模型参考自适应控制—MIT法
自适应控制的基本概念
2. 自适应控制提出 当不确定因素难以事先预知，又要设计满 意的控制系统，由此提出自适应控制思想。 自适应调节器就是期望修正自己的特性以 补偿过程和扰动的动力学变化。
四、自适应控制思想雏形
观测 运行指标 系统参数 再认识 系统 （不确定） 决策修正 控制器参数 控制器结构 控制作用
性能指标
2. 模型参考自适应控制系统 a. 线性模型跟随系统
参考模型给出 了期望闭环响 应特性
参考模型
es Gm 1 GcG p GcG p u s 1 GcG p G p G f
y p s GcG p GmG p G f u s 1 GcG p G p G f
二、控制问题的几种情况
1. 无扰动，系统模型确定
系统模型
属于确定性控制 可以采用开环控制 2. 有扰动，系统模型确定 属于随机控制 当扰动不确定采用闭环控制 扰动确定可以采用补偿控制 3. 可能有扰动，系统模型不确定
采用闭环控制？ 扰动√ 系统模型不确定×
扰动
系统模型
扰动
系统模型
ym
模型跟随 调节器
e
yp
+
u
－
控制器
＋
－
被控对象
已知被控对象的数学模型√ 未知被控对象的数学模型或变化×
b. 模型参考自适应控制系统
参考模型
+
－
e
u
－ －
前馈调节器
被控对象
反馈调节器
参数调整 信号综合
自适应机构
美国Minorsky研制船舶驾驶伺服结构，提出PID控制(1922)
美国MIT的Vannevar Bush研制成大型模拟计算机 (1928)
自适应控制概述
• 80年代初期--Goodwin等人的基于随机过程鞅 (martingle)理论的参数收敛性和控制的稳定性及最优 性分析
• 90年代初--Chen和Guo的自校正调节器参数收敛性分 析
自适应控制的鲁棒性分析及鲁棒自适应控制
• 80年代初期--Rohrs的自适应控制系统的鲁棒性分析
• 出于实际控制系统设计和应用的需要,以及 微处理器等计算工具或器件的迅猛发展,都 为自适应控制应用的发展创造了条件,这又 反过来促进了自适应控制理论的发展.
– 实际上,从控制理论的发展来说,反馈控制、扰动 补偿控制、最优控制、以及鲁棒控制等,都是为 了克服或降低系统受外来干扰或内部参数变化 所带来的控制品质恶化的影响.
– 这些在一定范围或某个侧面上亦能克服或抑制 某些不确定性或干扰的传统控制方法与自适应 控制的区别在于:
• 自适应控制是主动去适应这些系统或环境的变化,而 其它控制方法是被动地、以不变应万变地靠系统本 身设计时所考虑的稳定性裕量或鲁棒性克服或降低 这些变化所带来的对系统稳定性和性能指标的影响;
– 可调控制器
• 可调控制器是指它的结果、参数或信号可以根据性 能指标要求和被控系统的当前状态进行自动调整.
• 这种可调性要求是由被控系统的数学模型的不定性 决定的,否则就无法对过程实现有效的控制.
– 性能指标的控制
• 性能指标的控制可分为开环控制方式和闭环控制方 式两种.
• 若与过程动态相关联的某些辅助变量可测,而且此辅 助变量与可调控制器参数之间的关系又可根据物理 学的知识和经验导出,这时就可通过此辅助变量直接 调整可调控制器,以期达到预定的性能指标.这就是性 能指标的开环控制.
