模型参考自适应控制
自动控制系统中的模型辨识与自适应控制策略
自动控制系统中的模型辨识与自适应控制策略引言自动控制系统是现代工程领域中很重要的一个研究方向，它涉及到各种各样的应用，如工业自动化、航天技术、机器人技术等。
在自动控制系统中，模型辨识和自适应控制策略是两个关键领域。
本文将讨论自动控制系统中的模型辨识和自适应控制策略的原理、方法和应用。
模型辨识模型辨识是自动控制系统中的一个重要研究领域，它旨在从系统的输入和输出数据中构建出一个有效的数学模型。
该数学模型能够描述和预测系统的动态行为，从而为系统设计和控制提供依据。
常用的模型辨识方法包括参数辨识、结构辨识和非参数辨识。
参数辨识方法是基于假设系统模型是已知结构的情况下进行的。
通过对系统的输入和输出数据进行拟合，参数辨识方法能够估计出系统模型中的参数。
这些参数可以被用于描述系统的动态性能，并且可以用于设计稳定的自适应控制器。
结构辨识方法是在没有先验知识的情况下，通过试探不同的系统结构来辨识系统模型。
这种方法常常使用组合算法和优化算法，通过对系统数据进行训练，筛选出最符合系统动态特性的模型结构。
结构辨识方法在辨识非线性系统和复杂系统方面具有很大的优势。
非参数辨识方法是一种基于经验分布函数和核函数的统计方法。
该方法不依赖于特定模型的假设，而是直接从数据中提取系统的动态信息。
非参数辨识方法可以用于辨识非线性系统和时变系统，适用范围广泛。
自适应控制策略自适应控制策略是一种可以根据系统的实时信息进行不断更新和优化的控制策略。
自适应控制器能够自动调整控制参数，以适应系统的变化和不确定性。
常用的自适应控制策略包括模型参考自适应控制和直接自适应控制。
模型参考自适应控制是一种基于模型参考思想的控制策略。
该策略通过引入一个参考模型来指导控制器的参数调整。
控制器的目标是使系统的输出与参考模型的输出保持一致。
模型参考自适应控制可以有效地抑制扰动和噪声的影响，提高系统的鲁棒性。
直接自适应控制是一种通过在线辨识系统模型的控制策略。
该策略通过对系统的输入和输出数据进行递归估计，不断更新模型参数。
自适应控制中的模型参考自适应控制算法研究
自适应控制中的模型参考自适应控制算法研究在控制系统中，控制器的设计和应用都是十分重要的，并且也是十分复杂的。
自适应控制是一种在控制器中嵌入智能算法的方法，可以让控制器根据被控制系统的状态自适应地调整参数，以达到最佳控制效果。
在自适应控制中，模型参考自适应控制算法是一种常见的算法，其原理和应用将在本文中进行介绍。
一、模型参考自适应控制算法的基本原理模型参考自适应控制算法是一种基于模型的自适应控制方法，其基本思想是将被控制系统的模型和控制器的模型进行匹配，通过模型匹配的误差来适应地调整控制器的参数。
其主要流程包括：建立被控制系统的模型；建立控制器的模型；将被控制系统的模型和控制器的模型进行匹配，计算出模型匹配误差；根据模型匹配误差来自适应地调整控制器的参数。
模型参考自适应控制算法的具体实现方式可以分为直接调节法和间接调节法两种。
直接调节法是将模型参考自适应控制算法中的误差直接反馈到控制器的参数中，以达到自适应控制的目的。
间接调节法则是通过在模型参考自适应控制算法中引入额外的参数，间接地调节控制器的参数，以达到自适应控制的目的。
二、模型参考自适应控制算法的应用模型参考自适应控制算法在实际工程中有着广泛的应用。
例如，它可以用于磁浮列车的高精度控制系统中，通过模型参考自适应控制算法来适应不同运行条件下的参数，达到最优的控制效果。
另外，模型参考自适应控制算法还广泛应用于机器人控制、电力系统控制等领域，可以有效地提高控制系统的性能和稳定性。
三、模型参考自适应控制算法的优缺点模型参考自适应控制算法的主要优点是可以适应不同的被控制系统和环境条件，具有较高的适应性和鲁棒性。
另外，它具有控制精度高、响应速度快等优点。
不过，模型参考自适应控制算法也存在一些缺点，例如模型误差对控制系统的影响比较大，不易对模型参数进行优化等。
四、结论综上所述，模型参考自适应控制算法是一种重要的自适应控制方法，在实际工程中具有广泛的应用前景。
自适应控制第4章
25
（3）一般n阶定常线性系统
数学模型: e=ym-yr满足:
试取
(4.3.20) (4.3.21) (4.3.22) (4.3.23)
26
得自适应律:
(4.3.24)
或
(4.3.25)
