杭州学军中学2020学年第一学期高一数学单元检测)
浙江省杭州市学军中学(西溪校区)2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
浙江省杭州市学军中学（西溪校区）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合M={x|x＞0}，N={x|-1＜x≤2}，则（∁R M）∩N等于（）A. B. C. D.2.下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（）A. ,xB. ,C. ,D. ,3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.4.在同一直角坐标系中，函数y=，y=1og a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A. B.C. D.5.若函数f（x2+1）的定义域为[-1，1]，则f（lg x）的定义域为（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且2x+1=f（x）+g（x），则g（1）=（）A. B. 2 C. D. 47.已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log2.53），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.8.已知f（x）=（x2-ax+3a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知a＞0，设函数f（x）=（x∈[-a，a]）的值域为[M，N]，则M+N的值为（）A. 0B. 2019C. 4037D. 403910.已知m∈R，函数f（x）=||+m在[2，5]上的最大值是5，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.若幂函数y=f（x）的图象经过点（8，2），则f（）的值是______．12.若f（1+）=，则f（3）=______．13.已知函数f（x）=x3+ln（+x）．若f（a-1）+f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是______．14.设函数f（x）=若f[f（a）]≤3，则实数a的取值范围是______．15.已知λ∈R，函数若函数f（x）恰有2个不同的零点，则λ的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共55.0分）16.若正数a，b满足log2a=log5b=lg（a+b），则的值为______ ．17.化简求值：（1）-（-）0++（2）lg25+lg2+（）-log29×log32．18.已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R}．（1）若A∩B={x|1≤x≤3}，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．19.已知函数f（x）=log2（4x+b•2x+2），g（x）=x．（Ⅰ）当b=-3时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若对于任意x≥1，都有f（x）＞g（x）成立，求实数b的取值范围．20.已知函数f（x）=log a（1-）（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；（Ⅲ）是否存在实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log a n，1+log a m]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=x2-3|x-a|．（Ⅰ）若函数y=f（x）为偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）若a=，求函数y=f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）当0＜a≤1时，若对任意的x∈[a，+∞），不等式f（x-1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={x|x＞0}，N={x|-1＜x≤2}，∴∁R M={x|x≤0}，（∁R M）∩N=（-1，0]．故选：C．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.【答案】B【解析】解：相同的函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系，而函数f（x）=ln x4的定义域为非零实数集，g（x）=4ln x的定义域为正实数集合，故它们不是同一个函数；函数f（x）=x2和函数g（x）==x2，具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数；函数f（x）=x-1的值域为R，而g（x）==|x-1|的值域为[0，+∞），故它们不是同一个函数；函数f（x）=x的值域为R，函数g（x）=|x|的值域为[0，+∞），故它们不是同一个函数，故选：B．由题意利用函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数，从而得出结论．本题主要考查函数的三要素，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=2x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=x|x|=，既是奇函数又是增函数，符合题意；对于C，f（x）=-，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=lg|x|，是偶函数，不符合题意；故选B．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；【解答】解：由函数y=，y=1og a（x+），当a＞1时，可得y=是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y=是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选D．5.【答案】C【解析】解：若函数f（x2+1）的定义域为[-1，1]，则1≤x2+1≤2，∴1≤lg x≤2，∴10≤x≤100，故选：C．由函数f（x2+1）的定义域为[-1，1]，求出其值域，即f（lg x）的值域，从而求出其定义域．本题考查了函数的定义域，值域问题，是一道基础题．6.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且2x+1=f（x）+g（x），∴f（1）+g（1）=21+1=4，①f（-1）+g（-1）=2-1+1=20=1，即-f（1）+g（1）=1 ②由①+②得2g（1）=5，则g（1）=，故选：C．根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，则f（-x）=f（x），即（）|x-m|=（）|-x-m|，分析可得m=0，则f（x）=（）|x|-1=，，＜，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log2.53），c=f（2m）=f（0），且0＜log2.53＜log23，则有a＜b＜c；故选：A．根据题意，由偶函数的定义分析可得（）|x-m|=（）|-x-m|，进而可得m=0，即可得函数的解析式，分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合对数的运算性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意求出m的值，确定函数的解析式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：令t=x2-ax+3a，则由题意可得函数t在区间（2，+∞）上是增函数，且t＞0，∴ ，求得-4≤a≤4，故选：D．令t=x2-ax+3a，则由题意可得函数t在区间（2，+∞）上是增函数，且t＞0，故有，由此求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：依题意，f（x）==+2019x=2019-+2019x，f′（x）=2019+，当x∈[-a，a]时f′（x）＞0，所以f（x）为[-a，a]上的增函数，所以M+N=2019--2019a+2019-+2019a=4038-=4037．故选：C．将函数f（x）分离常数后根据函数的单调性求解函数值域，即可得到M，N的值，从而得到M+N．本题考查了函数的单调性，函数的最值，考查了幂运算，主要考查分析和解决问题的能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由x∈[2，5]，=1+∈[2，5]，若m≤2则f（x）=的最大值为5，符合题意；当2＜m≤5时，f（x）的最大值为f（2）与f（5）中较大的，由f（2）=f（5），即|5-m|+m=|2-m|+m，解得m=，显然2＜m≤时，f（x）的最大值为5，m＞时，f（x）的最大值不为定值．综上可得m≤时，f（x）在[2，5]上的最大值是5，故选：A．求得x∈[2，5]，=1+∈[2，5]，讨论m的范围，结合f（2），f（5）可得所求范围．