4第四章对偶理论6
对偶理论DualityTheory
y2 y2
y3 y3
2 3 5
y1 4 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无 约 束
练习： 1.min Z 2 x1 2 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 7 x3 4x2 6x3
对偶理论
(Duality Theory)
对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶问题的经济解释----影子价格
对偶单纯形法 灵敏度分析
一、问 题 的 提 出
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每 一个线性规划（ LP ）必然有与之相伴而生的另一个 线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为 “P”，另一个称为“对偶问题”，记为“D”。
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2 2 ≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
（一）、对偶问题的形式 1、对称型对偶问题：已知 P，写出 D。
矩 阵 形 式 ：P maxZ CX
A11 X1 A12 X 2 b1
A21
X
1
A22 X 2
b2
A31
X
1
A32 X 2
b3
X1
运筹学对偶理论
动态规划的对偶性
动态规划的对偶性是指对于给定的动态规划问 题，可以构造一个与之对应的对偶问题，这两 个问题的最优解是相互对应的。
在动态规划中，原问题通常关注的是多阶段决 策的最优解，而对偶问题则关注的是如何将原 问题的最优解转化为一系列子问题的最优解。
对偶理论在动态规划中也有着广泛的应用，例 如在计算机科学、人工智能、控制系统等领域。
运筹学对偶理论
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论在运筹学中的应用 • 对偶理论的局限性与挑战 • 对偶理论案例分析
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
在运筹学中，对偶问题是指原问题的 目标函数和约束条件保持不变，但变 量的约束方向被颠倒的问题。
线性规划中的对偶问题
在线性规划中，原问题为最大化问题 ，其对偶问题则为一个等价的线性规 划问题，目标函数变为最小化问题。
对偶理论面临的挑战
算法优化
01
对偶理论在求解大规模优化问题时，算法效率和稳定性面临挑
战。
多目标优化问题
02
对偶理论在处理多目标优化问题时，难以权衡和协调不同目标
之间的矛盾。
动态环境适应性
03
对偶理论在应对动态环境和不确定性因素时，需要进一步改进
和优化。
对偶理论的未来发展方向
拓展应用领域
进一步探索对偶理论在其他领域的应用，如金融、 医疗、交通等。
详细描述
在金融风险管理问题中，动态规划对偶理论可以用于确定 最优的风险管理策略，以最小化风险并最大化收益。通过 构建动态规划模型，可以找到最优的风险管理方案，提高 金融机构的风险管理能力。
总结词
动态规划对偶理论在电力系统优化问题中具有重要应用。
最优化方法之对偶理论讲解
.
2
2
4
inf
x
2 2
wx 2
|
x2
0
w
2
w
w
w2
.
2
2
4
(w) w 2 w 2 4w w 2 4w.
44
2
对偶问题为:
w2
max 4w
2
s.t. w 0
对偶定理
min f ( x ) s.t. g ( x ) 0
x1, x2 0
1）原问题(P1)一可行解 x=(1, 1)T
目标值 =40 40是(D1)最优目标值的上界.
2）对偶问题(D1)一可行解 w=（1 1 1 1）
目标值 =10 10是(P1)最优目标值的下界.
x*
1 5
6 5
最优值28
w*0 0 4 4T 最优值28
推论1 若问题(P)或(D)有无界解，则其对偶问题(D)或(P) 无可行解； 若问题(P)或(D)无可行解，则其对偶问题(D)或(P) 或者无可行解,或者目标函数值趋于无穷。
cT x Ax b
Ax b x0
max bTu bTv
对偶
s .t .
ATu ATv c
u, v 0
令wuv (D)
m ax s .t .