可以看出,得到的自适应律依赖于整个状态向量X(t),即,自适 应控制律不仅与广义误差e(t)有关,而且与e(t)的各阶导数有 关,为自适应律的实现带来极大不便。
选定指标泛函:
(4.2.4)
(4.2.5)
(4.2.6) (4.2.7) (4.2.8)
8
广义误差对输入的开环传函:
对Kc求偏导: 另根据参考模型 比较(12)、(13):
(4.2.9)
(4.2.10) (4.2.11) (4.2.12) (4.2.13) (4.2.14)
(4.2.15)
可调增益Kc的自适应律—MIT自适应规则(1958 年MIT提出)
9
自适应系统的 数学模型
图4.2.3 MIT可调增益自适应系统
开环广义误差方程
参考模型方程 (4.2.16)
参数调节方程(自适应律)方程 10
凡是用可凋增益构成自适应系统,都可套用 上述模型。
缺点:设计过程中未考虑稳定性问题 因此,求得自适应律后,尚需进行稳定性校验,
以确保广义误差e在了司环回路中能收敛于 某一允许的数值。 补充假设: ✓ 参考模型与可调系统的初始偏差较小; ✓ 自适应速度不能太快(即u不能过大)。
综合出只与e(t)有关的自适应律。选择李亚普诺夫函数时增 加一约束条件:
自适应律简化为:
(4.3.26) (4.3.27)
模型参考自适应控制与模型控制比较
模型参考自适应控制与模型控制比较模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control, MRAC）和模型控制（Model-based Control）都是现代控制理论中常用的方法。
它们在实际工程应用中具有重要意义，本文将对这两种控制方法进行比较和分析。
一、模型参考自适应控制模型参考自适应控制是一种基于模型的自适应控制方法，主要用于模型未知或参数变化的系统。
该方法基于一个参考模型，通过在线更新控制器参数以追踪参考模型的输出，从而实现对系统的控制。
在模型参考自适应控制中，首先需要建立系统的数学模型，并根据实际系统的特性选择合适的参考模型。
然后通过设计自适应控制器，利用模型参数估计器对系统的不确定性进行补偿，实现对系统输出的精确追踪。
模型参考自适应控制的优点在于其适应性强，能够处理模型未知或参数变化的系统。
它具有很好的鲁棒性，能够适应系统的不确定性，同时可以实现对参考模型的精确追踪。
然而，模型参考自适应控制也存在一些缺点，如对系统模型的要求较高，需要较为准确的模型参数估计。
二、模型控制模型控制是一种基于数学模型的控制方法，通过对系统的建模和分析，设计出合适的控制器来实现对系统的控制。
模型控制方法主要有PID控制、状态反馈控制、最优控制等。
在模型控制中，首先需要建立系统的数学模型，并对模型进行分析和优化。
然后根据系统的特性，设计合适的控制器参数。
最后，将控制器与系统进行耦合，实现对系统的控制。
模型控制的优点在于其理论基础牢固，控制效果较好。
它能够根据系统的数学模型进行精确的设计和分析，具有较高的控制精度和鲁棒性。
然而，模型控制方法在实际应用中对系统模型的要求较高，而且对系统参数变化不敏感。
三、比较与分析模型参考自适应控制与模型控制都是基于模型的控制方法，它们在实际应用中具有各自的优缺点。
相比而言，模型参考自适应控制具有更强的适应性和鲁棒性，能够处理模型未知或参数变化的系统。
模型参考自适应控制
10．自适应控制严格地说，实际过程中的控制对象自身及能所处的环境都是十分复杂的，其参数会由于种种外部与内部的原因而发生变化。
如，化学反应过程中的参数随环境温度和湿度的变化而变化（外部原因），化学反应速度随催化剂活性的衰减而变慢（内部原因），等等。
如果实际控制对象客观存在着较强的不确定，那么，前面所述的一些基于确定性模型参数来设计控制系统的方法是不适用的。
所谓自适应控制是对于系统无法预知的变化，能自动地不断使系统保持所希望的状态。
因此，一个自适应控制系统，应能在其运行过程中，通过不断地测取系统的输入、状态、输出或性能参数，逐渐地了解和掌握对象，然后根据所获得的过程信息，按一定的设计方法，作出控制决策去修正控制器的结构，参数或控制作用，以便在某种意义下，使控制效果达到最优或近似更优。
目前比较成熟的自适应控制可分为两大类：模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control）和自校正控制（Self-Turning）。