本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：设幂函数为f（x）=xα，∵f（x）的图象经过点（8，2），∴f（8）=8α=2，即23α=2，则3α=，则α=，则f（x）=x=，则f（）==，故答案为：根据幂函数的定义，利用待定系数法求出函数的解析式，然后代入求值即可．本题主要考查函数值的计算，结合幂函数的定义利用待定系数法求出是的解析式是解决本题的关键．比较基础．12.【答案】2【解析】解：∵f（1+）=，∴f（3）=f（1+）==2．故答案为：2．由f（1+）=，f（3）=f（1+），能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】，【解析】解：f（x）的定义域为R，且=，∴f（x）是奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增，由f（a-1）+f（2a2）≤0得，f（a-1）≤f（-2a2），∴a-1≤-2a2，解得，∴实数a的取值范围是，．故答案为：，．容易判断出f（x）是R上的奇函数，且单调递增，从而根据f（a-1）+f（2a2）≤0可得出a-1≤-2a2，解出a的范围即可．本题考查了奇函数的定义及判断，增函数的定义，一元二次不等式的解法，奇函数在对称区间上的单调性，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】（-∞，7]【解析】解：∵函数f（x）=，先讨论f（a）的取值情况：①若f（a）≤0，则f2（a）+2f（a）≤3，解得，-3≤f（a）≤1，即-3≤f（a）≤0，②若f（a）＞0，则-log2（f（a）+1）≤3，显然成立；则综上得，f（a）≥-3，再讨论a的取值情况：①若a≤0，则a2+2a≥-3，解得，a∈R，即a≤0．②若a＞0，则-log2（a+1）≥-3，解得，0＜a≤7，综上所述，实数a的取值范围是：（-∞，7]．故答案为：（-∞，7]．由已知中函数f（x）=，讨论f（a）的正负，代入求出f（a）≥-3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．本题考查了分段函数的应用，在已知函数值的范围时，要对自变量讨论代入函数求解，属于中档题．15.【答案】（0，2）【解析】解：根据题意，在同一个坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+2λ的图象，如图：若函数f（x）恰有2个零点，即函数f（x）图象与x轴有且仅有2个交点，可得△=16-8λ≥0，λ≤2，当λ=2时，函数f（x）恰有1个零点，所以λ＜2；y=x2-4x+2λ的对称轴为x=2，（0，0）与（4，0）关于x=2对称；所以f（0）＞0，可得λ＞0，f（0）≤0时，函数f（x）恰有3个不同的零点，即λ的取值范围是：（0，2）故答案为：（0，2）．根据题意，在同一个坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+2λ的图象，结合图象分析可得答案．本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力．16.【答案】1【解析】解：设log2a=log5b=lg（a+b）=k，∴a=2k，b=5k，a+b=10k，∴ab=10k，∴a+b=ab，则=1．故答案为：1．设log2a=log5b=lg（a+b）=k，可得a=2k，b=5k，a+b=10k，可得a+b=ab．即可得出．本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）0.064-（-）0+16+0.25=．-1++．=2.5-1+8+0.5=10；（2）lg25+lg2+（）-log29×log32=lg5+lg2+-2（log23×log32）=1+-2=-.【解析】本题考查了指数幂和对数的运算的性质，属于基础题．（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可．18.【答案】解：由题意：集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}={x|-1≤x≤3}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R}={x|m-2≤x≤m+2}，（1）∵A∩B={x|1≤x≤3}，∴ ,解得：m=3，所以：A∩B={x|1≤x≤3}时，实数m的值为3；（2）∵B={x|m-2≤x≤m+2}，∴∁R B={x|m-2＞x或m+2＜x}，∵A⊆∁R B，∴m-2＞3或m+2＜-1,解得：m＞5或m＜-3．所以：A⊆∁R B时，实数m的取值范围是：（-∞，-3）∪（5，+∞）.【解析】本题考查了集合的基本运算的运用求参数的问题，属于基础题．（1）求出B，A集合，根据集合的基本运算求解实数m的值；（2）求出根据集合B，求出∁R B，在A⊆∁R B，求实数m的取值范围．19.【答案】解：（Ⅰ）当b=-3时，f（x）=log2（4x-3•2x+2），由4x-3•2x+2＞0，得2x＞2或2x＜1，∴x＞1或x＜0，∴f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜0}；（Ⅱ）对于任意x≥1，都有f（x）＞g（x）成立，即4x+b•2x+2＞2x，对任意x≥1恒成立，∴b＞=，对任意x≥1恒成立，∴只需b＞=-2，∴b的取值范围为[-2，+∞）．【解析】（Ⅰ）将b=-3代入f（x）中，由4x-3•2x+2＞0，解出x的范围；（Ⅱ）根据对于任意x≥1，都有f（x）＞g（x）成立，可得b＞对任意x≥1恒成立，因此只需b＞=-2，从而得到b的取值范围．本题考查了函数定义域的求法和不等式恒成立问题，考查了转化思想和整体思想，属中档题．20.【答案】解：（1）由1-＞0，可得x＜-1或x＞1，∴f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；∵f（x）=log a（1-）=log a（），且f（-x）=log a（）=log a（）=-log a（）=-f（x）；∴f（x）在定义域上为奇函数．（2）当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）单调递减，任取x1，x2且1＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=log a（）；由（x1-1）（x2+1）-（x1+1）（x2-1）=2（x1-x2）＜0，∴0＜＜1，又0＜a＜1，∴log a（）＞0则f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）单调递减；（3）假设存在这样的实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log a n，1+log a m]；由0＜m＜n，又log a n+1＜log a m+1，即log a n＜log a m，∴0＜a＜1．由（2）知：f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（x）在（m，n）单调递减，∴ ，即m，n是方程log a=log a x+1的两个实根，即=ax在（1，+∞）上有两个互异实根；于是问题转化为关于x的方程ax2+（a-1）x+1=0在（1，+∞）上有两个不同的实数根，令g（x）=ax2+（a-1）x+1，则有△ ＞＞＞，解得0＜a＜3-2；故存在实数a∈（0，3-2），使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log a n，1+log a m]．【解析】（1）由1-＞0，可求出f（x）的定义域，利用定义法能求出f（x）在定义域上为奇函数．（2）当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）单调递减，利用定义法能进行证明．（3）把f（x）的定义域为[m，n]时值域为[1+log a n，1+1og a m]转化为f（x）在（1，+∞）上为减函数，进一步得到=ax在（1，+∞）上有两个互异实根，令g（x）=ax2+（a-1）x+1，转化为关于a的不等式组求解．本题考查函数的定义域及奇偶性的判断，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．属于中档题，21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2-3|x-a|，若函数y=f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），即（-x）2-3|-x-a|=x2-3|x-a|，∴|x+a|=|x-a|，两边平方，得x2+2ax+a2=x2-2ax+a2，∴2ax=-2ax，∴4ax=0，∴a=0，∴实数a的值为0；（Ⅱ）若，则函数y=f（x）=x2-3|x-|=，，＜，画出函数f（x）的图象，如图所示；由图象知，单调减区间为（-∞，-]，（，]；（Ⅲ）不等式f（x-1）≤2f（x），化为（x-1）2-3|x-1-a|≤2x2-6|x-a|，即6|x-a|-3|x-1-a|≤x2+2x-1（*）对任意x∈[a，+∞）恒成立，①当0≤x≤a时，将不等式（*）可化为3a≤x2+5x+2，对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x2+5x+2 在（0，a]为单调递增，只需g（x）min=g（0）=2≥3a，解得0＜a≤；②当a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为9a≥-x2+7x-2，对a＜x≤a+1上恒成立，由题意知h（x）=-x2+7x-2在x∈（a，a+1]上单调递增，则h（x）max=h（a+1）=-（a+1）2+7（a+1）-2≤9a，化简得a2+4a-4≥0，∴a≤-2-2或a≥-2+2；又0＜a≤1，所以-2+2≤a≤1；③当x＞a+1时，不等式（*）可化为3a≥-x2+x+4，则t（x）=-x2+x+4 在（a+1，+∞）为单调递减，则t（x）max=t（a+1）=-a2-a+4≤3a，解得a≤-2-2或a≥-2+2，又0＜a≤1，所以-2+2≤a≤1；综上知，实数a的取值范围是（0，]∪[-2+2，1]．