bT w ATw
c
w无 限 制
例 min 5x1+4x2+3x3 s.t. x1+x2+x3=4 3x1+2x2+x3 =5 x1 ≥ 0, x2 ≥0, x3 ≥0
《生产理论和成本理论》第4章 对偶性
第四章对偶性¡一、生产技术和成本函数之间的对偶关系¡二、生产技术和条件要素需求函数之间的对偶关系¡三、对偶关系的推广¡四、对偶关系的一种几何说明¡五、对偶性的意义¡六、应用¡七、补充：一个重要的命题12第四章对偶性一、生产技术和成本函数之间的对偶关系¡已知成本函数具有以下特征(1),,0(2)000(3),,,tw y t w y t w y w y w y w y w w w y w ϕϕϕϕϕϕ∀>≥∀≥∀≥≥≥，，一次齐次性：（）=（）非负性：（，）单调性：（）（）当（4）凹性：（）在上是凹的。
3第四章对偶性¡定理1给定一个可微的成本函数，如果它满足以上的条件（1）－（4），则它是下列生产技术的成本函数：¡证明,w y ϕ（）{}()0:,0V y x wx w y ϕ∗=≥≥∀≥（）第四章对偶性¡证明第一步：建立一个表达式。
根据Shephard ’s lemma, 对于任何的w >0 有再由于j （w,y ）在w 上是一次齐次的，故根据数欧拉定理有其中根据j （w,y ）的单调性,有x(w,y)≥04nw y w y x w y w w 1(,)(,)(,)(,)ϕϕ∂∂=∂∂LL ni i i i w y w y w w wx w y w 1(,)1(,)(,)ϕϕ=∂⋅==∂∑于是，得到如下表达式：第二步：根据j （w,y ）的凹性特征，给定一个w ’≥0,有5w y wx w y w (,)(,)0(1)ϕ=∀≥w y w y D w y w w w y x w y w w w y x w y w x w y w w y x w y w w y by w x w y xi e w y w x w y w x w V y x y ''''''''''(,)(,)(,)()(,)(,)()(,)(,)(,)(,)(,)(,)((1)(,)(2).(,)(1)(,)(,)(3))ϕϕϕϕϕϕϕϕ≤≤∀+−=+−=+−=+−∈=∀¡由（3）式显然可知，对于w ’≥0 ，x(w ’,y)和x(w,y) 都可以生产y ，而j （w ’,y ）=w ’x(w ’,y)为最小成本。
5对偶理论与灵敏度分析
4. 对偶理论16
m in cx ( 4 .1 .1 2 ) s .t A x v b , x 0, v 0
由于(4.1.12)存在最优解，因此能用单纯形方法求得 一个最优基本可行解。 不妨设此最优解为
y
(0)
(x
( 0 )T
,v
( 0 )T
)
T
相应的最优基为B.此时所有判别数满足：
27
4. 对偶理论—对偶单纯形法 1
4.2 对偶单纯形法 4.2.1对偶单纯形法基本思想
考虑线性规划 : m in cx s .t . A x b, x0 ( 4 .2 .1)
定 义 4 .2 . 1设 x
(0)
是 ( 4 .2 .1)的 一 个 基 本 解 , 它 对 应 的 基 矩 阵
1
推 论 1： 若 L P 4 .1 .1） 存 在 一 个 对 应 基 B 的 最 优 基 本 可 行 解 , （ 则 单 纯 形 乘 子 w c B B 是 对 偶 问 题 ( 4.1 .2 )的 一 个 最 优 解 .
-1
TP SHUAI
22
4. 对偶理论19
4.1.3互补松弛性质
定 理 4 .1 .3 ( 互 补 松 驰 定 理 ) 若 x ( x1 , x 2 , ..., x n ) 和 y ( y 1 , y 2 , ..., y m ) 分 别 是 原 始 和 对 偶 问 题 的 可 行 解 ， 则 x和 y都 是 相 应 问 题 的 最优解当且仅当下述条件成立： 原始互补松驰条件： 对 每 一 1 j n： 要 么 x j 0， 要 么 a ij y i c j；
m
a
i 1
对偶理论知识点总结
对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。
优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。
而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。
二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。
对于一个原始优化问题：\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为：\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。
原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。
三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。
具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。
1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。
四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。
在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。
《运筹学》第四章对偶问题
设X,Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解，则当
CX = Yb
时， X, Y分别是(P1)与(D1)的最优解。
性质4无界性 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题的解无界， 则另一个问题无可行解。
性质5 对偶定理 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题有最优解，
资源 产品
Ⅰ
Ⅱ
拥有量
设备 A
2
2
12
设备 B
1
2
8
原材料 A
4
/
16
原材料 B
/
4
12
2.资源最低售价模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z 2x1 3x2
设第i种资源价格为yi,( i=1, 2, 3) 则有
2x1 2x2 12
y1
x1 2x2 8
4 x1
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T
( D1):min w=8y1+12y2+36y3 ( Ds):min w=8y1+12y2+36y3
y1
+3y3 ≥ 3
y1 +3y3 -y4 = 3
s.t.