10.1模型参考自适应控制10.1.1模型参考自适应控制原理模型参考自适应控制系统的基本结构与图10.1所示：10.1模型参考自适应控制系统它由两个环路组成，由控制器和受控对象组成内环，这一部分称之为可调系统，由参考模型和自适应机构组成外环。
实际上，该系统是在常规的反馈控制回路上再附加一个参考模型和控制器参数的自动调节回路而形成。
在该系统中，参考模型的输出或状态相当于给定一个动态性能指标，（通常，参考模型是一个响应比较好的模型），目标信号同时加在可调系统与参考模型上，通过比较受控对象与参考模型的输出或状态来得到两者之间的误差信息，按照一定的规律（自适应律）来修正控制器的参数（参数自适应）或产生一个辅助输入信号（信号综合自适应），从而使受控制对象的输出尽可能地跟随参考模型的输出。
在这个系统，当受控制对象由于外界或自身的原因系统的特性发生变化时，将导致受控对象输出与参考模型输出间误差的增大。
模型参考自适应控制与鲁棒自适应控制比较
模型参考自适应控制与鲁棒自适应控制比较自适应控制是一种常见的控制策略，旨在使系统能够自动调整控制参数以适应不确定性和变化的环境。
在自适应控制中，模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control，简称MRAC）和鲁棒自适应控制（Robust Adaptive Control，简称RAC）是两种常用的方法。
本文将对这两种自适应控制方法进行比较分析。
一、模型参考自适应控制模型参考自适应控制是一种基于模型参考的自适应控制方法。
它通过引入一个模型参考器，将期望输出与实际输出进行比较，然后根据比较结果对控制参数进行在线调整。
模型参考自适应控制的主要思想是通过使用与被控对象相似的模型来进行控制，从而提高系统的鲁棒性和跟踪性能。
模型参考自适应控制的主要优点是能够实现对系统模型误差的自适应校正，具有较好的系统鲁棒性和跟踪精度。
该方法在理论上是可行的，并已经在一些实际控制系统中得到了应用。
然而，模型参考自适应控制也存在一些局限性，比如对模型的要求较高、对系统参数的连续性和可观测性要求较严格等。
二、鲁棒自适应控制鲁棒自适应控制是一种能够处理系统不确定性和外部干扰的自适应控制方法。
它通过设计鲁棒控制器来使系统具有鲁棒性，同时引入自适应机制对控制参数进行在线调整。
鲁棒自适应控制的关键在于设计合适的鲁棒控制器，使系统能够在存在不确定性和干扰的情况下保持稳定性和性能。
鲁棒自适应控制的主要优点是能够在存在不确定性和干扰的情况下保持系统的稳定性和性能。
相比于模型参考自适应控制，鲁棒自适应控制对系统模型的要求相对较低，具有更好的适用性和实用性。
然而，鲁棒自适应控制也存在一些挑战，比如对控制器设计的要求较高、控制参数调整的收敛性等。
三、比较分析模型参考自适应控制和鲁棒自适应控制作为两种常见的自适应控制方法，各有优势和劣势。
模型参考自适应控制在鲁棒性和跟踪性能方面具有一定的优势，适用于对系统模型较为精确的情况。
第八章模型参考自适应控制（ModelReferenceAdaptiveControl）简称MRAC
第⼋章模型参考⾃适应控制（ModelReferenceAdaptiveControl）简称MRAC第九章模型参考⾃适应控制(Model Reference AdaptiveControl )简称MRAC介绍另⼀类⽐较成功的⾃适应控制系统，已有较完整的设计理论和丰富的应⽤成果(驾驶仪、航天、电传动、核反应堆等等) 。
§ 9—1 MRAC的基本概念系统包含⼀个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理想要求，MRAC⼒求使被控系统的动态响应与模型的响应相⼀致。
与STR不同之处是MRAC没有明显的辨识部分，⽽是通过与参考模型的⽐较，察觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。
设参考模型的⽅程为*X m~ A m X m Br式(9-1-1)y m = CX m 式(9-1-2)被控系统的⽅程为■X s A s B s r式(9-1-3)y s - CX s 式(9-1-4) 两者动态响应的⽐较结果称为⼴义误差，定义输出⼴义误差为e = y m -y s 式(9-1-5)；状态⼴义误差为:=X m — s 式(9-1-6)。
⾃适应控制的⽬标是使得某个与⼴义误差有关的⾃适应控制性能指标J达到最⼩。