【解析】（Ⅰ）根据偶函数的定义，化简整理，即可求得a的值；（Ⅱ）由分段函数的图象与性质，画出函数的图象，写出函数的单调区间；（Ⅲ）由题意可得，x∈[a，+∞）时，不等式恒成立，再分①当0≤x≤a时、②当x≥a+1、③当a＜x＜a+1时三种情况，分别求得a的取值范围，取交集即为所求．本题主要考查了分段函数的单调区间和二次函数性质的应用问题，体现了分类讨论和转化思想，属中档题．。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学西溪校区高一(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
2
2
则
f
(x)
( 1)|x|
1
( 1 ) x 2
1,
x 0
，则
f
(x)
在 [0
， )
上为减函数，
2
2x 1, x 0
又由 a f (log0.5 3) f (log2 3) ， b f (log2.5 3) ， c f (2m) f (0) ，且 0 log2.5 3 log2 3 ，
1) 2
，(a
0
且a
1)
的图象可能是 (
)
A．
B．
C．
D．
5．若函数 f (x2 1) 的定义域为[1 ，1] ，则 f (lgx) 的定义域为 ( )
A． [1 ，1]
B．[1， 2]
C．[10 ，100]
D．[0 ， lg2]
6．已知函数 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，且 2x1 f (x) g(x) ，则 g （1） (
20．已知函数
f
(x)
loga (1
x
2
)(a 1
0且a
1)
．
（Ⅰ）判断函数 f (x) 的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）当 0 a 1 时，判断函数 f (x) 在 (1, ) 上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（Ⅲ）是否存在实数 a ，使得当 f (x) 的定义域为 [m ，n] 时，值域为 [1 loga n ，1 loga m] ？
而函数 f (x) lnx4 的定义域为非零实数集， g(x) 4ln x 的定义域为正实数集合，故它们不
是同一个函数；
2024-2025学年第一学期杭州学军中学新高一分班考 数学卷(含答案)
学军中学新高一分班考数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分。
1. 下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧。
其中真命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在2014年的体育中年高考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（）A. 28，28，1B. 28，27.5，3C. 28，28，3D. 28，27.5，13. 已知方程组{3x−2y=3a−42x−3y=2a−1的解满足x＞y，则a的取值范围是（）A. a＞1B. a＜1C. a＞5D. a＜54. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使BD=2DC，连接AC，tanB=53，则tan∠CAD的值是（）A. 33B. 35C. 13D. 155. 如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，四边形DEFG、GHIJ均为正方形，点E在AC上，点I在BC上，J为边DG的中点，则GH的长为（）A. 1921B. 1 C. 6077D. 1802596. 如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且BP⊥PQ，BP=PQ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（）A. 线段B. 圆弧C. 抛物线的一部分D. 不同于以上的不规则曲线7. 如图，以点M（-5，0）为圆心，4为半径的圆与x轴交于A,B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于点C，D，以CD为直径的☉N与x轴交于点E，F则EF的长为（）A. 42B. 43C. 6D. 随P点位置而变化8. 已知二次函数图象的对称轴为x=1，且过点A（3，0）与B（0，1.5），则下列说法中正确的是（）①当0≤x≤22+1时，函数有最大值2；②当0≤x≤22+1时，函数有最小值-2；③P是第一象限内抛物线上的一个动点，则△PAB面积的最大值为32；④对于非零实数m，当x>1+1m 时，y都随着x 的增大而减小。
浙江省杭州学军中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
浙江省杭州学军中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合U =R ，集合{}{}02,31A x x B x x =≤≤=-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．()3,0-B ．()1,0-C ．0,1D ．2,32．命题“0x ∃<，使得22x x +>”的否定为（）A ．0x ∀<，22x x +>B ．0x ∃≥，使得22x x +>C ．0x ∀<，22x x +≤D ．0x ∃≥，使得22xx +≤3．函数()221xf x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．如图，把直截面半径为25cm 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x （单位：cm ），面积为y （单位：2cm ），则把y 表示为x 的函数的解析式为（）A ．y x =B ．y x =，050x <<C ．y x =D ．y x =050x <<5．函数()r f p =的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是A ．][)5,0,2,6-⎡⎣和[][]5,02,6-⋃B ．[][)5,02,6-⋃和][5,0,2,6-⎡⎤⎣⎦C ．][)5,0,2,6-⎡⎣和()()5,02,6- D ．[][)5,02,6-⋃和()()5,0,2,6-6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄．．．．．．．．．．，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为)3log lg20.28,lg30.48≈≈，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片．．．．．．．．．的同学分别为（）A ．丙同学和甲同学B ．乙同学和甲同学C ．甲同学和丙同学D ．乙同学和丙同学7．函数23()212,3x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为（）A ．(],8-∞B ．(],6-∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．已知函数()f x 在定义域()0,∞+上单调，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()()ln 1e f f x x -=+，则方程()210xf x x --=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．R,0x x x ∀∈+≥B ．“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件C ．“0ab =”是“220a b +=”的充要条件D ．“a b >”是“110a b<<”的必要不充分条件10．已知()221x x af x +=-是奇函数，则（）A ．1a =B ．()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增C ．()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞D ．()3xf f>的解集为1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 11．已知函数()f x 是定义在R 上的函数.对任意,R a b ∈，总有()()()f a b f a f b +=+，()213f -=，且0x <时，()0f x >恒成立.则（）A ．