第三章 对偶理论习题
-2
-4
0
0
0
x4
[-1]
0
-1/3
1
-1/3 -2/3
-2
x2
2
1
5/3
0
-1/3 10/3
cj
-1
0
-2/3
0
-2/3
-5
x1
1
0
1/3
-1
1/3 2/3
-2
x2
0
1
1
2
-1
2
cj
0
0
-1/3
-1
-1/3
最优解为： x (2 / 3, 2, 0), z 22 / 2
用对偶单纯形法求解下列问题。 解：
3、若所有 alj 0( j 1,，2,则原, n问) 题无可行解，停止； 否则，若有 则选alj 0
那么 x为k 进基变量 ，m1转ajxn{4；j alj | alj 0} k alk
4、以 alk为 转轴元，作矩阵行变换使其变为 1，该列 其他元变为 0，转2。
min z 5x1 2x2 4x3
y1 0, y2 1, y3 0 ，经验证， y 0 1 10T
是对偶问题的一个可行解，并且 w 1 。由对偶问题的性质可得
z w1
一般情况下，从最优单纯形表中可得到对偶 问题的最优解
原问题最大化：
原问题约束条件 小于等于 大于等于 等于
原问题最小化：
对偶问题的最优值 原问题松弛变量负的检验数 原问题剩余变量正的检验数 -M-原问题人工变量检验数
50 100 0
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
θi
0
x3
300
1
1
1
0
0
x4
400
2
1
0
1
0
x5
250
0
(1)
0
0
-z
0
50 100* 0
0
0
300
0
400
1
250
0
0
x3
50 (1)
0
1
0
-1
50
0
x4
150
2
0
0
1
-1
75
100
x2
250
0
1
0
0
1
-z
-25000 50*
0
0
0
-100
50
x1
1、建立初始对偶单纯形表，对应一个基本解，所有
检验数均非正，转2；
2、若 b’≥ 0 ，则得到最优解，停止；否则，若有
bk < 0 则选 行的l 基变量为出基变量，转3；
3、若所有 alj 0( j 1,，2,则原, n问) 题无可行解，停止；
否则，若有 则选alj 0
min{
1 jn
j
alj | alj 0} k
s.t.
63x1x13xx22
2x3 5x3
4 10
x1, x2 , x3 0
解：先将原问题进行标准形化：
max(z) 5x1 2x2 4x3
s.t.
63xx1 13xx22
2x3 5x3
x4 x5
4 10
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
选 x4 , x5 为基变量，并将问题化为：
3、企业在新产品投产之前，可利用影子价格，通过分析新产品 使用资源的经济效果，以决定新产品是否应该投产.
4、根据互补松弛定理可知，当一种资源的影子价格大于0时，表 明这种资源已经用完，属于紧缺资源，增加这种资源可以增加总的 利润。
某工厂生产甲、乙两种产品，需要三种资源：煤、电、 油。有关数据如下，求解下列问题。
Z* y*1b1 y*2b2 y*i bi y*mbm 一y个*i 单位时，目标
Y * b y*i Z * y*i
函数增加的数量
影子价格在经营管理中的应用
1、影子价格说明增加哪一种资源对增加经济效益最有利. 例如， 三种资源A、B、C的影子价格分别为0、1、3，说明首先应考虑增加 资源C，因为相比之下它能给收益带来的增加最大.
1、为使总收入最大，请写出其线性规划模型。 2、另一厂家希望以最低的价格购买其所有资源，试建立购买者的线 性规划模型。 3、电的影子价格是多少？ 4、现又考虑一新产品丙，其三种资源单耗为10、2、5，售价为6.5， 该产品是否可投产？
1.总收入最大的线性规划模型：
2.购买者的线性规划模型：
3.用单纯形法求该问题的单纯性表如下：
2、影子价格又是一种机会成本. 企业经营决策者可以把本企业资 源的影子价格与当时的市场价格进行比较，当某种资源的影子价格 高于市场价格时，则企业可以买进该种资源；而当某种资源的影子 价格低于市场价格时，则企业可以卖出该种资源，以获得较大的利 润.影子价格等于市场价格表明该资源处于平衡状态，既不用买入, 也不必卖出。
写出其对偶问题；（2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值
z 1
解：（1）原问题的对偶问题为： min w 2 y1 y2 2 y3
（2）取 y 0 1 10T ，既
s.t.
