湖北文科数学高考试题及答案

D．[
3 ,
33
3
]

3
,则椭圆和双
14.
设 f x是定义在 0,上的函数，且 f x 0 ，对任意 a 0,b 0 ，若经过点
a, f a, b, f b的直线与 x 轴的交点为 c,0，则称 c 为 a,b 关于函数 f x的平均数，记为
A．[ 1 , 1 ] 66
B．[
6 ,
66
6
]
C．[ 1 , 1 ] 33
2、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（1）必考题（11—14 题）

11. 设向量 a (3,3) ， b (1, 1) ，若 a b a b，则实数 ________.
的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ，输出的结果 b ________.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A.
43
3
B.
23
3
C.3 D.2
355
D.
113
P
是他们的一个公共点，且 F1PF2
10. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f (x) 1 ( x a 2 x 2a 2 3a 2 ) .若 2
x R ,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
12. 直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x+b将单位圆 C : x2 y2 1 分成长度相等的四段弧，则 a2 b2 ________.
13. 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个
数字按从小到大排成的三位数记为 I a，按从大到小排成的三位数记为 D a（例如 a 815 ，则 I a 158 ， D a 851 ）.阅读如图所示
C. 1
x3
）
数学（理科）ຫໍສະໝຸດ 2D.4D. i
3. 设U 为全集， A, B 是集合，则“存在集合 C 使得 A C, B CU C 是“ A B ”的（
）
A. 充分而不必要条件
C. 充要条件
4. 根据如下样本数据
x
y
得到的回归方程为 yˆ bx a ，则（）
3
4.0
B. 必要而不充分条件
6
0.5
7
2.0
8
3.0
为（）
A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②
若函数 f (x), g(x)满足
6.
7.
给出三组函数：
1 1
f
(
x)
g
(
x)dx

0,
① f (x) sin 1 x, g(x) cos 1 x ；② f (x) x 1, g(x) x 1；③ f (x) x, g(x) x2
M
f
(a, b)
算术平均数.
，例如，当
f
x 1(x

（1）当 f x _____(x 0) 时， M f (a,b) 为 a,b 的几何平均数；
（2）当当
f
x
_____( x
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
（2）选考题
15.（选修 4-1：几何证明选讲）

如图， P 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A, B ，过 PA 的中点 Q 作割线交⊙ O 于 C, D 两点，若 QC 1,CD 3, 则 PB _____
2
其中为区间[1,1] 的正交函数的组数是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
由不等式
x 0

y
y

0 x
2

0
2
确定的平面区域记为
2 ，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为（）
A.
1
8
B.
1
4
C.
3
4
D.
7
8
8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。该术相当
1
(
x),
，不等式
g
( x)为区间 1,1上的一组正交函数，
x x

y y

1 2
，确定的平面区域记为
积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式 v 2 L2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为 75
9.
A.
已知
22
7
F1,
F2
B.
25
8
157
C.
50
是椭圆和双曲线的公共焦点，
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.
1.
i
为虚数单位，则
A. 1
B. 1
1 (
1 i
i
)2

（
C. i
2. 若二项式 (2x a )7 的展开式中 1 的系数是 84，则实数 a （）
A.2
x
B. 5 4
16.（选修 4-4：坐标系与参数方程）
0) 时，
0)
时，可得
M
f
(a, b)

合集下载

2021年一般高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，含答案）(1)

当时， .
令，即，
解得或（舍去），
现在存在正整数n，使得成立，n的最小值为41.
综上，当时，不存在知足题意的n；
当时，存在知足题意的n，其最小值为41.
20．证明：
（Ⅰ）连接AD1，由是正方体，知AD1∥BC1，
因为，别离是，的中点，因此FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而平面，且平面，
某实验室一天的温度（单位：℃）随时刻t（单位：h）的转变近似知足函数关系：
， .
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.
19．（本小题总分值12分）
已知等差数列知足：，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，是不是存在正整数n，使得？假设存在，求的最小值；假设不存在，说明理由.
A．2B．4C．7D．8
5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则
A． B．
C． D．
6．依照如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
取得的回归方程为，那么
A．， B．，
C．， D．，
7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的极点坐标别离是（0，0，2），
于是在上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
19．（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有，
化简得，解得或 .
当时，；
当时，，

湖北卷文科数学试题与解答(全解析).doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题及参考答案（湖北文1）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =I ð A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}【湖北文1解答】B U B A =I ð}.4,3{}5,4,3{}4,3,2{=I （湖北文2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【湖北文2解答】D 在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有1cos sin 222=+=θθc ，即焦距相等. 甲（湖北文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q【湖北文3解答】A 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ .（湖北文4）四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且$2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且$3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且$5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且$ 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④【湖北文4解答】D 在○1中，y 与x 不是负相关；○1一定不正确；同理○4也一定不正确.（湖北文5）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【湖北文5解答】C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B. 故选C.（湖北文6）将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【湖北文6解答】B因为sin ()y x x x =+∈R 可化为)6cos(2π-=x y （x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称. （湖北文7）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 方向上的投影为ABC． D．【湖北文7解答】A =（2,1），CD =（5,5），则向量在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ. （湖北文8）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【湖北文8解答】D 函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有)(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.（湖北文9）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元【湖北文9解答】C 根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>>≤-≤+,9006036,0,0,7,21y x y x x y y x 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6），目标函数（租金）为y x k 24001600+=，如图所示. 将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为： 3680012240051600=⨯+⨯=k （元）.（湖北文10）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【湖北文10解答】B ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得0)('=x f 有两个不等的实数解，即12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点. 过点（0，－1）作x y ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则01000=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.，知直线12-=ax y 位于两直线0=y 和1-=x y 之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜21. 二、填空题：（湖北文11） i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .【湖北文11解答】23i -+ 复数123i z =-在复平面内的对应点Z 1（2，－3），它关于原点的对称点Z 2为（－2,3），所对应的复数为322+-=z i.（湖北文12）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为 . 【湖北文12解答】（Ⅰ）7 ()747109459787101=+++++++++；（Ⅱ）2 []222222)74(2)75()77(3)78()79(2)710(101-+-+-+-+-+-=s =21040=. （湖北文13）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .【湖北文13解答】4 初始值m =2，A =1，B=1,i =0，第一次执行程序，得 i=1，A=2，B=1，因为A <B 不成立，则第二次执行程序，得i=2，A =2×2=4，B =1×2=2，还是A <B 不成立，第三次执行程序，得 i=3，A=4×2=8，B=2×3=6，仍是A<B 不成立，第四次执行程序，得i =4，A =8×2=16，B =×4=24，有A <B 成立，输出i=4.（湖北文14）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 【湖北文14解答】4 这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 的距离为1sin cos 122=+θθ，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示.（湖北文15）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = .【湖北文15解答】3 因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[－m ，m ] ，其区间长度为2m. 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间 [2,4]-分为[－2，m]和[m ，4] ，且两区间的长度比为5:1，所以m =3.（湖北文16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【湖北文16解答】3 如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()ππ19631061069322⨯=⨯++⨯=V （立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为=⨯）（寸寸23196)(19633（寸）. 否A A m =⨯ 1i i =+ 输入m1, 1, 0A B i ===开始结束是 ?A B <输出i第13题图B B i =⨯（湖北文17）在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =. （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =，则S = （用数值作答）.【湖北文17解答】（Ⅰ）3, 1, 6 S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6；（Ⅱ）79 根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 14=+c b ， ○1由（Ⅰ）有36=++c b a ， ○2再由格点△DEF 中，S=2，N=0，L=6，得26=+c b ， ○3 联立○1○2○3，解得.1,1,21=-==a cb 所以当71N =，18L =时， S =791182171=-⨯+. （湖北文18）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值.【湖北文18解得】（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由1133sin 53,22S bc A bc bc ==⋅==得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故21a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.（湖北文19）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．【湖北文19解答】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----.若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->，上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N . （湖北文20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.【湖北文20解得】（Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B I 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形. （Ⅱ）V V <估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥.第20题图由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高，因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估. （湖北文21）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤；（ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.【湖北文21解答】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++. 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增；当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>.故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+, 即2(1)()[b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时，()()b f f x f a a ===.这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤x 的取值范围为,b a ⎡⎢⎣；当a b <时，1ba>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式， bx a ≤，即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦. （湖北文22）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．【湖北文22解答】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.第22题图（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。

