大一上微积分知识点重点(供参考)

大一（上） 微积分 知识点
第一章 函数
一、A ⋂B=∅,则A 、B 是分离的。

二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。

A-B={x|x ∈A 且x ∉B}（属于前者，不属于后者）
三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。

四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对∃x ∈A,∃y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。

五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同
六、求反函数：反解互换
七、关于函数的奇偶性，要注意：
1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数；
2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；
3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。

第二章 极限与连续
一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。

二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。

三、无穷小量的几个性质：
1、limf(x)=0，则
2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f
3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0=
4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0
四、无穷小量与无穷大量的关系：
①若
y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y
1是无穷大量。

五、无穷小量的阶数比较（假设0)(lim )(lim ==x g x f )：
①若
0)()(lim =x g x f 称f(x)是较g （x)高阶的无穷小量； ②若
∞=)()(lim x g x f 称f(x)是较g （x)低阶的无穷小量； ③若
)0(g(x )f(x )lim ≠=C C 称f(x)是较g （x)同阶的无穷小量； ④若1)()(lim =x g x f 称f(x)是较g （x)等价的无穷小量，记为)(~)(x g x f 。

六、极限的运算法则：
①lim )(y x ±=y x lim lim ± ②x lim ·y
=x lim ·y lim ③C lim ·y =y C lim ④n x lim =)(lim x n
⑤x n lim 1=)(lim 1x n ⑥
y x y x lim lim lim =()0lim ≠y
七、求极限的几种技巧：
①当极限过程是∞→x 时，除以最高次项；
②当带有根号时，进行有理化； ③当遇到分式的加、减运算时，进行通分；
④当极限过程是∞→x 时，分子最高次项的指数低于分母最高次项的指数时，结果为0；分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数时，结果为∞；分子、分母最高次项的指数相等时，结果为最高次项的系数比。

八、两个重要极限： ①)0(1sin lim →=x x x )0(1tan lim →=x x x ②)()11lim(∞→=+x e x x )0()1lim (1→=+x e x x
九、等价无穷小量（乘积的时候才可以换）：
十、证明在某一点o x 处连续：需证明))(()(lim o o x x x f x f →=
十一、出现函数的间断点的情况：
①在点o x 处）（x f 没有定义；
②))((lim o x x x f →不存在；
③虽然)(o x f 有定义，且))((lim o x x x f →存在，但)())((lim o o x f x x x f ≠→ 十二、间断点分类：
1、第一类间断点：如果函数）（x f 在点o x x =处的左、右极限都存在，但不全等于)o x f （，就称点o x x =为）（x f 的第一类间断点。

①可去间断点（属于第一类间断点）：函数间断点的左、右极限存在并相等，只是不等于该点的函数值，那么我们可以重新定义函数在间断点的值，使得所形成的函数，在该点连续。

②跳跃间断点（属于第一类间断点）：函数间断点的左、右极限存在但不相等。

2、第二类间断点：如果函数）（x f 在点o x x =处的左、右极限至少有一个不存在，就称点o x x =为）（x f 的第二类间断点。

①无穷间断点（属于第二类间断点）：只要左右极限有一个为∞。

②振荡间断点
十三、介值定理：如果函数）（x f 在闭区间[]b a ,上连续，m 和M 分别为）（x f 在[]b a ,上的最小值和最大值，则对介于m 与M 之间的任一实数c （即M c m <<），至少存在一点ε()b a ,∈，使得()C f =ε。

推论：如果函数）（x f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与()b f 异号，则至少存在一点ε()b a ,∈，使得()0=εf 。

第三章 导数与微分
1、x y =在0=x 处不可导（1-=x y 就在1=x 处不可导)
第五章 不定积分
一、基本积分公式表：
1、⎰=为常数）
（C C dx 0 2、)1(11
-≠++=+⎰a C a x dx x a a
3、
⎰+=C x dx x ln 1
4、
)1,0(ln 1≠>+=⎰a a C a a dx a x x 5、⎰+=C e dx e x x
6、⎰
+-=C x xdx cos sin 7、⎰
+=C x xdx sin cos 8、C
x dx x +-=⎰cot csc 2 9、⎰+=C
x xdx tan sec 2
10、⎰+=-C
x x dx arcsin 12 11、⎰+=+C x x dx arctan 12
12、C x xdx +-=⎰
cos ln tan 13、C x xdx +=⎰
sin ln cot 14、⎰
++=C x x xdx tan sec ln sec 15、⎰+-=C
x x xdx cot csc ln csc 16、⎰≠+=+)0(arctan 122a C a x a x a dx
17、)0(ln 2122≠+-+=-⎰a C x a x a a x a dx
18、
)0(arcsin 22>+=-⎰a C a x x a dx 19、
)0(ln 2222>+±+=±⎰a C a x x a x dx 20、)0(2arcsin 222222>+-+=-⎰a C x a x a x a dx x a
二、一般地，如被积函数含有n b ax +，令n b ax +=t ，可以消去根号，如被积函数含有n
x ，m x ，令k x =t ，k 为m 与n 的最小公倍数，可同时消去两个根号。

三、三角代换：
①被积函数含有22x a -，可作代换t a x sin =或t a x cos =
②被积函数含有22x a +，可作代换t a x tan =或t a x cot =
③被积函数含有22a -x ，可作代换t a x sec =或t a x csc =
化被积函数为新变量t 的三角函数的积分，积分后将新变量t 还原为原积分变量x 时，可借助直角三角形的边角关系找出积分结果中新变量t 的三角函数还原为原积分变量的关系式。