微积分大一基础知识经典讲解
大一微积分基础知识点精简
大一微积分基础知识点精简微积分是数学的一个分支，是研究变化率和累积量的数学工具。
在大一学习微积分时，我们需要掌握一些基础知识点，这些知识点对于深入理解微积分的原理和应用都非常关键。
本文将对大一微积分的基础知识点进行精简介绍。
1. 导数导数是微积分的核心概念之一，表示函数在某一点的变化率。
数学上用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。
2. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
例如，当x趋近于无穷时，f(x)趋近于某个值L，则称L为函数f(x)在x趋近于无穷时的极限。
3. 连续性函数在某点处连续，意味着在该点函数的值与极限值相等。
换句话说，函数在该点的图像没有断裂、间断或跳跃。
连续性是函数可导性的基本前提。
4. 定积分定积分是微积分的另一个重要概念，表示曲线下某一区间上的面积。
数学上用∫表示定积分，其中积分上下限分别表示积分的区间。
5. 不定积分不定积分是定积分的逆运算，表示求函数的原函数。
数学上用∫f(x)dx表示函数f(x)的不定积分。
6. 微分方程微分方程是包含导数的方程，常常用来描述自然规律和物理现象。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
以上是大一微积分的一些基础知识点的精简介绍。
通过对这些知识点的掌握，我们可以建立起微积分的基本思维框架，并在后续的学习中逐渐深入理解微积分的原理和应用。
希望本文对大家的学习有所帮助。
微积分大一基础知识经典讲解
Chapter1 Functions(函数)1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B.2)The set A is called the domain(定义域) of the function.3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain.⇔=)()(x g x f :N ote1)(,11)(2+=--=x x g x x x f Example )()(x g x f ≠⇒2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c2) power functions0,)(≠=a x x f a3) exponential functions1,0,)(≠>=a a a x f xdomain: R range: ),0(∞4) logarithmic functions1,0,log)(≠>=a a x x f adomain: ),0(∞ range: R5) trigonometric functionsf (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc xGiven two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by))(())((x g f x g f =Note )))((())((x h g f x h g f =Example If ,2)()(x x g and x x f -==find each function and its domain.gg d ff c fg b gf a ))))))(())(()x g f x g f a = Solution )2(x f -=422xx -=-=]2,(}2{:domain -∞≤or x xxx g x f g x f g b -===2)())(())(()]4,0[:02,0domain x x ⇒⎩⎨⎧≥-≥ 4)())(())(()xx x f x f f x f f c ==== )[0, :domain ∞xx g x g g x g g d --=-==22)2())(())(()]2,2[:022,02-⇒⎩⎨⎧≥--≥-domain x x 4.Definition An elementary function(初等函数) is constructed using combinations (addition 加, subtraction 减, multiplication 乘, division 除) and composition starting with basic elementary functions.Example )9(cos )(2+=x x F is an elementary function.)))((()()(cos )(9)(2x h g f x F xx f xx g x x h ===+=2sin 1log)(xex x f xa-+=Example is an elementary function.1)Polynomial(多项式) FunctionsRx a x a xa x a x P n n nn ∈++++=--0111)( where n is a nonnegative integer.The leading coefficient(系数) ⇒≠.0n a The degree of the polynomial is n . In particular(特别地),The leading coefficient ⇒≠.00a constant function The leading coefficient ⇒≠.01a linear functionThe leading coefficient ⇒≠.02a quadratic(二次) function The leading coefficient ⇒≠.03a cubic(三次) function2)Rational(有理) Functions}.0)(such that is {,)()()(≠=x Q x x x Q x P x f where P and Q are polynomials.3) Root Functions4.Piecewise Defined Functions(分段函数)⎩⎨⎧>≤-=111)(x if x x if x x f Example5.6.Properties(性质) 1)Symmetry(对称性)even function : x x f x f ∀=-),()( in its domain.symmetric w.r.t.