()423f =-B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在()0,∞+上单调递减D ．122023202320243339f f f ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（注：()1122n n n +++⋅⋅⋅+=）三、填空题12．集合{}{}0,0,1,2,3,A B A C B ==⊆⊆，则符合条件的集合C 的个数为．13．已知a ，0b >且3ab a b =++，则a b +的取值范围为.14．已知函数()12423x x f x m m +=-⋅+-，若()f x 的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数m 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{|15},{|10}A x x B x ax =≤≤=-≥．(1)若12a =，求()R A B ð；(2)从①A B A = ；②()R R B A ⋃=ð；③()R A B ⋂=∅ð这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答．问题：若_________，求实数a 的取值范围．16．设,,R,0,1a b c a b c abc ∈++==．注：2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b c ≥≥，求a 的最小值．17．环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．绵阳某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为()()[]25log 121,0,24f x x a a x =+-++∈其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？18．已知函数()()222,21f x x ax a g x x =-+-=-，函数()()(){}min ,F x f x g x =，其中{},min ,,p p qp q q p q≤⎧=⎨≥⎩．(1)是否存在,a b ，使得曲线()()y f x g x =⋅关于直线x b =对称？若存在求,a b 的值；(2)若6a ≥，①求使得()()F x f x =成立的x 的取值范围；②求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．19．对于正整数n ，如果()*N k k ∈个整数12,,k a a a 满足121k a a a n ≤≤≤≤≤ ，且12k a a a n +++= ，则称数组()12,,k a a a 为n 的一个“正整数分拆”.记12,,k a a a 均为偶数的“正整数分拆”个数为12,,,n k f a a a 均为奇数的“正整数分拆”个数为n g .(1)写出整数4的所有“正整数分拆”；(2)对于给定的整数()4n n ≥，设()12,,k a a a 是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值；(3)对所有的正整数n ，证明：n n f g ≤；并求出使得等号成立的n 的值.。
2020-2021学年杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学复习卷 (解析版)
2020-2021学年杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学复习卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 集合U ={0,1，2，3，4，5}，A ={1,2}，B ={x ∈N|x 2−3x ≤0}，则∁U (A ∪B)=( )A. {0,1,2，3}B. {0,4,5}C. {1,2,4}D. {4,5} 2. 已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin 2α+sinαcosα+1等于( ) A. 115 B. 25 C. 85 D. 75 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数是( )A. y =sinxB. y =x 3−xC. y =2xD. y =x 34. 函数f(x)=2x −8的零点是( )A. 3B. (3,0)C. 4D. (4,0)5. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. −14 B. 14 C. −13 D. 13 6. 已知函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，若f[f(a)]≥−2，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1] B. (−∞,√2] C. [−1,+∞) D. [−√2,+∞)7. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120∘，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 37B. 13C. 6D. 127 8. sin 296π等于( ) A. −√32 B. −12C. 12D. √32 9. 函数f(x)=sin(2x −π4)在区间[0,π2]上的最小值是( )A. −1B. −√22C. √22D. 0 10. 若a ，b 分别为函数y =13sinx −1的最大值和最小值，则a +b 等于( )A. 23B. −23C. −43D. −2二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.若f(x)为幂函数，且满足f(8)f(2)=2，则f(3)=______．12.已知扇形的面积为2π3平方厘米，弧长为2π3厘米，则扇形的半径r为______厘米．13.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,2)，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为______．14.已知角α的终边经过点(−2,1)，则tan(π−α)的值为______．15.已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=−f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)=log2(x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(−1,1)．其中正确的命题序号有______．16.已知函数f(x)=|x2−2x|+|2x2−3x|−ax.若对任意的x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为_____．17.已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R.若函数f(x)在[1,2]上的最小值为3，则实数k的取值范围是_____．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18.已知|a⃗|=√10，|b⃗ |=√5，a⃗·b⃗ =−5，c⃗=x a⃗+(1−x)b⃗ ．(1)当b⃗ ⊥c⃗时，求实数x的值；(2)当|c⃗|取最小值时，求向量a⃗与c⃗的夹角的余弦值．19.已知函数f(x)满足f(x)+3f(−x)=4ax2−8ax+8(a≠0)．(1)求f(x)的解析式；(2)若t>−3，求f(x)在[−3,t]上的最大值．20.已知函数f(x)=√3sin(2ωx+π3)(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2．(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(−π3,0)，求当m取得最小值时，g(x)在[−π6,7π12]上的单调递增区间．21.若函数f(x)和g(x)满足：①在区间[a,b]上均有定义；②函数y=f(x)−g(x)在区间[a,b]上至少有一个零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上具有关系G．(1)若f(x)=lnx，g(x)=2−x，判断f(x)和g(x)在[1,3]上是否具有关系G，并说明理由；(2)若f(x)=2|x−2|和g(x)=mx2−1在[1,4]上具有关系G，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．求出集合B的等价条件，结合补集并集的定义进行计算即可．解：B={x∈N|0≤x≤3}={0,1，2，3}，则A∪B={0,1，2，3}，则C U(A∪B)={4,5}，故选D．2.答案：D解析：解：∵sinα+3cosα2cosα−sinα=2，∴tanα=13，∴sin2α+sinαcosα+1=sin2α+sinαcosα22+1=tan2α+tanαtan2α+1+1=75，故选：D．由已知求得tanα，结合平方关系把sin2α+sinαcosα+1化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.答案：D解析：解：对于A.是正弦函数，为奇函数，在(2kπ−π2,2kπ+π2)，k∈Z，为增函数，故A错；对于B.