y1 y2 2 y3 1 y1 y2 y3 2 y1 y2 y3 1
y1 0, y2无约束, y3 0
50
1
0
1
0
-1
0
x4
50
0
0
-2
1
1
100
x2
250
0
1
0
0
1
-z
-27500 0
0
-50
0
-50
最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A有50个单位的剩 余）影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 。
15
对偶单纯形法求解线性规划问题过程 （极大化问题）：
电的影子价格是1.36
4、现又考虑一新产品丙，其三种资源单耗 为10、2、5，售价为6.5，该产品是否可投产？
三种资源的影子价格分别为：0,1.36,0.52。 通过计算：
0X10+2X1.36+5X0.52=5.32<6.5 所以可以投入生产。
那么X *,Y * 分别是（LP）和(DP)的最优解的充 分必要条件是
Y * X s 0 Ys X * 0
2．5给出线性规划问题 max z x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
s.t.
x1 x2 x3 1 2x1 x2 x3 2
x1 0, x2 0, x3 0
max( z) 5x1 2x2 4x3
s.t.
3x1 6x1
x2 2x3 x4 4 3x2 5x3 x5 10
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
cj
-5
-2
-4
0
0
b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
-3
-1
-2
1
0
-4
0
x5
-6
[-3]
-5
0
1
-10
cj
-5
x1 0, x2 R, x3 0Leabharlann 原问题为极小化（上变下不变）
若一个问题的某变量无非负限制，那么对应的对偶问题的相应约束为等式；若一 个问题的某变量大于等于零，那么对应的对偶问题的约束为小于等于；若一个问 题的某变量小于等于零，那么对应的对偶问题的约束为大于等于。
若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制；若一 个问题的某约束为大于等于式，那么对应的对偶问题的相应变量为≥ 0；若一个问 题的某约束为小于等于式，那么对应的对偶问题的相应变量为≤ 0 。
min W y1 3 y2 5 y3
原 问 题
2 y1 y2 2 y3 1
s.t.
y1 y1
y2 y2
y3 1 2 y3 2
y1 R, y2 , y3 0
max Z x1 x2 2x3
对 偶 问
2
x1
x2
x3
s.t.
x1 x2 x3
=1 3
题
2x1 x2 +2 x3 5
max Z=CX
min W=Yb
s.t. AX b
(LP )
s.t. YA C
(D P )
X0
Y0
定理3.5 主对偶定理 若原始问题和对偶问题两 者均可行，则两者均有最优解，且此时目标函 数值相同。
定理3. 6 互补松驰定理：
若 X *是（LP）的可行解，Y * 是(DP)的可行解，X s
是（LP）的松驰变量，Ys 是(DP)的剩余变量，
若一个问题的某变量无非负限制，那么对应的对偶问题的相应约束为等式；若一 个问题的某变量大于等于零，那么对应的对偶问题的约束为大于等于；若一个问 题的某变量小于等于零，那么对应的对偶问题的约束为小于等于。
若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制；若一 个问题的某约束为大于等于式，那么对应的对偶问题的相应变量为≤0；若一个问 题的某约束为小于等于式，那么对应的对偶问题的相应变量为≥0 。
第三章 习题课
max Z x1 2x2
原 问 题
2x1 x2 3
s.t.
3x1x1x2x226
x1 0, x2 R
对
min f 3y1 6 y2 2 y3
偶
2 y1 3y2 y3 1
问 题
s.t.