1) 变增益控制
• 这种系统的结构如图1所示,其结构和原理比
自适应控制中的模型参考自适应控制算法研究
自适应控制中的模型参考自适应控制算法研究在控制系统中，控制器的设计和应用都是十分重要的，并且也是十分复杂的。
自适应控制是一种在控制器中嵌入智能算法的方法，可以让控制器根据被控制系统的状态自适应地调整参数，以达到最佳控制效果。
在自适应控制中，模型参考自适应控制算法是一种常见的算法，其原理和应用将在本文中进行介绍。
一、模型参考自适应控制算法的基本原理模型参考自适应控制算法是一种基于模型的自适应控制方法，其基本思想是将被控制系统的模型和控制器的模型进行匹配，通过模型匹配的误差来适应地调整控制器的参数。
其主要流程包括：建立被控制系统的模型；建立控制器的模型；将被控制系统的模型和控制器的模型进行匹配，计算出模型匹配误差；根据模型匹配误差来自适应地调整控制器的参数。
模型参考自适应控制算法的具体实现方式可以分为直接调节法和间接调节法两种。
直接调节法是将模型参考自适应控制算法中的误差直接反馈到控制器的参数中，以达到自适应控制的目的。
间接调节法则是通过在模型参考自适应控制算法中引入额外的参数，间接地调节控制器的参数，以达到自适应控制的目的。
二、模型参考自适应控制算法的应用模型参考自适应控制算法在实际工程中有着广泛的应用。
例如，它可以用于磁浮列车的高精度控制系统中，通过模型参考自适应控制算法来适应不同运行条件下的参数，达到最优的控制效果。
另外，模型参考自适应控制算法还广泛应用于机器人控制、电力系统控制等领域，可以有效地提高控制系统的性能和稳定性。
三、模型参考自适应控制算法的优缺点模型参考自适应控制算法的主要优点是可以适应不同的被控制系统和环境条件，具有较高的适应性和鲁棒性。
另外，它具有控制精度高、响应速度快等优点。
不过，模型参考自适应控制算法也存在一些缺点，例如模型误差对控制系统的影响比较大，不易对模型参数进行优化等。
四、结论综上所述，模型参考自适应控制算法是一种重要的自适应控制方法，在实际工程中具有广泛的应用前景。
自适应控制第4章
25
（3）一般n阶定常线性系统
数学模型: e=ym-yr满足:
试取
(4.3.20) (4.3.21) (4.3.22) (4.3.23)
26
得自适应律:
(4.3.24)
或
(4.3.25)
可以看出,得到的自适应律依赖于整个状态向量X(t),即,自适 应控制律不仅与广义误差e(t)有关,而且与e(t)的各阶导数有 关,为自适应律的实现带来极大不便。
选定指标泛函:
(4.2.4)
(4.2.5)
(4.2.6) (4.2.7) (4.2.8)
8
广义误差对输入的开环传函:
对Kc求偏导: 另根据参考模型 比较(12)、(13):
(4.2.9)
(4.2.10) (4.2.11) (4.2.12) (4.2.13) (4.2.14)
(4.2.15)
可调增益Kc的自适应律—MIT自适应规则(1958 年MIT提出)
9
自适应系统的 数学模型
图4.2.3 MIT可调增益自适应系统
开环广义误差方程
参考模型方程 (4.2.16)
参数调节方程(自适应律)方程 10
凡是用可凋增益构成自适应系统,都可套用 上述模型。
缺点:设计过程中未考虑稳定性问题 因此,求得自适应律后,尚需进行稳定性校验,
以确保广义误差e在了司环回路中能收敛于 某一允许的数值。 补充假设: ✓ 参考模型与可调系统的初始偏差较小; ✓ 自适应速度不能太快(即u不能过大)。
综合出只与e(t)有关的自适应律。选择李亚普诺夫函数时增 加一约束条件:
自适应律简化为:
(4.3.26) (4.3.27)
模型参考自适应控制与模型控制比较
模型参考自适应控制与模型控制比较模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control, MRAC）和模型控制（Model-based Control）都是现代控制理论中常用的方法。
它们在实际工程应用中具有重要意义，本文将对这两种控制方法进行比较和分析。
一、模型参考自适应控制模型参考自适应控制是一种基于模型的自适应控制方法，主要用于模型未知或参数变化的系统。
该方法基于一个参考模型，通过在线更新控制器参数以追踪参考模型的输出，从而实现对系统的控制。
在模型参考自适应控制中，首先需要建立系统的数学模型，并根据实际系统的特性选择合适的参考模型。