2021年湖北省高考文科数学试卷及答案(word版)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕本试题卷共5页，22题。

全卷总分值150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★考前须知：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，那么UA =A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i -=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠〞的否认是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．假设变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩那么2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，那么 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p <<D ．312p p p <<6．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.50.5-0.52.0-3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+，那么 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如下图的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0，0，2〕，〔2，2，0〕，〔1，2，1〕，〔2，2，2〕. 给出编号为①、②、③、④的四个图，那么该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，那么过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 那么函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为 A. {1,3} B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-10．?算数书?竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 假设样本中有50件产品由甲设备生产，那么乙设备生产的产品总数为件.12．假设向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，那么||AB = .13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . π6A =，a =1，b =，那么B = . 14．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假设输入n 的值为9，那么输出S 的值为 .第14题图15．如下图，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．假设x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，那么正实数a 的取值范围为．16．某项研究说明：在考虑行车平安的情况下，某路段车流量F 〔单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时〕与车流速度v 〔假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒〕、平均车长l 〔单位：米〕的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.〔Ⅰ〕如果不限定车型， 6.05l =，那么最大车流量为辆/小时；〔Ⅱ〕如果限定车型，5l =, 那么最大车流量比〔Ⅰ〕中的最大车流量增加辆/小时. 17．圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，假设定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，那么〔Ⅰ〕b =；〔Ⅱ〕λ= .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．〔本小题总分值12分〕某实验室一天的温度〔单位：℃〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. 〔Ⅰ〕求实验室这一天上午8时的温度；〔Ⅱ〕求实验室这一天的最大温差.第15题图19．〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？假设存在，求n 的最小值；假设不存在，说明理由.20．〔本小题总分值13分〕如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：〔Ⅰ〕直线1BC ∥平面EFPQ ；〔Ⅱ〕直线1AC ⊥平面PQMN .21．〔本小题总分值14分〕π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.〔Ⅰ〕求函数ln ()xf x x=的单调区间；〔Ⅱ〕求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．〔本小题总分值14分〕在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C .〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12． 13．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．〔Ⅰ〕1900；〔Ⅱ〕100 17．〔Ⅰ〕12-；〔Ⅱ〕12三、解答题：18．〔Ⅰ〕ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.〔Ⅱ〕因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+，又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．〔Ⅰ〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.〔Ⅱ〕当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20．证明：〔Ⅰ〕连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．〔Ⅱ〕如图，连接AC ，BD ，那么AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥. 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PNMN N =，所以直线1AC ⊥平面PQMN .第20题解答图QBEMN ACD 1C 〔F 1D1A1BP21.〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=．当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．〔Ⅱ〕因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中．由e 3π<<及〔Ⅰ〕的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<．由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>；由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <．综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．22．〔Ⅰ〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩〔Ⅱ〕在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①〔1〕当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，那么由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③〔ⅰ〕假设00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.〔ⅱ〕假设00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.〔ⅲ〕假设00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。

湖北高考试题文数,word解析版

2019 年湖北高考试题（文数，word 剖析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思虑，多理解！数学〔文科〕本试题卷共 4 页，共 22 题。

总分值150 分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★本卷须知1、答卷前，考生务必然自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地址。

用一致供应的2B 铅笔将答题卡上试卷种类框涂黑。

A 后的方2、选择题的作答：每题选出答案后，用一致供应的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

