误差分析及不确定度流程

流程图 周子桢 20
（1）求直接测量的物理量的算数平均值∑===m
i i N
N m N 11
（2）利用公式以及 直接测量的物理量的平均值 计算 待测物理量算术平均值
（3）求直接测量的物理量的A 类不确定度
n
S
n n N N
S u n
i i
N A =
--=
=∑=)
1()
(1
2
（4）求直接测量的物理量的B 类不确定度
3
仪
仪∆=
∆u 3
估
估∆=
∆u
①.仪器误差
仪
∆的确定：
A.由仪器的准确度表示
B.由仪器的准确度级别来计算
%
级别电表的满量程电表的最大误差
=
B.
由仪器的准确度等级计算
C.国标或者仪器说明书中作了规定 国标：钢直尺 mm
15.0=∆仪 仪器说明书：
n
m N +⋅=∆%仪
3 ?（三位半）数字万用表 ◎ 有4位数字显示位 ◎ 第一位不能完整显示0-9
◎ ? 指该位能显示2个数字，其中最大数字为1，也即，该位能显示0-1
个字
仪2%5.0+⋅=∆U
◎ U 是测量值
◎ 2个字：末位为2的数字
◎例：量程2V 档能显示的最大值是，因此2个字是 D.未给出仪器误差时 可以估读的仪器 最小分度/2 不能估读的仪器 最小分度
②.估读误差
估
∆ 的确定
仪器分辨率
最小分度（不能估读的仪器） 最小分度/10（可以估读的仪器）
A. 不能估读的仪器
=∆估
如：游标卡尺、数字仪表、分光计 B. 可以估读的仪器
/5
2最小分度分辨率估=⨯=∆
C.根据实际情况放大估读误差
（5）求直接测量的物理量的合成不确定度
A 类不确定度分量
Am
Ai A A u u u u ,......,,21 B 类不确定度分量
Bn
Bj B B u u u u ,......,,21
2221
1
22估仪∆∆==++=+=
∑∑u u u u u A m
i n
j Bj Ai σ
通常情况下m=1，n=2
If （还有直接测量的物理量的合成不确定度 没有算出来）回到（3）
（6）求待测物理量的相对不确定度
设N 为待测物理量，X 、Y 、Z 为直接测量量
...)z ,y ,x (f N =
...
dz z f
dy y f dx x f dN +∂∂+∂∂+∂∂=
若先取对数再微分，则有:
...)z ,y ,x (f ln N ln =
...
dz z f
ln dy y f ln dx x f ln N dN +∂∂+∂∂+∂∂=
......z f ln y f
ln x
f ln N z y
x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2
2
22
2σσσσ
（7）求待测物理量的不确定度
......z f y f x f z y x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2
2
22
22
σσσσ
（8）求待测物理量的结果表达式
待测物理量=（待测物理量算术平均值 +- 待测物理量的不确定度）单位
第一节
测量与误差
一.测量
1. 测量的含义
测量就是把待测物理量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出被测量是单位的多少倍的过程。

倍数→读数+单位→数据
测量的要素：对象，单位，方法，准确度。

2、测量的分类
按方法分类:
直接测量
间接测量
按条件分类:?(对同一物理量的多次测量)
等精度测量V
非等精度测量
一、用算术平均值表示测量结果
m 次：N1，N2，．．．Ni ，．．．Nm 任一次的测量误差：
N
N N i i '
-=∆∑==m
i i 'N 1
0∆（m → ∞）
∑==-=-++-+-m
i i m mN N N N N N N N 1
210)(...)()(
∑===m
i i N
N m N 1
1（近真值）
N N N i i -=∆（偏差）
二、误差的估计——标准偏差
高斯分布
多次测量中任意一次测量的标准偏差
()
1
1
2
--=
∑=n N
N
S n
i i
（贝塞尔公式）
算术平均值对真值的标准偏差
()
n S n n N
N
S n
i i
N =
--=
∑=)
1(1
2
三、置信概率和置信限
只是一个通过数理统计估算的值，表示真值以一定的概率被包含在)(~)(N N S N S N +-范围内，可算出这个概率是%。

