非参数统计概念与产生-TsinghuaUniversity
非参数统计方法介绍
非参数统计方法介绍非参数统计方法是一种不依赖于总体分布形态的统计方法，它不对总体分布做出任何假设，而是直接利用样本数据进行统计推断。
非参数统计方法的优势在于适用范围广，可以处理各种类型的数据，不受总体分布形态的限制。
本文将介绍非参数统计方法的基本原理和常用的方法。
一、非参数统计方法的基本原理非参数统计方法是基于样本数据进行统计推断的方法，不对总体分布形态做出任何假设。
其基本原理是通过对样本数据的排序、排名或计数等操作，来获得总体的统计特征。
非参数统计方法主要包括秩和检验、分布自由度检验和重抽样方法等。
二、秩和检验秩和检验是一种常用的非参数统计方法，它主要用于比较两个独立样本的差异。
秩和检验的基本思想是将两个样本合并后，对样本数据进行排序，然后根据排序结果计算秩和统计量，再通过对比临界值来判断两个样本是否存在显著差异。
三、分布自由度检验分布自由度检验是一种用于检验总体分布是否符合某种特定分布的非参数统计方法。
它不依赖于总体分布形态的假设，而是通过对样本数据的排序、排名或计数等操作，来获得总体的统计特征。
常见的分布自由度检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Anderson-Darling检验和Cramér-von Mises检验等。
四、重抽样方法重抽样方法是一种通过对样本数据进行有放回抽样来获得总体统计特征的非参数统计方法。
重抽样方法的基本思想是通过对样本数据的重复抽样，来模拟总体分布，并通过对模拟样本数据的分析，得到总体的统计特征。
常见的重抽样方法包括自助法、Jackknife法和Bootstrap法等。
五、非参数统计方法的应用领域非参数统计方法广泛应用于各个领域的数据分析中。
在生物医学领域，非参数统计方法常用于比较不同治疗方法的疗效、评估药物的副作用等。
在金融领域，非参数统计方法常用于风险评估、投资组合优化等。
在环境科学领域，非参数统计方法常用于分析环境污染物的浓度分布、评估环境质量等。
非参数统计方法概览
非参数统计方法概览非参数统计方法是一种不依赖于总体分布形态的统计方法，它不对总体分布做出任何假设，而是通过对样本数据的排序、计数和排名等操作，来进行统计推断和假设检验。
非参数统计方法在实际应用中具有广泛的适用性和灵活性，能够处理各种类型的数据，包括连续型数据、离散型数据和顺序型数据等。
本文将对非参数统计方法进行概览，介绍其基本原理和常用方法。
一、基本原理非参数统计方法的基本原理是通过对样本数据的排序和计算，来推断总体的统计特征。
与参数统计方法相比，非参数统计方法不需要对总体分布形态做出任何假设，因此更加灵活和适用于各种情况。
非参数统计方法主要基于样本的秩次信息，通过比较和计算秩次差异来进行统计推断和假设检验。
二、常用方法1. Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验是一种非参数的假设检验方法，用于比较两个相关样本的差异。
它基于样本的秩次信息，通过计算秩次差异的总和来判断两个样本是否存在显著差异。
Wilcoxon符号秩检验适用于小样本和非正态分布的情况。
2. Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是一种非参数的假设检验方法，用于比较两个独立样本的差异。
它基于样本的秩次信息，通过计算秩次和来判断两个样本是否存在显著差异。
Mann-Whitney U检验适用于小样本和非正态分布的情况。
3. Kruskal-Wallis单因素方差分析Kruskal-Wallis单因素方差分析是一种非参数的假设检验方法，用于比较多个独立样本的差异。
它基于样本的秩次信息，通过计算秩次和来判断多个样本是否存在显著差异。
Kruskal-Wallis单因素方差分析适用于小样本和非正态分布的情况。
4. Friedman多因素方差分析Friedman多因素方差分析是一种非参数的假设检验方法，用于比较多个相关样本的差异。
它基于样本的秩次信息，通过计算秩次和来判断多个样本是否存在显著差异。
Friedman多因素方差分析适用于小样本和非正态分布的情况。
chapter2非参数统计详解
将样本显示的特点作为对总体的猜想，并优先选作 备择假设，零假设是相对于备择假设而出现的.