答在试题卷、底稿纸上无效。

3、填空题和解答题的作答：用一致供应的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题地区内。

答在试题卷、底稿纸上无效。

4、考生必定保持答题卡的齐整。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

【一】选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1、会合A{ x | x23x 20, x R}，B { x | 0x5, x N}，那么知足条件AC B的会合C的个数为A、 1B、 2C、 3D、42、容量为20 的样本数据，分组后的频数以下表：分组[10, 20)[20,30)[30,40)[40,50)[50, 60)[60,70)频数234542那么样本数据落在区间[10, 40)的频次为A、 0.35 B 、 0.45C 、 0.55D、 0.653、函数f ( x) x cos2 x 在区间[0,2π] 上的零点的个数为A、 2B、 3C、 4D、 5A、随意一个有理数，它的平方是有理数B、随意一个无理数，它的平方不是有理数C、存在一个有理数，它的平方是有理数D、存在一个无理数，它的平方不是有理数5、过点 P(1,1) 的直线，将圆形地区 {( x, y) | x y4} 分为两部分，使得这两部分的面积之22差最大，那么该直线的方程为A、x y 2 0B、y 10C、x y0D、x 3 y 4 0y6、定义在区间 [0, 2] 上的函数1yf (x) 的图象以以下列图，那么 y f (2 x) 的图象为O 1 2x 17、定义在 (,0) (0,第 6题图{ a n } ，{ f (a n )} 仍) 上的函数 f (x) ，若是对于随意给定的等比数列是等比数列，那么称 f (x) 为“保等比数列函数” . 现有定义在 ( ,0) (0, ) 上的以下函数：① f ( x)x 2；②f ( x) 2x；③f ( x)| x | ；④ f ( x) ln | x |.那么其中是“保等比数列函数”的 f ( x)的序号为A 、①②B 、③④C 、①③D 、②④8、设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ，c . 假定三边的长为连续的三个正整数，且A B C ，3b 20a cosA ，那么sin A:sin B:sin C为A 、4:3: 2B 、5:6:7C 、5: 4:3D 、6:5: 49、设a,b, cR ，那么“ abc 1”是“1 1 1 ”的aba b ccA 、充足条件但不是必要条件B 、必要条件但不是充足条件C 、充足必要条件D 、既不充足也不用要的条件10、如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆 . 在扇形 OAB 内随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A 、 1 1B 、 12 ππC 、2 D 、 21 ππ第10题图【二】填空题：本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分 . 请将答案填在答题卡对应题号的位置上 . 答错地址，书写不清，模棱两可均不得分. 11、一支田径运动队有男运动员 56 人，女运动员 42 人 . 现用分层抽样的方法抽取假定干人，假定抽取的男运动员有 8 人，那么抽取的女运动员有人、12、假定 3bi〔 a ， b 为实数， i 为虚数单位〕，那么 ab.1 a bii13、向量 a(1, 0) ， b (1, 1)，那么〔Ⅰ〕与2a b 同向的单位向量的坐标表示为；〔Ⅱ〕向量 b 3a 与向量 a 夹角的余弦值为 .14、假定变量 x, y 知足拘束条件x y1, 那么目标函数 z 2x3 y 的最小值是 .x y 1,3x y 3,15、某几何体的三视图以以下列图，那么该几何体的体积为 .16、阅读以以下列图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s .17、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 . 他们研究过以以下列图的三角形数：将三角形数 1，3， 6， 10，记为数列 { a } ，将可被5 整除的三角形数按从小到大的 n次序组成一个新数列{ b n } . 能够推断：···〔Ⅰ〕 b是数列 { a } 中的第 ________项；2012n361〔Ⅱ〕 b1表示〕________. 〔用 k2 k 1第 16题图【三】解答题：本大题共 5 小题，共 65 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18、〔本小题总分值 12 分〕设函数的图象对于直线x对f ( x) sin x 2 3sin x cos( x R )x cos x称，其中，为常数，且 1., 1)(2〔Ⅰ〕求函数f (x) 的最小正周期；〔Ⅱ〕假定 y f (x)的图象经过点( π，求函数 f ( x) 的值域 .,0)419、〔本小题总分值 12 分〕某个实心零部件的形状是以以下列图的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A 1 B 1C 1 D 1 ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA 2B 2C 2D 2 .D 2C 2A 2B 2〔Ⅰ〕证明：直线B 1D 1平面ACC 2 A 2 ；〔Ⅱ〕现需要对该零部件表面进行防腐办理.AB 10，AB 20，AA 30 ， AA 13 〔单位：厘米〕，每平方1 121厘米的加工办理费为0.20 元，需加工办理费多少元？D C20、〔本小题总分值 13 分〕A B3，前三项的积为 8 .等差数列 { a }前三项的和为D 1 C 1n〔Ⅰ〕求等差数列{ a n } 的通项公式；A 1B 1〔Ⅱ〕假定 a 2 ， a ， a 成等比数列，求数列{| a |} 的前 n 项和 .第 19题图31n21、〔本小题总分值14 分〕设 A 是单位圆 x 2y 21 上的随意一点， l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线， D 是直线 l 与 x轴的交点，点 M 在直线 l 上，且知足 | DM | m | DA | ( m 0, 且m 1) . 当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C 、〔Ⅰ〕求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；〔Ⅱ〕过原点斜率为k 的直线交曲线 C 于 P ， Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的射影为点N ，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 可否存在 m ，使得对随意的 k 0，都有PQ PH ？假定存在，求 m 的值；假定不存在，请说明原因. 22、〔本小题总分值 14 分〕b ( x 0) ， n 为正整数， a ， b 为常数 . 曲线 y f (x) 在 (1, f (1))设函数f ( x) ax n (1 x)处的切线方程为 x y 1 .〔Ⅰ〕求，的值；a b〔Ⅱ〕求函数f ( x)的最大值；〔Ⅲ〕证明：1 .f ( x)ne2018 年一般高等学校招生全国一致考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕试题参照答案【一】选择题：A 卷： 1、D2、B3、 D4、B5、 A6、 B7、 C8、 D9、 A10、C【二】填空题：11、 612、 313、〔Ⅰ〕3 10 10 ；〔Ⅱ〕 2 5(,)5 101014、 215、 12π16、 917、〔Ⅰ〕 5030；〔Ⅱ〕 5k 5k 12【三】解答题：sinx cosx 2 3 sinx cos x18、解：〔Ⅰ〕因为 f ( x)22cos2x3 sin 2 x2sin(2 xπ.)6由直线 xπ是y f ( x)图象的一条对称轴，可得sin(2 所以，即k 1 、 2 π πk π π(k Z )( k Z )6 22 3又1 ， k Z ，所以 k1，故5 .