函数满足f(−x)=−x3+x=−f(x)，则为奇函数，f′(x)=3x2−1>0，解得，x>√33或x<−√33则为增，故B错；对于C.是指数函数，不为奇函数，故C错；对于D.f(−x)=−f(x)，则为奇函数，且y′=3x2≥0，则为增函数，故D对．故选D ．运用奇偶性和单调性的定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可判断在定义域内既是奇函数，又是增函数的函数．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，属于基础题．4.答案：A解析：解：函数f(x)=2x −8的零点，就是2x −8=0的解，解得x =3．故选：A ．利用函数的零点与方程根的关系，求解方程的根即可．本题考查零点判定定理的应用，方程根的求法，考查计算能力．5.答案：A解析：本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 通过利用向量加减运算的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出．解：∵∵点E 为线段AD 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−14，故选A ．6.答案：D解析：画出函数f(x)的图象，由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2，数形结合求得实数a 的取值范围． 本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．解：∵函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，它的图象如图所示：。
浙江省杭州市学军中学(西溪校区)2020-2021学年高一上学期期中数学试题
浙江省杭州市学军中学（西溪校区）2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0},{|11}A x x B x x =<=-≤<，则()RA B =（ ）A ．[1,1)-B ．[0,1]C ．[0,1)D ．[1,1]-2．下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（ ） A．()()f x g x == B ．0()1,()f x g x x ==C ．,0(),(),0x x f x x g x x x >⎧==⎨-≤⎩D．()()f x g x ==3．“1x >”是“01xx ≥+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[0,1]B ．()D x 是偶函数C ．()(3.14)D D π> D ．()D x 是单调函数5．函数2()f x x bx c =++对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，则(1),(2),(4)f f f 的大小关系是（ ） A ．(1)(2)(4)f f f << B ．(2)(1)(4)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(4)(1)(2)f f f <<6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，()()0f x f x +-=，且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(2020.5)f =（ ）A ．116-B ．116C ．14D ．127．若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()f x =B ．||()2x f x -=C ．24()4x f x x =+D ．()|1|||f x x x =+-8．已知函数()2f x t =+，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++，则实数t 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,0]-C ．1(,)8-+∞D ．1(,0]8-二、多选题9．（多选题）已知2()f x x ax b =++，函数()y f x =的图象与x 轴的交点个数为m ，函数[()]y f f x =与x 轴的交点个数为M ，则M m -的值可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．（多选题）已知3515a b ==，则a ，b 满足下列关系的是（ ） A ．4ab > B ．4a b +>C ．224a b +<D ．22(1)(1)16a b +++>三、填空题11．已知3227x =，则x =_________. 12．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.13．设非零实数a ，b 满足224a b +=，若函数21ax by x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=_________.14．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t+的最小值是____________.四、双空题15．若指数函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭________；不等式131(21)2xf x -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭的解集是______________.16．若函数22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则函数是_________（奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇又偶函数）；不等式()239f x +≤的解集为____________________.17．函数1()2x xf x +=的定义域是__________________；值域是_________________.五、解答题 18．化简求值：（1）（2）233371log 7log 21log 7log 3--. 19．已知函数()f x =A ，函数2()41,[0,3]g x x x x =-+-∈的值域为B .（Ⅰ）设集合()M A B Z =⋂⋂，其中Z 是整数集，写出集合M 的所有非空子集； （Ⅱ）设集合{|121}C x a x a =-<<+，且BC =∅，求实数a 的取值范围.20．已知1121()(0)2x x a f x a a-+⋅-=>+为奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并解不等式()23010f x x <-≤. 21．荷兰阿斯麦尔公司（ASML ）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV （极紫外光源）具备7nm 工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x （单位：百元）满足如下关系：()213(02)236(25)1x x x x xω⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x 百元，己知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x （单位：百元）. （Ⅰ）求()L x 的函数表达式；（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 22．已知函数2()f x ax bx c =++，当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立.（Ⅰ）若1,0a b c =+=，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）证明：||||||3a b c ++≤，并找出一组{,,}a b c ，使得等号成立.参考答案1．C 【分析】 计算补集得到{|0}RA x x =≥，再计算交集得到答案.【详解】{|0},{|11}A x x B x x =<=-≤<，则{|0}R A x x =≥，()[0,1)R A B =.故选：C. 【点睛】本题考查了交集和补集运算，属于简单题. 2．C 【分析】对选项中的每组函数逐一分析定义域与解析式是否完全相同，进而可得答案. 【详解】A ，(][)))(),11,,()1f x x g x x =∈-∞⋃+∞=≥，定义域不同，不是同一个函数；B ，()()0()10,()f x x R g x x x∈=≠=，定义域不同，不是同一个函数；C ，,0,0(),(),0,0x x x x f x x g x x x x x >>⎧⎧===⎨⎨-≤-≤⎩⎩，解析式定义域都相同，是同一个函数；D ，(),()f x x g x x ====，解析式不相同，不是同一个函数，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的定义以及函数定义域的求解，属于基础题. 3．A 【分析】 解不等式01xx ≥+，根据解集的包含关系得到答案. 