2y2+4y3 ≥ 5
y1 , y2, y3 ≥ 0
s.t.
2y2+4y3 -y5 = 5
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0
大连海事大学交通运输管理学院
2.4.1 对偶问题的提出 2.4.2 原问题与对偶问题 2.4.3 对偶问题的性质 2.4.4 对偶变量的经济含义 2.4.5 对偶单纯形法
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
第四讲 对偶及范式
第四讲对偶及范式对偶的定义：将命题公式中的∧换成∨，∨换成∧，T和F互相替代，所得公式即为公式A的对偶式，记作 A*例如:（（p∨q）∧F）∧ (T ∧┓(r ∨┓p))的对偶式为：（（p∧q）∨T）∨ (F ∨┓(r ∧┓p))下面给出两个对偶定理1、命题公式的否定定价于其各个命题变项否定之后所组成的对偶式。
举例来说：命题公式p∧q，其否定：┓(p∧q）, 等于其各个命题变项否定之后┓p,┓q所组成的对偶式┓p∨┓q 。
即┓(p∧q）⇔┓p∨┓q 这就是德·摩根律2、设A*，B*分别是A，B的对偶式，如果A⇔B ，那么A*⇔B*。
也就是说，一对等价公式的对偶式也等价。
范式在提出范式之前，要先提出两个概念：简单合取式和简单析取式。
简单合取式：用∧连接各个命题变项或其否定所形成的命题公式就是简单合取式。
比如 p∧q, p∧q∧┓r， p∧┓p∧┓r 都是简单合取式。
简单析取式：用∨连接各个命题变项或其否定所形成的命题公式就是简单析取式。
比如p∨q, p∨q∨┓r， p∨┓p∨┓r 都是简单析取式。
需要注意的是：p，┓p即是简单合取式，又是简单析取式。
给出两个显而易见的定理：一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及其否定，如p∧┓p∧┓r一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项及其否定，如p∨┓p∨┓r范式的定义：由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
如（p∧q）∨（p∧┓p∧┓r）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。
如r∧(p∨q) ∧( p∨q∨┓r)析取范式和合取范式统称为范式。
需要指出的是：p∧q∧┓r即是一个简单合取式所构成的析取范式，又是一个由三个简单析取式构成的合取范式。
同样的p∨q∨┓r即是一个简单析取式所构成的合取范式，又是一个由三个简单合取式构成的析取范式析取范式和合取范式具有如下性质：一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。
运筹学04对偶理论
对偶问题的提出
第1页
§1 对偶问题的实际意义
背景1 最优化问题的两个侧面：
周长给定， 求面积最大
面积给定， 求周长最小
容积给定， 求表面积最小
表面积给定， 求容积最大
资源给定， 求挣钱最多
收益给定， 求用资源最少
对偶问题
第2页
背景2 出租机器还是搞生产？卖产品还是卖资源？
第29页
线性规第划五及节单纯型法
对偶单纯形法
第30页
§5 对偶单纯形法
检验数全部非正的基本解叫正则解。对偶单纯形法从正则解开始。
Step1. 从一个正则解 x（1） 开始；
Step2. 若所有 bi 0 ，则 x（1）是最优解，停止；否则转入下一步；
Step3. 选择出基变量 max bi , bi 0 br ，
n
n
则 aij x j bi ； 若 aij x j bi ,
； jm1
则 aij yi c j
jm1
若 aij yi c j ,
i 1
i 1
则 yi 0, 则 x j 0,
第18页
§3 对偶的基本性质
max z cx Ax b x0
min b' y
A' y c' y0
x1, x2 0
产品价格 2 3
第3页
清华紫光集团想租用北航的设备，那么出什么价格时北航才肯出租设备呢？
设备 A, B, C 的每工时的出租价为 y1, y2, y3 ，为能租到设备，租金不能低于产品 所得的利润，即应有
2 y1 4 y2 2, 2 y1 5 y3 3,
并且希望租金越低越好，其线性模型为
运筹学之对偶问题
Max s .t
W Yb - YA C Y 0
定理2 弱对偶定理 ˆ 和Y ˆ 分别为原问题 P 及其对偶问题 D 的任意可行解， 若X 则有 ˆ Y ˆb CX 成立。
推论1：若原问题 P 和对偶问题 D 都有可行解，则必都有 最优解。 推论2：若原问题 P 有可行解，但无有限最 优解，则对偶 问题 D 无可行解。
s .t
s .t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
第四章 线性规划的对偶理论
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的解 影子价格 对偶单纯形法
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了 解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提 出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系 统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问 题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y 2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3为对偶变量，也称为影子价格
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上式两边同乘以-1，又因为 min w' max w' 可得 max w' cT X ; s.t.AX b; X 0 这就是原问题
4. 把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系 数矩阵；
5. 根据原始问题的约束条件不等式情况，确定对偶 变量的符号限制；
6. 根据原始决策变量的符号限制，确定对偶问题约 束条件的不等式方向。
❖ 例：写出下列问题的对偶问题
min w 2x1 3x2 5x3 x4
x1 x2 3x3 x4 5
s.t.