然后通过设计自适应控制器，利用模型参数估计器对系统的不确定性进行补偿，实现对系统输出的精确追踪。
模型参考自适应控制的优点在于其适应性强，能够处理模型未知或参数变化的系统。
它具有很好的鲁棒性，能够适应系统的不确定性，同时可以实现对参考模型的精确追踪。
然而，模型参考自适应控制也存在一些缺点，如对系统模型的要求较高，需要较为准确的模型参数估计。
二、模型控制模型控制是一种基于数学模型的控制方法，通过对系统的建模和分析，设计出合适的控制器来实现对系统的控制。
模型控制方法主要有PID控制、状态反馈控制、最优控制等。
在模型控制中，首先需要建立系统的数学模型，并对模型进行分析和优化。
然后根据系统的特性，设计合适的控制器参数。
最后，将控制器与系统进行耦合，实现对系统的控制。
模型控制的优点在于其理论基础牢固，控制效果较好。
它能够根据系统的数学模型进行精确的设计和分析，具有较高的控制精度和鲁棒性。
然而，模型控制方法在实际应用中对系统模型的要求较高，而且对系统参数变化不敏感。
三、比较与分析模型参考自适应控制与模型控制都是基于模型的控制方法，它们在实际应用中具有各自的优缺点。
相比而言，模型参考自适应控制具有更强的适应性和鲁棒性，能够处理模型未知或参数变化的系统。
模型参考自适应控制
10．自适应控制严格地说，实际过程中的控制对象自身及能所处的环境都是十分复杂的，其参数会由于种种外部与内部的原因而发生变化。
如，化学反应过程中的参数随环境温度和湿度的变化而变化（外部原因），化学反应速度随催化剂活性的衰减而变慢（内部原因），等等。
如果实际控制对象客观存在着较强的不确定，那么，前面所述的一些基于确定性模型参数来设计控制系统的方法是不适用的。
所谓自适应控制是对于系统无法预知的变化，能自动地不断使系统保持所希望的状态。
因此，一个自适应控制系统，应能在其运行过程中，通过不断地测取系统的输入、状态、输出或性能参数，逐渐地了解和掌握对象，然后根据所获得的过程信息，按一定的设计方法，作出控制决策去修正控制器的结构，参数或控制作用，以便在某种意义下，使控制效果达到最优或近似更优。
目前比较成熟的自适应控制可分为两大类：模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control）和自校正控制（Self-Turning）。
10.1模型参考自适应控制10.1.1模型参考自适应控制原理模型参考自适应控制系统的基本结构与图10.1所示：10.1模型参考自适应控制系统它由两个环路组成，由控制器和受控对象组成内环，这一部分称之为可调系统，由参考模型和自适应机构组成外环。
实际上，该系统是在常规的反馈控制回路上再附加一个参考模型和控制器参数的自动调节回路而形成。
在该系统中，参考模型的输出或状态相当于给定一个动态性能指标，（通常，参考模型是一个响应比较好的模型），目标信号同时加在可调系统与参考模型上，通过比较受控对象与参考模型的输出或状态来得到两者之间的误差信息，按照一定的规律（自适应律）来修正控制器的参数（参数自适应）或产生一个辅助输入信号（信号综合自适应），从而使受控制对象的输出尽可能地跟随参考模型的输出。
在这个系统，当受控制对象由于外界或自身的原因系统的特性发生变化时，将导致受控对象输出与参考模型输出间误差的增大。
自适应控制
• 只与 K 有* 关，而与 F无* 关
• 通常 P要靠解李雅普诺夫方程得到
最终得到 Vx 1 eTQe
2
26
结果分析
V x 1 eT Pe tr 1T
2
Vx
1
eT
Qe
2
• e , 时 V 所x,t得 到的结果是大范围
（全局）渐近稳定
• 渐近稳定 lim e， 0 lim e 0
t
统是平衡态大范围渐近稳定。
Vx,t 0
x V x,t
Barbalat引理
如果 f t : R R是一个 [0,) 上的一致连续函数，
同时
lim
t
t
0
f
d
存在而且有界，则当t
时，
f t 0
若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至 是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0，总存在一 个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。
数学表示方法——传递函数表示
参考模型的输出
rt
ym
s
Gm