J可有不同的定义，例如单输出系统的J —；e2( )d式(9-1-7)或多输出系统的t TJ ⼆e T( )e( )d式(9-1-8) MRAC的设计⽅法⽬的是得出⾃适应控制率，即沟通⼴义误差与被控系统可调参数间关系的算式。
有两类设计⽅法：⼀类是“局部参数最优化设计⽅法”，⽬标是使得性能指标J达到最优化；另⼀类是使得⾃适应控制系统能够确保稳定⼯作，称之为“稳定性理论的设计⽅法。
§ 9 —2局部参数最优化的设计⽅法⼀、利⽤梯度法的局部参数最优化的设计⽅法这⾥要⽤到⾮线性规划最优化算法中的⼀种最简单的⽅法梯度法(Gradient Method )。
1. 梯度法考虑⼀元函数f(x)，当：汀(x)/= 0，且f2 (x) / ；x2> 0时f(x)存在极⼩值。
模型参考自适应控制ppt课件
p(s)
r (t )
kp
y p (t )
s ap
－ e1(t )
a0(t)
前馈
M (s)
＋ u(t) k m
－
s am
＋
ym (t )
反馈 b0(t) 可调系统
其中：
模 型 的 输 入 控 制 u t为
u t a0 t r t b0 t y p t
可调系统状态方程为
L 3
y&m t a m y m t k m a 0 t r t k m b 0 t y p t L 4
R( p)
e1 kc
k pz( p)r
ym r
km
z( p) R(p)
(2) (3)
比较 (2)(3) 式得：
e1 kc
kp km
ym
将 ( 4 ) 式代入
(1 ) 式，得：
kc
Be
1
kp km
ym
B e1 y m
即得自适应律
(4) (5)
自适应律（5）式的实现：
z(s)
r
km R(s)
z(s)
kc
k p R(s)
ym
ym
＋
e1
－
yp
ym e1
B'
MIT自适应控制系统 优点： 信号易获取，自适应律易实现 ; 缺点： 不能保证稳定性，需进行稳定性分析和
校验。
2、基于Lyapunov稳定性理论的设计方法
r
参考模型
ym
＋
u 过程process
－
yp
自适应控制
e
基本思路：根据系统的等效误差运动方程 ，找出 (构造)一个适当的Lyapunov函数，确定 自适应律，以保证
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第九章 模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control ）简称MRAC介绍另一类比较成功的自适应控制系统，已有较完整的设计理论和丰富的应用成果（驾驶仪、航天、电传动、核反应堆等等）。
§9 —１MRAC 的基本概念系统包含一个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理想要求，MRAC 力求使被控系统的动态响应与模型的响应相一致。
与STR 不同之处是MRAC 没有明显的辨识部分，而是通过与参考模型的比较，察觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。
设参考模型的方程为式(9-1-1)式(9-1-2)被控系统的方程为式(9-1-3) 式(9-1-4)两者动态响应的比较结果称为广义误差,定义输出广义误差为e = y m – y s 式(9-1-5)；X A X Br y CX m m m m m∙=+= X A B r y CX S S S S S∙=+=状态广义误差为ε = X m – X s 式(9-1-6)。
自适应控制的目标是使得某个与广义误差有关的自适应控制性能指标J 达到最小。
J 可有不同的定义，例如单输出系统的式(9-1-7)或多输出系统的式(9-1-8)MRAC 的设计方法目的是得出自适应控制率，即沟通广义误差与被控系统可调参数间关系的算式。
有两类设计方法：一类是“局部参数最优化设计方法”，目标是使得性能指标J 达到最优化；另一类是使得自适应控制系统能够确保稳定工作，称之为“稳定性理论的设计方法。
§9 —2 局部参数最优化的设计方法一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法这里要用到非线性规划最优化算法中的一种最简单的方法——J e d t=⎰20()ττJ ee d Tt=⎰()()τττ梯度法（Gradient Method ）。
