LMS类自适应算法参考文档

LMS类自适应算法
11电工 樊辉
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自适应算法的提出
个人理解：传统系统设计均是在某种情况下按 照某些特定参数推导得出，是系统设计完成后运行 在该类特定情况效果最佳。系统一旦发生某些参数 变化，则系统输出效果一般会明显变差。诚如PID这 类控制系统中使用最广最常用的控制算法，也只具 有一定的鲁棒性。提出自适应算法，通过某些系统 参数的在线学习，适应改变的系统，优化系统性能， 就显得有必要了。
a(n)
uH (n 1)u(n) uH (n 1)u(n 1)
若 =1,则称u(n)是u(n-1)的相干信号； =0，则 u(na)(与n)u(n-1)不相关；0 < <1，称u(n)与a(nu)(n-1)相关。
a(n)
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解相关LMS算法
现用解相关的结果v(n)作为更新方向向量：
之前最优滤波理论中可知，代价函数相对于滤波器 的抽头权向量w的梯度为：
k J (n) 2E{u(n k)e *(n)} 2E{u(n k)[d (n) wHu(n)]*}, k 0,1,…,M-1
则对应的梯度向量为：
J (n)
a0
(n)
j
J (n) b0 (n)
J (n) J (n)
（1）[r Rw(n 1)]为误差向量，代表了抽头权向量的校 正量； （2）参数µ(n)称为在时间n的“步长参数”，决定 了更新算法的收敛速度； （3）当自适应算法趋于收敛是，有
r Rw(n 1) 0 n ， lim w(n 1) R1r n0
即抽头权向量收敛为之前所说的Wiener滤波器。
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LMS算法及其基本变型
在式6中，将数学期望分别用相应的瞬时值代替，便 得到了瞬时梯度：
^
J (n) 2[u(n)d *(n) u(n)uH (n)w(n)]
进而，将真是梯度向量用瞬时梯度向量代替，既得 瞬时梯度算法：w(n) w(n 1) (n)u(n)[d (n) uT (n)w*(n 1)]*
则式3可改写为向量式：
J (n) 2E{u(n)[d *(n) uH (n)w(n)]} 2r 2Rw(n)
式中，
R E{u(n)uH (n)} r E{u(n)d *(n)}
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自适应实现在滤波器中的引入
使用中最广泛的形式是：“下降算法”
w(n) w(n 1) (n)v(n)
w(n 1) (n)e *(n)u(n)
式中， e(n) d (n) uT (n)w*(n 1) d (n) wH (n 1)u(n)
式11，即为最小均方差自适应算法，简称LMS算法。 易证：瞬时梯度向量是真实梯度向量的无偏估计。
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LMS算法及其基本变型
LMS自适应算法：
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自适应实现在滤波器中的引入
自适应实现：N阶FIR滤波器的抽头权系数可以 根据估计误差e(n)的大小自动调节，使得某个代价 函数最小。
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自适应实现在滤波器中的引入
MMSE准则是滤波器设计最常用的准则。故在设计 中采用均方误差为代价函数：
J (n) @E{| (n) |2} E{| d (n) wHu(n) |2}
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解相关LMS算法
解相关算法的提出：
在LMS算法中，有一个独立性假设：假定滤波 器的输入向量是彼此独立的向量序列。当他 们之间有耦合时，算法性能下降，尤其是收 敛速度。因此需要解除各时刻输入向量之间 的相关（解相关），使其保持统计独立。Biblioteka 2020/4/711
解相关LMS算法
1、时域解相关LMS算法 思路一：在输入量中根据实际剔除相关量 定义u(n)与u(n-1)在n时刻的相关系数为：
w(n) w(n 1) 1 (n)J (n 1)
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其中，系数1/2是为了使得到的更新公式更简单。将 更新公式中的部分用之前结论带入，既得抽头权向 量w(n)的更新公式为：
w(n) w(n 1) (n)[r Rw(n 1)], n 1, 2,L
由更新公式式9得到：
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LMS算法及其基本变型
v(n) u(n) a(n)u(n 1)
另步长参数µ(n)应该是满足下列最小化问题的解：
(n) arg min J[w(n 1) v(n)]
(n)
uH
e(n) (n)v(n)
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解相关LMS算法
综上所述，提出解相关算法：
步骤一： 初始化 w(0)=0; 步骤二：更新：
e(n) d (n) wH (n 1)u(n)
式中，w(n)为第n步迭代（即时刻n）的权向量，µ(n) 为第n次迭代的更新步长，而v（n）为第n次迭代的 更新方向。
依据下降算法的两种主要实现方式，分为自适应梯 度算法和自适应高斯-牛顿算法。 下面主要讲：自适应梯度算法，其包括LMS类自适 应算法
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LMS算法及其基本变型
自适应梯度下降算法中，更新方向向量v(n)取 自第n-1次迭代的代价函数J[w(n-1)]的负梯度，即统 一形式为：
J (n)
@[0 J (n), 1J (n),…, M 1J (n)]T
a1
(n)
j b1(n)
M
J (n)
aM 1(n)
j
J (n) bM 1(n)
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自适应实现在滤波器中的引入
在导出梯度向量后，再定义：
u(n) [u(n),u(n 1),L ,u(n M 1)]T w(n) [w0 (n), w1(n),L , wM 1(n)]T
a(n)
u
u
H
H (n 1)u(n) (n 1)u(n 1)
v(n) u(n) a(n)u(n 1)
w(n) w(n 1) u(n)v(n)
(n)
e(n)
uH (n)v(n)
上述算法中，参数 称为修正因子
步骤1：初始化权抽头向量：w(0)=0;
步骤2：更新：
e(n) d (n) wH (n 1)u(n)
w(n)=w(n-1)+µ(n)u(n)e*(n)
注：1、µ(n)=c（c取常值），则为基本LMS算法
2、µ(n)=
uH (n)u(n)
,
(0, 2),
0
，则为归一化LMS算法
3、当期望信号未知时，可直接用滤波器输出y(n)代替d(n)