分析力学习题

第15章虚位移原理

解题的一般步骤及应注意的问题

１．解题的一般步骤

（１）根据题意，分清所分析的问题是属于哪一类问题

①求平衡条件；

②求约束反力；

③求桁架内力。

（2）分析约束的性质, 画主动力的受力图.

①系统以外的物体对它的作用力；

②非理想约束的约束反力；

③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。

（3）确定系统的自由度，应包括因解除约束而增加的自由度。选择合适的坐标做广义坐标。

（4）给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的关系：

①几何法：运用运动学中分析速度的方法，进行计算。

②分析法：先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后再对广义坐标取变分，进行计算。

（5）建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。

2.应注意的问题

1应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离体。

2计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小无关。

3在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴（或瞬时转动轴）之力矩的虚功，可能简便些。

三、典型例题分析

例1 图示曲柄连杆机构, 在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶, 欲使机构在图示位置保持平衡, 试求加于滑块B上的水平力P应为多大? 已知OA=a, AB=b, 在图示位置AB与水平线的夹角α=30º

解: 这是属于求主动力的平衡条件的问题。作用于系统和主动力有Ｐ和Ｍ。系统受完整约束，有一个自由度，当机构有虚位移时，ＯＡ作定轴转动，曲柄ＡＢ作平面运动，滑块Ｂ作平动。令ＯＡ杆的虚位移为δϕ，则Ａ点虚位移为δr A, B点虚位移为δr B, AB杆的虚位移为绕瞬心C的微小转角δψ, 机构的虚位移如图。

根据虚位移原理得：

Ｐδr B－Ｍδϕ＝０（１）

3

r , A B δϕδδδψδδψδϕδa AC BC r BC r AC a r B A ==∴===

代入（１）式得：03

=-δϕδϕM a P

a

M P 30=

∴≠δϕ 15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。作用线平分ABC ∠。设AB = BC ，θ2=∠ABC ，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。 解：令B 有虚位移AB B ⊥r δ，而C 有铅直向上的虚位移C r δ，如图（a ）。将B r δ及C r δ向BC 方向投影，为简单起见，以B r δ表示B r δ的绝对值B r δ，以C r δ表示C r δ，则有

)902cos(δ)90cos(δ︒-=-︒θθB C r r

即 θ

cos 21

δδ=C B r r （1） 由虚位移原理得 0δsin δN =-C B r F r F θ

θ

sin δδN F F r r C B =

（2）

将式（1）代入（2）得 θtan 2

N F

F =

15-3 挖土机挖掘部分示意如图。支臂DEF 不动，A 、B 、D 、E 、F 为铰链，液压油缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕F 转动，EA = FB = a 。当︒==3021θθ时杆DF AE ⊥，此时油缸推力为F 。不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M 。

解：由虚功原理： 0δδcos 1=-⋅ϕθM r F A （1） 式中

a

r B

δδ=

ϕ （2）

A 、

B 的虚位移向AB 投影 22sin δcos δθθB A r r =

2tan δδθB A r r =

（3）

式（2），（3）代入（1）得 0δδtan cos 21=⋅-⋅⋅a

r M r F B

B θθ

Fa M Fa M 2

1,sin ,30221=

=︒==θθθ 15-5 在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。已知：OC = a ，OK = l ，在点C 处垂直于曲柄作用一力F 1；而在点B 沿BA 作用一力F 2。求机构平衡时F 2与F 1的关系。

解：用解析法解，选取ϕ为广义坐标，则滑块A 的约束方程

ϕtan l y A =

ϕϕδsec δ2

l y A = （1）

由虚位称原理

0δδ)(21=+-A y F a F ϕ （2）

把式（1）代入（2）得 0δsec δ2

21=+-ϕϕϕl F a F

因 0δ≠ϕ，于是有 0sec 2

21=+-ϕl F a F

故 ϕ

221cos a l F F

=

15-7 图示滑套D 套在光滑直杆AB 上，并带动杆CD 在铅直滑道上滑动，已知︒=0θ时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5 kN/m 。求在任意位置平衡时，应加多大的力偶矩M ？ 解：解除弹簧约束，代之以弹性力F 及F '。

已知0=θ时弹簧原长为0.3 m ，在任意θ角时，弹簧)cos 3

.06.0(θ

-=-=AD AB DB ，此时弹簧的缩短量为)3.0cos 3

.0(3.0-=-θ

DB 。 故弹性力 F F '=)3.0cos 3

.0(

-=θ

k 取x 轴沿AB 杆，设D 点沿杆的坐标为x D ，而选取θ为广义坐标，则滑块D 的约束方程为

θcos 3.0=

D x ，θθ

θ

δcos sin 3.0δ2=D x 另外有 x B = 常量，0δ=B x

由虚位移原理

0δδ)(=+-θM x F D 把F 及D x δ的表达式代入上式得

0δδcos sin 3.0)3.0cos 3.0(2=+⋅--θθθ

θθM k

θ

θ

θ2

cos sin 3.0)1cos 1(3.0⋅-⋅=k M 把k = 5000 N/m 代入求得 m N cos )

cos 1(sin 4503⋅-=θ

θθM

15-9 在图示机构中，曲柄AB 和连杆BC 为均质杆，具有相同的长度和重量W 1。滑块C 的重量为W 2，可沿倾角为θ的导轨AD 滑动。设约束都是理想的，求系统在铅垂面内的平衡位置。

解：取ϕ为广义坐标，另作坐标系Axy ，设AB = BC = l 因 )sin(2

1ϕθ+=

l

y