(with respect to 关于) the y -axis.odd function : x x f x f ∀-=-),()( in its domain. symmetric about the origin.2) monotonicity(单调性)A function f is called increasing on interval(区间) I if I in x x x f x f 2121)()(<∀< It is called decreasing on I if I in x x x f x f 2121)()(<∀> 3) boundedness(有界性)belowbounded )(xex f =Example1abovebounded )(xex f -=Example2belowand above from bounded sin )(x x f =E xample34) periodicity (周期性) Example f (x )=sin xChapter 2 Limits and Continuity1.Definition We write L x f ax =→)(limand say “f (x ) approaches(tends to 趋向于) L as x tends to a ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily(任意地) close to L by taking x to be sufficiently(足够地) close to a (on either side of a ) but not equal to a .Note a x ≠means that in finding the limit of f (x ) as x tends to a , we never consider x =a . In fact, f (x ) need not even be defined when x =a . The only thing that matters is how f is defined near a .2.Limit LawsSuppose that c is a constant and the limits )(lim and )(lim x g x f ax ax →→exist. Then)(lim )(lim )]()([lim )1x g x f x g x f ax ax ax →→→±=±)(lim )(lim )]()([lim )2x g x f x g x f ax ax ax →→→⋅=0)(lim )(lim )(lim )()(lim)3≠=→→→→x g if x g x f x g x f ax ax ax axNote From 2), we have )(lim )(lim x f c x cf ax ax →→=integer. positive a is ,)](lim [)]([lim n x f x f nax n ax →→=3. 1) 2)Note4.One-Sided Limits 1)left-hand limitDefinition We write L x f ax =-→)(limand say “f (x ) tends to L as x tends to a from left ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x less than a . 2)right-hand limitDefinition We write L x f ax =+→)(limand say “f (x ) tends to L as x tends to a from right ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x greater than a . 5.Theorem)(lim )(lim )(lim x f L x f L x f ax ax ax +-→→→==⇔=||lim Find 0x x → E xample1Solutionxx x ||limFind 0→ Example2Solution6.Infinitesimals(无穷小量) and infinities(无穷大量)1)Definition ⇒=∆→0)(lim x f x We say f (x ) is an infinitesimal as ∆∆→ where ,x issome number or .∞±Example1 2200lim x x x ⇒=→ is an infinitesimal as .0→xExample2 xxx 101lim⇒=±∞→ is an infinitesimal as .±∞→x2)Theorem 0)(lim =∆→x f x and g(x) is bounded.0)()(lim =⇒∆→x g x f xNoteExample 01sinlim 0=→xx x3)Definition ⇒±∞=∆→)(lim x f x We say f (x ) is an infinity as ∆∆→ where ,x is somenumber or .∞± Example1 1111lim1-⇒∞=-+→x x x is an infinity as .1+→xExample2 22lim x x x ⇒∞=∞→ is an infinity as .∞→x4)Theorem0)(1lim)(lim )=⇒±∞=∆→∆→x f x f a x x±∞=⇒∆∆≠=∆→∆→)(1limat possiblyexcept near 0)(,0)(lim )x f x f x f b x x13124lim423+-+∞→x x x x Example144213124limx xxxx +-+=∞→ 0=13322lim22++-∞→n n n n Example2 2213322limnnn n ++-=∞→ 32=xx x x 7812lim23++∞→E xample3 237812limxxxx ++=∞→ ∞= Note ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++-----∞→m n if m n if m n if b a b xb xb a x a x a n nm m mm n n n n x 0lim11011 ,0,0and constants are ),,0(),,,0(where 00≠≠==b a m j b n i a j i m , n arenonnegative integer.Exercises)6(),0(3122lim)1.12==⇒=-++∞→b a n bn ann)1(),1(1)1(lim )22-==⇒=--+∞→b a b ax xx x)2(),2(21lim)31-==⇒=-+→b a x b ax x43143lim)1.222=++∞→n n n n 51)2(5)2(5lim)211=-+-+++∞→n n n n n343131121211lim)3=++++++∞→nnn 1)1231(lim )4222=-+++∞→nn n n n 1))1(1321211(lim )5=+++∙+∙∞→n n n 21)1(lim )6=-+∞→n n n n∞=---→443lim)1.3222x x x x 23303)(lim)2x hxh x h =-+→343153lim)322=++++∞→x x x x x 503020503020532)15()23()32(lim)4∙=+++-∞→x x x x2)12)(11(lim )52=-+∞→xxx 0724132lim)653=++++∞→x x x x x42113lim)721-=-+--→x xx x 1)1311(lim )831-=---→xxx3211lim)931=--→x x x 61)31)(21)(1(lim)100=-+++→xx x x x21))1)(2((lim )11=--++∞→x x x x∞=-+→223)3(3lim)1.4x x x x ∞=++∞→432lim)23x x x∞=+-∞→)325(lim )32x x x1)2544(lim .52-=+++-∞→x x x x。