(, 1)626π.所以 f ( x) 的最小正周期是5〔Ⅱ〕由 yf (x) 的图象过点 π，得π ，( ,0)f ()442.即5 π π 2sinπ ，即2sin(2 )4266故2sin(5 π，函数 f ( x) 的值域为 [ 2 f (x)x)23 6π，π )162,22].19、解：〔Ⅰ〕因为四棱柱 ABCDA 2B 2C 2D 2 的侧面是全等的矩形，所以AA 2AB， AA 2AD .又因为ABAD A，所以AA 2平面 ABCD .连结 BD ，因为 BD 平面 ABCD ，所以 AA 2BD.因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC BD .依照棱台的定义可知， BD 与 B 1D 1 共面 .又平面 ∥平面，且平面BB 1D 1D平面ABCD BD ，ABCD A 1B 1C 1D 1平面 BBDD 平面 A B C 1 D1B D ，所以 B 1D 1∥ BD . 于是1 11 111由AABD ，ACBD ， B 1D 1∥ BD ，可得 AA B D，ACB D .22 1 111又因为AA 2ACA ，所以B 1 D 1平面ACC 2 A 2.〔Ⅱ〕因为四棱柱ABCDA 2B 2C 2D 2 的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1 S 四棱柱上底面 S 四棱柱侧面 (A 2B 2)24 AB AA 2 1024 10 30 1300 (cm 2) .又因为四棱台 ABCD ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰1 1 1 1梯形，所以S 2S 四棱台下底面S 四棱台侧面 ( A 1B 1)241( ABA 1B 1 )h 等腰梯形的高2.1(10[1(20202420) 13210)]21120 (cm 2)22于是该实心零部件的表面积为 SS S1300 11202420 (cm 2) ，12故所需加工办理费为 0.2S 0.2 2420 484〔元〕.20、解：〔Ⅰ〕设等差数列 { a } 的公差为 d ，那么 a 2 ad ，aa2d ，n131由题意得3a 1 3d 3, 解得a 1 2, 或a 14,a 1 (a 1 d )( a 1 2d )8.d3,d3.所以由等差数列通项公式可得a 2 3(n 1) 3n 5，或a n 4 3(n1) 3n7.n故 a3n5 ，或an3n 7 .n〔Ⅱ〕当 a n 3n 5 时，a 2 ， a 3 ，a 1 分别为 1，4 ， 2 ，不可以等比数列；当 a n 3n 7 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为 1， 2，4 ，成等比数列，知足条件 .故 3n 7, n 1,2,| a n | | 3n 7 |3n 7, n 3.记数列 {| a n |} 的前 n 项和为 S n .当 n 1 时， S 1 | a 1 | 4 ；当 n 2时， S 2| a 1 | | a 2 | 5；当 n3 时，S n S 2 | a 3 | | a 4 || a n | 5(3 3 7) (3 47)(3n 7)5(n2)[2 (3n 7)] 3n 21110. 当 n 2 时，知足此式 .222 n综上，4,n1,S n3 n 2 11n 10, n 1.2 221、解：〔Ⅰ〕如图1，设M (x, y) ， A( x 0 , y 0 ) ，那么由 | DM |m | DA | (m0, 且 m 1)，可得 x x 0，| y | m | y 0 |，所以 x 0 x ，| y 0 |1. ①| y |m因为 A 点在单位圆上运动，所以 x 0 2 y 0 21 . ②.将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2x 2y 2 1 ( m 0, 且 m 1)因为 m) ，所以m(0, 1) (1,当 0 m1时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 ( 1 m 2 , 0) ， ( 1 m 2 , 0) ；当 m 1时，曲线C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,m21) ， (0,m21).〔Ⅱ〕解法 1：如图 2、 3， k，设P( x , kx ) ，H (x, y ) ，那么 Q(x ,kx )，112211N(0, kx )，1直线 QN 的方程为 y 2kx kx 1 ，将其代入椭圆 C 的方程并整理可得 (m24k 2 ) x24k 2 x x k 2 x 2 m20 .11依题意可知此方程的两根为x 1 ，x 2 ，于是由韦达定理可得2 ，即 2. x 1 x 24k x 1x 2m x 1m 2 4k 2m 2 4k 2因为点 H 在直线 QN 上，所以2 .y 2 kx 1 2kx 22km x 124k 2m.于是 PQ ( 2 x 1 ,2kx 1 )，PH(x 2x 1, y 2kx 1) (4k 2x 12 ,2km 2x 1m 2 4km 24k2 )而PQPH 等价于PQ4(2 m 2 )k 2 x 1 2，PH24k 2即2 m0 ，又m 0，得mm2，2故存在 m2 ，使得在其对应的椭圆2y 2上，对随意的 k 0，x21PH.都有 PQ yyy HA解法 2：如图 2、3，x 1 (0, 1) ，设, y 1 ) ，H ( x 2 , y 2 ) ，那么Q(P x 1 , y 1 ) ，H P( x1NMNPO ， xOxODxN (0, y 1 )QQ因为 P ， H 两点在椭圆 C 上，所以m 2 x 12y 1 2m 2 , 两式相减可得图 1图 2(0 m 2 x 22y 22m 2 ,图 3(m1)m 1) m ( x 1 x 2 2 ) ( y 1y 2 )0 第 21 题解答图 2222. ③依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P ， H 不重合，故 ( x 1x 2 )( x 1x 2 )0 . 于是由③式可得( y 1y 2 )( y 1y 2 ) m 2 . ④( x 1 x 2 )(x 1 x 2 )又Q ， N ， H三点共线，所以k QNkQH，即2y 1y 1 y 2 .x 1x 1 x 2于是由④式可得yyy2 1 ( yy 2)( yy )m 2 .k PQ k PH11112x 1 x 1 x 2 2 ( x 1x 2 )( x 1x 2 )2而 PQPH等价于k PQk PH1 ，即 m 2，又 m 0，得m2，21故存在 m 2，使得在其对应的椭圆2y 2上，对随意的 k 0 ，都有x2 1PQPH.22、解：〔Ⅰ〕因为 f (1) b，由点(1, b) 在xy1 上，可得 1 b1，即b 0.因为 f ( x) anxn1a(n1)x n ，所以 f(1)a.又因为切线 x y 1 的斜率为 1 ，所以 a 1，即a 1. 故a 1，b 0 .〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知， n (1 x) x n n 1 ，n 1 n .f ( x) x x f (x) ( n 1) x ( x)n 1 . 令 f ( x) 0 ，解得 n ，即 f (x) 在(0, ) 上有唯一零点x 0 nx n 1n 1在 (0, n 上， f (x) 0 ，故 f ( x)单一递加；)n 1 0 ， f ( x) 单一递减 .而在 ( n , ) 上， f (x)n 1 ) 上的最大值为. 故f (x) 在 (0,nf ( n ) ( n )n (1n ) nn 1 n 1n 1( n 1)n 1〔Ⅲ〕令1，那么11t1.(t ) ln t 1+ (t0) 0)t(t)2 =2( tt tt在(0, 1) 上，(t ) 0 ，故 (t ) 单一递减；而在 (1, ) 上 (t ) 0 ，(t ) 单一递加 .故 (t) 在(0, ) 上的最小值为 (1) 0.所以 (t) 0 (t1)，即 ln t 1 1 (t 1) .t令 t 1 1 ，得 ln n 1 1 ，即n 1 n 1 ，n n n 1ln( ) ln e1 . n所以 n 1 n 1 ，即 n n()e(n 1)n 1 nen由〔Ⅱ〕知，f ( x)n n1 ，故所证不等式建立 .( n1)n 1ne。