AX b X 0
min w b1 y1 b2 y2 bm ym a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
s.t.a12 y1 a22 y2 am2 ym c2 ay1iny10, ia2n1y,22 ,, m amn ym bm
矩阵形式
min w bTY
s.t.YATY0 c
小结
原问题 max 约束= 变量非负
对偶问题
min 变量是自由变量 约束条件≥
构造对偶线性规划
❖原问题和对偶 问题的关系表
构造对偶线性规划
❖ 构造对偶线性规划的步骤
1. 确定对偶变量个数：对偶变量个数应等于原始问 题约束方程个数；
2. 把原始问题的目标函数系数作为对偶问题的右端 常数；
3. 把原始问题的右端常数作为对偶问题的目标函数 系数；
bi ('i
'' i
)
i1
m
s.t. i1
aij (i'
i'' )
cj
j 1, 2,, n
i' ,i'' 0 i 1, 2,, m
▪ 第三步：令
yi
'i
'' i
则
yi (,)是自由变量
m
min w bi yi
i 1
m
s.t. i1
aij yi
cj
j 1,2,n
yi (,)
2y1y,1y2
2 y2 , y3,
5y3 y4 0
5 y4
2
对偶问题
max z 12 x1 7x2 11x3 2x4
2x1 5x2 x3 2x4 30
3x1 6x2 3x3 2x4 8
s.t.5x1 8x2 2x3 5x4 25
7x1x,1x2 ,8xx32,
6x3 x4 0
对偶问题的提出
❖影子价格的实际意义
▪ 影子价格是对资源的估价，这种估价是针对 具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格
▪ 在该厂现有的方案下，设备出租的价格为 （7/6，0，19/6）同自己生产获利相等
▪ 如果市场上设备的租金比上述影子价格高， 则工厂应出租设备获得更高的利润
▪ 如果市场上设备的租金比上述影子价格低， 则工厂应租用设备来进行生产，可以获得更 高的利润
a21x1 a22x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x j 0 j 1,, n
第一步：将等式约束转换为≥和≤约束
max z c1x1 c2 x2 cn xn
n
aij x j bi
i 1,, m
j1
s.t. n aij x j bi i 1,, m
及这三种加工设备在计划期内能提供的有限
台时数如表所示，分析如何安排生产计划，
即甲、乙两种产品各生产多少单位，可使该
厂所得的利润最大？ 设备
每单位产品的加工台时
甲
乙
总有限台时 (小时)
A
3
4
36
B
5
4
40
C
9
8
76
利润(元/单位)
32
30
❖建立线性规划模型
max z 32x1 30x2
3x1 4x2 36
每单位产品的加工台 时
甲
乙
3
4
5
4
9
8
总台时 (小时)
36 40 76
利润(元/ 单位)
32
30
❖线性规划
min w 361 402 763
s.t.
4311
52 42
93 83
32 30
j 0 j 1,2,3
（3.2）
❖用原问题的矩阵表示
min w bT
AT c
s.t.