微积分大一考试必背知识点
微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。
下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。
1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。
对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。
极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。
大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。
2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。
此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。
在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。
在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。
对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。
学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。
5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。
对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。
在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。
6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。
对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。
在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。
大一微积分主要知识点
大一微积分主要知识点微积分作为数学的重要分支，是大学数学课程中的一门基础课程。
学好微积分对于理解和掌握相关学科具有重要意义。
本文将介绍大一微积分主要的知识点，供学生参考。
1. 函数与极限大一微积分的起点是函数与极限。
函数是自变量和因变量之间的关系，通常用公式表示。
极限是研究函数变化趋势的工具，表示变量无限接近某个值时的情况。
2. 导数导数是微积分的核心概念之一。
它描述了函数在某一点上的变化率。
导数可以用来求解函数的最大值、最小值，以及曲线的切线方程等。
3. 微分微分是导数的一种几何解释和应用。
微分可以近似地表示函数在某一点附近的变化情况。
微分在物理学、经济学等领域有广泛的应用。
4. 积分积分是微积分的另一个核心概念。
它是导数的逆运算，表示函数在某一区间上的累积效果。
积分可以计算图形下的面积、函数的定积分等。
5. 微分方程微分方程是描述自然现象及其变化规律的方程。
它通常包含未知函数及其导数、微分项等。
微分方程在物理学、生物学等领域有重要应用。
6. 一元函数的应用微积分在实际问题中有广泛的应用。
一元函数的应用包括最大最小值问题、曲线的凹凸性、函数的图像等。
7. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成幂级数的形式。
它在数值计算中有重要的应用，可以用来近似计算函数的值。
8. 多元函数与偏导数多元函数是有多个自变量的函数。
偏导数是多元函数在某一变量上的变化率。
多元函数与偏导数是微积分中扩展的概念。
9. 重积分重积分是对二重或三重积分的推广，用于计算曲面的面积、体积等。
重积分在物理学、工程学中有广泛的应用。
10. 曲线积分与曲面积分曲线积分是沿曲线对函数进行积分，曲面积分是对曲面上的函数进行积分。
曲线积分与曲面积分在物理学、电磁学等领域有重要的应用。
以上是大一微积分主要的知识点，这些知识点是学习微积分的基础。
通过深入学习和练习，可以更好地理解微积分，并应用于实际问题中。
希望本文对大一学生学习微积分有所帮助。
大一微积分知识点详细
大一微积分知识点详细微积分是大学数学的重要组成部分，作为大一学生，学习微积分是必不可少的。
微积分通过对函数的研究，帮助我们揭示数学规律，并应用于各个领域，如物理学、经济学和工程学等。
本文将详细介绍大一微积分的主要知识点，帮助你对该学科有更全面的了解。
一、函数及其性质函数是微积分中的基本概念之一，它描述了输入与输出之间的关系。
函数可以通过方程、图像或表格等多种形式表示。
在微积分中，函数的性质如连续性、可导性和导函数等非常关键。
1.1 连续性函数连续性是指函数在某一点的函数值与该点的极限值相等，即函数在该点没有间断。
连续性可以通过极限的定义来判断，如果函数在某一点的左右极限存在并相等，则函数在该点连续。
1.2 可导性函数的可导性是指函数在某一点的导数存在。
导数描述了函数在该点的变化率，也可理解为函数的斜率。
如果函数在某一点可导，则该点的切线即为函数的导数值。
1.3 导函数导函数是函数的导数函数，用来计算函数在每一点的导数值。
导函数由函数的极限定义得到，它是微积分中最基本的运算之一。
二、极限与连续性2.1 极限的概念极限是微积分的核心概念之一，表示函数在某一点无限接近某个值。
例如，当自变量趋近某一点时，函数的函数值也趋近于某个常数。
极限可以用符号表示，包括左极限、右极限和无穷大极限等。
2.2 极限的计算计算极限是微积分的重要内容之一，可以通过代数方法、函数性质以及洛必达法则等进行计算。
代数方法包括因式分解、有理化等，函数性质包括连续性、导数等，洛必达法则则是处理0/0型极限的有效方法。
2.3 连续性与极限的关系函数的连续性与极限密切相关。