y1
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第三章 线性规划的对偶理论
s.t. AX=b X≥0 由于 AX=b 即 AX=b
AX≤b AX≥b
AX≤b -AX≤-b 所以，原问题可化为 max z=CX s.t. AX≤b -AX≤-b X≥0
A
X≤ -A
b
-b
14
设Y'：AX≤b的对偶变量（行向量） Y''：-AX≤-b的对偶变量（行向量） 按对称形式的对偶关系可得出原问题的对偶问题如下： min w =Y'b-Y''b= （Y'-Y''）b （Yb=bTYT） s.t Y'A-Y''A≥C （ YA=ATYT） Y'≥0，Y''≥0 令Y= Y'-Y''，则对偶问题为 min w =Yb s.t YA≥C Y符号不限 结论：原问题中约束条件为等式，对应的对偶变量 无非负要求；反过来同样成立。
s.t. 2y1+ y2+ 4y3 ≥2
2y1+2y2+ 4y4 ≥3 y1, y2 , y3 , y4 ≥ 0
解：2.首先将原式变形
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给 出其对偶规划。 （1）对原问题模型为“max，约束条件为≤”或“min，约 束条件为≥” 的形式，对应的对偶规划的变量大于 0 ；反之， 若原问题模型为“max，≥”或“min，≤” 的形式，对应的 对偶规划的变量小于0。 （ 2 ）原问题线性规划的决策变量大于 0 ，则对偶问题的模 型为“max，约束条件为≤”或“min，约束条件为≥” 的形 式；若原问题线性规划的决策变量小于0；则对偶问题的模型 为“max，≥”或“min，≤” 的形式。
3 LP问题的对偶理论
他/她——生产资料租用 者的投入： 租赁工厂的生产设备， 支付工时费和材料费， 考虑怎样的租赁价格可 以接受？
我——生产资料所有 者， 如何为每种资源定价？
产品A 产品B 资源限量 劳动力 设 备 原材料 利润元/kg 9 4 3 70 4 5 10 120 360 200 300
仅为理解“对偶规划”的意义 而设，现实生活中不存在“不劳 而获”的案例。如有发现“不劳 而获”存在，纯属巧合！ 切勿认为“不劳而获”发生在 别人身上，也会发生在自己身上。
对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“=”
1、给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量yi(i=1,2,…，n); 2、使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约束条件的右端 常数； 3、使原问题约束条件的右端常数bi变为其对偶问题目标函数的 系数； 4、将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其对偶问题目标 函数的系数； 5、改变约束条件不等号的方向，即将“≤”改为“≥”； 6、原问题“max”型，对偶问题为“min”型
思路
在考虑定价时，肯定要和生产A、B时的情 况进行比较，起码应当使两种情况下的总 利润相等。
产品A 产品B 资源限量
价格嘛…… 好商量， 好商量。只 是…... 王 老 板 李 老 板
Hi：王老板，听 说近来家具生意 好惨了，也帮帮 兄弟我哦!
劳动力 设 备 原材料 利润元/kg
9 4 3 70
m aij yi cj j 1,2,, n s.t. i 1 i 1,2,, m yi符号不限，
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第3章 对偶理论与灵敏度分析
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
⎪⎩x1, x2 ,", xn ≥ 0
min z = b1y1 + b2y2 +" + bm ym
（3-5）
⎪⎧⎜⎛ s.t.⎪⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 #
a1n
a21 a22 #
a2n
" "
"
am1 ⎟⎞⎜⎛ y1 ⎟⎞ ⎜⎛ c1 ⎟⎞
am2 #
amn
⎟⎜ y ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝#y
+ −
y3* =3 y3* = 4
把 X * 代入原问题 3 个约束中可知原问题式（3）是不等式，故 y 3 * =0，然后解方程组
得到
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3y2* =3 2 y2* = 4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y1* =6/5 y2* = 1/ 5
故对偶最优解为 Y * =(6/5,1/5,0), z * =w * =28.
⎪⎪⎪⎨22yy11++3yy22
− +
y3 y3
≥2 ≥3
⎪⎪3y1 + 2 y2 − y3 ≥ 4
⎪⎩y1, y2 , y3 ≥ 0
由于 x 3 * =x 4 * =4>0，故对偶问题约束方程式（3）、（4）是等式约束，即对 Y * 成立等式
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3 y2* 2 y2*
推论 3 若原始问题可行，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。
定理 3.2 最优性准则定理
若 X 和 Y 分别为互为对偶问题的线性规划（3-5）与（3-6）的可行解，且使 CX = bT Y T ，
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)
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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然 气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]
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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然 气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]
第三章对偶单纯形法
··
≥ (c1,c2,…,cn)
y1，y2，…，ym≥0
m个变量，n个约束条件
