2013-06-09波尔兹曼方程与弛豫时间近似

如果分布函数
E(k)=E(-k),即 f0(k,T)=f0(-k,T)。
此外，由速度与能带的关系知速度关于k是反对称的，即V(k)=-V(-k),
因此，电流相反，刚好抵消，则
Je
2e v(k ) f 0(k )dk 0 3 2
(3)
即平衡态下，电流为0。
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当有外场（如电场、磁场或温度梯度场作用）时，电子的平衡分布
碰
f t
（4）
漂
碰撞项
漂移项
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(1)漂移项:
它包括外场作用力引起的电子波矢的漂移和速度引起的电子位
置的漂移。
如果不考虑碰撞，则 f (r , k , t ) f (r v dt, k k dt, t dt)
(5)
即t时刻(r,k)处的电子来自t-dt时刻 如果考虑碰撞，则需要加上因碰撞引起的f的变化 则有
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弛豫时间近似
假定没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离
了平衡值，系统必须以碰撞机制来回复平衡态的分布，此时引一
个参量——弛豫时间 来描述这个恢复过程：
ba f t 碰
f f0

（14）
负号表示随时间的增长，偏离平衡程度减小。
f 0 为系统平衡时的费米分布函数，是系统恢复平衡的弛豫时间，反映碰
J u KT J e E
这就是所谓的热导和电导现象。
热流通量 电流通量
K、
：称为热导系数和电导系数。
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假定电子在外场中的 非平衡分布对于电子 碰撞的几率以及碰撞 后电子的分布无任何 影响。
经过三步简化最终 认为是单电子在周 期性势场中运动。
在费米统计和能带 论的基础上重新处 理电导问题。
2 (2 )
3
[1 f (k ' )]dk'
④单位时间由于碰撞离开（r,k）处单位体积的电子数为
1 a (2π)3

f (k , r , t ) 1 f (k , r , t ) (k , k )dk '