sRs
KN s Ds
Rs
可调系统输出
KC
yp
s
Gp
sRs
Kc Kv Ns Ds
Rs
定义广义误差 e ym yp
KN s Ds
Kv N s Ds
+ et 广义误差
-
自适应机构
2. 自适应律推导
取性能指标
IPRM
1 2
t e2 d
自适应控制
目录第一章自适应控制概述 (1)第一节自适应控制的产生背景及分类 (1)一.自适应控制产生的背景 (1)二.自适应控制的原理及分类 (2)第二章模型参考自适应控制（MODEL REFERENCE ADAPTIVE CONTROL）简称MRAC 3第一节MRAC的基本概念 (3)第二节最优化的设计方法 (4)一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法 (4)第三节基于李雅普诺夫第二方法稳定性理论的MRAC设计方法 (7)一．关于李雅普诺夫( Liaupunov) 稳定性的第二方法 (7)第四节基于超稳定理论的MRAC设计方法 (13)一、关于超稳定性理论的基本概念 (13)二、用超稳定理论设计MRAC系统 (15)第三章自校正控制 (18)第一节自校正控制的原理及组成 (18)第二节最小方差控制律 (21)第一章自适应控制概述任何一个动态系统，通常都具有程度不同的不确定性。
这种不确定性因素的产生主要由于：(1)系统的输入包含有随机扰动，如飞行器飞行过程中的阵风；(2) 系统的测量传感器具有测量噪声；以上两者又称为不确定性的（或随机的）环境因素。
(3) 系统数学模型的参数甚至结构具有不确定性。
如导弹控制系统中气动力参数随导弹飞行高度、速度、导弹质量及重心的变化而变化。
在只存在不确定环境因素，但系统模型具有确定性的情况下，这是随机控制需要解决的问题；而自适应控制是解决具有数学模型不确定性为特征的最优控制问题。
这时如果系统基本工作于确定环境下，则称为确定性自适应控制；如果系统工作于随机环境下，则称为随机自适应控制。
自适应控制的提法可归纳为：在系统数学模型不确定的条件下（工作环境可以是基本确定的或是随机的），要求设计控制规律，使给定的性能指标尽可能达到及保持最优。
为了完成以上任务，自适应控制必须首先要在工作过程中不断地在线辨识系统模型（结构及参数）或性能，作为形成及修正最优控制的依据，这就是所谓的自适应能力，它是自适应控制主要特点。
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一 原理及方法模型参考自适应系统，是用理想模型代表过程期望的动态特征，可使被控系统的特征与理想模型相一致。
一般模型参考自适应控制系统的结构如图1所示。
图1 一般的模型参考自适应控制系统其工作原理为，当外界条件发生变化或出现干扰时，被控对象的特征也会产生相应的变化，通过检测出实际系统与理想模型之间的误差，由自适应机构对可调系统的参数进行调整，补偿外界环境或其他干扰对系统的影响，逐步使性能指标达到最小值。
基于这种结构的模型参考自适应控制有很多种方案，其中由麻省理工学院科研人员首先利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律，简称为MIT 自适应控制，其结构如图2所示。
图2 MIT 控制结构图系统中，理想模型Km 为常数，由期望动态特性所得，被控系统中的增益Kp 在外界环境发生变化或有其他干扰出现时可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离。
而Kp 的变化是不可测量的，但这种特性的变化会体现在广义误差e 上，为了消除或降低由于Kp 的变化造成的影响，在系统中增加一个可调增益Kc ，来补偿Kp 的变化，自适应机构的任务即是依据误差最小指标及时调整Kc ，使得Kc 与Kp 的乘积始终与理想的Km 一致，这里使用的优化方法为最优梯度法，自适应律为：⎰⨯+=tm d y e B Kc t Kc 0)0()(τYp Yme+__+R参考模型调节器被控对象适应机构可调系统———kmq(s)p(s)KcKpq(s)-----p(s)适应律Rymype+-MIT 方法的优点在于理论简单，实施方便，动态过程总偏差小，偏差消除的速率快，而且用模拟元件就可以实现；缺点是不能保证过程的稳定性，换言之，被控对象可能会发散。