2021年高考真题——数学文(湖北卷)word解析版

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A . 【解析】试题分析：因为6072303()i i i i =⋅=-，所以应选A . 考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ． 134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石【答案】B .考点：1、简单的随机抽样；3.命题“0(0,)x ∃∈+∞， 00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C . 【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C .考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【答案】A .考点：1、线性回归方程；5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数256()4||lg 3x x f x x x -+=--的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C . 【解析】试题分析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .考点：1、函数的定义域求法； 7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D .考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 【答案】B . 【解析】试题分析：由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤”的概率2S p S=，其中11021111(1ln 2)222S dx x=⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S +===+>⨯，故应选B .考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【解析】考点：1、分类计数原理；2、新定义；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________．【答案】9.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．【答案】10. 【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点(3,1)B 取得最大值，即max 33110z =⨯+=，故应填10.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 【解析】试题分析：由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=，故应填3；6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度 CD =_________m.【答案】1006.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.ABCD【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【解析】考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；17.a为实数，函数2g a. 当a=_________时，f x x ax()||=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a的值最小.()【答案】22.考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得 221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-.20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．第20题图【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【解析】（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为，短半轴长为，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①第22题图1 第22题图2第22题解答图又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。

全国统一考试数学及答案(湖北卷文)

全国统一考试数学及答案（湖北卷文）绝密启用前_年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题卷(文史类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I部分(选择题共60分)注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设P.Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q=,则P+Q中元素的个数是( )A．9 B．8 C．7 D．62．对任意实数a,b,c,给出下列命题:①〝〞是〝〞充要条件; ②〝是无理数〞是〝a是无理数〞的充要条件③〝a_gt;b〞是〝a2_gt;b2〞的充分条件;④〝a_lt;5〞是〝a_lt;3〞的必要条件.其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．43．已知向量a=(－2,2),b=(5,k).若a+b不超过5,则k的取值范围是( )A．[－4,6] B．[－6,4] C．[－6,2] D．[－2,6]4．函数的图象大致是( )5．木星的体积约是地球体积的倍,则它的表面积约是地球表面积的( )A．60倍B．60倍 C．120倍D．120倍6．双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则mn的值为( )A． B．C．D．7．在这四个函数中,当时,使恒成立的函数的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．38．已知a.b.c是直线,是平面,给出下列命题:①若;②若;③若;④若a与b异面,且相交;⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直.其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是( )A．168 B．96 C．72 D．14410．若( )A． B．C．D．11．在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．012．某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二.三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样.分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一.二.三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;关于上述样本的下列结论中,正确的是( )A．②.③都不能为系统抽样 B．②.④都不能为分层抽样C．①.④都可能为系统抽样 D．①.③都可能为分层抽样第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在答题卡相应位置上.13．函数的定义域是.14．的展开式中整理后的常数项等于.15．函数的最小正周期与最大值的和为.16．某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费元.三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)已知向量在区间(－1,1)上是增函数,求t的取值范围.18．(本小题满分12分)在△ABC中,已知,求△ABC的面积.19．(本小题满分12分)设数列的前n项和为Sn=2n2,为等比数列,且(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前n项和Tn.20．(本小题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.21．(本小题满分12分)某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率;(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;(Ⅲ)当p1=0.8,p2=0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).22．(本小题满分14分)设A.B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C.D两点.(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得A.B.C.D四点在同一个圆上?并说明理由._年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考答案一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.13．14．38 15． 16．500三.解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法.利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1:依定义开口向上的抛物线,故要使在区间(－1,1)上恒成立.解法2:依定义的图象是开口向下的抛物线,18．本小题主要考查正弦定理.余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1:设AB.BC.CA的长分别为c.a.b,.故所求面积解法3:同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面积19．本小题主要考查等差数列.等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解:(1):当故{an}的通项公式为的等差数列.设{bn}的通项公式为故(II)两式相减得20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1:(Ⅰ)过E作EH//BC交CC1于H,则CH=BE=1,EH//AD,且EH=AD.又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.(Ⅱ)延长C1E与CB交于G,连AG,则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG,垂足为M,连C1M,由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC,且AG面AEC_shy;1F,所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中,作CQ⊥MC1,垂足为Q,则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离.解法2:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0), C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).∵AEC1F为平行四边形,(II)设为平面AEC1F的法向量,的夹角为a,则∴C到平面AEC1F的距离为21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力,以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解:(I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为(II)对该盏灯来说,在第1.2次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2;在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2),故所求的概率为(III)至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况,换5只的概率为p5(其中p为(II)中所求,下同)换4只的概率为(1-p),故至少换4只灯泡的概率为22．本小题主要考查直线.圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(I)解法1:依题意,可设直线AB的方程为,整理得①设①的两个不同的根,②是线段AB的中点,得解得k=-1,代入②得,_gt;12,即的取值范围是(12,+). 于是,直线AB的方程为解法2:设依题意,(II)解法1:代入椭圆方程,整理得③③的两根,于是由弦长公式可得④将直线AB的方程⑤同理可得⑥假设在在_gt;12,使得A.B.C.D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦于是,由④.⑥.⑦式和勾股定理可得故当时,A.B.C.D四点均在以M为圆心,为半径的圆上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:A.B.C.D共圆△ACD为直角三角形,A为直角⑧由⑥式知,⑧式左边=由④和⑦知,⑧式右边=∴⑧式成立,即A.B.C.D四点共圆解法2:由(II)解法1及.代入椭圆方程,整理得③将直线AB的方程代入椭圆方程,整理得⑤解③和⑤式可得不妨设∴计算可得,∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点,∴A.B.C.D四点共圆. (注:也可用勾股定理证明AC⊥AD)。

2024年湖北省高考数学真题及参考答案

2024年湖北省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，，中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，，划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,含答案)(2)

绝密★启用前2020 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共 5 页， 22 题。

全卷满分 150 分。

考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。

用一致供给的2B 铅笔将答题卡上试卷种类A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用一致供给的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

答在试题卷、底稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用一致供给的署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。