对偶理论
❖对偶问题的性质 ▪对称性：对偶问题的对偶问题是原问题
证明：设原问题是 max z cT X ; s.t.AX b; X 0 根据对偶问题的对称关系，可找到它的对偶问题是
min w bTY; s.t.ATY c;Y 0
若将上式两边同乘-1，又因为 min w max(w) 得到 max w bTY ; s.t. ATY c;Y 0 根据对称变换关系，得到上式的对偶问题为
阵； ▪ 原始问题的约束条件个数与对偶问题的变量个数相同；而原始问题的变量
数个数与对偶问题的约束条件的个数相同。 ▪ 在一般涉及经济问题的线性规划模型中，对偶变量具有价格的量纲，通常
称为“影子价格”或者“边际价值”。
max z cT x
min w bT
Ax b
s.t.
x
0
（ 3.1 ）
AT c
s.t.6y1y132y2y2 y33
y3
2
3
y1, y2 , y3 0
例：写出下列问题的对偶问题
min w 30y1 8y2 25y3 55y4
2 y1 3y2 5y3 7 y4 12
5y1 6 y2 8y3 8y4 7
s.t. y1 3y2 2 y3 6 y4 11
36
B
5
4
40
C
9
8
76
❖从另一个角度来讨论这利润个(元/单位问) 题32
30
❖假设工厂的决策者，打算不再自己生产， 而将设备的有限台时，租让给其它工厂 使用，它只收租费，这时工厂的决策者 应该如何确定合理的租金呢？
▪ 租金不能比自己生产 得到的利润低
▪ 为了增加自身的竞争能力，在保证自己利润 的前提下，租金越低越好
对偶问题的提出
❖对偶问题的意义
▪ 对偶问题可以对经济活动作出指导—— 影子价格
▪ 对偶问题可以用来求解线性规划问题， 将难以计算的原问题化为对偶问题求 解——对偶单纯形法
内容 ❖对偶问题的提出 ❖构造对偶问题的线性规划 ❖对偶理论——重点 ❖对偶单纯形法——重点 ❖影子价格及应用
构造对偶问题的线性规划
❖设1、2 、3 为分别为设备A、B、C每台 时的租金
❖同意租让的原则应该是：将生产一个单 位的甲产品所需的各设备台时租让出去得
到的租金不低于原利润的32元，即
31 52 93 32
❖同样产品乙：41 42 83 30 ❖目标函数：租金越低越好
w 361 402 763
设备
A B C
s.t.
59xx11
4x2 8x2
40 76
x1 0 , x2 0
❖写成矩阵形式
（3.1）
max z cT x
Ax b
s.t.
x
0
3 A 5
9
4 4 8
36 b 40
76
c
32 30
x
x1 x2
每单位产品的加工台时
设备
甲
乙
对偶问题的提A 出 3
4
总台时 (小时)
s.t.2x1
2x3 x4 4 x2 x3 x4 6
x1 0; x2 , x3 0; x4无约束
max z 5y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2 2
y1
y3 3
s.t. 3y1 2 y2 y3 5
y1
y1 y2 y3 1 0; x2 0, y3无约束
❖构造标准线性规划问题的对偶问题
原问题
对偶问题
max z c1x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21x1 a22 x2 a2n xn b2 axim1x10, iam12,x22,, n amnxn bm
矩阵形式 max z cT X
0
对偶问题的提出
❖ 称问题（3.2）为问题(3.1)的对偶问题,称问题(3.1)为原问题.对偶 问题与原问题之间存在以下关系(假设原问题有 m 个约束, n个变 量)
▪ 目标函数对原始问题求极大化，对偶问题是求极小化； ▪ 原始问题目标函数中的价格系数是对偶问题约束条件中的右端常数，而原
始问题约束条件中的右端常数变成对偶问题的目标函数的价格系数； ▪ 约束条件的不等式方向改变了； ▪ 原始问题的约束条件的系数矩阵转置后成为对偶问题的约束条件的系数矩
ay1iny10, ia2n1y,22 ,, m amn ym cn
小结
原问题 max 约束≥ 变量非负
对偶问题
min 变量非正 约束条件≥
构造对偶问题的线性规划
▪ 原问题存在“=“约束
max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn b1
s.t.
❖原问题和对偶问题的关系图
例：写出下列问题的对偶问题
max 6x1 3x2 2x3
3x1 6x2 x3 22
s.t.54xx11
2x2 3x2
3x3 10 x3 6
x1, x2 , x3 0
对偶问题
min w 22 y1 10 y2 6 y3
3y1 4 y2 5 y3 6