当函数在某一点连续时，该点的极限等于函数值。
反之，如果函数在某一点的极限不等于函数值，则函数在该点不连续。
三、导数与微分3.1 导数的定义导数是函数的变化率，描述了函数在某一点的瞬时变化速度。
在微积分中，导数可以用极限的概念来定义，即函数在某一点的导数等于函数在该点的极限。
大一微积分知识点总结
大一微积分知识点总结微积分是高等数学的重要组成部分，对于大一的同学来说，是一门具有挑战性但又十分重要的课程。
以下是对大一微积分主要知识点的总结。
一、函数与极限函数是微积分的基础概念之一。
我们需要理解函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质。
比如，单调递增函数指的是当自变量增大时，函数值也随之增大；偶函数满足 f(x) ＝ f(x) ，奇函数满足 f(x) ＝ f(x) 。
极限是微积分中一个极其重要的概念。
极限的计算方法有很多，例如直接代入法、化简法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。
等价无穷小在求极限时经常用到，比如当 x 趋近于 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小。
洛必达法则则适用于“0/0”或“∞／∞”型的极限。
二、导数与微分导数反映了函数在某一点处的变化率。
对于常见的基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，要熟练掌握它们的求导公式。
导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
复合函数的求导法则是一个重点也是难点，需要通过链式法则来求解。
微分是函数增量的线性主部。
函数在某一点的微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量。
三、中值定理与导数的应用中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理在证明一些等式和不等式时非常有用。
利用导数可以研究函数的单调性、极值和最值。
当导数大于 0 时，函数单调递增；当导数小于 0 时，函数单调递减。
导数为 0 的点可能是极值点，但还需要通过二阶导数来判断是极大值还是极小值。
在实际问题中，经常需要通过求导数来找到最优解，比如求成本最小、利润最大等问题。
四、不定积分不定积分是求导的逆运算。
要熟练掌握基本积分公式，如幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
积分的方法有换元积分法和分部积分法。
换元积分法包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
分部积分法通常适用于被积函数是两个函数乘积的形式，比如 xe^x 。
微积分大一重要知识点
微积分大一重要知识点微积分是数学的一门重要分支，深受大一学生的关注和学习。
在大一学习微积分时，有一些重要的知识点需要掌握。
本文将介绍微积分大一重要知识点，希望能帮助大家更好地理解和应用微积分。
1. 导数与函数导数是微积分中的重要概念之一，是描述函数变化率的工具。
在大一学习微积分时，我们需要掌握导数的定义和求导法则，包括常用函数（如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的导数计算方法，以及导数的几何意义和应用（如切线、法线方程等）。
2. 不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也叫做不定积分。
定积分是函数在某一区间上的积分值，也叫做定积分。
在大一学习微积分时，我们需要学习不定积分的基本法则（如幂函数、三角函数、指数函数等的积分法则），以及定积分的计算方法（如换元积分法、分部积分法等），并理解积分的几何意义和应用。
3. 泰勒展开与级数泰勒展开是将函数表示为幂级数的形式，是微积分中的重要工具之一。
在大一学习微积分时，我们需要学习如何根据函数的某一点展开泰勒级数，并掌握泰勒级数在函数逼近和计算中的应用。
4. 极限与连续极限是微积分中的核心概念，是函数性质研究的基础。
在大一学习微积分时，我们需要理解极限的定义，掌握常用函数的极限计算方法，以及极限的性质和应用。
连续是极限的重要应用之一，我们需要学习函数连续的概念，了解连续函数的性质和判定方法。
5. 偏导数与多元函数偏导数是多元函数中的导数推广，用于描述函数关于某一变量的变化率。
在大一学习微积分时，我们需要学习多元函数的偏导数计算方法，包括一阶偏导数和高阶偏导数，并理解偏导数在函数的切平面方程和近似计算中的应用。
6. 曲线积分与曲面积分曲线积分用于计算曲线上的一些物理量，如质量、电荷等。
曲面积分用于计算曲面上的一些物理量，如流量、电通量等。
在大一学习微积分时，我们需要学习曲线积分和曲面积分的计算方法，包括第一类曲线积分和第二类曲线积分，以及曲面积分和高斯积分、斯托克斯积分等。
大一数学微积分知识点总结
大一数学微积分知识点总结微积分是数学的重要分支，是应用广泛的数学工具之一。
作为大一学生，学习微积分是必不可少的一部分。
在这篇文章中，我将对大一数学微积分的一些重要知识点进行总结。
一、数列与极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
2. 数列的收敛性：数列可以分为收敛数列和发散数列。
3. 极限的定义与性质：数列中的极限是指随着项数无限增加，数列中的数逐渐趋于某个确定的值。
4. 重要极限：常见的数列极限有等差数列的极限、等比数列的极限等。
二、函数与导数1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
2. 导数的定义与性质：导数描述了函数在某一点上的变化率，是微积分的核心概念之一。
3. 常见函数的导数：常见函数的导数包括常数函数的导数、幂函数的导数、三角函数的导数等。
4. 高阶导数与导数运算法则：高阶导数是指函数的导数再求导数的结果，导数运算法则包括和差法则、乘法法则、链式法则等。
三、微分学的应用1. 泰勒展开与近似计算：泰勒展开是将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法，可以用来进行近似计算。
2. 极值与最值：通过求函数的导数，可以确定函数的临界点，从而找到函数的极值与最值。
3. 曲线的凹凸性与拐点：通过求函数的二阶导数，可以判断函数在某一区间内的凹凸性以及存在的拐点。
四、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质：定积分是用来计算曲线下面的面积或求函数的积分值。
2. 不定积分的概念与性质：不定积分是定积分的逆运算，是求函数原函数的过程。
3. 常见函数的积分公式：常见函数的积分公式有基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