(2) 检验的 p 值和显著性水平的作用 p 值：在一个假设检验中拒绝零假设的最小显著水平. 判断法则：
(3) 两类错误 第一类错误(弃真错误)： H0为真，拒绝H0 一般由检验显著性水平控制 第二类错误(取伪错误)： H0为假，接受H0 两类错误相互制衡，不能同时都减到很小. 检验的势
•
置信区间和假设检验的关系
就单变量位置参数而言，置信区间和双边假设检验有 密切的联系. (1) 检验显著水平 a 和置信水平 1-a 是两个对立事件的概 率 (2) 若水平为 a的拒绝域为 W，则其对立事件是置信水平 为 1-a 的置信区间； (3) 若 H0在1-a的置信区间内则接受 H0,否则拒绝 H0. 置信区间和假设检验的这种关系成为对偶关系. 例：正态总体在方差已知情况下对均值的U检验.
d
又由F ( X i ) 是来自U(0,1)上的iid样本，则有
F ( X1 ).F ( X 2 )...F ( X n ) Wi，Wi U (0,1), iid 样本
i 1 d n
2 n 所以 U1,U2 ,...,Un
为来自(0, 1)上均匀分布的iid样本。
证明
(2)
证明 最大与最小次顺统计量的分布：在上式中分别取r=n和r=1. (3)
这里 s>r。 容量为n的样本最大顺序统计量x(n)与样本最小顺序统计 量x(1)之差称为样本极差,简称极差,常用R=x(n)-x(1)表示。
2.分位数 (1) 样本分位数
(2) 分布分位数
例如标准正态分布
3.分位数的估计
第二章
基本概念
§2.1 非参数统计概念与产生 1.非参数统计的概念
非参数统计
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述：非参数统计是数理统计学的一个分支，它是针对参数统计而言的。
所谓参数统计，简单地说就是建立在总体具有明确分布形式，通常多为正态分布形式的假定基础之上，所建立的统计理论和统计方法。
而非参数统计是在不假定总体分布形式或在较弱条件下，例如总体分布形式完全未知或分布形式是对称的，诸如这样一些宽泛条件下，尽量从数据本身获得的信息，建立对总体相关统计特征进行分析和推断的理论、方法。
2.设计思路：本课程是在已学数理统计基础上，通过非参数统计的学习，引导数学专业学生进一步增强对一般总体分析、推断的能力并加深对相关理论和方法的理解。
课程内容着重于基本知识点的理解，避免难度较大或较长定理的证明。
目的是使学生对理论有一个基本的理解和在应用能力上的提高。
课程内容包括以下四个方面：(1).非参数统计的基本概念：非参数统计方法的主要特点，次序统计量及其分布，U统计量，秩统计量的概念，一些统计量的近似分布。
(2).非参数估计的方法：总体分位数的估计，对称中心的估计，位置差的估计。
(3).非参数检验的方法：总体p分位数的检验，总体均值检验，两样本的比较，随机性与独立性检验，多总体的比较。
- 1 -(4).总体分布类型的估计与检验：分布函数的估计与检验，概率密度估计。
3. 课程与其他课程的关系：先修课程：《概率论》，《数理统计》，《多元统计分析》；并行课程：《应用回归分析》；后置课程：《统计软件》。
非参数统计是应用数学专业、信息与计算科学专业的选修课程，但对于今后从事统计研究和统计应用工作的学生来讲可以作为专业必修课学习。
二、课程目标非参数统计具有应用性广，稳健性好等特点。
通过本课程学习，要求学生了解或理解非参数统计的一些基本理论和方法，注重利用理论和方法、借助计算机解决问题的能力。
开课学期结束时，要求学生能够做到：(1)理解非参数统计方法的主要特点及与参数统计方法的区别。
非参数统计讲义通用课件
假设检验方法
总结词
假设检验方法用于检验一个关于总体 参数的假设是否成立。
详细描述
假设检验方法包括提出假设、构造检 验统计量、确定临界值和做出决策等 步骤。常见的假设检验方法有t检验、 卡方检验、F检验等，用于判断样本数 据是否支持假设。
关联性分析方法
总结词
关联性分析方法用于研究变量之间的相关性。
02
非参数统计方法
描述性统计方法
总结词
描述性统计方法用于收集、整理、描述数据，并从数据中提取有意义的信息。
详细描述
描述性统计方法包括数据的收集、整理、描述和可视化，例如均值、中位数、 众数、标准差等统计量，以及直方图、箱线图等图形化表示。这些方法可以帮 助我们了解数据的分布、中心趋势和离散程度。