【详解】01xx ≥+，则0x ≥或1x <-，()()[)1,,10,+∞-∞-+∞，故“1x >”是“01xx ≥+”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，属于简单题. 4．B 【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，()()011D D ==，故D 错误，得到答案.【详解】根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误； 当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确； ()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；()()011D D ==，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 5．B 【分析】由题意知()f x 关于2x =对称，结合函数解析式即可判断(1),(2),(4)f f f 的大小. 【详解】由对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，知：()f x 关于2x =对称， 由函数2()f x x bx c =++知：图象开口向上，对称轴为22bx =-=，∴()f x 在[2,)+∞上单调递增，而(1)(41)(3)f f f =-=， ∴(2)(1)(4)f f f <<. 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性，结合二次函数的性质比较函数值的大小，属于基础题. 6．D 【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4，利用函数的周期，结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知：()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数， ∵()(2)f x f x =-，有(2)()()f x f x f x +=-=-， ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期为4的函数，在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===， 故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值，属于基础题. 7．B 【分析】根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项. 【详解】A 选项：22023(1)44x x x ≤-++=--+≤，所以0()2f x ≤≤，值域跨度为2；B 选项：||0x -≤，所以0()1f x <≤，值域跨度不为2；C 选项：当0x =时()0f x =；当0x >时，244()144x f x x x x ==≤=++；当0x <时，244()144()()x f x x x x ==-≥=-+-+-；故1()1f x -≤≤，值域跨度为2； D 选项：1,0()21,101,1x f x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-<-⎩，故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；故选：B 【点睛】本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题. 8．D 【分析】21t x =+，令0k =≥有220k k t --=且t 的取值范围.【详解】由题意知：()f x 的定义域为[1,)-+∞且单调递增，∴函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++21t x =+，∴令0k =，即220k k t --=为方程的两个根，∴18020t t ∆=+>⎧⎪=-≥，解得108t -<≤∴综上有：1(,0]8t ∈-， 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数范围，根据函数单调性，结合定义域、值域构造一元二次方程，利用根与系数关系、判别式求参数范围，属于难题. 9．ABC根据二次函数的对称性，讨论0m =、1m =、2m =结合判别式、对称轴、根的情况，判断对应[()]y f f x =的零点可能情况即可求M m -的值. 【详解】由2()f x x ax b =++知：24a b ∆=-且2min()()24a a f x fb =-=-，∴令()t f x =，()y f t =的定义域为2[,)4a b -+∞，对称轴为2a t =-，24a b ∆=-，1、当0m =时，240a b ∆=-<，()y f t =中0M =；2、当1m =时，240a b ∆=-=，1）当242a a b -≤-时()y f t =有一个零点0t ，若204a t b ≠-时2M =；若204a tb =-时1M =；2）当242a ab ->-时()y f t =无零点，0M =；3、当2m =时，240a b ∆=->，1）当242a ab --≤时()y f t =有两个零点，则4M =；2）当2242a a a b +-<-≤时()y f t =有一个零点，则2M =；3）当242a ab ->时()y f t =无零点，0M =； 综上知：M m -的可能值有0, 1, 2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了二次函数的性质，应用了分类讨论、判别式、对称轴、根的分布情况讨论复合函数零点的个数，属于难题. 10．ABD由已知可得33log 151log 5a ==+，55log 151log 3b ==+，有a b ab +=，依据基本不等式即可知4a b +>，进而可知ab 、22a b +、22(1)(1)a b +++的范围.【详解】由题意知：33log 151log 5a ==+，55log 151log 3b ==+， ∴151511log 3log 51a b ab a b+=+=+=，即a b ab +=，∵3312log 524log 5a b +=++>+=， ∴4a b ab +=>，22222()2()2(1)18a b ab ab ab ab a b =+-=-=-->+， 222222()2()2(1)(1)1816a b a b ab a b =++++=++++>>，故选：ABD 【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题. 11．9 【分析】由指数运算性质有223332()27x =即可求x 值. 【详解】由3227x =知：23279x ===，故答案为：9. 【点睛】本题考查了指数运算，应用了()n m nmx x =的运算性质，属于简单题.12．(,1)-∞- 【分析】由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围． 【详解】 函数4()f x x x=-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立，当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意；当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得1a >或1a <-，即有1a <-成立． 则a 的取值范围是(,1)-∞-． 故答案为：(,1)-∞-． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题． 13．2 【分析】化简得到20yx ax y b -+-=，根据0∆≥和224a b +=得到2222b b y -+≤≤，解得答案. 【详解】21ax b y x +=+，则20yx ax y b -+-=，则()240a y y b ∆=--≥， 即22440y yb a --≤，224a b +=，故224440y yb b -+-≤，()()22220y b y b -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即2222b b y -+≤≤，即22,22b b m M -+==， 2M m -=.故答案为：2. 【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键.14．716【分析】 变换得到22816132s ts s s t s s t+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=，222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-++， 当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163t =时等号成立. 故答案为：716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.15 [)0,+∞ 【分析】先求出函数的解析式，从而可得12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解. 