4. 定积分的应用：定积分在求曲线下面的面积、求平均值、计算物体的质量与重心等方面有广泛应用。
五、微分方程1. 微分方程的概念与分类：微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，可以分为常微分方程和偏微分方程。
2. 一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程可以通过分离变量、齐次方程、线性方程等方法求解。
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Chapter1 Functions(函数)1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B.2)The set A is called the domain(定义域) of the function.3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain.⇔=)()(x g x f :Note1)(,11)(2+=--=x x g x x x f E xample )()(x g x f ≠⇒ Elementary Functions(基本初等函数)1) constant functionsf (x )=c2) power functions0,)(≠=a x x f a3) exponential functions1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞4) logarithmic functions1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R5) trigonometric functionsf (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc xGiven two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by))(())((x g f x g f =Note )))((())((x h g f x h g f =Example If ,2)()(x x g and x x f -== find each function and its domain.g g d f f c f g b g f a ))))))(())(()x g f x g f a = Solution )2(x f -=422x x -=-=]2,(}2{:domain -∞≤or x xx x g x f g x f g b -===2)())(())(()]4,0[:02,0domain x x ⇒⎩⎨⎧≥-≥ 4)())(())(()x x x f x f f x f f c ==== )[0, :domain ∞x x g x g g x g g d --=-==22)2())(())(()]2,2[:022,02-⇒⎩⎨⎧≥--≥-domain x x An elementary function(初等函数) is constructed using combinations (addition 加, subtraction 减, multiplication 乘, division 除) and compositionstarting with basic elementary functions.Example )9(cos )(2+=x x F is an elementary function.)))((()()(cos )(9)(2x h g f x F x x f x x g x x h ===+=2sin 1log )(x e x x f x a -+=E xample is an elementary function.1)Polynomial(多项式) FunctionsR x a x a x a x a x P n n n n ∈++++=--0111)( where n is a nonnegative integer.The leading coefficient(系数) ⇒≠.0n a The degree of the polynomial isIn particular(特别地),The leading coefficient ⇒≠.00a constant functionThe leading coefficient ⇒≠.01a linear functionThe leading coefficient ⇒≠.02a quadratic(二次) functionThe leading coefficient ⇒≠.03a cubic(三次) function2)Rational(有理) Functions}.0)(such that is {,)()()(≠=x Q x x x Q x P x f where P and Q are polynomials.3) Root FunctionsDefined Functions(分段函数)⎩⎨⎧>≤-=111)(x if xx if x x f Example 5.(性质)1)Symmetry(对称性)even function : x x f x f ∀=-),()( in its domain.symmetric respect to 关于) the y -axis.odd function : x x f x f ∀-=-),()( in its domain.symmetric about the origin.2) monotonicity(单调性)A function f is called increasing on interval(区间) I if I in x x x f x f 2121)()(<∀<It is called decreasing on I if I in x x x f x f 2121)()(<∀>3) boundedness(有界性)below bounded )(x e x f =E xample1above bounded )(x e x f -=E xamp le2below and above from bounded sin )(x x f =Example34) periodicity (周期性)Example f (x )=sin xChapter 2 Limits and ContinuityWe write L x f ax =→)(lim and say “f (x ) approaches(tends to 趋向于) L as x tends to a ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily(任意地) close to L by taking x to be