非数统计与机器学习算法的结 合将有助于解决复杂的数据分析 问题。
02
与大数据技术的融 合
非参数统计将借助大数据技术处 理海量数据，挖掘数据背后的规 律和模式。
03
与社会科学研究的 互动
非参数统计方法将为社会科学研 究提供更有效的研究工具和方法 。
决策树分析方法
总结词
决策树分析方法是一种基于树形结构的非参 数统计学习方法。
详细描述
决策树分析方法通过递归地将数据集划分为 更小的子集，构建出一棵决策树。决策树的 每个节点表示一个特征属性上的判断条件， 每个分支代表一个可能的属性值，每个叶子 节点表示一个分类结果。决策树分析可以帮 助我们进行分类、预测和特征选择等任务。
非参数统计的发展趋势
多元化发展
非参数统计将不断拓展其应用领域，从传统的医学、生物 、经济领域向金融、环境、社会学等领域延伸。
01
算法优化
随着计算能力的提升，非参数统计的算 法将进一步优化，提高计算效率和准确 性。
非参数统计方法简介
非参数统计方法简介随着数据科学和统计学领域的不断发展，非参数统计方法作为一种灵活且强大的工具被广泛运用在各种领域中。
与参数统计方法相比，非参数统计方法不依赖于总体参数的具体分布，因此在数据分布未知或偏离常规分布时表现得更为优越。
本文将对非参数统计方法进行简要介绍，包括其基本原理、常用方法以及在实际应用中的一些典型场景。
基本原理非参数统计方法是一种基于数据本身特征进行推断的统计分析方法，不对总体参数作出具体的假设。
其核心思想是利用数据的排序、排名等非参数化的特征进行分析，从而得出统计推断结论。
以Wilcoxon秩和检验为例，该检验是一种常用的非参数假设检验方法，适用于样本数据不满足正态分布假设的情况。
它基于样本数据的秩次比较来判断两个总体的位置差异是否显著。
通过对数据进行排序、赋予秩次并计算秩和统计量，可以在不依赖于具体分布假设的情况下进行假设检验。
常用方法除了Wilcoxon秩和检验外，非参数统计方法还包括Mann-Whitney U检验、Kruskal-Wallis检验、Spearman相关性分析等多种常用方法。
这些方法在实际应用中具有广泛的适用性，能够有效应对不同数据类型和分布形态下的统计推断问题。
Mann-Whitney U检验适用于独立两样本的位置差异检验，Kruskal-Wallis检验则扩展至多样本情形。
Spearman相关性分析是一种用于衡量两变量之间非线性相关性的方法，通过秩次的计算来评估两变量的相关性程度。
实际应用非参数统计方法在各行业和领域中都有着重要的应用价值。
在医学领域，由于很多指标的分布并不服从正态分布假设，非参数统计方法成为临床研究中常用的工具之一。
在金融领域，对于涉及风险评估和收益分析的数据，非参数统计方法能够更准确地捕捉数据背后的规律，提供有效的决策支持。
总的来说，非参数统计方法以其灵活性和适用性在数据分析中发挥着重要的作用。
在实际应用中，了解不同非参数方法的原理和适用条件，能够更好地进行数据分析和推断，提高统计分析的准确性和效率。
非参数统计讲义通用课件
通过实际案例展示如何使用Python进行非 参数统计，包括分布拟合、假设检验和模 型选择等步骤。
SPSS实现
SPSS简介
SPSS（Statistical Package for the Social Sciences） 是一款流行的社会科学统计 软件。
操作界面
SPSS的非参数统计功能通常 在“分析”菜单下的“非参 数检验”选项中，用户可以 通过直观的界面进行操作。
聚类分析方法在数据挖掘、 市场细分等领域有广泛应用， 可以帮助我们发现数据的内 在结构和模式。
异常值检测方法
• 异常值检测方法用于识别和剔除数据中的异常值，提高数据分析的准确性和可靠性。
• 常见的异常值检测方法包括基于统计的方法、基于距离的方法、基于密度的方等。 • 基于统计的方法利用统计学原理，如z分数、IQR等，判断数据是否为异常值；基于距离的方法通过计算对象与其它对象的距离来判断是否为异常值；基于密度的方法则根据对象周围的密度变化来判断是否
解释性较差
相对于参数统计，非参数统计结果通 常较为抽象，难以直接解释其具体含 义。
假设检验能力较弱
非参数统计在假设检验方面的能力相 对较弱，对于确定性的结论和预测不 如参数统计准确。
如何克服非参数统计的局限性
01
02
03
04
利用高效计算方法
采用并行计算、分布式计算等 高效计算方法，提高非参数统
计的计算效率和准确性。