(10)
⑤单位时间内因碰撞而进入（r,k）处单位体积的电子数
在t-dt时刻，在（ r,k ）处电子数为7个，此时，在（ r-rdt,k-kdt ）处电子 数为8个。 在t-dt t的时间内，由于外场的漂移作用，在（ r,k ）处电子数为8个。
所以漂移使（ r,k ）处电子数在dt时间内增加8-7=1个。另外在时刻t的瞬 间，（ r,k ）处因碰撞进入该区的电子数为1个，因碰撞离开此区域的电子 数为2个，所以该区域因碰撞而净增加的电子数为-1个。由此可以看出外 场的漂移和碰撞两个因素，使（ r,k ）处单位体积内在t-dt t的时间内增 加的电子数为0个，正好平衡。
被破坏，在散射比较弱的情况下，类似于气体分子运动论，可以由 坐标r和波矢k组成的相空间中的半经典分布函数为f(r,k,t )来描述电
子的运动。
电子在外场下偏离平衡态时，非平衡分布函数f随空间位置r和时间t 的变化而变化，那么f(r,k,t
)将如何随时间变化呢？
在非平衡统计理论中，通过分布函数来研究输运过程的一个主要方法 就是列出粒子状态的分布函数的方程——玻尔兹曼方程，它是为考察 分布函数如何随时间变化而确定的。
f f (r , k , t ) f (r v dt, k k dt, t dt) t 碰
(
f )碰 t
(6)
将上式右边第一项展开，只保留对t一次导数项，得
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f f f f k ]dt ( ) 碰 f (r , k , t ) f (r , k , t ) [ r t r k t
当作各向同性的散射，只是一种简化的近似。
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变形奥氏体等温弛豫一定时间，快冷相变后的超低碳贝氏体组织可得 到明显细化。
在氢原子核磁共振成像的实验中，样品的弛豫时间对成像的明暗对比 和清晰度有较大影响。
在过冷液体和玻璃态物质的研究领域中弛豫也具有重要作用。
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应用
一般都是通过密度泛函理论（DFT)计算结合玻尔兹曼方程对热电材料的 电热输运性质进行理论研究。热电材料的性能由无量纲的优值系数ZT值 来表示，而ZT值又由输运系数—电导率、塞贝克系数以及热导率来决定 ，对于以上输运系数的计算需要玻尔兹曼方程来完成。
电导率
塞贝克系数
热导率
f e vk vk 0 k
2
1 1 s e T eT
v v ( )
k k k
f 0
v v
k
k k
f 0
2 f ( )vk vk 0 f 1 ke ( ) 2vk vk 0 k f 0 Tk vk vk k
外场 梯度 引起 的漂 移项
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（2）碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因，电子不
断发生从K
K’态的跃迁，电子态的这种变化称为散射。
①r处单位体积中处在K~K+dK间的电子数， d n
2 (2 )
3
f (k )dk
②单位时间由状态K
③K’态空状态数为
K’的散射几率为 K,K’）只考虑自旋不变的跃迁 （
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玻尔兹曼方程
1、背景资料
玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann ），
奥地利物理学家，热力学和统计物理学 的奠基人之一。
1872年，他建立了玻尔兹曼方程，
他把分布函数f的变化率归结为连续运 动和碰撞两个因素，给出了f所遵循的 演化方程，用来描述气体从非平衡态到 平衡态过渡的过程。 1875年玻耳兹曼用它推导了输运过 程的粘滞系数、扩散系数和热传导率，
路德维希· 玻尔兹曼
故又称为输运方程。
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分布函数随时间的变化来自两个方面：
（a）漂移变化：电子在外场作用下的漂移运动引起分布函数的变化，
它是破坏平衡的因素。 （b）碰撞变化：电子碰撞而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平
衡的因素。
从而在粒子数守恒的条件下，分布函数的总变化率为
f f t t
撞对分布函数的影响。考虑到不同K态回复的差异，它应该是K的函数。 上式的解为 f f f 0 (f ) 0 e t / ，其中 (f ) 0 表示t=0时分布函数对平 衡的偏离，由此可以看出弛豫时间大致量度了恢复平衡所用的时间。
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现在的问题是什么条件下能用弛豫时间来描述玻尔兹曼方程的碰撞项？
由于碰撞项（b-a）的积分内包含着未知的分布函数，因此，玻尔兹曼方程是 一个积分——微分方程式。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面，且在各向同 性的弹性散射以及弱场的情况。
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玻尔兹曼方程中的漂移项和碰撞项示意图
(r , k , t dt)
(r r dt, k k dt)
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由以上内容可以看出：
（1）没有外场或温度梯度，系统不会离开平衡位置。 （2）有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止地 漂移。 （3）没有碰撞，系统不会从非平衡分布恢复到平衡分布。
（4）有了碰撞机制，就使漂移受到遏制，被限制在一定的程度而
达到稳定的分布。 由于玻尔兹曼方程是一个微分——积分方程，难于求出此方程的解， 因此常采用近似的方法，最常用的方法为弛豫时间近似方法。
利用费米分布，在弹性散射条件下，E=E’，则有 f 于是， 碰 ( k ' , k )[ f ( k ' ) f ( k )] t k' 假定偏离平衡态不远，f1=f-f0是个小量，则
(k ' , k ) (k , k ' )
f t
碰
(k ' , k )[ f1 (k ' ) f1 (k )] f1 (k ) (k ' , k )[1
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基于密度泛函理论进行电子结构计算，可以得到电子群速度及能带能量等 值，然后代入以上公式便可得到相应的输运系数从而进一步确定材料的热 电性能。需要说明的一点是：以上计算中，弛豫时间是无法在DFT计算中得 到的，往往根据实验值将其取做一个常数。
电子输运
在能带论的基础上，建 立其能够确定外场作用 下非平衡分布函数的玻 尔兹曼方程对于输运过 程意义重大，从而成为 研究固体电子输运性质 的理论基础，使精确地 确定许多与电子输运密 切相关的晶体性质成为 可能。
局限性
随着半导体器件进入纳米 尺度，量子效应对器件性 能的影响越来越重要，载 流子的输运进入了量子输 量子输运 运的领域，这同时体现在 空间和时间两个方面。对 纳米尺度半导体器件，玻 尔兹曼方程的适用性受到 局限，载流子输运需要建 立在量子力学理论框架上。
2013.06.09
玻耳兹曼方程与弛豫时间近似
讲解人：李健 答疑人：董旭，金烨
概述 弛豫时间近似
玻尔兹曼方程
应用
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概述
（一）输运现象
定义：如果系统中存在像温度、浓度、电势等强度量的不均匀 性，那么将导致像能量、粒子数、电荷数的流动，这就是输运 现象。 假定沿晶体的某个方向存在温度梯度、电势梯度，则输运过程 中的热流通量、电流通量与相应的梯度通过如下关系相联系：
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在能带理论的基础上，晶体中的电子是按能带分布的，处于不同
能带、不同状态的电子有着不同的速度，因此它们对电导的贡献
也不相同，所以在电子的输运过程中必须考虑其输运函ห้องสมุดไป่ตู้，并将 对输运过程的影响归结为对电子分布函数的影响。