【详解】设()xy f x a ==，()0,1a a >≠因为()y f x =的图象经过点(2,4)， 所以24a =，所以2a =，则()2x f x =，12122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭131(21)2xf x -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭等价于213122x x --≤，即21310x x x -≤-⇒≥，[)0,+∞.【点睛】本题主要考查指数函数的解析式，考查指数函数单调性的应用，属于基础题. 16．奇函数 []3,0- 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断奇偶性即可得()()f x f x -=-，进而得函数为奇函数，再结合当0x ≥时，()2f x x =为增函数，()39f =解不等式即可得答案.【详解】解：当0x >时，()()()22f x x x f x -=--=-=-， 当0x <时，()()()()222f x x x xf x -=-==--=-，当0x =时，()0f x =，所以对于定义域R 内的任意实数x ，均有()()f x f x -=-，故函数为奇函数. 因为当0x ≥时，()2f x x =为增函数，所以函数()f x 在R 上单调递增， 由于()39f =，()239fx +≤，所以233x +≤，解不等式得： 30x -≤≤. 所以不等式()239fx +≤的解集为[]3,0-.故答案为：奇函数；[]3,0- 【点睛】本题考查分段函数奇偶性的判断，利用奇偶性与单调性解不等式，考查运算能力，是中档题. 17．(,0)(0,)-∞+∞； (0,2)(2,)⋃+∞；【分析】 要使分式1x x +有意义即0x ≠即可得定义域，令111t x=+≠，结合指数函数的值域求法即可求值域. 【详解】由题意知：指数1x x+中有0x ≠， ∴(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，令111t x=+≠，则()()2t f x g t ==有()(0,2)(2,)g t ∈⋃+∞， 故答案为：(,0)(0,)-∞+∞，(0,2)(2,)⋃+∞；【点睛】本题考查了求指数型复合函数的定义域、值域，属于简单题. 18．（1）6；（2）0 【分析】（1）将根式化为实数幂再计算即可得答案； （2）根据换底公式与对数运算法则计算即可得答案. 【详解】解：（1）()111326323122⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()112511112333636262332232323236-=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=.（2）()22333333371log 7log 21log 7log 7log 71log 7log 70log 3--=+--= 【点睛】本题考查指数运算与对数运算，考查运算能力，是基础题.19．（Ⅰ）{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1；（Ⅱ）(][),14,-∞-+∞【分析】（Ⅰ）计算得到(]3,log 8A =-∞，[]1,3B =-，再计算交集得到{}1,0,1M =-，得到答案. （Ⅱ）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，得到121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得答案.【详解】（Ⅰ）函数()f x =830x -≥，即3log 8x ≤，即(]3,log 8A =-∞，()22()4123,[0,3]g x x x x x =-+-=--+∈，[]1,3y ∈-，即[]1,3B =-，[]{}31,log (1,0,8)1M A B Z Z =⋂⋂=--⋂=.故集合M 的所有非空子集为{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1. （Ⅱ）{|121}C x a x a =-<<+，BC =∅，当C =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-；当C ≠∅时，121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得(][)2,14,a ∈--+∞.综上所述：(][),14,a ∈-∞-+∞.【点睛】本题考查了函数的定义域，值域，子集，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集是容易发生的错误. 20．（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）[)(]1,01,2-.【分析】（Ⅰ）根据(0)0f =得到2a =，验证得到答案. （Ⅱ）11()221x f x =-+，根据复合函数单调性知函数单调递增，化简得到()()()202f f x x f <-≤，解不等式得到答案.【详解】（Ⅰ）1121()(0)2x x a f x a a-+⋅-=>+为奇函数，则12(0)02af a-==+，故2a =， 此时121()22x x f x +-=+，()12112()22222x xx xf x f x --+---===-++⋅，满足函数为奇函数. （Ⅱ）12111()22221x x xf x +-==-++，易知21xy =+单调递增， 根据复合函数单调性知函数()f x 单调递增，()00f =，()3210f =，()23010f x x <-≤，即()()()202f f x x f <-≤，故202x x <-≤，解得[)(]1,01,2x ∈-.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，利用函数的单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.21．（1）28483(02)()48963(25)1x x x L x x x x ⎧+-⎪=⎨--<⎪+⎩；（2）300元，7500元. 【分析】（1）由题意可得()16()2L x x x x ω=--，把()x ω代入整理得答案； （2）分段求出函数的最大值，取最大值中的最大者得答案． 【详解】（1）28483(02)()16()248963(25)1x x x L x x x x x x x ω⎧+-⎪=--=⎨--<⎪+⎩； （2）当02x 时，2()8348L x x x =-+，对称轴方程为316x =， ()max L x L ∴=（2）74=；当25x <时，48()99[3(1)]992751L x x x x =-++-+． 当且仅当483(1)1x x =++时，即3x=时等号成立． 因为7574>，所以，当投入的生产成本为300元时，这条生产线获得的最大利润是7500元. 【点睛】本题考查分段函数函数模型的应用以及利用基本不等式求最值，考查了建模能力与运算求解能力，是基础题．22．（1）b ≤≤-+02（2）证明见解析，1,1}1{,--- 【分析】（1）由条件当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立，取1x =-，求出01b ≤≤，从而确定二次函数的对称轴位置，利用单调性，判断函数的最值，根据|()|1f x ≤，可知min max ()1()1f x f x ≥-⎧⎨≤⎩，进而求得实数b 的取值范围（2）特殊赋值，求出|()|||f c =≤01，|()|||f a b c =++≤11，|()|||f a b c -=-+≤11，利用绝对值不等式||||||||||a b a b a b -≤±≤+求得||1b ≤，再通过上式分类讨论,b c 符号，从而求得||1a ≤，进而证得||||||3a b c ++≤. 【详解】（1）由1,0a b c =+=，得2222()()24b bf x ax bx c x bx b x b =++=-+-=+-由条件当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立，取1x =-，|()|f b b b -=--=-≤11121，得01b ≤≤， 故()f x 的对称轴1,022b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当||1x ≤时，2min max ()()124()(1)1b bf x f b f x f ⎧=-=--≥-⎪⎨⎪==⎩，解得b --≤≤-+22 综上，实数b的取值范围是：b ≤≤-+02（2）证明：当0x =时，|()|||f c =≤01，当1x =时，|()|||f a b c =++≤11，当1x =-时，|()|||f a b c -=-+≤11， 由绝对值不等式性质可得：|()|||||a b c a b c a b c a b c ++--+=+++-+≤+11 化简得||b ≤22，即||1b ≤由|||a b c ++≤1，当,b c 同号时，有-13a ≤≤ 由||a b c -+≤1，当,b c 异号时，有-31a ≤≤ 综合可得，||1a ≤所以||||||3a b c ++≤，当,,1,1,1{}{}a b c =---时，等号成立. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，考查学生的综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力，属于难题．。
2020学年高一数学上期中考试试卷(上交)
20.已知
f
x
a 2x1 1
2x1 a
a
0 为奇函数.
