大物习题力学

o
L-a o a x
链条下端在y时，重力所作元功
m dAp ygdy L
o
x a L-a o y x
链条下端由位置 a 滑至 L，重力所作 的功为 L L
y
y
m mg 2 Ap ygdy y L 2L a a 1 mg ( L2 a 2 ) 2L
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求重力和摩擦力所作的功和链条离开桌面时的速率。
根据机械能守恒，有
EB E A 1 2 1 1 2 2 mv0 mg 2 R k (2 R) mv 2 2 2
小球在A点受重力、支持力、弹性力，则
v2 mg FN k 2 R m R
小球不脱离轨道的最小速度条件为FN=0，由上面两式，可得
22
1 2 1 1 mv0 mg 2 R k (2 R)2 mgR kR2 2 2 2 6kR 2 v 5Rg m
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例1
如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球,另一端系于 ，求 定点 o ， t 0 时小球位于最低位置，并具有水平速度 v0 小球在任意位置的速率及绳的张力。
解
FT mgcos man
mg sin mat
dv mg sin m dt dv dv d v dv dt d dt l d
v0 y v0 sin
o
vx v0 cosekt / m
mg kt / m mg v y ( v0 sin )e k k
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vx v0 cose mg kt / m mg v y ( v0 sin )e k k
kt / m
y
v0
v
u
跳车时人相对地的速度为 -u+v.
（1）两人同时跳下：由动量守恒有 x
O
0 2m(u v) Mv
（2）两人依次跳下：
第一个人跳下时
车速
2mu v 2m M
m(u v1 ) (m M )v1 0
第二个人跳下时
解得
m(u v2 ) Mv2 (M m)v1 1 1 v2 mu ( ) M 2m M m
4. 质点系的功能原理
A外 A非保内 E2 E1
5. 系统的机械能守恒定律
E p Ek 恒量
9
6. 力的时间累积效应
力的冲量：I F dt
t1 t2
动量：p mv
质点的动量定理： F dt mv 2 mv1
t1 t2
I p 2 p1
10
牛顿运动定律的应用
绳子的张力
滑动摩擦力：f=N
摩擦力
弹性力：
弹簧的弹力：f=-kx
静摩擦力
8
压力和支持力
3. 力的空间累积效应
力的功：A F ds 变力的功
s
dA 功率：P F v dt 质点的动能定理：A合外 Ek 2 Ek1 Ek
1 2 Ek mv 2 质点系：A总 A外 A保内 A非保内
5
例2.在湖中有一小船，岸边有一人用绳子跨过一定滑轮用恒定
的速率v拉船靠岸，试分析船运动的速率以及加速度。
v C l h

O x
船 A
6
解: 穿在靠岸的过程中，绳长l, x, 都在变化，则任一时刻，满足
v C
l h x
x r h
2

根据速度的定义，有
dx d u r 2 h2 dt dt
o
FT e

n
FT mgcos mv / l
2
v0 m g
et
v
2 v v0 2lg (cos 1)
2 v0 FT m( 2 g 3g cos ) l

v
v0
vdv gl sin d
0

机械能守恒！
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例2：如图，长为 L ，质量为 m 的匀质链条，置于水平桌面上，链条 与桌面之间的摩擦系数为μ，下垂部分的长度为 a 。链条由静止开始 运动，求在链条滑离桌面的过程中，重力和摩擦力所作的功和链条离 开桌面时的速率。 解: （1）重力所作的功：
2R
A F dl
B
0
krdr kR2
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例4 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比， r kv ， k F
为比例系数。抛体的质量为
求抛体运动的轨迹方程 。 解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系
m 、初速为 v 、抛射角为
0