二 对象及参考模型该实验中我们使用的对象为：122)()()(2++==s s s p s q K s G pp 参考模型为：121)()()(2++==s s s p s q K s G mm 用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，设可调增益的初值Kc(0)=0.2，给定值r(t)为单位阶跃信号，即r(t)=A ×1(t)。
A 取1。
三 自适应过程将对象及参考模型离散化，采样时间取0.1s ，进而可得对象及参考模型的差分方程分别为：)2(0044.0)1(0047.0)2(8187.0)1(8079.1)(-+-+---=k r k r k y k y k y m)2(0088.0)1(0094.0)2(8187.0)1(8097.1)(-+-+---=k u k u k y k y k y p p p其中u 为经过可调增益控制器后的信号。
编程进行仿真，经大量实验发现，取修正常数B 为0.3，可得较好的动态过度过程，如下图3所示：图3 仿真结果由图3中第一个图形可以看出，在阶跃扰动后，经过一段时间对象的输出完全跟踪上了理想模型的值，系统最终趋于稳定；由第二个图可以看出，当系统稳定后，Kp*Kc等于Km，说明补偿环节达到了期望的补偿效果，这与系统设计的目标一致；由第三个图可以看出，在控制的动态过程中，偏差的总和是比较小的，而且偏差的消除是很快的，这是由于所选用的优化方法为最有梯度法的结果。
在1中我们已经得到一个能使对象得到较好控制的参数B=0.3，在此情况下，我们将Kp 取为1，对应于实际中即指对象增益发生漂移，再做仿真，结果如图4所示。
图4 对象增益变化后的仿真图由图4我们可以看出，在一个适当的修真参数B下，当对象的特性参数Kp发生漂移后，控制器依然能很好的控制对象，这也证明了MIT方法的自适应特性。
而且我们发现，当Kp 由2变为1后，控制器的控制效果更好了，具体表现为振荡减弱，过渡过程有所加快，关于导致这一现象发生的原因，我们会在第四部分中做详细的分析与说明。
四研究分析1 对于一个被控过程，系统能稳定运行是设计与控制的首要指标，然而如前所述，依据最优控制的原则设计出来的MIT自适应控制器却可能会使得系统不稳定，输出发散，以下我们对此做一研究，以期找出其中的相关信息。
我们设某连续二阶对象为：1)()()(122++==s b s b Kps p s q K s G p则有：pm m m m m c p p p p p y y e R K y y b y b R K K u K y y b yb -==++==++ 1212控制律为：mBey c K = R 为一阶跃信号，即R(t)=A ×1(t)， 则偏差的动态方程为：0212=+++e A K BK e e b eb m p 根据劳斯稳定判据，列出劳斯行列式：1101221121223s b A K BK b b s A K BK b s b s m p m p -得知，对于该连续系统，当212/b b A K BK m p >时会不稳定。
试验中Kp=2，Km=1，A=1，1,221==b b ，因而对于连续系统，可求得当B=1时，系统将会等幅振荡。
现取B=1，得仿真曲线如图5所示。
图5显示，当B 为1的时候系统发散，另取原使系统稳定的B=0.3，计算出此时可使系统振荡的阶跃幅值A=sqrt(1/0.3)做仿真，结果如图6所示：图6显示结果与图5一样，系统也发散。
图5、6过程中所取参数均为由劳斯判据所得临界值，然而系统并未做等幅振荡，而是发散，这似乎使得理论计算与仿真结果不符。
但稍作分析我们就会发现，问题在于我们仿真时用的是离散化的模型，而所用参数为由连续系统计算所得。
我们知道用连续系统分析的结论是不完全适用于离散系统的，这是因为随着采样时间取不同的值，同一对象的连续特性和离散特性会不同。
因而对于离散系统，我们对其做稳定性分析时还需考虑采样时间的影响。
正确的做法应是：将连续开环对象做Z 变换，进而得到闭环的Z 域特征方程，对此方程做双线性变化，然后对所得w 域方程列出其劳斯阵列，应用劳斯稳定判据即可得到使离散系统做等幅振荡的相关参数。
本实验中广义偏差方程为三阶系统，在应用采样系统的劳斯稳定判据时需要求解含有参变量的三解方程的解析解，运算量较大，因而这里未做相应的求解。
只是对其做一些定性的分析，指出对于同一对象，使得连续系统和离散系统做等幅振荡的参数B 是不一样的，因而仿真的结果并没有问题。