答在试题卷、底稿纸上无效。

4．考生一定保持答题卡的整齐。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1．已知全集 U{1,2,3,4,5} ，会合 A {1,2} ， B{2,3,4} ，则 B I e U AA ． {2}B ． {3,4}C ． {1,4,5}D ． {2,3,4,5}π22222．已知 0xyyx1 的，则双曲线 C 1 ：cos 21与 C 2：sin 24sin2cos 2A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 p 是“甲下降在指定范围” ，q 是“乙下降在指定范围” ，则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为A ． ( p ) ∨ ( q )B ． p ∨ ( q )C ． ( p) ∧ ( q)D ． p ∨ q4．四名同学依据各自的样本数据研究变量x, y 之间的有关关系，并求得回归直线方程，分别获得以下四个结论：① y 与 x 负有关且 $；② y 与 x $3.476x 5.648 ； y 2.347x 6.423 负有关且 y③ y 与 x 正有关且 $； ④ y 与 x $4.326x 4.578 .y 5.437x 8.493 正有关且 y此中必定不正确的结论的序号是．．．A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通拥塞逗留了一段时间，后为了赶时间加迅速度行驶 .与以上事件符合得最好的图象是距学校的距离距学校的距离O时间O时间AB距学校的距离距学校的距离O时间O时间CD6．将函数 y3cos x sin x (x R ) 的图象向左平移 m (m0) 个单位长度后，所获得的图象对于y轴对称，则 m 的最小值是A ． πB ．πC ．πD ．5π1263uuur 67．已知点 A( 1, 1) 、 B(1, 2) 、C( 2,uuur1) 、 D(3, 4) ，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为A ．3 2B ．3 15C ． 3 2D ． 3 1522228． x 为实数， [ x] 表示不超出 x 的最大整数，则函数f ( x) x [ x] 在 R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数9．某旅游社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅游， A 、 B 两种车辆的载客量分别为36人和 60 人，租金分别为 1600 元 / 辆和 2400 元 / 辆，旅游社要求租车总数不超出21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为A ． 31200 元B ． 36000 元C ． 36800 元D ． 38400 元10．已知函数 f ( x) x(ln xax) 有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．( ,0)B ．(0, 1 C ． (0, 1) D ． (0,))2二、填空题：本大题共 7小题，每题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对应题号的地点上 . 答错．．．．．．．地点，书写不清，含糊其词均不得分.11．i为虚数单位，设复数z1， z2在复平面内对应的点对于原点对称，开始若z1 2 3i ，则 z2.输入 m12．某学员在一次射击测试中射靶10 次，命中环数以下：7， 8，7， 9， 5，4， 9， 10， 7， 4 A 1, B 1, i0则（Ⅰ）均匀命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为.13．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序.若输入 m 的值为2，则输出的结果 i.14．已知圆O： x 2y25 ，直线l： x cos y sin1（ 0π2） .O 上到直线 l 的距离等于1的点的个数为 k ，则 k.i i1A A mB B i否设圆A B ?是输出 i15．在区间 [ 2,4] 上随机地取一个数x，若 x 知足| x | m的概率为5，6结束则 m.第 13题图16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平川降雨量是寸 .（注：①平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点P(x, y) 的坐标 x ，y均为整数，则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全部是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，界限上的格点数记为L .比如图中△ABC 是格点三角形，对应的S 1，N 0，L 4.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S, N , L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c ，此中 a，b， c 为常数.若某格点多边形对应的N 71， L 18，则 S（用数值作答）.第17题图三、解答题：本大题共 5 小题，共65 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12 分）在△ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别是 a ，b，c .已知 cos2 A3cos( B C ) 1 .（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S 5 3 ， b 5 ，求sin B sin C的值 .19．（本小题满分13 分）已知S n是等比数列{ a n } 的前 n 项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418 .（Ⅰ）求数列{ a n } 的通项公式；（Ⅱ）能否存在正整数n ，使得S n2013 ？若存在，求出切合条件的全部n 的会合；若不存在，说明原因．20．（本小题满分13 分）如图，某地质队自水平川面 A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1处发现矿藏，再持续下钻到 A2处后下边已无矿，进而获得在 A处正下方的矿层厚度为A1A2d1．相同可得在 B，C处正下方的矿层厚度分别为 B1B2 d 2， C1C2 d3，且 d1 d2 d 3 . 过AB，AC的中点M，N且与直线 AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2 B2 C2所得的截面DEFG为该多面体的一此中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ ABC中，记 BC a ， BC边上的高为 h ，面积为 S .在估测三角形ABC 地区内正下方的矿藏储量（即多面体A1 B1C1 A2 B2C2的体积V）时，可用近似公式 V估S中 h 来估量 . 已知1V( d1 d2 d3 )S ，试判断 V估与V的大小关系，并加以证明 .3第20题图21．（本小题满分 13 分）设 a 0 ， b0，已知函数 f (x)ax b .x1（Ⅰ）当 a b 时，议论函数 f ( x) 的单一性；（Ⅱ）当 x0 时，称 f ( x)为a、 b 对于x的加权均匀数.（ i ）判断 f (1) , f (b) ,f (b) 能否成等比数列，并证明f (b) f (b) ；a a a a（ ii ）a、b的几何均匀数记为.称 2ab为a、b的调解均匀数，记为.G Ha b若 H f (x) G ，求 x 的取值范围 .22．（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆C1与 C2的中心在座标原点O，长轴均为MN且在 x 轴上，短轴长分别为 2m ，2n (m n) ，过原点且不与x 轴重合的直线l与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A， B， C， D．记m，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为S1和S2. n（Ⅰ）当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，求的值；（Ⅱ）当变化时，能否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2？并说明原因．yABM O N xCD第 22题图2020 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）试题参照答案一、选择题：1．B 2．D3．A4．D5．C 6．B7．A8．D9．C10．B二、填空题：11． 2 3i12．（Ⅰ） 7 （Ⅱ） 213 ． 414． 415． 316． 317．（Ⅰ） 3, 1, 6（Ⅱ） 79三、解答题：18．（Ⅰ）由 cos2 A 3cos( B C ) 1 ，得 2cos 2 A 3cos A2 0 ,即 (2cos A 1)(cos A 2)0 ，解得 cosA1 或 cosA2 （舍去） .2由于 0 A，所以ππA.3（Ⅱ）由 S1bc sin A1bc 3 3bc 53, 得 bc 20 . 又 b 5 ，知 c4 .22 24由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 25 16 20 21, 故 a21 .又由正弦定理得 sin B sin Cb csin Abc 2A20 3 5 sin Aa a 2 sin 21 4.a719．（Ⅰ）设数列 { a n } 的公比为 q ，则 a 1 0 ， q0 . 由题意得S 2 S 4 S 3 S 2 ,a 1q 2a 1q 3a 1q 2 ,a 2 a 3 a 4 即q 2 )18, a 1q(1q 18,解得a 1 3,q2.故数列 { a n } 的通项公式为 a nn 1.3( 2)（Ⅱ）由（Ⅰ）有S n 3 [1( 2)n ] 1 ( 2) n .1 ( 2)若存在 n ，使得 S n 2013 ，则 1 nn2012.