2﹒约束条件全部为“=”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
max z=CX
AX＝b
等价
AX≤b AX≥b
AX≤b 等价 －AX≤－b
X≥0
min ω=(Y1,Y2) A
(Y1,Y2) －A Y1,Y2≥0
b －b
承租
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
厂家能接受的条件：
出 用同让6等代y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1 己生2产y2的利y润3。 1
收购方的意愿：
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
设备B
6
调试工序
1
5 15时 2 24时 1 5时
利润（元） 2
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制max变S量个数5n y1 约4束y方2 程个6数yn3
2、求下列问题的对偶问题 min Z 2x1 3x2 5x3 x4
4x1 x2 3x3 2x4 5
s.t
3x1 2x2 7x4 2x1 3x2 4x3
4 x4
6
s.t
3﹒约束条件为“≥”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
对
AX≥b
等价
－AX≤ － b
偶
X≥0 min ω=Yb
对偶 问题
X≥0
问
题
min ω=Y1 (－ b)
YA ≥C Y≤0
令Y= － Y1
3对偶原理习题
习 题 三3.1 试建立下述LP 问题的对偶关系表，并写出其对偶问题：（1）max z=4x 1+3x 2+6x 3s.t. 123123123123360223402260,0,0x x x x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥⎩ （2）min w=60x 1+10x 2+20x 3 s.t. 123123123123321210,0,0x x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪-+≥-⎪⎨+-≥⎪⎪≥≥≥⎩ （3）min w=5x 1-3x 2 s.t. 12312312312324221330,0,0x x x x x x x x x x x x -+≥⎧⎪+-≥⎪⎨--≥⎪⎪≥≥≥⎩ （4）max z=4x 1+3x 2+6x 3 s.t.1231231232410253150,0,0x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪≥≥≥⎩3.2 试写出下述LP 问题的对偶问题：（1）1.1（1）题 （2）1.5题 （3）2.4（5）题 （4）2.4（7）题（5）min w=2x 1+2x 2+4x 3s.t. 1231231232323523734650,0x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪++≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩ (6) min w=2x 1+3x 2+6x 3+x 4 s.t.12341234123412434472127381825340,0,0x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++≥⎪⎨-+-≤⎪⎪≥≤≥⎩ 3.3 试证明LP 问题（P 2）是（D 2）的对偶，（P 2）是（D 2）的对偶。
3.4 试写出下述LP 问题的对偶问题：（1）min w=C T Xs.t. (0)AX b X a =⎧⎨≥≥⎩(2) min z= 11m n ij ij i j c x==∑∑s.t. 11,1,2,...,1,2,...0n ij i j m ij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩∑∑(3) max z= 1n jj j c x =∑s.t. 11,1,2,...,,1,2,...,0,1,2,...,()n ij j i j n ij j i j ja xb i r a x b i r r m x j s n ==⎧≤=⎪⎪⎪==++⎨⎪⎪≥=<⎪⎪⎩∑∑3.5 已知LP 问题：min z= 5x 1+6x 2+3x 3s.t. 12312312312312312231235535020769307241510654510200,0,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪+-≥⎪⎪+-≥⎪++≥⎪⎨+-≥⎪⎪+≥⎪-≥⎪⎪≥≥≥⎩ 试通过求解其对偶问题来确定该LP 问题的最优解。
对偶理论与灵敏度分析
对偶理论与灵敏度分析
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0 解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第一节 对偶问题的提出
例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产 品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生 产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0 解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2 s.t. y1 + 4y2 10
y1 + 2y2 1 2 y1 - y2 2
y1，y2 0
第一节 对偶问题的提出
例：写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
解：化为对称形式。 令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0) max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3
s.t. a11x1 a12x2 a13x3 a13x3 b1
aaa222a111xxx2111x1 aaa222a222xx2x2222x2 aaa222a333xxx23333x3 aaa222a333xxx23333x3 bbb222b2 a3a13x11x1 a3a23x22x2 a3a33x33x3 a3a33x33x3 b3b3 x1, x2 , x3, x3 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