1.梯度法考虑一元函数f(x)，当: ∂ f (x)/ ∂x = 0 ，且∂ f 2 (x) / ∂x 2 > 0 时f(x) 存在极小值。
问题是怎样调整x 使得f (x) 能达到极小值 ？x 有两个调整方向：当∂ f (x)/ ∂x > 0时应减小x ；当∂ f (x)/ ∂x < 0时应增加x 。
两者合并表示为：式(9-2-1)λ 为步长系数（λ > 0 ）。
把函数f(x) 在x 方向的偏导数称为梯度。
上式含义为：按照梯度的负方向调整自变量x 。
该结论可推广到多元函数求极值的情况。
2．具有一个时变参数——可调增益的MRAC 设计（MIT 方案）1958年由麻省理工学院提出。
∆x f x x=-λ∂∂()参考模型传函为式中：q(s) = b 1s n-1+…+ b n ; p(s) = s n +a 1s n-1+…+ a n 广义误差为e = y m – y s性能指标为： 式(9-1-7)。
系统的可调增益为K c ，目标是设计出 随着e 而调整K c 的规律，以使J 达到最小。
J 对K c 的梯度为⎰∂∂=∂∂tt cc od K ee K J τ2由梯度法有：⎰∂∂-∂∂-=∆tt cc cd K ee K J K 02τλλ将上式两边对t 求导数，得到cc K eeK ∂∂-=∆∙λ2 式(9-2-2)广义误差对输入信号的传函为:自适应回路开环情况下系统传函为引入微分算子：D = d/dt 、 D 2 = d 2 / dt 2 …，由上式得到微分方程： P(D) ⋅e (t) = ( K m - K c ⋅K s ) q(D) ⋅ r ( t ) 两端对K c 求偏导数rD q K K e D P s c)()(-=∂∂ 得到)()(D P D q r K K e s c -=∂∂ 式(9-2-3)由模型的微分方程：p (D) y m (t) = K m q(D) r(t) 得到代入式(9-2-3)，得出：m mS C y K K K e-=∂∂ 代入式(9-2-2)，得出 W S e s r s y s y s r s K K K q s p s m s m C S ()()()()()()()()()==-=-q D P D y rK mm()()=mC Bey K =∆∙式(9-2-4)其中：B = 2 λ K s / K m , 当K s 与K m 同号时B 为正值常系数，即自适应回路的积分时间常数。
实现的方案如下图，自适应回路由乘法器与积分器组成。
该方案能够使得J 为最小，但是不能确保自适应回路是稳定的。
需要通过调整B 的大小，使得系统稳定且自适应跟踪速度也比较快。
MIT 方案应用举例：二阶电传动调速系统的模型参考自适应控制马润津等“可控硅电传动模型参考自适应控制“自动化学报1979。
第4期实验结构图§9 —3基于李雅普诺夫第二方法稳定性理论的MRAC设计方法1. 关于李雅普诺夫( Liaupunov) 稳定性的第二方法是关于动态系统（无论线性或者非线性）稳定性分析的理论，特点是不需要求微分方程的解，而是直接根据某个特定的函数（李雅普诺夫函数）对时间的变化率来判断其稳定性，因此又称直接法。
它特别适用于非线性、线性时变或多变量系统的稳定性分析。
a) 李雅普诺夫意义下的稳定性对于以状态方程描述的动态系统，如果存在一个对时间连续可微的纯量函数V(X,t )，满足以下条件：（1）V(X,t ) 正定；（2）V 沿方程式（9-3-1）解的轨迹对时间的一阶偏导数V 存在，且为负半定（或负定），则称V(X,t ) 为李雅普诺夫函数，且系统式（8-3-1）对于状态空间的坐标原点X=0 为李雅普诺夫意义下的稳定（或渐进稳定）的。
李雅普诺夫函数的几何意义可以理解为：V(X)表示状态空间原点到状态X的距离的量度，如果其原点到瞬时状态X(t)间的距离随着t的增长而不断减小则系统稳定，V(t) 对时间的一阶偏导数相当于X(t)接近原点的速度。
李雅普诺夫函数的物理意义可以理解为：一个振动着的力学系统，如果振动的蓄能不断衰减，则随着时间增长系统将稳定于平衡状态，而李雅普诺夫函数实质上可视为一个虚拟的能量函数。
b)用李雅普诺夫第二方法分析线性定长系统的稳定性 线性定长系统式（9-3-2）可取一个正定的纯量函数式（9-3-3）其中P 为正定的实对称矩阵。