描述性统计方法在数据分析中起到基 础作用，为后续的统计推断提供数据 基础和初步分析结果。
假设检验方法
假设检验方法是一种统计推断 方法，通过提出假设并对其进
行检验，判断假设是否成立。
假设检验方法包括参数检验和 非参数检验，其中非参数检验 不依赖于总体分布的具体形式，
非参数统计方法的理论与应用
非参数统计方法的理论与应用统计方法是一门应用广泛的学科，它为我们提供了一种理解和处理数据的工具。
在统计学中，非参数统计方法是一种不依赖于总体分布的方法，它能够在样本数据不满足正态分布等特定条件的情况下进行统计推断。
1. 非参数统计方法的基本概念非参数统计方法是一种基于样本数据而非总体参数的方法。
与传统的参数统计方法相比，非参数统计方法不要求总体分布函数的形式与参数，而只是利用样本数据的排序关系和秩次信息进行统计推断。
这使得非参数方法具有更广泛的适用性和假设的自由度。
2. 非参数统计方法的优缺点非参数统计方法的主要优点在于其不依赖于总体分布的假设，因此使用非参数方法能够处理更广泛的数据类型。
另外，由于非参数方法不需要事先估计总体参数，因此可以免去参数估计的困扰。
然而，非参数方法在样本数据较小的情况下具有较大的变异性和较差的效率，这是其主要的缺点之一。
3. 非参数统计方法的常见应用非参数统计方法在多个领域都有广泛的应用。
在生命科学领域，非参数方法可以应用于药物疗效评估、癌症生存分析等研究中。
在经济学领域，非参数方法可以用于分析收入差距、经济增长等问题。
在环境科学领域，非参数方法可以用于水质评估、气候模型分析等研究。
这些应用表明了非参数方法在解决实际问题中的重要性和实用性。
4. 常见的非参数统计方法常见的非参数统计方法包括秩和检验、克鲁斯卡尔-沃利斯检验、非参数回归等。
秩和检验是一种常用的非参数假设检验方法，它基于样本数据的秩次进行统计推断。
克鲁斯卡尔-沃利斯检验是一种非参数方差分析方法，它能够检验多个样本均值是否相等。
非参数回归方法则是一种用于建立非线性关系模型的统计方法，它可以应对数据中存在的非线性关系。
5. 非参数统计方法的发展趋势随着数据科学和机器学习的发展，非参数统计方法也在不断演进和完善。
近年来，非参数方法与深度学习的结合成为研究热点，这为非参数方法在大数据环境下的应用提供了新的思路和方法。
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·2·
第 1 章 基本概念
图 1.1 两组学生成绩的直方图
问题 1.2(见光盘数据 iqeq.txt) 我们希望比较两组被试的 IQ 成绩和 EQ 成 绩之间是否存在着相关性, 传统的方法如 Pearson 相关系数检验可以帮助我们分析 问题. 应用附录中介绍的探索性数据分析方法绘制两组数据的散点图, 如图 1.2 所 示, 很难看出数据之间是否存在相关性. 这样的数据分布, 应用 Pearson 检验能测 量出真实的关系吗？我们将在第 5 章回答这个问题.
图 1.2 两组学生 IQ 成绩和 EQ 成绩相关散点图
问题 1.3 我们希望从光顾超市的用户购买清单数据中分析出哪些物品可能 会被客户同时购买, 传统列联表分析能够给我们提供一些思路, 但是当物品数量很 大的时候, 传统方法很难出现有效的结果. 我们将在第 5 章回答如何解决类似的 问题.
以上这些问题, 并不总是能够在参数统计的框架结构中找到对应的方法, 数据 驱动的方法会带领数据分析的实践者突破传统的框架, 思考如何对数据进行合理的 运用. 总而言之, 非参数统计学是统计学的一个分支. 相对于参数统计而言, 非参 数统计有以下几个突出的特点.
(2) 非参数统计可以处理所有类型的数据, 有广泛的适用性. 我们知道, 统计数 据按照数据类型可以分为两大类：定性数据 (包括类别数据和顺序数据) 和定量数 据 (包括等距数据和比例数据). 拿检验来说, 一般而言, 参数统计主要针对定量数 据, 原因是理论上容易得到比较好的结果, 然而实践中, 我们所收集到的数据常常 不符合参数统计模型的假定. 比如：数据只有顺序, 没有大小, 这时很多流行的参数 模型无能为力, 尝试非参数方法是自然的. 即便对于定量数据而言, 也常常出现数 据测量误差问题、不同分布数据混合问题, 此时传统的统计推断未必适用于噪声密 集的数据环境, 如果将这些数据转化为顺序数据, 有可能弱化颗粒噪声的影响, 尝 试用非参数方法分析, 甚至可能获得理想的结果.
