| a |a|; | a b| | a | | b|;
|a||b| |ab|; | ab | | a | | b | ; | a | | a | , b 0 .
称为函数的值域.
二.函数的表示方法
1.解析法
x 1, x (,0),
f
(
x)
0, x 0,
x
2
1,
x
(0,).
2.列表法：常见三角函数 3.图像法：数形结合 例题2.5
第三节 函数的几种常见性态
一、函数的奇偶性 在对称定义域内，判断
f (x) f (x), 偶函数
f (x) f (x), 奇函数
• 函数的概念
• 导入：课本例子
• 定义1.1 在某变化过程中有两个变量x 和y,如果变量x在 数集A内任取一个数值，按照某种对应法则，变量y都有唯
一确定的数值与之对应，则称变量y是x的函数，记为
•
y=f（x） x A，
• 其中x称为自变量，y称为因变量.自变量x的取值范围称为 函数的定义域.y的对应值称为函数值，全体函数值的集合
（优选）经济数学基础微积分课 函数
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一、微积分的实际背景
1. 瞬时速度 2. 曲线的切线斜率 3. 曲边图形的面积
二、微积分学的思想方法
运动、变化、发展乃至质变,是微积分的根本思 想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反 面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来 刻画变量的变化.
三、微积分学的基本结构 比如做家具：
实数对四则运算的封闭性:
a,b R a b, ab, a / b R
实数的稠密性:
a,b R, a b, c R, a c b
3.实数的绝对值
设 a 为一实数，则其绝对值定义为
|
a
|
a, a ,
a0 a0
几何意义：| a |表示数轴上点 a 到原点的距离.
|a |
0
ax
| a- b |表示数轴上两点 a 和 b 之间的距离.