V 沿式（9-3-2）的轨线的一阶导数为：其中Q 与P 满足线性代数方程（称李雅普诺夫方程）式（9-3-4）如果Q 是正定矩阵，则V(X)的一阶导数是负定的，V(X) 是李雅普诺夫函数，系统式（9-3-2）对于平衡状态X=0 是渐进稳定的。
2．应用李雅普诺夫第二方法设计可调增益的MRAC参考模型状态方程式（9-3-5）其中：系统状态方程式（9-3-6）定义广义误差令 E = K m - K s , 由式（9-3-5）和式（9-3-6）得出广义状态误差方程式（9-3-7）其中 B = [ 0, E ]T为了保证MRAC 系统稳定，要找到一个李雅普诺夫函数V(ε) 。
试取纯量函数V(ε) = εT P ε + λ E 2 式（9-3-8） 其中P 为正定实对称阵，显然V(ε) 也是正定的。
求V(ε) 沿式（9-3-7）的轨线对t 求导数∙∙∙++=E E P P dt dV TTλεεεε2/ 将式（9-3-7）代入上式，有dV/dt = [εT A + B T r ] P ε + εT P [ A ε + B r ] +2 λ E E = εT A T P ε + εT P A ε + B T r P ε + εT P B r + 2 λ E E= εT (A T P + P A ) ε + 2 εT P B r + 2 λ E E 式（9-3-9）为保证dV/dt 负定，须使二次型 εT (A T P + P A ) ε 负定，且后两项之和为零。
由于A 为稳定矩阵，方阵(A T P + P A ) 肯定是负定的。
由式（9-3-9）的后两项之和为零的条件，得出：式（9-3-10） 由于所以由E = K m - K s ( t ) , 得到自适应控制律： 其中: C 0 = P 12 / λ , C 1 = P 2 / λ , 或写成：按照上式实施控制，能够保证V(ε) 是正定而dV/dt 是负定的，即V(ε) 是李雅普诺夫函数，自适应系统对于ε = 0 的平衡状态是大范围渐进稳定的，也就是当t →∞时ε→ 0 。
系统结构如下图：3．应用举例：直流电传动自适应控制可控硅直流调速系统结构图,设σ= t1+ t2,可简化为开环总增益 K S = K 1 K 2 / C e ⋅τi 为时变且可调 参考模型状态方程为式（9-3-12）被控系统状态方程为式（9-3-13）可见 A S 和B S 中仅 a 12 = K S / σ 一个元素是时变的。
为了设计出比较简单的自适应线路，选择正半定的Q 阵由李雅普诺夫方程式（9-3-4）解出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡221001σ由于σ > 0，所以P阵是正定的，将P代入A S的第a ij元素的自适应调整律得到比例——积分型的自适应律而a12 = K s (t) / σ，则有其中的X S2虽然不能从系统中直接测量，但是可由以下关系式很容易重构，得出X S2的估计量。
下图示出了可控硅电传动MRAC实验系统的简化原理图：实验结果如下图，被控系统开环增益K0=3.4K m ,加入自适应控制后，能够自动调整K S使得系统的动态响应与参考模型的一致。
§9 —4基于超稳定理论的MRAC设计方法超稳定理论最初由波波夫在研究非线性系统绝对稳定性时提出的，该理论对研究非线性时变反馈的非线性系统的稳定性很有用途，特别是ndau等将超稳定理论用于MRAC系统的设计，取得良好效果。
本节仅就其基本概念和主要结果作一些简要介绍。
一、关于超稳定性理论的基本概念1. 直观概念先从简单的直观概念出发，体会稳定性的含义。
讨论一个由线性定常的正向通道和非线性时变的反馈通道组成的单输入——单输出闭环系统（见下图）。
如果该闭环系统能够满足以下两个条件：a) 线性定常的正向通道动态性能等价于一个无源网络；b) 非线性反馈通道为正向通道提供的总能量（系统储能）是有限的，则该系统一定是稳定的。
由网络理论，以上的条件a) 等价于传递函数Z(s)=y(s)/u(s) 是正实函数；条件b) 可以用以下积分不等式来表示：其中：T > 0 ，δ为某一有限值的常数。
2．关于正实和严格正实函数函数的正实性概念是从网络分析中引申来的，数学的正实函数概念上与物理的无源网络相关。
无源网络能量的非负性，其传递函数是正实的。
Z(s)是正实函数的定义是：（1）s为实数时Z(s) 也为实数；（2）Z(s) 无右半开平面的极点；（3）对于任意实的ω，（-∞<ω<∞）有Re[ Z(jω) ]≥0 。