( 2) 2013 ，即 (2)当 n 为偶数时， ( 2) n 0 ，上式不建立；当 n 为奇数时， (2) n2n2012 ，即 2n2012 ，则 n 11.综上，存在切合条件的正整数n ，且全部这样的 n 的会合为 { n n2k 1, k N, k 5} .20．（Ⅰ）依题意 A 1A 2平面 ABC ， B 1 B 2 平面 ABC ， C 1C 2平面 ABC ，所以1 2∥ 12∥12. 又A 1A 2 d 1 ，B 1 B 2 d 2 ，C 1C 2 d 3 ，且 d 1d 2d 3 . AA BB CC所以四边形 A 1 A 2 B 2 B 1 、 A 1 A 2C 2C 1 均是梯形 .由 AA 2 ∥平面 MEFN ， AA 2平面 AA 2 B 2 B ，且平面 AA 2 B 2 B I 平面 MEFNME ，可得 AA 2∥ ME ，即 A 1A 2∥ DE . 同理可证 A 1A 2∥ FG ，所以 DE ∥ FG .又M 、N 分别为 AB 、AC 的中点，则 D 、 E 、 F 、 G 分别为 A 1B 1 、 A 2B 2 、 A 2C 2 、 A 1C 1 的中点，即 DE 、 FG 分别为梯形 A 1 A 2 B 2 B 1 、 A 1 A 2C 2 C 1 的中位线 .所以 DE1( A 1A 2 B 1 B 2)1d 2 ) ， FG1(A 1A 2 C 1C 2)1 d 3 ) ，2 ( d 12 (d 122而 d 1d 2d 3 ，故 DE FG ，所以中截面 DEFG 是梯形 . （Ⅱ）V 估 V.证明以下：由 A 1A 2 平面 ABC ， MN 平面 ABC ，可得 A 1 A 2 MN .而 EM ∥ A 1A 2，所以 EM MN ，同理可得 FNMN .由 MN 是△ ABC 的中位线，可得MN1 BC 1 a 即为梯形 DEFG 的高，22所以 S 中 S 梯形 DEFG 1 ( d 1 d 2 d 1 d 3 ) aa(2 d 1 d 2 d 3 ) ，2 2 2 2 8即 V 估 S 中 h ah d 2 d 3 ) .(2 d 18又 S 1 1 d 2 d 3 )S ah d 2 d 3 ) .ah ，所以 V (d 1 (d 12 3 6于是 VV 估ah(d 1d 2 d 3 )ah(2d 1 d 2 d 3 )ah[( d 2d 1 ) ( d 3 d 1 )] .6 8 24由 d 1 d 2d 3 ，得 d 2 d 1 0 ， d 3 d 1 0，故 V 估 V .21．（Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (, 1)U ( 1, )，f (x)a( x 1) (axb)a b .( x 1)2 (x 1)2当 ab 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 ( , 1)， ( 1, ) 上单一递加；当 ab 时， f (x)0 ，函数 f (x) 在 ( , 1)， ( 1,) 上单一递减 .（Ⅱ）（ i ）计算得 f (1) ab 0b 2ab b 0 .2， f ( )a 0， f ( )ababa故 f (1) f ( b) a b 2abab [ f (b)] 2 , 即a 2 a baf (1) f ( b ) [ f ( b)] 2 . ①a a所以 f (1), f (b), f ( b) 成等比数列 .aa因 a b ab ，即 f (1) f (b 由①得 f ( bf (b2) . )) .aaa（ii ）由（ i ）知 f ( b)H ， f (b ) G.故由 Hf ( x) G ，得a af ( b) f (x)f ( b) .②aa当 ab 时， f ( b)f ( x) f ( b)a .aa这时， x 的取值范围为 (0,) ；当 ab 时， 0b 1 ，进而b b 在 (0,) 上单一递加与②式，a a，由 f ( x)a得bxb，即 x 的取值范围为b , b ；aaaa当 ab 时，b1 b b ) 上单一递减与②式，，进而，由 f (x) 在 (0,a aa得 bxb，即 x 的取值范围为b , b.aaaa22．依题意可设椭圆C1和 C2的方程分别为C1：x22222y 21， C2：x2y2 1 . 此中a m n 0，m 1.a m a n n（Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线l与 y 轴重合，即直线 l 的方程为 x0 ，则S1111|AB| |ON|1，所以S1 |BD | |OM | a | BD | ， S22a | AB |S2 222在 1 和 2 的方程中分别令x 0，可得y A m ， y B n ， y D m ，C C于是| BD | | y B y D |m n1. | AB | | y A y B | m n1若S1，则1，化简得2210 . 由1，可解得S21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，则2 1.解法 2：如图 1，若直线l与y轴重合，则| BD | | OB | | OD | m n ， | AB | | OA | | OB | m n ；S1111|AB| |ON |1 |BD | |OM | a | BD | ， S22a | AB | . 222所以 S1|BD|m n 1 .S2|AB|m n1若 S1，则1，化简得2210 . 由1，可解得S21|BD|. | AB|2 1 .2 1 .故当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，则 2 1.y yAABBM O N x M N xOC CD D第 22 题解答图 1第 22 题解答图 2（Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2 . 依据对称性，不如设直线 l ：y kx ( k0) ，点 M (a, 0) ， N (a, 0) 到直线l的距离分别为 d1， d 2，则由于 d1| ak 0 |ak， d2| ak0 |ak，所以 d1 d2 .1 k2 1 k 2 1 k 21 k 2又 S111| AB | d2，所以S1|BD |，即 |BD ||AB|.| BD | d1， S2S2|AB|22由对称性可知 | AB ||CD |，所以 | BC ||BD ||AB|( 1)|AB |，|AD||BD| |AB|(1) | AB |，于是|AD | 1 . ①|BC |1将 l 的方程分别与 C 1， C 2 的方程联立，可求得x Aam， x Ban.a2 k2m 2a 2k 2n 2依据对称性可知 x Cx B ， x Dx A ，于是2m a 2 k2n2|AD |1 k | x A x D | 2x A.②|BC|1 k2 | x Bx C |2x B222n a km进而由①和②式可得a 2 k 2 n 21 . ③a 2k 2 m 2 (1)令 t(1 ，则由 m n ，可得 t 1 ，于是由③可解得 k 2n 2 ( 2 t 2 1) .1)a 2 (1 t 2 )由于 k0，所以2. 于是③式对于k 有解，当且仅当 n 2 ( 2t 21)0 ，k 0a 2(1 t 2 )等价于 (t 21)(t 210 . 由11 ，2 )1 ，可解得t即 1( 1 1 ，由 1 ，解得12 ，所以1)当 1 12 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 ；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S 1 S 2 .解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： ykx ( k 0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak 0 |ak ， d 2 | ak 0 |ak ，所以 d 1 d 2 .1 k21 k21 k21 k 2又 S 11| BD | d 1 ， S 21S 1|BD | .2| AB | d 2 ，所以|AB|2S 2|BD |2x D | x A x Bx A1 由于1 k | x B，所以.|AB|2x B |x Ax Bx B11 k | x A由点 A( x A , kx A ) ， B( x B , kx B ) 分别在 C 1， C 2 上，可得x A 2 k 2 x A 2x B 2k 2 x B 21，两式相减可得x A 2x B 2k 2 ( x A 2 2 x B 2 )，221 ，22220 amanam依题意 x Ax B 0 ，所以 x A 2x B 2 . 所以由上式解得k2m 2(x A 2x B 2) .a 2( 2 x2x2 )B A2 2 x B 2)x A由于 k 20 ，所以由m (x A.a 2 (2x B 20 ，可解得 1x Bx A 2 )2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,含答案)(2)进而11，解得 1 2，所以1当112 时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2；当1 2 时，存在与坐标轴不重合的直线l使得 S1S2.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,解析版)(1)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，解析版）一、选择题1．已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则()C A B U U =A.{6,8}B. {5,7}C. {4,6,7}D. {1,3,5,6,8}答案：A解析：因为{1,2,3,4,5,7}A B =U ，故(){6,8}u C A B =U ，所以选A.解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A 、B 、F (,0)2P，依题意可知，A 、B 必关于x轴对称，故设200(,)2y A y P 0(0)y >，则200(,)2y B y P -，则0||2AB y =，故由抛物线定义可得20||22y P AF P =+，则由||||AB AF =，解得220040y Py P -+=，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为 A.18B.36C.54D.72答案：B解析：根据频率分布直方图，可知样本点落在[10，12）内频率为12(0.020.050.190.15)0.18-⨯+++=，故其频数为2000.1836⨯=，所以选B. 6．