多维随机变量及其分布

2F(x, y) f (x, y).
xy
h
14
由性质4, 在f(x,y)的连续点处有
P{x X x Δ x, y Y y Δ y}
lim
Δ x0
Δ xΔ y
Δ y0
lim 1 [F(x Δ x, y Δ y) - F(x Δ x, y) Δx0 Δ xΔ y
Δ y0
- F(x,
y Δ y) F(x,
h
13
按定义, 概率密度f(x,y)具有以下性质: 1.f(x,y)0.
2. f(x,y)dxdy1. --
3.设G是xOy平面上的区域, 点(X,Y)落在G内的 概率为
P {X ( ,Y ) G } f(x ,y )d x d y .( 1 .3 )
G
4. 若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有
y1 x1
x2
x
h
6
分布函数F(x,y)具有的基本性质: 1.F(x,y)是变量x和y的不减函数, 即对于任意固定
的, 当x2>x1时F(x2,y)F(x1,y); 对于任意固定的x, 当 y2>y1时F(x,y2)F(x,y1).
2. 0F(x,y)1, 且 对于任意固定的y, F(-,y)=0, 对于任意固定的x, F(x,-)=0,
h
16
例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
2e-(2xy), x0,y0,
f(x,y) 0,
其.它
(1)求分布函数F(x,y); (2)求概率P{YX}.
解 (1)
yx
F(x,y)
f (x, y)dxdy
- -
y 0
x2e-(2xy)dxdy,
0
x0, y0
0,
其它 .
h
17
即 (2) 将F 有 ((x X,,yY) )看 0 (1 作,-e 是-2x平)1 (面-e上-y)随,x机点0 其 ,y的.坐0它 , 标, 即有
y)]
2F(x, y) xy
f
(x,
y).
h
15
这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续, 则当Dx,Dy 很小时
P{x<Xx+Dx, y<Yy+Dy}f(x,y)DxDy, 即(X,Y)落在小长方形(x,x+Dx](y,y+Dy]内的概率近 似等于f(x,y)DxDy. 在几何上x=f(x,y)表示空间的一个曲面, 由性质2知, 介于它和xOy平面的空间区域的体积为1, 由性质3, P{(X,Y)G}的值等于以G为底, 以曲面z=f(x,y)为顶 面的柱体体积.
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随机变
量X和Y的联合分布函数. y
(x,y)
O
x
h
5
易知, 随机点(X,Y)落在矩形域[x1<Xx2, y1<Yy2]的 概率为
P{x1<Xx2, y1<Yy2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-
F(x1,y2).
(1.1)
y
y2
h
3
一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它 们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维随机向量或二维 随机变量.
X(e)
e S
Y(e)
h
4
定义 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 二 元函数:
记 成
F ( x ,y ) P { ( X x ) ( Y y ) } P { X x ,Y y }
的随机变量. 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为 (xi,yj), i,j=1,2,...,记P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则由
概率的定义有
pij 0,
pij 1.
i1 j1
h
8
称P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,...,为二维离散型随机变 量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联合分布律. 也可用表格表示X和Y的联合分布律:
解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律, 易知 {X=i,Y=j}的取值情况是: i=1,2,3,4, j取不大于i的正 整数, 且
P {Xi,Yj}P {Xi}P { Yj|Xi}1 41 i, i1 ,2,3 ,4 ,ji.
h
10
P {Xi,Yj}P {Xi}P {Yj|Xi}11, 4i
i1,2,3,4,ji.第三章 多ຫໍສະໝຸດ 随机 变量及其分布h1
§1 二维随机变量
h
2
在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时 用两个或两个以上的随机变量来描. 例如, 为了研 究某一地区学龄前儿童的发育情况, 对这一地区的 儿童进行抽查, 对于每个儿童都能观察到他的身高 H和体重W. 在这里, 样本空间S={e}={某地区的全 部学龄前儿童, 而H(e), 和W(e)是定义在S上的两个 随机变量. 又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐 标和纵坐标来确定, 而横坐标和纵坐标是定义在同 一个样本空间的两个随机变量.
h
12
与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X,Y)的分 布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y)使对于任 意x,y有
yx
F (x,y) f(u ,v)dudv, - -
则称(X,Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x,y)称 为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随机变量 X和Y的联合概率密度.
于是(X,Y)的分布律为
Y X 1 2 3 4
1
2
3
4
1/4
1/8
1/12
1/16
0
1/8
1/12
1/16
0
0
1/12
1/16
0
0
0
1/16
h
11
将(X,Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机变量 X和Y的联合分布函数为
F (x ,y ) p i,j x i xyj y
(1 .2 )
其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的.
F(-,-)=0, F(+, +)=1. 3.F(x,y)关于x和关于y都右连续. 4.任给(x1,y1),(x2,y2), x1<x2, y1<y2,
F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0
h
7
如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的 值 是有限对或可列无限多对, 则称(X,Y)是离散型
X
Y
x1
x2
...
xi
...
y1
p11
p21
...
pi1
...
y2
p12
p22
...
pi2
...
...
...
...
...
...
yj
p1j
p2j
...
pij
...
...
...
...
...
...
...
h
9
例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取 一个值, 另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整 数值. 试求(X,Y)的分布律.