在对离散系统进行大量的仿真实验后发现当B取0.8367左右的时候，离散系统会发生等幅振荡。
如图7所示：图5 B=1时的仿真结果图6 A=sqrt(1/0.3)时的仿真图7 离散系统等幅振荡2 为了更进一步的了解该实验的相关特征，我们设计以下实验，来分别研究该仿真中Kc的初始值、阶跃信号的幅值对实验的影响。
(1) 我们得知当B=0.3时原系统是稳定的，这里我们逐步改变阶跃信号的幅值，使A分别取1、1.3、1.6、1.9、2.3来观察其结果，如图8所示：图8 A 取不同值的过渡过程由图8可以看出，当A 由小逐渐增大时，系统将由稳定转向发散，因为在设计实验或真实过程中，该扰动的幅值不可太大，否则将使得系统发散。
其原因已在1中做过说明。
(2) 在原系统稳定的情况下，我们改变修改常数Kc 的初始值，分别取Kc=-5、-0.5、 -0.2、0、0.2、0.5、5来进行观测，结果如图9所示：图9 取不同Kc 初始值的仿真由实验我们得到Kc 的最终稳定值为0.49921，有图可以看出，当Kc 的初始值取得离此稳态值越远的话，过程的初始超调越大，但最终过程都能趋于稳定。
因而在设计实验的时候，Kc 的初始值应根据先验知识或粗略计算去一个与其稳定值较为相近的值为宜。
五 结论：由以上的推导及仿真结果可以看出，依据最优控制的方法设计出的MIT 控制律并不能保证控制器在任何情况下都能很好的工作，换言之，对于连续系统当212/b b A K BK m p 时系统会不稳定。
对于离散系统随未给出准确的解析表达式，但从定性的角度来说，各参数的影响是相似的。
因而在实验设计中为避免系统发散，阶跃信号的幅值不可选择太大。
同时由此式可以看出，当Kp 减小后，对应使系统振荡的B 将增大，这就说明了第三部分中我们在没有改变B 的情况下将Kp 由2变为1后系统的性能为什么会得到提高。
参考文献[1]韩曾晋.自适应控制[M].北京: 清华大学出版社,1995: 148-151[2]厉玉鸣,等.自动控制原理[M].北京：化学工业出版社，2005: 279-280附程序clcclearts=0.1;B=0.8367;ei=0; % 临界值 B=0.836Kp=2;Km=1;Kc(1)=0.2;num1=[Km];den1=[1 2 1]; % 参考模型sys1=tf(num1,den1);dsys1=c2d(sys1,ts,'z')[num11,den11]=tfdata(dsys1,'v');num2=[Kp];den2=[1 2 1]; % 对象模型sys2=tf(num2,den2);dsys2=c2d(sys2,ts,'z')[num22,den22]=tfdata(dsys2,'v');ym_1=0;ym_2=0;r_1=0;r_2=0;yp_1=0;yp_2=0;u_1=0;u_2=0;for i=1:1:500time(i)=i*ts;rin(i)=1;r(i)=rin(i);u(i)=Kc(i)*rin(i);ym(i)=-den11(2)*ym_1-den11(3)*ym_2+num11(2)*r_1+num11(3)*r_2;yp(i)=-den22(2)*yp_1-den22(3)*yp_2+num22(2)*u_1+num22(3)*u_2;error(i)=ym(i)-yp(i);Err(i)=error(i)^2;gain(i)=Kc(i)*Kp;ei=ei+error(i)*ym(i)*ts;Kc(i+1)=Kc(1)+B*ei;ym_2=ym_1;ym_1=ym(i);r_2=r_1;r_1=r(i); yp_2=yp_1;yp_1=yp(i);u_2=u_1;u_1=u(i);endsubplot(1,3,1)plot(time,rin,'r',time,ym,'g',time,yp,'b') legend('R','ym','yp',4)title('input and output')xlabel('time/second')subplot(1,3,2)plot(time,Km,'r',time,gain,'b')legend('Km','Kp*Kc')title('change of Kc')xlabel('time/second')subplot(1,3,3)plot(time,Err)title('change of error^2')xlabel('time/second')。