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：A解析：由3sin cos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得22()3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选A.7．设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是A. V 1比V 2大约多一半B. V 1比V 2大约多两倍半C. V 1比V 2大约多一倍D. V 1比V 2大约多一倍半答案：D解析：设球半径为R ，其内接正方体棱长为a 2222a a a R ++=，即23,3a R =由 3331248,339v R v a R π===，比较可得应选D.8．直线与不等式组0,0,2,4320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨-≥-⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有A.0个B.1个C.2个D.无数个答案：B解析：画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4),C(5,0) ,D(0, 203), E(0,10),故由图知有唯一交点，所以选B.9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A. 1升B.6766升C.4744升 D.3733升答案：B解析：设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,……a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：56766a=，所以选B.二、填空题11. 某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家. 答案：20解析：应抽取中型超市100400202004001400⨯=++（家）.解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为227230281145CPC=-=.14. 过点(－1,－2)的直线l被圆222210x y x y+--+=2则直线l的斜率为答案：1或177解析：依题意直线l 斜率存在，设为k ，则l 方程为2(1)y k x +=+，圆方程化简为22(1)(1)1x y -+-=，由弦长为2及几何图形，可知圆心（1，1）到直线l 的距离22221()22d =-=，根据点到直线距离公式可计算得1717k =或.（1）∵22212cos 1444,4c a b ab C =+-=+-⨯=∴2c =.∴△ABC 的周长为a+b+c =1+2+2=5.（2）∵1cos ,4C = ∴22115sin 1cos 1()4C C =--∵15sin 154sin ,2a C A c === ∵,a c A C <∴<，故A 为锐角. ∴22157cos 1sin 1().88A A =-=-=∴71151511cos()cos cos sin sin .848416A C A C A C -=+=⨯+⨯=17. （本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b中的245b b b 、、(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列5{}4n S +是等比数列.18. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22,2AE BE ==. (Ⅰ)求证：1CF C ⊥(Ⅱ)求二面角1EE CF C --的大小.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力.19. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =g 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）本小题主要考查函数，最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（1）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设().v x ax b =+ 再由已知得2000,2060.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数v(x)的表达式为60, 020,()1(200), 20200.3x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（2）依题意并由（1）可得60, 020, ()1(200), 20200.3xxf xx x x≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，当020x≤≤时，()f x为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；当20200x≤≤时，211(200)10000()(200)[].3323x xf x x x+-=-≤=当且仅当200x x=-，即100x=时，等号成立.所以，当100x=时，()f x在区间[20，200]上取得最大值100003.综上，当100x=时，()f x在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.20. （本小题满分13分）（2）由（1）得22()452f x x x x=-+-，所以32()()32.f xg x x x x+=-+依题意，方程2(32)0x x x m-+-=有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程2320x x m-+-=的两相异的实根.所以△=9-4（2-m）>0，即1.4m>-又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x∈+<-成立.特别地，取1x x=时，111()()f xg x mx m+-<-成立，得m<0.由韦达定理，可得121230,20,x x x x m+=>=->故120x x<<对任意的12[,]x x x ∈，有20x x -≤，10x x -≥，x >0.则12()()()()0.f x g x mx x x x x x +-=--≤又111()()0,f x g x mx +-= 所以函数()()f x g x mx +-在12[,]x x x ∈的最大值为0.于是当m<0时，对任意的12[,]x x x ∈，()()(1)f x g x m x +<-恒成立.综上，m 的取值范围是（1,04-）.21. （本小题满分13分）（2）由（1）知，当1m =-时，C 1的方程为222x y a +=；当(1,0)(0,)m ∈-+∞U 时，C 2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F a m F m -++. 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞U ，C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0 121||||.2x y a y a m y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由①得00||y a <≤，由②得0||.1y m=+当0,1a m<≤+即1502m -≤<，或1502m +<≤时. 存在点N, 使2||;S m a =,1a m>+即151m --<15m +>时，不存在满足条件的点N.当1515[m ++∈U 时，由100200(1,),(1,)NF a m x y NF m x y =-+-=+-u u u u r u u u u r，可得22221200(1).NF NF x m a y ma ⋅=-++=-u u u u r u u u u r 令112212||, ||, F NF =NF r NF r θ==∠u u u u r u u u u r则由21212cos ,NF NF r r ma θ⋅==-u u u u r u u u u r 可得212cos ma r r θ=，从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-于是由2||.S m a =可得221tan ||2ma m a θ-=，即2||tan .m mθ=-综上可得：当15[m -∈时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =当15m +∈时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =-；当1515(()m -+∈-+∞U 时，在C 1上，不存在满足条件的点N. ① ②。

湖北文科数学高考试题及答案

2021年一般高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，含答案）(1)

湖北卷文科数学试题与解答(全解析).doc

2021年湖北省高考文科数学试卷及答案(word版)

湖北高考试题文数,word解析版

2021年高考真题——数学文(湖北卷)word解析版

全国统一考试数学及答案(湖北卷文)

2024年湖北省高考数学真题及参考答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,含答案)(2)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,解析版)(1)

最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(湖北卷)(含解析)