sufficiently(足够地) close to a (on either side of a ) but not equal to a .Note a x ≠means that in finding the limit of f (x ) as x tends to a , we never consider x =a . In fact, f (x ) need not even be defined when x =a . The only thing that matters is how f is defined near a .LawsSuppose that c is a constant and the limits )(lim and )(lim x g x f ax a x →→exist. Then )(lim )(lim )]()([lim )1x g x f x g x f ax a x a x →→→±=± )(lim )(lim )]()([lim )2x g x f x g x f ax a x a x →→→⋅= 0)(lim )(lim )(lim )()(lim )3≠=→→→→x g if x g x f x g x f a x ax a x a x Note From 2), we have)(lim )(lim x f c x cf ax a x →→= integer. positive a is ,)](lim [)]([lim n x f x f n ax n a x →→= 3.2)NoteLimits1)left-hand limitDefinition We write L x f ax =-→)(lim and say “f (x ) tends to L as x tends to a from left ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x less than a .2)right-hand limitDefinition We write L x f ax =+→)(lim and say “f (x ) tends to L as x tends to a from right ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x greater than a .)(lim )(lim )(lim x f L x f L x f ax a x a x +-→→→==⇔= ||lim Find 0x x → Example1 Solutionxx x ||limFind 0→ Example2 Solution(无穷小量) and infinities(无穷大量)1)Definition ⇒=∆→0)(lim x f x We say f (x ) is an infinitesimal as ∆∆→ where ,x is some number or .∞±Example1 2200lim x x x ⇒=→ is an infinitesimal as .0→x Example2 xx x 101lim ⇒=±∞→ is an infinitesimal as .±∞→x 2)Theorem 0)(lim =∆→x f x and g(x) is bounded.0)()(lim =⇒∆→x g x f xNote Example 01sin lim 0=→xx x 3)Definition ⇒±∞=∆→)(lim x f x We say f (x ) is an infinity as ∆∆→ where ,x is some number or .∞± Example1 1111lim 1-⇒∞=-+→x x x is an infinity as .1+→x Example2 22lim x x x ⇒∞=∞→ is an infinity as .∞→x 4)Theorem0)(1lim )(lim )=⇒±∞=∆→∆→x f x f a x x ±∞=⇒∆∆≠=∆→∆→)(1lim at possibly ex cept near 0)(,0)(lim )x f x f x f b x x 13124lim 423+-+∞→x x x x E xample1 44213124lim xx x x x +-+=∞→ 0= 13322lim 22++-∞→n n n n E xample2 2213322lim nn n n ++-=∞→ 32= x x x x 7812lim 23++∞→E xample3 237812lim x x x x ++=∞→ ∞=Note ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++-----∞→m n if m n if mn if b a b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 011011 ,0,0and constants are ),,0(),,,0(where 00≠≠==b a m j b n i a j i m , n are nonnegative integer.Exercises)6(),0(3122lim )1.12==⇒=-++∞→b a n bn an n )1(),1(1)1(lim )22-==⇒=--+∞→b a b ax xx x )2(),2(21lim )31-==⇒=-+→b a x b ax x 43143lim )1.222=++∞→n n n n 51)2(5)2(5lim )211=-+-+++∞→n n n n n 343131121211lim )3=++++++∞→n n n 1)1231(lim )4222=-+++∞→n n n n n 1))1(1321211(lim )5=+++•+•∞→n n n 21)1(lim )6=-+∞→n n n n ∞=---→443lim )1.3222x x x x 23303)(lim )2x h x h x h =-+→ 343153lim )322=++++∞→x x x x x 503020503020532)15()23()32(lim )4•=+++-∞→x x x x 2)12)(11(lim )52=-+∞→xx x 0724132lim )653=++++∞→x x x x x 42113lim )721-=-+--→x x x x 1)1311(lim )831-=---→x x x 3211lim )931=--→x x x 61)31)(21)(1(lim )100=-+++→x x x x x21))1)(2((lim )11=--++∞→x x x x ∞=-+→223)3(3lim )1.4x x x x ∞=++∞→432lim )23x x x ∞=+-∞→)325(lim )32x x x 1)2544(lim .52-=+++-∞→x x x x。