称之为置信概率或置信度。

N S 是一个误差范围，称为“误差限”或“置信限” 在)2(~)2(N N S N S N +-范围内 p=% 在)3(~)3(N N S N S N +-范围内 p=% 测量值落在)(~)(S N S N +-内的置信度也是% 在)2(~)2(S N S N +-范围内 p=% 在)3(~)3(S N S N +-范围内 p=%
四、坏值的剔除
1.极限误差
测量数据在)3(~)3(S N S N +-范围内的概率为%
3S:极限误差S lim 3=∆
2. 拉依达准则
凡是误差S
N N i 3lim =∆≥-的数据为坏值，应当删除，平均值N 和误
差S 应剔除坏值后重新计算。

拉依达准则是建立在∞→n 的条件下，当n 较少时，3S 的判据并不可靠，尤其是n<=10 时更是如此。

三、直接测量不确定度的计算
1)A 类不确定度的计算：
贝塞尔法 Ni 的不确定度
1
1
2
--=
∑=n N N S n
i i )(
N
的不确定度
n S
n n N N S u n
i i N A =
--=
=∑=)
1()(12
2)B 类不确定度的估计:
3
仪
仪∆=
∆u 3
估
估∆=
∆u
①.仪器误差
仪
∆的确定：
A.由仪器的准确度表示
B.由仪器的准确度级别来计算
%
级别电表的满量程电表的最大误差
=
C. 由仪器的准确度等级计算
C.国标或者仪器说明书中作了规定
国标：钢直尺 mm 15.0=∆仪
仪器说明书：n m N +⋅=∆%仪
3 ?（三位半）数字万用表
◎ 有4位数字显示位
◎ 第一位不能完整显示0-9
◎ ? 指该位能显示2个数字，其中最大数字为1，也即，该位能显示0-1
◎ U 是测量值
◎ 2个字：末位为2的数字
◎例：量程2V 档能显示的最大值是，因此2个字是
D.未给出仪器误差时
可以估读的仪器 最小分度/2
不能估读的仪器 最小分度
②.估读误差 估∆ 的确定
仪器分辨率
最小分度（不能估读的仪器）
最小分度/10（可以估读的仪器）
A. 不能估读的仪器 0=∆估
如：游标卡尺、数字仪表、分光计
B. 可以估读的仪器
/5
2最小分度分辨率估=⨯=∆
C.根据实际情况放大估读误差 3) 合成不确定度?
A 类不确定度分量Am Ai A A u u u u ,......,,21
B 类不确定度分量
Bn Bj B B u u u u ,......,,21 2221122估仪∆∆==++=+=∑∑u u u u u A m i n j Bj Ai σ
通常情况下m=1，n=2
四、不确定度的传递公式
1. 多元函数的全微分
设N 为待测物理量，X 、Y 、Z 为直接测量量
...)z ,y ,x (f N =
...dz z f dy y
f dx x f dN +∂∂+∂∂+∂∂=
若先取对数再微分，则有:
...)z ,y ,x (f ln N ln =
...dz z f ln dy y f ln dx x f ln N dN +∂∂+∂∂+∂∂=
2.间接测量的不确定度由传递公式计算
......z f y f x f z y x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=22
2222σσσσ ......z f ln y f ln x f ln N z y x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=22
222σσσσ 其中f 为间接测量量N 与直接测量量x 、y 、z ……之间的函数关系。

3.不确定度计算的简化-微小误差舍去原则 在方和根合成公式中∑==
n
i i
a b 12 如果
2210131j i j i a a a a ≤≤或者 那么i a 项可以忽略不计
注意：包括计算直接测量量的合成不确定度 以及计算间接测量量的不确定传递公式
五、测量结果表达式：
)(单位σ±=N N 683.0=P )(2单位σ±=N N 954.0=P )
(3单位σ±=N N 997.0=P。