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）判断函数 f (x) 的单调性，并解不等式 0 f x2 x 3 . 10
21. 荷兰阿斯麦尔公司（ASML）是全球高端光刻机霸主，最新的 EUV(极紫外光源)具备 7nm
工艺。芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件。如果某工厂一条手机
（
）
B． f 2 f 1 f 4
C． f 4 f 2 f 1
D． f 4 f 1 f 2
6.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (2 x), f (x) f (x) 0 ，且在[0，1]上有
f (x) ( 1 )x ，则 f (2020.5) 4
A． 1 16
答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 18．化简求值：
（Ⅰ） 2 3 3 1.5 6 12
解：=6
（Ⅱ）
log3
7
log3
21
log
2 3
7
1 log7
3
解：=0
8分
8
19．已知函数 f (x) 8 3x 的定义域为 A，函数 g(x) x2 4x 1, x [0,3] 的值域为
（Ⅰ）求 L(x) 的函数表达式；
（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 已知函数 f (x) ax2 bx c ，当 x 1 时， f (x) 1 恒成立. （Ⅰ）若 a 1, b c 0 ，求实数 b 的取值范围； （Ⅱ）证明： a b c 3 ，并找出一组{a, b, c} ，使得等号成立.
浙江省2020版高一上学期数学第一次质量检测试卷D卷
浙江省 2020 版高一上学期数学第一次质量检测试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·长春模拟) 已知集合 A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则 A∩（∁RB）=（ ）A . {x|x≥4}B . {x|x＞4}C . {x|x≥﹣2}D . {x|x＜﹣2 或 x≥4}2. （2 分） (2019 高一上·高台期中) 函数 A . （–1，+∞） B . （–1，0） C . （0，+∞） D . （–1，0）∪（0，+∞）的定义域为（ ）3. （2 分） (2019 高二下·哈尔滨期末) 已知函数 A. B. C.，则的值是（ ）D. 4. （2 分） (2016 高一上·吉林期中) 指数函数 f（x）=ax（a＞0 且 a≠1）在 R 上是增函数，则 a 的取值范 围是（ ）A . a＞1第 1 页 共 11 页B . a＞2 C . 0＜a＜1 D . 1＜a＜2 5. （2 分） (2018 高一上·武汉月考) 已知奇函数定义在上，且对任意都有 A.成立，若成立，则 的取值范围为（ ）B.C.D.6. （2 分） 函数 值范围是（ ）A.，当时，恒成立，则实数 m 的取B. C. D.7. （ 2 分 ） 已 知 函 数表示中的较大值,值,记的最小值为的最大值为 ,则（）A. B.表示设 中的较小第 2 页 共 11 页C. D.8. （2 分） 若 O 和 F 分别为椭圆 （）A.2 B.3 C.6 D.8的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意点，则9. （2 分） (2018 高二下·齐齐哈尔月考)图象可能是（ ）的最大值是A.B. C.D.10. （2 分） (2016 高一上·天水期中) 若函数 f（x）=a﹣x（a＞0，a≠1）是定义域为 R 的增函数，则函数f（x）=loga（x+1）的图象大致是（ ）第 3 页 共 11 页A. B. C.D. 11. （2 分） 已知函数 f（x）=， 则 y=f（2﹣x）的大致图象是（ ）A.B.第 4 页 共 11 页C.D.12. （2 分） (2018 高一上·雅安期末) 已知定义在 上的函数在是奇函数，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)上是减函数，若13. （1 分） (2019 高一上·南康月考) 已知，则的值为________．14. （1 分） (2016 高一上·黑龙江期中) 设函数 f（x）= 是________．，若 f（x0）＞1，则 x0 的取值范围15. （1 分） (2018·南宁模拟) 已知函数 为________.若，则实数 的取值范围16. （1 分） 对于具有相同定义域 D 的函数 f（x）和 g（x），若存在函数 h（x）=kx+b（k，b 为常数），对任给的正数 m，存在相应的 x0∈D，使得当 x∈D 且 x＞x0 时，总有第 5 页 共 11 页，则称直线 l：y=kx+b 为曲线y=f（x）和 y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为 D={x|x＞1}的四组函数如下： ①f（x）=x2 ， g（x）= ；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线 y=f（x）和 y=g（x）存在“分渐近线”的是________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） (2019 高一上·葫芦岛月考) 设集合.（1） 求；（2） 用列举法表示集合 ，并求.18. （10 分） (2017·漳州模拟) 漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州” 之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻 250 粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚 1.2 元，如果雕刻师当天超额完成 任务，则超出的部分每粒赚 1.7 元；如果当天未能按量完成任务，则按实际完成的雕刻量领取当天工资．（I）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量 n（单位：粒，n∈N）的函数解析式 f（n）；（Ⅱ）该雕刻师记录了过去 10 天每天的雕刻量 n（单位：粒），整理得如表：雕刻量 n210230250270300频数12331以 10 天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．（ⅰ）求该雕刻师这 10 天的平均收入；（ⅱ）求该雕刻师当天收入不低于 300 元的概率．19. （10 分） (2016 高一上·灌云期中) 已知 a+a﹣1= （a＞1）第 6 页 共 11 页（1） 求下列各式的值： （Ⅰ）a +a ；（Ⅱ）a +a ；（2） 已知 2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，求 loga 的值．20. （10 分） (2018 高一上·中原期中) 已知函数.（1） 若的定义域和值域均是，求实数 的值；（2） 若 围；在区间上是减函数，且对任意的，都有，求实数 的取值范（3） 若 的取值范围.，且对任意的，都存在，使得成立，求实数21. （15 分） (2019 高一上·郑州期中) 已知函数.（Ⅰ）若，求 的值；（Ⅱ）若对于恒成立，求实数 的取值范围.22. （10 分） (2019 高三上·安康月考) 已知函数.（1） 求函数的图象在点处的切线方程；（2） 若在上有解，求 的取值范围；（3） 设是函数的导函数，是函数恰好就是该函数的对称中心.试求的导函数，若函数的零点为 ，则点 的值.第 7 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、17-2、18-1、第 9 页 共 11 页19-1、 19-2、 20-1、20-2、 20-3、第 10 页 共 11 页21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。