。
dv x Fx k vx max m dt
F
y
mg k v y ma y m
A
C
O
B
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解：取小球、弹簧和地球为一系统，由于圆环 对小球的作用力垂直于圆环，因而不做功，所 以机械能守恒。取B点为弹性势能和重力势能 的零点。 (1) A、B两点的机械能分别为
A
C
O
B
1 2 EB mv0 2 1 1 E A mg 2 R k (2 R ) 2 mv 2 2 2
t 1s时，r1 2i 2 j t 2s时，r2 14i 4 j
3
(2)第2s内的位移、平均速度、平均加速度 r r2 r1 12i 2 j r 12i 2 j v 12i 2 j t 2 1
平均加速度 t 1s，v1 8i 2 j dr v 8ti 2 j dt t 2s，v2 16i 2 j v v2 v1 a 8i t 2 1 (3)第2s末瞬时加速度
dv a 8i dt
dx vxdt
dy v y dt
Fr
k 0
m kt / m x (v 0 cos )(1 e ) k o m mg mg kt / m y ( v0 sin )(1 e ) t k k k
2
k 0
P
A
v
x
mg m g k y (tan ) x 2 ln(1 x) kv0 cos k mv0 cos
即，a与u同向，船是加速靠岸的
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质点动力学
1. 牛顿运动定律
F 0 v 恒矢量
i
质点运动微分方程
F F i ma dv dt d 2r m 2 dt m
F ma 质量是惯性的量度
F12 F21
2. 力学中常见的三种力
m1m2 万有引力： FG G 2 er r
船
A
O dr r v 2 2 dt 2 2 r h r h
r
x2 h2 x2 h2 u vu vi x x
即，u的方向与正x方向相反，船靠岸行驶 根据加速度的定义，有
du d h2 dx v 2 h2 v 2 h2 a v ( x 2 h2 / x) v 3 a 3 i 2 2 2 dt dt dt x x x x h
(2) 对B、C两点的运动状态，由机械能守恒得 C
A
O
B
1 2 1 2 1 mv0 mvC k ( 2 R) 2 mgR 2 2 2 4kR 2 vC 3Rg m
(3) 弹性力做功等于弹性势能的减少，即
A E pB E pC
利用功的定义，可得
C
1 0 k ( 2 R) 2 kR 2 2
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例6、一质量为m，初速度为v0的小球，自B出发沿半径为R 的竖直圆环作无摩擦滑动，弹簧一端固定在圆环底部B处 ，另一端与小球相连，如图所示。为简单起见，设弹簧原 长为零，故小球在任意一点P时，均受到弹性力(-kr)的作 用，r为小球在P点处弹簧的伸长量，k为劲度系数，问： (1)若使小球在A点处不脱离轨道，v0最小需多大？ (2)小球运动到C点处的速度是多少？ (3)小球由B点到C点，弹性力对小球做功多少？
y=2t，均为国际单位，求： (1) t1=1s，t2=2s时刻，质点的位置 (2) 质点在第2s内的位移、平均速度及平均加速度 (3) 质点在第2s末的瞬时加速度 (4) 什么时刻质点的位置矢量与速度矢量垂直？并求此时刻的 位置矢量与速度矢量
解: (1)质点运动方程的矢量形式为 2 r xi yj (4t 2)i 2tj 因此
（2）链条左端在 x 时，摩擦力所作元功
m dAf ( L a x) gdx L
链条左端由坐标原点o 滑至(L-a)处，摩
L-a o x
o a y
x
擦力所作的功为
La
Af
L La mg 1 2 ( L a) x 2 x L 0
0


mg
描述运动的方法
解析法
运动函数：r = r (t ) 直接坐标系中：
r = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
线量与角量的关系
v R at R an R 2
v 速度： = v (t )
注意：路程与位移的区别
a 加速度： = a(t )
2
例1.一质点在xOy平面内运动，运动方程的参数形式为x=4t2-2,
( L a x)dx
y

mg
2L
( L a)2
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1 Ap mg ( L2 a 2 ) 2L
（3）根据动能定理
Af
mg
2L
( L a) 2
o
L-a
o a
x