(3) 非参数思想容易理解, 计算容易. 作为统计学的分支, 其统计思想非常深刻, 很多原理与参数统计思想平行, 容易发展生成算法. 特别是伴随计算机技术的发展, 最近的非参数统计更强调运用大量计算求解问题, 这些问题很容易通过编写程序求 解, 计算结果也更容易解释. 非参数统计方法在小样本的时候, 可能涉及更多不常 见的统计表, 过去会对一些非专业的使用者造成不便. 如今很多统计软件, 如 R 中 都已提供现成的函数供人们计算和使用, 一些统计量的精确分布或近似分布都可以 轻松地从软件中更为精确地得到, 取代纸质编制的粗糙且不精确的表.
(1) 非参数统计方法对总体的假定相对较少, 效率高, 结果一般有较好的稳定 性, 即不会由于总体分布与数据之间不一致导致发生大的结论性错误. 在经典的统 计框架中, 正态分布一直是统计概念与产生
·3·
比如：自动生产链处于稳定状态下的产品的质量. 然而, 正态分布并不是神话, 用 于探索性问题时并不总是合适的, 随意对数据做出假定可能方便了计算和解释, 但 可能产生错误的判断. 在某些推断问题中, 当数据不能支持显著性的结论, 常常表 现为模型没有通过检验, 一些分析人士往往将原因归为信息量太少. 样本量不足可 能是结论不显著的一个原因, 然而追加样本量在很多行业中代价是巨大的. 另外一 个可能的解决方法是尝试更为宽松的模型假设, 即换用更有效的方法取代一味地增 加样本量, 在节约成本和降低资源环境代价的条件下, 有效率地解决问题.
第1章 基 本 概 念
1.1 非参数统计概念与产生
1. 非参数统计的概念 回顾数理统计基础知识可知, 分布是回答不确定性问题的基本统计工具, 对数 据的分布做出推断是统计推断的根本任务. 典型的统计推断过程是从假定分布族开 始的, 从数据到结论通常由 5 个步骤组成：分布族假定, 抽样, 统计量和抽样分布, 推估和检验, 评价模型. 假定分布族是对实际问题的数学描述, 它是统计推断的基 础. 比如, 研究某类商品的市场占有率, 假定在平均的意义之下, 每个消费者是否占 有待研究商品来自两点分布 B(1, p), 0 < p < 1；在研究保险公司的索赔请求数时, 可能假定索赔请求数来自 Poisson 分布 P(λ), 0 < λ < ∞(当然还可能有其他类型的 分布假定); 在研究肥料对农作物产量的影响效果时, 假定平均意义之下, 每测量单 元 (可能是) 产量服从正态分布 N (µ + xβ, σ2), 其中 x 是肥料的用量. 数据样本被 视为从分布族的某个参数族抽取出来的总体的代表, 未知的仅仅是总体分布具体的 参数值, 这样推断问题就转化为分布族的若干个未知参数的估计问题, 用样本对这 些参数做出估计或进行假设检验, 从而得知数据背后的分布, 这类推断方法称为 参 数方法. 然而在许多实际问题中, 要对数据的分布做出具体的假定常常需要很多背景知 识, 特别是在探索性的问题研究中, 人们往往对总体的信息知之甚少, 很难对总体 的分布形式和统计模型做出相对比较明确的假定. 甚至在有些情况下, 能够对问题 尝试数学描述本身就是问题的核心. 比如在人为控制因素不多的大部分经济和社 会问题中, 数据的分布形态和数据之间的关系常常是不能任意假定的, 最多只能对 总体的分布做出类似于连续型分布或者关于某点对称等一般性的假定. 这种不假 定总体分布的具体形式, 尽量从数据 (或样本) 本身获得所需要的信息, 通过估计 而获得分布的结构, 并逐步建立对事物的数学描述和统计模型的方法称为 非参数 方法. 问题 1.1(见光盘数据 chap1student.txt) 我们想比较两组学生的成绩是否存 在差异, 传统的方法如 t 检验可以帮助我们分析问题. 但是应用 t 检验的一个基本 前提是两组学生的成绩服从正态分布, 应用附录 A 中介绍的探索性数据分析方法 绘制两组数据的分布, 如图 1.1 所示, 很难看出数据的分布是对称的. 这样, 应用 t 检验会有怎样的问题？我们将在第 2 章回答这个问题.