则称下列 LP 问题
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
对偶理论
第2节 对偶问题解的性质
z c1 x1 c2 x2 cn xn ( z max) a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , xn 0
第三章 对偶理论
Dual Theory
第1节 对偶问题
一、对偶的含义 对同一事物（问题）从不同的角度（立场） 观察，有两种对立的表述。 例如：“平面中矩形的面积与周长的关系” 有两种表述：周长一定，面积最大的矩形 是正方形；面积一定，周长最短的矩形是 正方形。
第1节 对偶问题
例1：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产 品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B 两种原材料的消耗，如下表所示。该工厂每生 产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可 获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？ 设备 原材料A 原材料B
Ⅰ 1 4 0 Ⅱ 2 0 4
8台时 16kg 12kg
第1节 对偶问题
例1：
解：设计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为x1、x2 max z =2x1+3x2 x1+2x2≤8 4x1≤16 4x2≤12
x1，x2≥0
第1节 对偶问题
从另一个角度考虑例1。 假设该工厂的决策者决定不生产产品Ⅰ、 Ⅱ，而将其所有资源（设备和原材料）出 租或外售，问应给每种资源如何定价，使 该工厂的收入最合理？
第1节 对偶问题
例5： max z =3x1-7x2 -5x3+8x4+8x5 x2-x3+3x4-4x5=-16 2x1+3x2-3x3-2x4≥2 -x1+2x3-2x4≤-5 -2≤x1≤10 5≤x2≤25 x3，x4≥0，x5无约束
对偶理论(第三章线性规划3)
可以归结为求解下列线性规划问题：
max f 5x1 4x2
x1 3x2 90
s .t
2x1x1x
x2 80 2 45
x1 , x2 0
其对偶问题的数学模型
设 y1, y2 , y3 分别表示设备甲、乙、丙每台时的价格（或 租金）,则
min g 90y1 80y2 45y3
y1 2 y2 y3 5
4.对偶定理 若原问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也有最优
解，且两者的最优目标函数值相等。
5.若原问题和对偶问题同时有可行解，则他们必都有最优解。
6.若原问题的最优解为 X B B 1b ,则对偶问题的最优解为 Y CB B 1 。
7.根据原问题最优单纯形表中的检验数可以读出对偶问题的最优解。
x1+ x2 + x3 = 5 2x2 + x3 5 4x2 +6x3 9
x1 , x2 , x3 0
max f =2x1 +x2
x1+ x2 + x3
=5
2x2 + x3 +x4 = 5
-4x2 –6x3 +x5 =-9
x1 … x5 0
xj 2 x1 0 x4 0 x5
-f
2 x1 0 x4 1 x2
-f
21 00 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b 1110 0 5 0211 0 5 0 -4 -6 0 1 -9 0 -1 -2 0 0 -10 1 0 -1/2 0 1/4 11/4 0 0 -2 1 -1/2 1/2 0 1 3/2 0 -1/4 9/4 0 0 -1/2 0 -1/4 -31/4
-f
0 0 0 -1 -3 -215
max f 5x1 4x2
x1 3x2 90
s .t
2x1x1x
x2 80 2 45
x1 , x2 0
其对偶问题的数学模型
设 y1, y2 , y3 分别表示设备甲、乙、丙每台时的价格（或 租金）,则
min g 90y1 80y2 45y3
y1 2 y2 y3 5
4.对偶定理 若原问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也有最优
解，且两者的最优目标函数值相等。
5.若原问题和对偶问题同时有可行解，则他们必都有最优解。
6.若原问题的最优解为 X B B 1b ,则对偶问题的最优解为 Y CB B 1 。
7.根据原问题最优单纯形表中的检验数可以读出对偶问题的最优解。
x1+ x2 + x3 = 5 2x2 + x3 5 4x2 +6x3 9
x1 , x2 , x3 0
max f =2x1 +x2
x1+ x2 + x3
=5
2x2 + x3 +x4 = 5
-4x2 –6x3 +x5 =-9
x1 … x5 0
xj 2 x1 0 x4 0 x5
-f
2 x1 0 x4 1 x2
-f
21 00 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b 1110 0 5 0211 0 5 0 -4 -6 0 1 -9 0 -1 -2 0 0 -10 1 0 -1/2 0 1/4 11/4 0 0 -2 1 -1/2 1/2 0 1 3/2 0 -1/4 9/4 0 0 -1/2 0 -1/4 -31/4
-f
0 0 0 -1 -3 -215
运筹学对偶理论
min w 5 y1 9 y2 4 y3
y1 3y2 2 y3 2
s.t.2
y1 3 y1
y
2 2y
2y 2
3 1 4 y3
3
y1
y1
y2 0,
y2
y3
0,
5
y
无约束
3
LP1: max z=3x1+2x2
xx11++22xx2 2≤+5x3
=5
st.
2x1+ x2 ≤4 +x4 = 4
0
0
1
3
x1
1
0
0
2
x2
0
1
0
0
0
0
0
0
x4
x5
b
0
05
1
04
0
19
0
00
-1/2
0
3
1/2
02
-2
11
-3/2
0
6
5/2 -3/2 3/2
3/2 -1/2 3/2
-2
11
-1/2 -1/2 13/2
单纯形算法的矩阵表示
LP: max z = CX st. AX ≤ b
X≥0
max z = CX + 0XS st. AX +I XS = b ( I式 )
3.2.4 强对偶性定理（对偶定理）
如果原问题存在最优解X*，则其对偶问题一定具 有最优解Y*，且 CX * b'Y *
• 如果原问题存在最优解，假设其对应的基是B，即
X
* B
B 1b,
X
* N
0